Epimorfismus - Epimorphism

V teorii kategorií je epimorfismus (nazývaný také epický morfismus nebo hovorově epi ) morfismus f : X → Y, který má pravou storno v tom smyslu, že pro všechny objekty Z a všechny morfismy g ₁ , g ₂ : Y → Z ,

{\ displaystyle g_ {1} \ circ f = g_ {2} \ circ f \ implikuje g_ {1} = g_ {2}.}

Epimorfismy jsou kategorickými analogy na nebo surjektivní funkce (a v kategorii množin koncept přesně odpovídá surjektivním funkcím), ale nemusí se přesně shodovat ve všech kontextech; například inkluze je kruhový epimorfismus. Dvojí z epimorfizmus je monomorfizmus (tj epimorfizmus v kategorii C je monomorfizmus v duálním kategorii C ^op ). ${\ displaystyle \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {Q}}$

Mnoho autorů v abstraktní algebře a univerzální algebře definuje epimorfismus jednoduše jako homomorfismus na nebo surjektivní . Každý epimorfismus v tomto algebraickém smyslu je epimorfismus ve smyslu teorie kategorií, ale obrácení není pravdivé ve všech kategoriích. V tomto článku bude termín „epimorfismus“ použit ve smyslu výše uvedené teorie kategorií. Další informace viz § Terminologie níže.

Příklady

Každý morfismus v konkrétní kategorii, jejíž základní funkce je surjektivní, je epimorfismus. V mnoha konkrétních zájmových kategoriích platí obráceně. Například v následujících kategoriích jsou epimorfismy přesně ty morfizmy, které jsou surjektivní na základních sadách:

Sada : sady a funkce. K prokázání, že každý epimorfizmus f : X → Y v sadě je surjektivní jsme jej skládat jak s charakteristické funkce g ₁ : Y → {0,1} na obrázku f ( X ) a satelitní g ₂ : Y → {0 , 1} to je konstanta 1.
Rel : množiny s binárními relacemi a funkcemi zachovávajícími relace. Tady můžeme použít stejný důkaz jako pro Set , vybavit {0,1} úplným vztahem {0,1} × {0,1}.
Poz : částečně seřazené množiny a monotónní funkce . Pokud f : ( X , ≤) → ( Y , ≤) není surjektivní, vyberte y ₀ v Y \ f ( X ) a nechte g ₁ : Y → {0,1} být charakteristickou funkcí { y | y ₀ ≤ y } a g ₂ : Y → {0,1} charakteristická funkce { y | y ₀ < y }. Tyto mapy jsou monotónní, pokud je {0,1} dáno standardní pořadí 0 <1.
Grp : skupiny a skupinové homomorfismy . Výsledek, že každý epimorfismus v Grp je surjektivní, je způsoben Ottem Schreierem (ve skutečnosti dokázal více, což ukazuje, že každá podskupina je ekvalizér využívající bezplatný produkt s jednou sloučenou podskupinou); základní důkaz lze nalézt v (Linderholm 1970).
FinGrp : konečné skupiny a skupinové homomorfismy. Také kvůli Schreierovi; důkaz uvedený v (Linderholm 1970) zakládá i tento případ.
Ab : abelianské skupiny a skupinové homomorfismy.
K- Vect : vektorové prostory nad polem K a K - lineární transformace .
Mod - R : pravé moduly přes kruh R a homomorfismy modulu . Toto zobecňuje dva předchozí příklady; abychom dokázali, že každý epimorfismus f : X → Y v Mod - R je surjektivní, skládáme jej jak s kanonickou kvocientovou mapou g ₁ : Y → Y / f ( X ), tak s nulovou mapou g ₂ : Y → Y / f ( X ).
Nahoře : topologické prostory a spojité funkce . Dokázat, že každý epimorfizmus v Top surjective, postupujeme stejně jako v sadě , což {0,1} na indiscrete topologii , což zajišťuje, že všechny považovány mapy jsou spojité.
HComp : kompaktní Hausdorffovy prostory a spojité funkce. Pokud f : X → Y není surjektivní, nechť y ∈ Y - fX . Protože fX je uzavřeno, existuje Urysohnova lemma spojitá funkce g ₁ : Y → [0,1] tak, že g ₁ je 0 na fX a 1 na y . Složíme f jak s g _1, tak s nulovou funkcí g ₂ : Y → [0,1].

Existuje však také mnoho konkrétních kategorií zájmu, kde epimorfismus není surjektivní. Několik příkladů:

V kategorii monoidů , Mon se mapa zahrnutí N → Z je non-surjective epimorfizmus. Chcete-li to vidět, předpokládat, že g ₁ a g ₂ jsou dva odlišné mapy od Z do jisté monoid M . Pak pro n v Z , g ₁ ( n ) ≠ g ₂ ( n ), takže g ₁ ( -n ) ≠ g ₂ (- n ). Buď n nebo - n je v N , takže omezení g ₁ a g ₂ až N jsou nerovná.
V kategorii algeber nad komutativním kruhem R vezmeme R [ N ] → R [ Z ], kde R [ G ] je skupinový kruh skupiny G a morfismus je indukován inkluzí N → Z jako v předchozím příkladu . To vyplývá z pozorování, že 1 generuje algebry R [ Z ] (Všimněte si, že jednotka R [ Z ] je dána 0 o Z ), a inverzní prvku představované n v Z je jen prvek představovat - n . Proto jakýkoliv homomorphism z R [ Z ] je jednoznačně určena jeho hodnota na prvku představované 1 o Z .
V kategorii prstenů , prsten , je inkluzní mapa Z → Q nesurjektivní epimorfismus; vidět to, všimněte si, že jakýkoli kruhový homomorfismus na Q je zcela určen jeho působením na Z , podobně jako v předchozím příkladu. Podobný argument ukazuje, že přirozený kruhový homomorfismus z libovolného komutativního kruhu R do kterékoli z jeho lokalizací je epimorfismus.
V kategorii komutativních prstenů je konečně generovaný homomorfismus prstenů f : R → S epimorfismus právě tehdy, když pro všechny primární ideály P z R je ideální Q generovaný f ( P ) buď S, nebo je prvočíslo, a pokud Q není S , indukovaná mapa Frac ( R / P ) → Frac ( S / Q ) je izomorfismus ( EGA IV 17.2.6).
V kategorii Hausdorffových prostorů, Haus , jsou epimorfismy přesně spojité funkce s hustými obrazy. Například mapa inkluze Q → R je nesurjektivní epimorfismus.

Výše uvedené se liší od případu monomorfismů, kde častěji platí, že monomorfismy jsou přesně ty, jejichž základní funkce jsou injektivní .

Co se týče příkladů epimorfismů v konkrétních kategoriích:

Pokud je monoid nebo prsten považován za kategorii s jediným objektem (složení morfismů dané násobením), pak jsou epimorfismy přesně prvky, které lze zrušit.
Pokud je směrovaný graf považován za kategorii (objekty jsou vrcholy, morfismy jsou cesty, složení morfismů je zřetězení cest), pak každý morfismus je epimorfismus.

Vlastnosti

Každý izomorfismus je epimorfismus; skutečně je nutná pouze pravostranná inverze: pokud existuje morfismus j : Y → X takový, že fj = id _Y , pak f : X → Y lze snadno považovat za epimorfismus. Mapa s takovou pravostrannou inverzí se nazývá split epi . V toposu je mapa, která je jak monickým morfismem, tak epimorfismem, izomorfismem.

Složení dvou epimorfismů je opět epimorfismem. Pokud je složení fg dvou morfismů epimorfismus, pak f musí být epimorfismus.

Jak ukazují některé z výše uvedených příkladů, vlastnost být epimorfismem není určena samotným morfismem, ale také kategorií kontextu. Pokud D je podkategorii o C , pak každý morphism v D , který je epimorfizmus když považuje za morfismu v C je také epimorfizmus v D . Konverzace se však nemusí držet; menší kategorie může (a často bude) mít více epimorfismů.

Stejně jako pro většinu pojmy v teorii kategorie, epimorphisms uchovávána v rovnocennosti kategorií : vzhledem k tomu, ekvivalence F : C → D , morfizmus f je epimorfizmus v kategorii C tehdy, když F ( f ) je epimorfizmus v D . Dualita mezi dvěma kategoriemi změní epimorphisms do monomorphisms a naopak.

Definici epimorfismu lze přeformulovat tak, aby uváděla, že f : X → Y je epimorfismus právě tehdy, pokud indukované mapy

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Hom} (Y, Z) & \ rightarrow & \ operatorname {Hom} (X, Z) \\ g & \ mapsto & gf \ end {matrix}}}

jsou injective pro každou volbu Z . To je zase ekvivalentní indukované přirozené transformaci

{\ displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Hom} (Y, -) & \ rightarrow & \ operatorname {Hom} (X, -) \ end {matrix}}}

bytí monomorfizmus v functor kategorii Set ^C .

Každý ekvalizér je epimorfismus , důsledek požadavku jedinečnosti v definici ekvalizérů. Z toho zejména vyplývá, že každá koksárna je epimorfismus . Konverzace, totiž že každý epimorfismus je coequalizerem, není pravdivá ve všech kategoriích.

V mnoha kategoriích je možné psát každý morfismus jako skladbu epimorfismu následovaného monomorfismem. Například, vzhledem ke skupinovému homomorfismu f : G → H , můžeme definovat skupinu K = im ( f ) a pak napsat f jako složení surjektivního homomorfismu G → K, které je definováno jako f , následované injektivním homomorfismem K → H, který posílá každý prvek sám sobě. Takovou faktorizaci libovolného morfismu do epimorfismu, po níž následuje monomorfismus, lze provést ve všech abelianských kategoriích a také ve všech konkrétních kategoriích uvedených výše v § Příklady (i když ne ve všech konkrétních kategoriích).

Související pojmy

Mezi další užitečné koncepty patří pravidelný epimorfismus , extrémní epimorfismus , bezprostřední epimorfismus , silný epimorfismus a rozdělený epimorfismus .

O epimorfismu se říká, že je pravidelný , je-li koekvalizátorem nějaké dvojice paralelních morfismů.
O epimorfismu se říká, že je extrémní, pokud v každé reprezentaci , kde je monomorfismus , je morfismus automaticky izomorfismem . ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = \ mu \ circ \ varphi}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ mu}$
O epimorfismu se říká, že je okamžitý, pokud v každé reprezentaci , kde je monomorfismus a epimorfismus, je morfismus automaticky izomorfismem . ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = \ mu \ circ \ varepsilon '}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ varepsilon '}$ ${\ displaystyle \ mu}$
Epimorfizmus se říká, že silný , jestliže pro každou monomorfizmus a případných morphisms a tak, že existuje morphism tak, že a . ${\ displaystyle \ varepsilon: A \ až B}$ ${\ displaystyle \ mu: C \ až D}$ ${\ displaystyle \ alpha: A \ až C}$ ${\ displaystyle \ beta: B \ až D}$ ${\ displaystyle \ beta \ circ \ varepsilon = \ mu \ circ \ alfa}$ ${\ displaystyle \ delta: B \ až C}$ ${\ displaystyle \ delta \ circ \ varepsilon = \ alpha}$ ${\ displaystyle \ mu \ circ \ delta = \ beta}$
O epimorfismu se říká, že je rozdělen, pokud existuje morfismus takový, že (v tomto případě se nazývá pravostranný inverzní pro ). ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ varepsilon \ circ \ mu = 1}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$

V teorii prstenů existuje také pojem homologického epimorfismu . Morfismus f : → B kroužků je homologické epimorfizmus pokud je epimorfizmus a indukuje úplný a věrný funktor na získaných kategorií : D ( f ): D ( B ) → D ( A ).

Morfismus, který je jak monomorfismem, tak epimorfismem, se nazývá bimorfismus . Každý izomorfismus je bimorfismus, ale obrácení není obecně pravdivé. Například mapa z pootevřené intervalu [0,1) na jednotkové kružnici S ¹ (představit jako podprostoru v komplexní rovině ), který posílá x exp (2πi x ) (viz Eulerova vzorce ) je kontinuální a bijektivní, ale ne homeomorfismus, protože inverzní mapa není spojitá na 1, takže se jedná o instanci bimorfismu, který není izomorfismem v kategorii Nahoru . Dalším příkladem je vložení Q → R do kategorie Haus ; jak je uvedeno výše, jedná se o bimorfismus, ale není bijektivní, a proto není izomorfismem. Podobně v kategorii prstenů je mapa Z → Q bimorfismus, nikoli však izomorfismus.

Epimorphisms se používají k definování abstraktní kvocientu objekty v obecných kategorií: dvě epimorphisms f ₁ : X → Y ₁ a f ₂ : X → Y ₂ se uvádí, že rovnocenné , když existuje izomorfismus j : Y ₁ → Y ₂ s j f ₁ = f ₂ . Jedná se o vztah rovnocennosti , a třídy ekvivalence jsou definovány jako kvocientu předměty X .

Terminologie

Doprovodné výrazy epimorfismus a monomorfismus poprvé představil Bourbaki . Bourbaki používá epimorfismus jako zkratku pro surjektivní funkci . První teoretici kategorie věřili, že epimorfismy jsou správným analogem surjekcí v libovolné kategorii, podobně jako jsou monomorfismy téměř téměř přesným analogem injekcí. Bohužel je to nesprávné; silné nebo pravidelné epimorfismy se chovají mnohem přísněji než obyčejné epimorfismy. Saunders Mac Lane se pokusil vytvořit rozdíl mezi epimorfismem , což byly mapy v konkrétní kategorii, jejichž podkladové množinové mapy byly surjektivní, a epickými morfismy , které jsou epimorfismem v moderním smyslu. Tento rozdíl se však nikdy neuchytil.

Je běžnou chybou domnívat se, že epimorfismy jsou buď totožné s surjekcemi, nebo že jsou lepším konceptem. Bohužel tomu tak je zřídka; epimorfismy mohou být velmi záhadné a mohou mít neočekávané chování. Je například velmi obtížné klasifikovat všechny epimorfismy prstenů. Obecně platí, že epimorfismy jsou jejich vlastním jedinečným konceptem, který se vztahuje k surjekcím, ale je zásadně odlišný.

Viz také

Poznámky

Reference

Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Kategorie abstraktu a betonu (PDF) . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6 .
Bergman, George (2015). Pozvánka na obecnou algebru a univerzální konstrukce . Springer. ISBN 978-3-319-11478-1 .
Borceux, Francis (1994). Příručka kategorické algebry. Svazek 1: Teorie základní kategorie . Cambridge University Press. ISBN 978-0521061193 .
Tsalenko, MS; Shulgeifer, EG (1974). Základy teorie kategorií . Nauka. ISBN 5-02-014427-4 .
„Epimorphism“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2015). Sady pro matematiku . Cambridge univerzitní tisk. ISBN 0-521-80444-2 .
Linderholm, Carl (1970). „Skupinový epimorfismus je surjektivní“ . Americký matematický měsíčník . 77 : 176–177. doi : 10.1080 / 00029890.1970.11992448 .

externí odkazy

epimorfizmus v nLab
Silný epimorfismus v nLab

Languages

In other projects