Hlavní domněnka Iwasawovy teorie - Main conjecture of Iwasawa theory

V matematice je hlavní dohad teorie Iwasawa je hluboký vztah mezi p -adic L -functions a ideálních třídy skupiny z cyclotomic polí , svědčí i Kenkichi Iwasawa pro připraví splňujících Kummer-Vandiver dohady a ověřena pro všechna prvočísla od Mazur a Wiles ( 1984 ). Herbrandova-Ribet věta a Gras domněnky jsou oba jednoduché důsledky hlavní domněnek. Existuje několik zevšeobecnění hlavní domněnky, na zcela reálná pole , pole CM , eliptické křivky atd.

Motivace

Iwasawa (1969a) byl částečně motivován analogií s Weilovým popisem funkce zeta algebraické křivky nad konečným polem, pokud jde o vlastní hodnoty Frobeniova endomorfismu na jeho jakobijské odrůdě . V této analogii

• Akce Frobenius odpovídá akci skupiny Γ.
• Jakobián křivky odpovídá modulu X nad Γ definovanému pomocí ideálních skupin tříd.
• Zeta funkce křivky přes konečné pole odpovídá p -adic L -function.
• Weilova věta o Figeniových vlastních hodnotách s nulami zeta funkce křivky odpovídá Iwasawově hlavní domněnce týkající se působení Iwasawa algebry na X s nulami p -adické funkce zeta.

Dějiny

Hlavní domněnka Iwasawovy teorie byla formulována jako tvrzení, že dvě metody definování p -adických L -funkcí (podle teorie modulu, interpolací) by se měly shodovat, pokud to bylo dobře definováno. Toto bylo prokázáno Mazur a Wiles (1984) pro Q , a pro všechny zcela skutečný počet polí podle Wiles (1990) . Tyto důkazy byly modelovány podle důkazu Kena Ribeta o obrácení k Herbrandově teorému ( Herbrand-Ribetova věta ).

Karl Rubin našel elementárnější důkaz věty Mazur-Wiles pomocí Thaineovy metody a Kolyvaginových Eulerových systémů , popsaných v Langovi (1990) a Washingtonu (1997) , a později prokázal další zevšeobecnění hlavní domněnky pro imaginární kvadratická pole.

V roce 2014 Christopher Skinner a Eric Urban prokázali několik případů hlavních domněnek pro velkou třídu modulárních forem . V důsledku toho, pro modulární eliptické křivky nad racionální čísla , které dokazují, že se vytrácí z Hasse-Weil L -function L ( E ,  S ) z E na s  = 1 znamená, že se p-adic Selmer skupina z E je nekonečný. V kombinaci s teorémy Gross - Zagier a Kolyvagin , to dala podmíněný důkaz (v Tate-Shafarevich dohadu ) z domněnky, že E má nekonečně mnoho racionálních bodů právě tehdy, když L ( E , 1) = 0, A (slabá) forma domněnky Birch – Swinnerton-Dyer . Tyto výsledky použili Manjul Bhargava , Skinner a Wei Zhang k prokázání, že pozitivní podíl eliptických křivek splňuje hypotézu Birch-Swinnerton-Dyer .

Tvrzení

• p je prvočíslo.
• F _n je pole Q (ζ), kde ζ je kořen jednoty řádu p ^{n +1} .
• Γ je největší podskupina absolutní Galoisovy skupiny F _∞ izomorfní s p -adickými celými čísly.
• γ je topologický generátor Γ
• L _n je pole p -Hilbertovy třídy F _n .
• H _n je Galoisova skupina Gal ( L _n / F _n ), izomorfní s podskupinou prvků ideální třídní skupiny F _n, jejíž řád je mocninou p .
• H _∞ je inverzní limit Galoisových skupin H _n .
• V je vektorový prostor H _∞ ⊗ _{Z p} Q _p .
• ω je znak Teichmüllera .
• V ⁱ je ω ⁱ eigenspace of V. .
• h _p (ω ⁱ , T ) je charakteristický polynom γ působící na vektorový prostor V ⁱ
• L _p je funkce p-adic L s L _p (ω ⁱ , 1– k ) = –B _k (ω ^{i - k} ) / k , kde B je zobecněné Bernoulliho číslo .
• u je jedinečné p-adické číslo splňující γ (ζ) = ζ ^u pro všechny p-mocenské kořeny jednoty ζ
• G _p je výkonová řada s G _p (ω ⁱ , u ^s –1) = L _p (ω ⁱ , s )

Hlavní domněnka Iwasawovy teorie, kterou prokázali Mazur a Wiles, uvádí, že pokud i je liché celé číslo neodpovídající 1 mod p –1, pak ideály Z _p - T - generované h _p (ω ⁱ , T ) a G _p ( ω ^{1– i} , T ) jsou stejné.

Poznámky

Zdroje