Birch a Swinnerton -Dyer dohady - Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

V matematiky se Birch a Swinnerton-Dyer domněnka popisuje soubor racionálních řešení rovnic definujících eliptickou křivku . Je to otevřený problém v oblasti teorie čísel a je široce uznáván jako jeden z nejnáročnějších matematických problémů. Pojmenována je podle matematiků Bryana Johna Birche a Petera Swinnertona-Dyera , kteří v první polovině 60. let vyvinuli dohady pomocí strojového výpočtu. Od roku 2021 byly prokázány pouze zvláštní případy dohadů.

Moderní formulace dohadů uvádí aritmetická data spojená s eliptickou křivkou E v číselném poli K do chování L -funkce Hasse – Weil L ( E ,  s ) z E při s  = 1. Konkrétněji se jedná o dohady že pořadí v abelian skupiny E ( k ) bodů E je pořadí nuly L ( E ,  y ) na s = 1, a první nenulový koeficient v Taylorova rozvoje z L ( E ,  s ) při s = 1 je dáno upřesněnými aritmetickými daty připojenými k E nad K ( Wiles 2006 ).

Dohad byl vybrán jako jeden ze sedmi problémů s cenou tisíciletí uvedených Clay Mathematics Institute , který nabídl cenu 1 000 000 $ za první správný důkaz.

Pozadí

Mordell (1922) prokázal Mordellovu větu : skupina racionálních bodů na eliptické křivce má konečný základ . To znamená, že pro jakoukoli eliptickou křivku existuje konečná podmnožina racionálních bodů na křivce, ze které lze generovat všechny další racionální body.

Pokud je počet racionálních bodů na křivce nekonečný, pak nějaký bod v konečném základě musí mít nekonečné pořadí. Počet nezávislých bazických bodů s nekonečným řádem se nazývá hodnost křivky a je důležitou invariantní vlastností eliptické křivky.

Pokud je hodnost eliptické křivky 0, pak má křivka pouze konečný počet racionálních bodů. Na druhou stranu, pokud je hodnost křivky větší než 0, pak má křivka nekonečný počet racionálních bodů.

Ačkoli Mordellova věta ukazuje, že hodnost eliptické křivky je vždy konečná, nedává efektivní metodu pro výpočet hodnosti každé křivky. Hodnost určitých eliptických křivek lze vypočítat pomocí numerických metod, ale (za současného stavu znalostí) není známo, zda tyto metody zpracovávají všechny křivky.

L -function L ( E ,  to ), může být definována pro eliptické křivky E sestavením produktu Euler z počtu bodů na křivce modulo každé hlavní straně . Tato funkce L je analogická s funkcí Riemann zeta a Dirichletovou řadou L, která je definována pro binární kvadratickou formu . Jedná se o speciální případ funkce L Hasse-Weila .

Přirozená definice L ( E ,  s ) konverguje pouze pro hodnoty s v komplexní rovině s Re ( s )> 3/2. Helmut Hasse předpokládal, že L ( E ,  s ) by bylo možné rozšířit analytickým pokračováním do celé komplexní roviny. Tuto domněnku poprvé prokázal Deuring (1941) pro eliptické křivky se složitým násobením . Následně se ukázalo, že to platí pro všechny eliptické křivky nad Q , v důsledku věty o modularitě .

Najít racionální body na obecné eliptické křivce je obtížný problém. Hledání bodů na eliptické křivce modulo dané primární p je koncepčně jednoduché, protože existuje jen konečný počet možností, které je možné zkontrolovat. U velkých prvočísel je to však výpočetně náročné.

Dějiny

Na počátku šedesátých let Peter Swinnerton-Dyer použil počítač EDSAC-2 na počítačové laboratoři University of Cambridge k výpočtu počtu bodů modulo p (označených N _p ) pro velký počet prvočísel p na eliptických křivkách, jejichž hodnost byla známa. Z těchto numerických výsledků Birch & Swinnerton-Dyer (1965) usoudil, že N _p pro křivku E s hodností r dodržuje asymptotický zákon

${\ Displaystyle \ prod _ {p \ leq x} {\ frac {N_ {p}} {p}} \ cca C \ log (x)^{r} {\ mbox {as}} x \ rightarrow \ infty}$

kde C je konstanta.

Zpočátku to bylo založeno na poněkud slabých trendech v grafických grafech; to v JWS Cassels (Birchův Ph.D. poradce) vyvolalo jistou míru skepse . Postupem času se hromadily číselné důkazy.

To je následně vedlo k obecné domněnce o chování L-funkce křivky L ( E ,  s ) v s = 1, konkrétně že by v tomto bodě měla nulu řádu r . To byl na tu dobu prozíravý odhad, vzhledem k tomu, že analytické pokračování L ( E ,  s ) tam bylo stanoveno pouze pro křivky se složitým násobením, které byly také hlavním zdrojem numerických příkladů. (Pozn., Že převrácená funkce L je z některých hledisek přirozenějším předmětem studia; příležitostně to znamená, že bychom měli uvažovat spíše o pólech než o nulách.)

Dohad byl následně rozšířen o predikci přesného vedoucího Taylorova koeficientu L-funkce při s  = 1. Je to dohadně dané

${\ Displaystyle {\ frac {L^{(r)} (E, 1)} {r!}} = {\ frac {\#\ mathrm {Sha} (E) \ Omega _ {E} R_ {E} \ prod _ {p | N} c_ {p}} {(\#E _ {\ mathrm {Tor}})^{2}}}}$

kde veličiny na pravé straně jsou invarianty křivky, studované Casselsem, Tateem , Shafarevichem a dalšími: patří sem pořadí torzní skupiny , pořadí skupiny Tate -Shafarevich a kanonické výšky základu racionální body ( Wiles 2006 ).

Aktuální stav

Graf křivky y ²  =  x ³  - 5 x, protože X se mění v průběhu prvních 100 000 prvočísel. X aretačním kroužkem je log (log ( X )), a Y aretačním kroužkem je v logaritmickém měřítku, takže hypotéza předpokládá, že údaje by měly tvořit linie sklonu rovná hodnosti křivky, která je v tomto případě 1. Pro srovnání je do grafu nakreslena červená čára sklonu 1.${\ Displaystyle \ prod _ {p \ leq X} {\ frac {N_ {p}} {p}}}$

Dohady o Birch a Swinnerton-Dyer byly prokázány pouze ve zvláštních případech:

1. Coates a Wiles (1977) ukázaly, že pokud E je křivka přes pole číslo F s komplexním násobením pomocí imaginární kvadratické těleso K z třídy číslo 1, F = K nebo Q a L ( E , 1) není 0, pak E ( F ) je konečná skupina. Tato byla rozšířena na případ, kdy F je jakýkoliv konečný abelian rozšíření o K o Arthaud (1978) .
2. Gross & Zagier (1986) ukázali, že pokud má modulární eliptická křivka nulu prvního řádu při s = 1, pak má racionální bod nekonečného řádu; viz Gross – Zagierova věta .
3. Kolyvagin (1989) ukázal, že modulární eliptická křivka E, pro kterou L ( E , 1) není nula, má hodnotu 0 a modulární eliptická křivka E, pro kterou L ( E , 1) má nulu prvního řádu při s = 1 má hodnost 1.
4. Rubin (1991) ukázal, že pro eliptické křivky definované v imaginárním kvadratickém poli K s komplexním násobením K , pokud L -série eliptické křivky nebyla nulová při s = 1, pak p -část skupiny Tate – Shafarevich mělo pořadí předpovězené Birchovou a Swinnerton-Dyerovou domněnkou, pro všechny prvočísla p > 7.
5. Breuil a kol. (2001) , probíhající práce Wiles (1995) , se ukázalo, že všechny eliptické křivky definované nad racionální čísla jsou modulární , což rozšiřuje výsledky # 2 a # 3 pro všechny eliptických křivek nad rationals, a ukazuje, že L -functions ze všech eliptické křivky přes Q jsou definovány v s = 1.
6. Bhargava & Shankar (2015) dokázali, že průměrná pozice skupiny Mordell – Weil eliptické křivky nad Q je ohraničena výše 7/6. V kombinaci s p-parity věty o Nekovář (2009) a Dokchitser & Dokchitser (2010) a s dokladem o hlavní domněnky teorie Iwasawa pro GL (2) Skinner & Urban (2014) došli k závěru, že pozitivní část eliptických křivek nad Q mají analytickou pozici nula, a proto podle Kolyvagina (1989) splňují Birchovu a Swinnerton-Dyerovu domněnku.

U křivek s hodností větší než 1 nebylo prokázáno nic, přestože pro pravdivost dohadů existují rozsáhlé číselné důkazy.

Důsledky

Podobně jako Riemannova hypotéza má tato domněnka několik důsledků, včetně následujících dvou:

• Nechť n je liché celé číslo bez čtverců . Za předpokladu Birchovy a Swinnerton-Dyerovy domněnky je n plocha pravoúhlého trojúhelníku s racionálními délkami stran ( shodné číslo ) právě tehdy, když počet trojic celých čísel ( x , y , z ) splňuje 2 x ² + y ² + 8 z ² = n je dvojnásobek počtu trojic uspokojujících 2 x ² + y ² + 32 z ² = n . Toto tvrzení, vzhledem k Tunnellově větě ( Tunnell 1983 ), souvisí se skutečností, že n je shodné číslo právě tehdy, když eliptická křivka y ² = x ³ - n ² x má racionální bod nekonečného řádu (tedy pod Birch a Swinnerton -Dyer dohady, jeho L -funkce má nulu na 1 ). Zajímavostí tohoto prohlášení je, že podmínku lze snadno ověřit.
• V jiném směru umožňují některé analytické metody odhad řádu nula ve středu kritického pásu rodin L -funkcí. Tyto odhady připouštějí dohady o BSD a odpovídají informacím o hodnosti rodin dotyčných eliptických křivek. Například: předpokládejme zobecněnou Riemannovu hypotézu a BSD dohad, průměrná hodnota křivek daná y ² = x ³ + ax + b je menší než 2 .

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Swinnerton-Dyerova domněnka“ . MathWorld .
• „Birch a Swinnerton-Dyer dohad“ . PlanetMath .
• Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture : An Interview with Professor Henri Darmon by Agnes F. Beaudry
• Co je to Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture? přednáška Manjula Bhargavy (září 2016) během konference o jílovém výzkumu na univerzitě v Oxfordu