Sesquilinear forma - Sesquilinear form

V matematice , je sesquilinear forma je zobecnění bilineární formy , který, podle pořadí, je zobecněním pojmu skalární součin z euklidovském prostoru . Bilineární forma je lineární v každém ze svých argumentů, ale sesquilineární forma umožňuje, aby byl jeden z argumentů „zkroucen“ poloilineárním způsobem, tedy i název; který pochází z latinské číselné předpony sesqui, což znamená „jeden a půl“. Základní koncept tečkového produktu - produkující skalár z dvojice vektorů - lze zobecnit povolením širšího rozsahu skalárních hodnot a případně současně rozšířením definice vektoru.

Motivující Zvláštním případem je sesquilinear forma na komplexním vektorovém prostoru , $V$ . Toto je mapa $V \times V \to C,$ která je lineární v jednom argumentu a „překrucuje“ linearitu druhého argumentu komplexní konjugací ( v druhém argumentu označována jako antilineární ). Tento případ přirozeně vyvstává v aplikacích matematické fyziky. Další důležitý případ umožňuje, aby skaláry pocházely z jakéhokoli pole a twist zajišťuje polní automorfismus .

Aplikace v projektivní geometrii vyžaduje, aby skaláry pocházely z dělícího prstence (šikmé pole), $K$ , což znamená, že „vektory“ by měly být nahrazeny prvky $K-$ modulu . Ve velmi obecném nastavení, sesquilinear formy mohou být definovány přes $R$ -modules pro libovolné kroužky $R$ .

Neformální úvod

Sesquilineární formy abstraktní a zobecňují základní představu o hermitovské formě na komplexním vektorovém prostoru . Hermitovské formy jsou běžně vidět ve fyzice jako vnitřní produkt ve složitém Hilbertově prostoru . V takových případech je standardní hermitovská forma na $C n$ dána vztahem

{\ displaystyle \ langle w, z \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ overline {w}} _ {i} z_ {i}.}

kde označuje komplexně sdružená z tohoto produktu mohou být zobecněny na situace, kdy jeden se nepracuje s ortonormální báze pro $C$ $n$ , nebo dokonce vůbec žádné základě vůbec. Vložením dalšího faktoru do produktu získáme zkreslenou Hermitovu formu , přesněji definovanou níže. Neexistuje žádný zvláštní důvod omezit definici na komplexní čísla; to může být definováno pro libovolné prsteny nesoucí antiautomorfismus , neformálně chápané jako zobecněný koncept „komplexní konjugace“ pro prsten. ${\ displaystyle {\ overline {w}} _ {i}}$ ${\ displaystyle w_ {i} ~.}$ ${\ displaystyle i}$

Konvence

Konvence se liší, pokud jde o to, který argument by měl být lineární. V komutativním případě vezmeme první lineární, jak je běžné v matematické literatuře, s výjimkou části věnované sesquilineárním formám na komplexních vektorových prostorech. Tam použijeme druhou konvenci a první argument považujeme za konjugovaný-lineární (tj. Antilineární) a druhý za lineární. Toto je konvence používaná většinou fyziky a pochází z Diracova zápisu v braetonu v kvantové mechanice .

V obecnějším nekomutativním nastavení s pravými moduly považujeme druhý argument za lineární a u levých modulů za první argument lineární.

Složité vektorové prostory

Předpoklad : V této části jsou sesquilineární formy antilineární ve svém prvním argumentu a lineární ve svém druhém argumentu .

V komplexním vektorovém prostoru je mapa sesquilineární, pokud ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ varphi: V \ krát V \ až \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} & \ varphi (x + y, z + w) = \ varphi (x, z) + \ varphi (x, w) + \ varphi (y, z) + \ varphi (y , w) \\ & \ varphi (ax, by) = {\ overline {a}} b \, \ varphi (x, y) \ end {zarovnáno}}}

pro všechny a všechny Tady je komplexní konjugát skaláru ${\ displaystyle x, y, z, w \ ve V}$ ${\ displaystyle a, b \ in \ mathbb {C}.}$ ${\ displaystyle {\ overline {a}}}$ ${\ displaystyle a.}$

Složitou sesquilineární formu lze také zobrazit jako komplexní bilineární mapu

{\ displaystyle {\ overline {V}} \ krát V \ to \ mathbb {C}}

kde je komplexně sdružená vektorový prostor k Do univerzální vlastnost z tensor produktů se jedná o v n na jedné korespondenci s komplexními lineárních map

{\ displaystyle {\ overline {V}}}

{\ displaystyle V.}

{\ displaystyle {\ overline {V}} \ mnohokrát V \ to \ mathbb {C}.}

Pro pevnou mapu je

lineární funkční on (tj. Prvek dvojího prostoru ). Podobně, mapa je konjugát lineární funkční na

{\ displaystyle z \ ve V}

{\ displaystyle w \ mapsto \ varphi (z, w)}

{\ displaystyle V}

{\ displaystyle V ^ {*}}

{\ displaystyle w \ mapsto \ varphi (w, z)}

{\ displaystyle V.}

Vzhledem k tomu jakýkoliv komplex sesquilinear forma na můžeme definovat druhý komplexní sesquilinear formulář přes

konjugovat přemístit :

{\ displaystyle \ varphi}

{\ displaystyle V}

{\ displaystyle \ psi}

{\ displaystyle \ psi (w, z) = {\ overline {\ varphi (z, w)}}}

Obecně a bude se lišit. Pokud jsou stejné, pak se o nich říká, že jsou poustevníci . Pokud jsou navzájem negativy, pak se říká, že jsou pokřivené-Hermitian . Každá sesquilineární forma může být zapsána jako součet hermitovské formy a šikmo-hermitské formy.

{\ displaystyle \ psi}

{\ displaystyle \ varphi}

{\ displaystyle \ varphi}

{\ displaystyle \ varphi}

Maticová reprezentace

Pokud je konečná-rozměrný komplexní vektorový prostor, pak vzhledem k jakémukoliv

základě z na sesquilinear formy je reprezentován maticí podle sloupce vektoru a podle sloupce vektoru :

{\ displaystyle V}

{\ displaystyle \ left \ {e_ {i} \ right \} _ {i}}

{\ displaystyle V,}

{\ displaystyle \ Phi,}

{\ displaystyle w}

{\ displaystyle w,}

{\ displaystyle z}

{\ displaystyle z}

{\ displaystyle \ varphi (w, z) = \ varphi \ left (\ sum _ {i} w_ {i} e_ {i}, \ sum _ {j} z_ {j} e_ {j} \ right) = \ součet _ {i} \ sum _ {j} {\ overline {w_ {i}}} z_ {j} \ varphi \ left (e_ {i}, e_ {j} \ right) = {\ overline {w}} ^ {\ mathrm {T}} \ Phi z.}

Složky jsou dány

{\ displaystyle \ Phi}

{\ displaystyle \ Phi _ {ij}: = \ varphi \ left (e_ {i}, e_ {j} \ right).}

Poustevnická forma

Termín Hermitian forma může také odkazovat na jiný koncept, než je vysvětleno níže: může odkazovat na určitou diferenciální formu na Hermitian potrubí .

Složitá hermitovská forma (nazývaná také symetrická seskvilineární forma ), je seskvilineární forma taková, že ${\ displaystyle h: V \ krát V \ až \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle h (w, z) = {\ overline {h (z, w)}}.}

Standardní hermitovský tvar je dán (opět pomocí „fyzikální“ konvence linearity ve druhé a konjugované linearity v první proměnné)

{\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}

{\ displaystyle \ langle w, z \ rangle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ overline {w}} _ {i} z_ {i}.}

Obecněji řečeno, vnitřní produkt v jakémkoli komplexním Hilbertově prostoru je hermitovská forma.

V hermitovské formě je zavedeno znaménko minus k definování skupiny

SU (1,1) .

{\ displaystyle ww ^ {*} - zz ^ {*}}

Vektorový prostor s hermitovskou formou se nazývá

hermitovský prostor .

{\ displaystyle (V, h)}

Maticová reprezentace komplexní hermitovské formy je hermitovská matice .

Složitá hermitovská forma aplikovaná na jediný vektor

{\ displaystyle | z | _ {h} = h (z, z)}

je vždy skutečné číslo . Lze ukázat, že komplexní sesquilineární forma je Hermitian právě tehdy, když je přidružená kvadratická forma skutečná pro všechny

{\ displaystyle z \ ve V.}

Skew-Hermitian forma

Složitá šikmo-hermitovská forma (nazývaná také antisymetrická seskvilineární forma ), je komplexní sesquilineární forma taková, že ${\ displaystyle s: V \ krát V \ to \ mathbb {C}}$

{\ displaystyle s (w, z) = - {\ overline {s (z, w)}}.}

Každá složitá šikmo-hermitovská forma může být zapsána jako imaginární jednotka krát hermitovská forma.

{\ displaystyle i: = {\ sqrt {-1}}}

Maticová reprezentace složité šikmo-hermitovské formy je šikmo-hermitovská matice .

Složitá šikmo-hermitovská forma aplikovaná na jediný vektor

{\ displaystyle | z | _ {s} = s (z, z)}

je vždy čistě imaginární číslo .

Přes divizní kruh

Tato část se vztahuje beze změny, když rozdělení ring $K$ je komutativní . Pak platí také konkrétnější terminologie: dělicí kruh je pole, antiautomorfismus je také automorfismus a pravý modul je vektorový prostor. Následující text se týká levého modulu s vhodným přeuspořádáním výrazů.

Definice

$Å$ -sesquilinear forma přes pravý $K$ -module $M$ je bi-přísada mapa $φ : M x M \to K$ s přidruženým proti automorphism $å$ části dělení kruhu $K$ tak, že pro všechna $x, y$ v $M$ a všechny $alfa, β$ v $K$ ,

{\ displaystyle \ varphi (x \ alfa, y \ beta) = \ sigma (\ alfa) \, \ varphi (x, y) \, \ beta.}

Přidružený anti-automorfismus $σ$ pro jakoukoli nenulovou sesquilineární formu $φ$ je jednoznačně určen $φ$ .

Ortogonalita

Vzhledem k tomu, sesquilinear formuláře $cp$ přes modul $M$ a podprostoru ( submodul ) $W$ z $M$ , pro ortogonální doplněk z $W$ s ohledem na $φ$ je

{\ displaystyle W ^ {\ perp} = \ {\ mathbf {v} \ in M ​​\ mid \ varphi (\ mathbf {v}, \ mathbf {w}) = 0, \ \ forall \ mathbf {w} \ in W \}.}

Podobně, $x \in M$ je kolmá k $y \in M$ s ohledem na $cp$ , které $x ⊥ φ y$ (nebo jednoduše $x ⊥ y$ -li $φ$ lze odvodit z kontextu), když $φ (x, y) = 0$ . Tento vztah nemusí být symetrický , tj. $X ⊥ y$ neznamená $y ⊥ x$ (ale viz § Reflexivita níže).

Reflexivita

Sezquilineární forma $φ$ je reflexivní, pokud pro všechna $x, y$ v $M$ ,

{\ displaystyle \ varphi (x, y) = 0}

naznačuje

{\ displaystyle \ varphi (y, x) = 0.}

To znamená, že sesquilineární forma je reflexivní přesně tehdy, když je odvozený vztah ortogonality symetrický.

Hermitovské variace

$Σ$ -sesquilinear forma $φ$ se nazývá $(σ, ε)$ -Hermitian pokud existuje $ε$ v $K$ tak, že pro všechna $x, y$ v $M$ ,

{\ displaystyle \ varphi (x, y) = \ sigma (\ varphi (y, x)) \, \ varepsilon.}

Pokud $ε = 1$ , forma se nazývá $σ$ - Hermitian , a pokud $ε = -1$ , nazývá se $σ$ - anti-Hermitian . (Když je implikováno $σ$ , jednoduše Hermitian nebo anti-Hermitian .)

Z nenulové $(σ, ε)$ -hermitovské formy vyplývá, že pro všechna $α$ v $K$ ,

{\ displaystyle \ sigma (\ varepsilon) = \ varepsilon ^ {- 1}}

{\ displaystyle \ sigma (\ sigma (\ alfa)) = \ varepsilon \ alpha \ varepsilon ^ {- 1}.}

Z toho také vyplývá, že $φ (x, x)$ je pevným bodem mapy $α \mapsto σ (α) ε$ . Pevné body této mapě z podskupiny z aditivní skupiny z $K$ .

A $(σ, ε)$ -hermitská forma je reflexivní a každá reflexní $σ$ -sequilineární forma je $(σ, ε)$ -hermitská pro některá $ε$ .

Ve zvláštním případě, že $σ$ je mapa identity (tj. $Σ = id$ ), $K$ je komutativní, $φ$ je bilineární forma a $ε 2 = 1$ . Pak pro $ε = 1$ se bilineární forma nazývá symetrická a pro $ε = -1$ se nazývá zkosená symetrická .

Příklad

Nechť $V$ je trojrozměrný vektorový prostor nad konečným polem $F = GF (q 2)$ , kde $q$ je primární síla . Pokud jde o standardní základnu, můžeme napsat $x = (x 1, x 2, x 3)$ a $y = (y 1, y 2, y 3)$ a definovat mapu $φ$ pomocí:

{\ displaystyle \ varphi (x, y) = x_ {1} y_ {1} {} ^ {q} + x_ {2} y_ {2} {} ^ {q} + x_ {3} y_ {3} { } ^ {q}.}

Mapa $σ : t \mapsto t q$ je involutory automorphism $F$ . Mapa $φ$ je pak $σ$ -sequilineární forma. Matice $M φ$ spojená s touto formou je matice identity . Toto je poustevnická forma.

V projektivní geometrii

Předpoklad : V této části jsou sesquilineární formy antilineární (resp. Lineární ) ve svém druhém (resp. Prvním) argumentu.

V projektivní geometrii $G$ je permutace $δ$ podprostorů, které invertují inkluzi, tj

S \subseteq T \Rightarrow T δ \subseteq S δ

pro všechny podprostory

S

,

T

z

G

,

se nazývá korelace . Výsledek Birkhoffa a von Neumanna (1936) ukazuje, že korelace desarguesovských projektivních geometrií odpovídají nedgenerovaným seskvilineárním formám na podkladovém vektorovém prostoru. Sezquilineární forma $φ$ je nedegenerovaná, pokud $φ (x, y) = 0$ pro všechna $y$ ve $V$ (pokud a), pouze pokud $x = 0$ .

Aby se dosáhlo úplné obecnosti tohoto tvrzení a protože každá desarguesiánská projektivní geometrie může být koordinována dělícím prstencem , rozšířil Reinhold Baer definici sesquilineární formy na dělící prstenec, který vyžaduje nahrazení vektorových prostorů $R-$ moduly . (V geometrické literatuře se o nich stále hovoří jako o levém nebo pravém vektorovém prostoru nad zkosenými poli.)

Přes libovolné kroužky

Specializace výše uvedené sekce na šikmá pole byla důsledkem aplikace na projektivní geometrii a nebyla podstatou povahy sesquilineárních forem. K zobecnění verze definice libovolného pole definice na libovolné prstence jsou nutné pouze drobné úpravy potřebné k zohlednění nekomutativity násobení.

Nechť $R$ být kruh , $V$ $R$ - modul a $å$ je antiautomorphism z $R$ .

Mapa $φ : V \times V \to R$ je $σ$ -sequilineární, pokud

{\ displaystyle \ varphi (x + y, z + w) = \ varphi (x, z) + \ varphi (x, w) + \ varphi (y, z) + \ varphi (y, w)}

{\ displaystyle \ varphi (cx, dy) = c \, \ varphi (x, y) \, \ sigma (d)}

pro všechny $x, y, z,, w$ v $V$ a všechny $c, d$ v $R$ .

Prvek $x$ je kolmý k jinému prvku $y$ vzhledem k sesquilineárnímu tvaru $φ$ (zapsáno $x ⊥ y$ ), pokud $φ (x, y) = 0$ . Tento vztah nemusí být symetrický, tj. $X ⊥ y$ neznamená $y ⊥ x$ .

Sesquilinear forma $φ : V x V \to R$ je reflexivní (nebo orthosymmetric ) v případě, $cp (x, y) = 0$ znamená, $φ (y, x) = 0$ pro všechna $x, y$ v $V$ .

Sezquilineární forma $φ : V \times V \to R$ je Hermitian, pokud existuje $σ$ takové, že

{\ displaystyle \ varphi (x, y) = \ sigma (\ varphi (y, x))}

pro všechny $x, y$ v $V$ . Hermitovská forma je nutně reflexivní, a pokud je nenulová, přidružený antiautomorfismus $σ$ je involuce (tj. Řádu 2).

Protože pro antiautomorfismus $σ$ máme $σ (st) = σ (t) σ (s)$ pro všechna $s, t$ v $R$ , pokud $σ = id$ , pak $R$ musí být komutativní a $φ$ je bilineární forma. Zejména, pokud je v tomto případě $R$ skewfield, pak $R$ je pole a $V$ je vektorový prostor s bilineární formou.

Antiautomorphism $σ : R \to R$ může být také nahlíženo jako na izomorfizmu $R \to R op$ , kde $R op$ je opačný kruh z $R$ , která má stejnou základní sadu a stejný přírůstek, ale jejichž násobení provoz ( $*$ ), je definován

*

b

=

ba

, kde se produkt na pravé straně je produkt v

R

. Z toho vyplývá, že pravý (levý)

R-

modul

V

lze přeměnit na levý (pravý)

R

op-

modul,

V

o

. To znamená, že forma sesquilinear

φ

:

V

x

V

\to

R

je možno pohlížet jako na bilineární forma

cp

':

V

x

V

o

\to

R

.

Viz také

*-prsten

Poznámky

Reference

Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977), Linear Geometry (2. vyd.), Springer, ISBN 0-387-90227-9
Jacobson, Nathan J. (2009) [1985], Basic Algebra I (2. vyd.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

externí odkazy

„Sesquilinear form“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects