Totálně ohraničený prostor - Totally bounded space

V topologii a příbuzných odvětvích matematiky je celková ohraničenost zobecněním kompaktnosti za okolností, kdy množina není nutně uzavřená . Zcela ohraničený sada může být pokryta pomocí konečně mnoho podmnožin každé pevné „velikost“ (kde je význam „velikosti“ závisí na struktuře okolního prostoru .)

Termín precompact (nebo pre-compact ) je někdy používán se stejným významem, ale precompact je také používán znamenat relativně kompaktní . Tyto definice se shodují pro podmnožiny kompletního metrického prostoru , ale ne obecně.

V metrických prostorech

Metrický prostor je totálně omezený právě tehdy, když pro každé reálné číslo , existuje konečný sbírku otevřených koulí v M o poloměru , jehož odbor obsahuje  M . Ekvivalentně je metrický prostor M zcela ohraničený právě tehdy, když pro každý existuje konečný kryt tak, že poloměr každého prvku krytu je nejvýše . To je ekvivalentní existenci konečné e-sítě . Metrický prostor je označován jako Cauchyho-předkompaktní, pokud každá sekvence připouští Cauchyovu subsekvenci; v metrických prostorech je množina Cauchyho-předkompaktní právě tehdy, když je zcela ohraničená. ${\ displaystyle (M, d)}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$${\ displaystyle \ varepsilon}$

Každý zcela ohraničený prostor je ohraničen (protože je spojeno spojení konečného počtu omezených množin). Opak je pravdou pro podmnožiny euklidovského prostoru (s topologií podprostoru ), ale ne obecně. Například nekonečná množina vybavená diskrétní metrikou je ohraničená, ale není zcela ohraničená.

Jednotné (topologické) prostory

Metrika se v definici celkové ohraničenosti objevuje pouze proto, aby zajistila, že každý prvek konečného krytu má srovnatelnou velikost a může být oslaben na jednotnou strukturu . Podmnožina S z jednotného prostoru X je totálně omezený pouze v případě, pro jakýkoli družiny E , existuje konečný kryt S tím podmnožin X jejíž každý kartézské čtverců je podmnožinou E . (Jinými slovy, E nahradí „velikost“ ε a podmnožina má velikost E, pokud je její karteziánský čtverec podmnožinou E. )

Definici lze ještě dále rozšířit na jakoukoli kategorii prostorů s pojmem kompaktnosti a Cauchyho dokončení : prostor je zcela ohraničen tehdy a jen tehdy, je -li jeho (Cauchyovo) dokončení kompaktní.

Příklady a elementární vlastnosti

• Každá kompaktní sada je zcela ohraničená, kdykoli je definován koncept.
• Každá zcela ohraničená množina je ohraničená.
• Podskupina skutečné linie , nebo obecněji konečného rozměrového euklidovského prostoru , je zcela ohraničená právě tehdy, pokud je ohraničena .
• Jednotka míč v Hilbertově prostoru , nebo obecněji v Banachova prostoru , je totálně omezený (v topologii normy) tehdy a jen tehdy, jestliže prostor má konečný rozměr .
• Ekvicontinuous ohraničené funkce na kompaktní sadě jsou předkompaktní v jednotné topologii ; toto je věta Arzelà – Ascoli .
• Metrický prostor je oddělitelný tehdy a jen tehdy, pokud je homeomorphic na zcela ohraničené metrického prostoru.
• Uzavření zcela ohraničené podmnožiny je opět zcela ohraničené.

Porovnání s kompaktními sadami

V metrických prostorech je množina kompaktní právě tehdy, je -li úplná a zcela ohraničená; bez zvoleného axiomu platí pouze směr vpřed. Předkompaktní sady sdílejí řadu vlastností s kompaktními sadami.

• Stejně jako kompaktní sady je konečný svazek zcela ohraničených množin zcela ohraničený.
• Na rozdíl od kompaktních sad je každá podmnožina zcela ohraničené množiny opět zcela ohraničená.
• Souvislý obraz kompaktní sady je kompaktní. Rovnoměrně kontinuální obraz prekompaktní sady prekompaktní.

V topologických skupinách

Ačkoli je pojem celkové ohraničenosti úzce svázán s metrickými prostory, větší algebraická struktura topologických skupin umožňuje vyměnit některé separační vlastnosti . Například v metrických prostorech je sada kompaktní právě tehdy, je -li úplná a zcela ohraničená. Podle níže uvedené definice platí totéž pro jakýkoli topologický vektorový prostor (ne nutně Hausdorffův ani úplný!).

Obecná logická forma definice zní: podmnožina prostoru je zcela ohraničená právě tehdy, pokud vzhledem k jakékoli velikosti existuje konečný obal tak, že každý prvek o maximální velikosti je pak zcela ohraničen právě tehdy, pokud je je zcela omezený, když je považován za podmnožinu sebe sama. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E,}$ ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle E.}$ ${\ displaystyle X}$

Přijmeme konvenci, že pro jakýkoli okolí identity, podmnožinou se nazývá ( vlevo ) -Malé právě tehdy, když podmnožina z topologické skupiny je ( vlevo ) totálně omezený , pokud splňuje kterékoliv z následujících rovnocenných podmínek: ${\ Displaystyle U \ subseteq X}$${\ Displaystyle S \ subseteq X}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle (-S)+S \ subseteq U.}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X}$

1. Definice : Pro jakékoli sousedství identity existuje nakonec mnoho takových${\ displaystyle U}$${\ displaystyle 0,}$${\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \ v X}$${\ textstyle S \ subseteq \ bigcup _ {j = 1}^{n} \ left (x_ {j}+U \ right): = \ left (x_ {1}+U \ right)+\ cdots+\ left (x_ {n}+U \ vpravo).}$
2. Pro jakékoliv části ze existuje konečný podmnožina takové, že (pokud strana pravá ruka je Minkowského suma ).${\ displaystyle U}$${\ displaystyle 0,}$${\ displaystyle F \ subseteq X}$${\ displaystyle S \ subseteq F+U}$ ${\ Displaystyle F+U: = \ {f+u: f \ v F, u \ v U \}}$
3. Pro jakékoliv části ze existuje konečně mnoho podmnožin z taková, že i každá je -Malé.${\ displaystyle U}$${\ displaystyle 0,}$${\ displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle S \ subseteq B_ {1} \ cup \ cdots \ cup B_ {n}}$${\ displaystyle B_ {j}}$${\ displaystyle U}$
4. Pro jakoukoli danou subbázi filtru sousedství prvku identity (který se skládá ze všech sousedství v ) a pro každé existuje krytí konečným počtem -malých podmnožin${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B \ v {\ mathcal {B}},}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X.}$
5. ${\ displaystyle S}$je Cauchy ohraničena : pro každý okolí totožnosti a každý countably nekonečné podskupiny z existují odlišné tak, že (pokud je konečný pak je tato podmínka splněna vacuously ).${\ displaystyle U}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle S,}$${\ displaystyle x, y \ in I}$${\ displaystyle xy \ v U.}$${\ displaystyle S}$
6. Kterákoli z následujících tří sad splňuje (jakoukoli z výše uvedených definic), že je (vlevo) zcela ohraničena:
   1. Uzávěr z oblasti${\ displaystyle {\ overline {S}} = \ operatorname {cl} _ {X} S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle X.}$
      • Tato sada, která je v seznamu, znamená, že platí následující charakteristika: je (vlevo) zcela ohraničená, pokud a pouze je (vlevo) zcela ohraničená (podle kterékoli z definujících podmínek uvedených výše). Stejná charakteristika platí pro ostatní níže uvedené sady.${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S}$
   2. Obraz pod kanonickým kvocientem, který je definován (kde je prvek identity).${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle X \ to X/{\ overline {\ {0 \}}},}$${\ displaystyle x \ mapsto x+{\ overline {\ {0 \}}}}$${\ displaystyle 0}$
   3. Součet ${\ displaystyle S+\ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}.}$

Termín předkompakt se obvykle objevuje v kontextu Hausdorffových topologických vektorových prostorů. V takovém případě jsou také následující podmínky rovnocenné tomu, že jsou (vlevo) zcela ohraničeni: ${\ displaystyle S}$

7. V dokončení části uzávěru ze je kompaktní.${\ displaystyle {\ widehat {X}}}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {\ widehat {X}} S}$${\ displaystyle S}$
8. Každý zapnutý ultrafiltr je Cauchyho filtr .${\ displaystyle S}$

Definice zcela omezeného práva je analogická: jednoduše vyměňte pořadí produktů.

Podmínka 4 znamená, že jakákoli podmnožina je zcela ohraničená (ve skutečnosti kompaktní; viz § Porovnání s kompaktními množinami výše). Pokud není Hausdorff, pak je například kompaktní kompletní sada, která není uzavřená. ${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} \ {0 \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ {0 \}}$

Topologické vektorové prostory

Jakýkoli topologický vektorový prostor je abelianskou topologickou skupinou, navíc platí výše uvedené podmínky. Historicky byla definice 1 (b) první reformulací celkové ohraničenosti pro topologické vektorové prostory ; pochází z papíru Johna von Neumanna z roku 1935.

Tato definice má přitažlivou vlastnost, že v místně konvexním prostoru vybaveném slabou topologií jsou předkompaktní sady přesně ohraničenými množinami .

U oddělitelných Banachových prostorů existuje pěkná charakteristika předkompaktních množin (v topologii norem), pokud jde o slabě konvergentní posloupnosti funkcionálů: pokud je oddělitelný Banachův prostor, pak je předkompaktní právě tehdy, když se sbíhá každá slabě konvergentní posloupnost funkcionálů rovnoměrně zapnuto${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle S \ subseteq X}$${\ Displaystyle S.}$

Interakce s konvexitou

• Vyvážený trup z zcela ohraničené podmnožiny topologického vektorového prostoru je opět totálně omezený.
• Minkowského součet dvou kompaktních (zcela ohraničených) sady je kompaktní (resp. Totálně omezený).
• V místně konvexním (Hausdorffově) prostoru je konvexní trup a diskový trup zcela ohraničené množiny zcela ohraničen tehdy a jen tehdy, je -li úplný.${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K}$

Viz také

• Kompaktní prostor
• Lokálně kompaktní prostor
• Míra nekompaktnosti
• Ortokompaktní prostor
• Parakompaktní prostor
• Relativně kompaktní podprostor

Reference

Bibliografie