Projektivní objekt - Projective object

V teorii kategorií pojem projektivní objekt zobecňuje pojem projektivní modul . Projektivní objekty v abelianských kategoriích se používají v homologické algebře . Dvojí pojem projektivní objektu je to, že z injective objektu .

Objekt v kategorii je projektivní, pokud pro jakýkoli epimorfismus a morfismus existuje morfismus takový, že dojíždí následující diagram: ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle e: E \ twoheadrightarrow X}$ ${\ displaystyle f: P \ až X}$${\ displaystyle {\ overline {f}}: P \ až E}$${\ displaystyle e \ circ {\ overline {f}} = f}$

To znamená, že každý morfismus ovlivňuje každý epimorfismus .${\ displaystyle P \ až X}$ ${\ displaystyle E \ twoheadrightarrow X}$

V lokálně malé kategorii je ekvivalentní následující tvrzení: je projektivní, pokud je funktor hom${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (P, -) \ dvojtečka {\ mathcal {C}} \ to \ mathbf {Set}}$

zachovává epimorfismus .

Pojďme být abelianskou kategorií. V této souvislosti se objekt nazývá projektivní objekt if ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle P \ v {\ mathcal {C}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (P, -) \ dvojtečka {\ mathcal {C}} \ do \ mathbf {Ab}}$

je přesná functor , kde je kategorie z abelovských skupin . ${\ displaystyle \ mathbf {Ab}}$

Vlastnosti

• Vedlejší produkt dvou projektivní objektů je projektivní.
• Vyjetí z projektivní objektu je projektivní.

Dost projektantů

Pojďme být abelianskou kategorií . se říká, že mají dostatek projectives , pokud pro každý objekt z , tam je projektivní předmět z a přesný sled${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle P \ longrightarrow A \ longrightarrow 0.}$

Jinými slovy, mapa je „epická“ nebo epimorfismus . ${\ displaystyle p \ dvojtečka P \ do A}$

Příklady

Výrok, že všechny množiny jsou projektivní, je ekvivalentní s axiomem volby .

Projektivní objekty v kategorii abelianských skupin jsou volné abelianské skupiny .

Dovolit být prsten s 1. Zvažte ( abelianskou ) kategorii levých modulů . Projektivní objekty jsou přesně projektivní levé R-moduly . V důsledku toho je sám projektivní objekt v Dually, injektivní objekty v jsou přesně injektivní levé R-moduly . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}.}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}} _ {R}}$

Kategorie levého (vpravo) -modules také dostatek projectives. To je pravda, protože pro každý levý (pravý) modul můžeme považovat za volný (a tedy projektivní) modul generovaný generující sadou pro (můžeme ve skutečnosti být ). Potom je kanonická projekce požadovaným surjekcí . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ pi \ dvojtečka F \ až M}$

Reference

Tento článek včlení materiál od Projective object na PlanetMath , který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

Tento článek včlení materiál od Enough projectives na PlanetMath , který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License .