Bispinor - Bispinor

V fyziky , konkrétně v kvantové teorie pole , je Bispinorové , je matematická konstrukce, který se používá k popisu některých základních částic v přírodě , včetně kvarků a elektronů . Jedná se o specifické provedení spinoru , speciálně konstruované tak, aby bylo v souladu s požadavky speciální relativity . Bispinors se transformují určitým „spinorálním“ způsobem působením skupiny Lorentz , která popisuje symetrii časoprostoru Minkowski . Vyskytují se v relativistických řešeních spinové ½ vlnové funkce Diracovy rovnice .

Bispinors se tak nazývají proto, že jsou konstruovány ze dvou dílčích jednodušší spinors, na Weyl spinors . Každý ze dvou komponentních spinorů se transformuje odlišně podle dvou odlišných komplexně-konjugovaných spin-1/2 reprezentací Lorentzovy skupiny. Toto párování má zásadní význam, protože umožňuje reprezentované částici mít hmotnost , nést náboj a představovat tok náboje jako proud , a možná nejdůležitější je nést moment hybnosti . Přesněji řečeno, hmota je kazimírský invariant Lorentzovy skupiny (vlastní stav energie), zatímco kombinace vektorů nese hybnost a proud, přičemž je kovarianční pod působením Lorentzovy skupiny. Moment hybnosti je přenášen Poyntingovým vektorem , vhodně konstruovaným pro rotační pole.

Bispinorové je více či méně „totéž“ jako Dirac spinor . Zde používaná konvence spočívá v tom, že článek o Diracově spinoru představuje řešení rovinné vlny Diracovy rovnice pomocí Diracovy konvence pro gama matice . To znamená, že Diracův spinor je bispinorem v Diracově konvenci. Níže uvedený článek se naopak soustředí primárně na Weyl, neboli chirální reprezentaci, je méně zaměřen na Diracovu rovnici a více se zaměřuje na geometrickou strukturu, včetně geometrie Lorentzovy skupiny . Hodně z toho, co je uvedeno níže, lze tedy použít na Majoranovu rovnici .

Definice

Bispinors jsou prvky 4-rozměrný komplexu vektorového prostoru (půl, 0) ⊕ (0, ½) reprezentace ze skupiny Lorentz .

Na bázi Weylu, bispinor

${\ Displaystyle \ psi = \ left ({\ begin {array} {c} \ psi _ {\ rm {L}} \\\ psi _ {\ rm {R}} \ end {array}} \ right)}$

Skládá se ze dvou (dvousložkové) Weyl spinors a které transformace, odpovídajícím způsobem, na základě (půl, 0) a (0, půl) reprezentace skupiny (skupiny Lorentz bez paritní transformací ). Při transformaci parity se Weylovy spirály transformují do sebe. ${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {L}}}$${\ displaystyle \ psi _ {\ rm {R}}}$${\ displaystyle \ mathbf {SO} (1,3)}$

Dirac bispinor je spojen s Weyl bispinor jednotnou transformací na Diracův základ ,

${\ Displaystyle \ psi \ rightarrow {1 \ over {\ sqrt {2}}} \ left [{\ begin {array} {cc} 1 & 1 \\-1 & 1 \ end {array}} \ right] \ psi = {1 \ over {\ sqrt {2}}} \ left ({\ begin {array} {c} \ psi _ {\ rm {R}}+\ psi _ {\ rm {L}} \\\ psi _ {\ rm {R}}-\ psi _ {\ rm {L}} \ end {array}} \ right).}$

Diracovský základ je v literatuře nejpoužívanější.

Výrazy pro Lorentzovy transformace bispinorů

Pole bispinoru se transformuje podle pravidla ${\ Displaystyle \ psi (x)}$

${\ Displaystyle \ psi^{a} (x) \ to {\ psi^{\ prime}}^{a} \ left (x^{\ prime} \ right) = S [\ Lambda] _ {b}^ {a} \ psi ^{b} \ left (\ Lambda ^{-1} x ^{\ prime} \ right) = S [\ Lambda] _ {b} ^{a} \ psi ^{b} (x )}$

kde je Lorentzova transformace . Zde jsou souřadnice fyzických bodů transformovány podle , zatímco matice je prvkem reprezentace spinoru (pro spin 1/2 ) Lorentzovy skupiny. ${\ Displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle x^{\ prime} = \ Lambda x}$${\ displaystyle S}$

Na základě Weylu jsou explicitní transformační matice pro boost a pro rotaci následující: ${\ displaystyle \ Lambda _ {\ rm {boost}}}$${\ displaystyle \ Lambda _ {\ rm {rot}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} S [\ Lambda _ {\ rm {boost}}] & = \ left ({\ begin {array} {cc} e^{+\ chi \ cdot \ sigma /2} & 0 \\ 0 & e^{-\ chi \ cdot \ sigma /2} \ end {array}} \ right) \\ S [\ Lambda _ {\ rm {rot}}] & = \ left ({\ begin {array} {cc} e^{+i \ phi \ cdot \ sigma /2} & 0 \\ 0 & e^{+i \ phi \ cdot \ sigma /2} \ end {array}} \ right) \ end {zarovnaný}}}$

Zde je parametr zesílení a představuje rotaci kolem osy. jsou matice Pauli . Exponenciální je exponenciální mapa , v tomto případě maticová exponenciální definovaná vložením matice do obvyklých mocninných řad pro exponenciální funkci. ${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ phi ^{i}}$${\ displaystyle x^{i}}$${\ displaystyle \ sigma _ {i}}$

Vlastnosti

Bilineární forma z bispinors může být snížena na pět nesnížitelná (v rámci skupiny Lorentz) Předměty:

1. skalární ,  ;${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} \ psi}$
2. pseudo-skalární ,  ;${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^{5} \ psi}$
3. vektor ,  ;${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^{\ mu} \ psi}$
4. pseudo-vektor ,  ;${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ gamma ^{\ mu} \ gamma ^{5} \ psi}$
5. antisymmetric tensor , ,${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ left (\ gamma ^{\ mu} \ gamma ^{\ nu}-\ gamma ^{\ nu} \ gamma ^{\ mu} \ right) \ psi}$

kde a jsou gama matice . Těchto pět veličin je vzájemně propojeno Fierzovými identitami . Jejich hodnoty jsou použity v klasifikaci Lounesto spinorových polí různých typů spinorů, z nichž je bispinor pouze jedním; ostatní jsou stožár (jehož zvláštním případem je spinor Majorana ), vlajkový dipól a weylový spinor . Stožár, vlajkový dipól a Weylovy spinory mají nulovou hmotnost a pseudoskalární pole; stožár má navíc nulové pseudovektorové pole, zatímco Weylovy spinory mají nulový antisymetrický tenzor (nulové „pole hybnosti“). ${\ Displaystyle {\ bar {\ psi}} \ equiv \ psi ^{\ dagger} \ gamma ^{0}}$${\ Displaystyle \ left \ {\ gamma ^{\ mu}, \ gamma ^{5} \ right \}}$

Z nich lze sestavit vhodný Lagrangian pro relativistické pole spin-½, který je uveden jako

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} = {i \ over 2} \ left ({\ bar {\ psi}} \ gamma ^{\ mu} \ částečná _ {\ mu} \ psi -\ částečná _ {\ mu} {\ bar {\ psi}} \ gamma ^{\ mu} \ psi \ right) -m {\ bar {\ psi}} \ psi \ ;.}$

Diracova rovnice lze odvodit z této lagrangiánu pomocí Euler-Lagrange rovnice .

Odvození reprezentace bispinoru

Úvod

Tento obrys popisuje jeden typ bispinorů jako prvky konkrétního reprezentačního prostoru (½, 0) ⊕ (0, ½) reprezentace Lorentzovy skupiny. Tento reprezentační prostor souvisí, ale není totožný s (½, 0) ⊕ (0, ½) reprezentačním prostorem obsaženým v Cliffordově algebře nad Minkowského časoprostorem, jak je popsáno v článku Spinory . Jazyk a terminologie se používají jako v teorii reprezentace skupiny Lorentz . Jedinou vlastností Cliffordových algeber, která je pro prezentaci zásadní, je definující vlastnost uvedená v D1 níže. Základní prvky so (3; 1) jsou označeny M ^μν .

Mezi maticemi, které budou vybrány jako základ (jako vektorový prostor) komplexní Cliffordovy algebry v časoprostoru, se objeví reprezentace Lieovy algebry so (3; 1) Lorentzovy skupiny O (3; 1) . Tyto matice 4 × 4 jsou poté umocněny a poskytují reprezentaci SO (3; 1) ⁺ . Tato reprezentace, která se ukáže být ( 1/2, 0) ⊕ (0,1/2) reprezentace, bude působit na libovolný 4-dimenzionální komplexní vektorový prostor, který bude jednoduše brán jako C ⁴ a jeho prvky budou bispinory.

Pro srovnání, je komutační vztahy SO (3, 1) jsou

${\ Displaystyle \ left [M^{\ mu \ nu}, M^{\ rho \ sigma} \ right] = i \ left (\ eta^{\ sigma \ mu} M^{\ rho \ nu}+\ eta ^{\ nu \ sigma} M ^{\ mu \ rho}-\ eta ^{\ rho \ mu} M ^{\ sigma \ nu}-\ eta ^{\ nu \ rho} M ^{\ mu \ sigma} \ right)}$

( M1 )

s časoprostorovou metrikou η = diag (−1,1,1,1) .

Gama matice

Označme γ ^μ množinu čtyř 4-dimenzionálních gama matic, zde nazývaných Diracovy matice . Matrice Dirac uspokojují

${\ Displaystyle \ left \ {\ gamma ^{\ mu}, \ gamma ^{\ nu} \ right \} = 2 \ eta ^{\ mu \ nu} I_ {4},}$

( D1 )

kde {,} je anticommutator , I ₄ je 4 × 4 jednotková matice a η ^μν je časoprostorová metrika s podpisem (+, -, -, -). Toto je definující podmínka pro generující sadu Cliffordovy algebry . Další základní prvky σ ^μν Cliffordovy algebry jsou dány vztahem

${\ Displaystyle \ sigma ^{\ mu \ nu} =-{\ frac {i} {4}} \ left [\ gamma ^{\ mu} \ gamma ^{\ nu}-\ gamma ^{\ nu} \ gama ^{\ mu} \ right].}$

( C1 )

Pouze šest matic σ ^μν je lineárně nezávislých. To vyplývá přímo z jejich definice, protože σ ^μν = - σ ^νμ . Působí na podprostor V _γ the γ ^μ span v pasivním smyslu , podle

${\ Displaystyle \ left [\ sigma ^{\ mu \ nu}, \ gamma ^{\ rho} \ right] =-i \ gamma ^{\ mu} \ eta ^{\ nu \ rho}+i \ gamma ^ {\ nu} \ eta ^{\ mu \ rho}.}$

( C2 )

V (C2) druhá rovnost vyplývá z vlastnosti (D1) Cliffordovy algebry.

Vložení algebry z lež (3; 1) do C ℓ ₄ (C)

Nyní definujte působení so (3; 1) na σ ^μν a lineární podprostor V _σ ⊂ C ℓ ₄ ( C ), které překlenují v C ℓ ₄ ( C ) ≈ M ⁿ _C , dané

${\ Displaystyle \ pi \ left (M ^{\ mu \ nu} \ right) \ left (\ sigma ^{\ rho \ sigma} \ right) = \ left [\ sigma ^{\ mu \ nu}, \ sigma ^{\ rho \ sigma} \ right] = i \ left (\ eta ^{\ sigma \ mu} \ sigma ^{\ rho \ nu}+\ eta ^{\ sigma \ nu} \ sigma ^{\ rho \ mu}-\ eta ^{\ mu \ rho} \ sigma ^{\ nu \ sigma}-\ eta ^{\ nu \ rho} \ sigma ^{\ mu \ sigma} \ right),}$.

( C4 )

Poslední rovnost v (C4) , která vyplývá z (C2) a vlastnosti (D1) gama matic, ukazuje, že σ ^μν představují reprezentaci so (3; 1), protože komutační vztahy v (C4) jsou přesně ti tak (3: 1) . Působení π (M ^μν ) lze buď považovat za ^{šestidimenzionální} matice Σ ^{μν, které} vynásobí základní vektory σ ^μν , protože prostor v M _n ( C ) překlenutý σ ^μν je ^{šestidimenzionální} , nebo o něm lze uvažovat jako akce komutací na σ ^ρσ . V následujícím ^textu π (M ^μν ) = σ ^μν

Y ^{u Stabilizátory} a å ^μν jsou oba (disjunktní) podmnožiny základních prvků C pásmy ₄ ( C ), generované čtyřrozměrného Dirakova matice y ^{u Stabilizátory} ve čtyřech rozměrech časoprostoru. Lieova algebra so (3; 1) je tedy vložena do C ℓ ₄ ( C ) o π jako skutečný podprostor C ℓ ₄ ( C ) překlenutý σ ^μν . Úplný popis zbývajících základních prvků jiných než γ ^μ a σ ^μν Cliffordovy algebry naleznete v článku Diracova algebra .

Bispinors představen

Nyní představte jakýkoli 4-dimenzionální komplexní vektorový prostor U, kde γ ^μ působí násobením matice. Zde si U = C ⁴ povede pěkně. Nechť Λ = e ^{omega _μν M μν} být Lorentzova transformace a definovat působení Lorentzovy grupy na U , aby se

${\ Displaystyle u \ rightarrow S (\ Lambda) u = e^{i \ pi (\ omega _ {\ mu \ nu} M^{\ mu \ nu})} u; \ quad u^{\ alpha} \ rightarrow [e^{\ omega _ {\ mu \ nu} \ sigma^{\ mu \ nu}}]^{\ alpha} {} _ {\ beta} u^{\ beta}.}$

Protože σ ^μν podle (C4) představuje reprezentaci so (3; 1) , indukované mapy

${\ Displaystyle S: SO (3; 1)^{+} \ rightarrow \ mathrm {GL} (U); \ quad \ Lambda \ rightarrow e^{i \ pi (X)}; \ quad e^{iX} = \ Lambda, \ quad X = \ omega _ {\ mu \ nu} M^{\ mu \ nu} \ in {\ mathfrak {so}} (3; 1)}$

( C5 )

podle obecné teorie buď je reprezentace nebo projektivní reprezentace z So (3: 1) ⁺ . Ukáže se, že jde o projektivní reprezentaci. Prvky U , pokud jsou vybaveny transformačním pravidlem daným S , se nazývají bispinory nebo jednoduše spinory .

Výběr matric Dirac

Zbývá zvolit sadu Dirac matrice γ ^{u Stabilizátory} za účelem získání reprezentace odstředění S . Jedna taková volba, vhodná pro ultrarelativistický limit , je

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ gamma ^{0} & =-i {\ biggl (} {\ begin {matrix} 0 & I \\ I & 0 \\\ end {matrix}} {\ biggr)}, \\ \ gamma ^{i} & =-i {\ biggl (} {\ begin {matrix} 0 & \ sigma _ {i} \\-\ sigma _ {i} & 0 \\\ end {matrix}} {\ biggr) }, \ quad i = 1,2,3 \\\ end {zarovnaný}}.}$

( E1 )

kde σ _i jsou Pauliho matice . V této reprezentaci generátorů Cliffordovy algebry se σ ^μν stává

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ sigma ^{i0} & = {\ frac {i} {2}} {\ biggl (} {\ begin {matrix} \ sigma _ {i} & 0 \\ 0 &-\ sigma _ {i} \\\ end {matrix}} {\ biggr)}, \\\ sigma ^{ij} & = {\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {ijk} {\ biggl (} {\ begin {matrix} \ sigma _ {k} & 0 \\ 0 & \ sigma _ {k} \\\ end {matrix}} {\ biggr)} \\\ end {zarovnaný}}.}$

( E23 )

Tato reprezentace je zjevně není nesnížitelný, protože matrice jsou všechny blokové diagonální . Ale neredukovatelností matic Pauli nelze reprezentaci dále snižovat. Protože je to 4-dimenzionální, je jedinou možností, že je (1/2, 0) ⊕ (0,1/2) reprezentace, tj. bispinorová reprezentace. Nyní pomocí receptu umocnění reprezentace Lieovy algebry k získání reprezentace SO (3; 1) ⁺ ,

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} S \ left (\ Lambda _ {B} \ right) & = e^{i \ pi (\ chi \ cdot \ mathbf {K})} = {\ biggl (} {\ začít {matrix} e^{-{\ frac {1} {2}} \ chi \ cdot \ sigma} & 0 \\ 0 & e^{{\ frac {1} {2}} \ chi \ cdot \ sigma} \\ \ end {matrix}} {\ biggr)}, \\ S \ left (\ Lambda _ {R} \ right) & = e^{i \ pi (\ phi \ cdot \ mathbf {J})} = {\ biggl (} {\ begin {matrix} e^{{\ frac {i} {2}} \ phi \ cdot \ sigma} & 0 \\ 0 & e^{{\ frac {i} {2}} \ phi \ cdot \ sigma} \\\ end {matrix}} {\ biggr)} \\\ end {aligned}},}$

( E3 )

získá se projektivní 2hodnotová reprezentace. Zde φ je vektor parametrů otáčení s 0 ≤ φ ⁱ ≤ 2π a χ je vektor parametrů zesílení . S konvencemi, které se zde používají, lze psát

${\ Displaystyle \ psi = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {R} \\\ psi _ {L} \ end {pmatrix}},}$

( E4 )

pro bispinorové pole. Zde odpovídá horní složka pravému Weylovu spinoru . Abychom do tohoto formalismu zahrnuli inverzi vesmírné parity, nastavíme jeden

${\ displaystyle \ beta = i \ gamma ^{0} = {\ biggl (} {\ begin {matrix} 0 & I \\ I & 0 \\\ end {matrix}} {\ biggr)},}$

( E5 )

jako reprezentativní pro P = diag (1, −1, −1, −1) . Je vidět, že reprezentace je neredukovatelná, když je zahrnuta inverze parity prostoru.

Příklad

Nechť X = 2 πM ¹² tak, že X generuje rotaci kolem z aretačním kroužkem o úhel 2 n . Potom Λ = e ^iX = I ∈ SO (3; 1) ⁺ ale e ^{iπ ( X )} = - I ∈ GL ( U ) . Odtud jsem označuje element identity. Pokud je místo toho vybráno X = 0 , pak stále Λ = e ^iX = I ∈ SO (3; 1) ⁺ , ale nyní e ^{iπ ( X )} = I ∈ GL ( U ) .

To ilustruje dvojí hodnotu povahy rotační reprezentace. Identita v SO (3; 1) ⁺ se mapuje na - I ∈ GL ( U ) nebo I ∈ GL ( U ) v závislosti na výběru prvku Lieovy algebry, který ji má reprezentovat. V prvním případě lze spekulovat, že otočení úhlu 2π promění bispinor na samotné minus a že k otočení bispinoru zpět do sebe vyžaduje otočení 4 π . Co se opravdu stane, je, že identita v SN (3: 1) ⁺ je mapována - I v GL ( U ) s nešťastnou volbou X .

Nelze spojitě vybrat X pro všechna g ∈ SO (3; 1) ^+, takže S je spojitá reprezentace. Předpokládejme, že jeden definuje S podél smyčky v SO (3; 1) tak, že X ( t ) = 2 πtM ¹² , 0 ≤ t ≤ 1 . Toto je uzavřená smyčka v SO (3; 1) , tj. Rotace v rozmezí od 0 do 2 π kolem z -osy pod exponenciálním mapováním, ale je to jen „polovina“ “smyčky v GL ( U ) , končící na - I. Navíc hodnota I ∈ SO (3; 1) je nejednoznačná, protože t = 0 a t = 2 π dává různé hodnoty pro I ∈ SO (3; 1) .

Diracovská algebra

Zastoupení S na bispinors navodí zastoupení tak (3: 1) ⁺ na konci ( U ) , množinu lineárních operátorů na U . Tento prostor odpovídá Cliffordově algebře samotné, takže všechny lineární operátory na U jsou jejími prvky. Tato reprezentace a způsob jejího rozkladu jako přímý součet neredukovatelných reprezentací SO (3; 1) ⁺ je popsán v článku o Diracově algebře . Jedním z důsledků je rozklad bilineárními forem na U x U . Tento rozklad naznačuje, jak spojit jakékoli pole bispinoru s jinými poli v Lagrangian, aby vznikly Lorentzovy skaláry .

Bispinors a Diracova algebra

Tyto Dirac matrice je sada čtyř 4 x 4 matice tvořící Dirac algebry , a používají se k proplétat na odstřeďování směr s místním referenčním snímku (místní souřadnicový rám časoprostoru), jakož i stanovit náboj ( C-symetrie ) , operátory parity a obrácení času .

Konvence

Existuje několik možností podpisu a reprezentace, které se běžně používají ve fyzikální literatuře. Matice Diracovy jsou typicky psány tak, že běží od 0 do 3. V tomto zápisu 0 odpovídá času a 1 až 3 odpovídá x, y a z. ${\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma ^{\ mu}}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ mu}$

Na + - - - podpis je někdy nazýván západní pobřeží metrika, zatímco - + + + je východní pobřeží metrický. V tuto chvíli je podpis + - - - v běžnějším používání a náš příklad bude používat tento podpis. Pro přepnutí z jednoho příkladu ke druhému, násobit vše od . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ gamma ^{\ mu}}$${\ displaystyle \ scriptstyle i}$

Po výběru podpisu existuje mnoho způsobů, jak vytvořit reprezentaci v maticích 4 × 4, a mnohé z nich se běžně používají. Aby byl tento příklad co nejobecnější, nebudeme specifikovat reprezentaci do posledního kroku. V té době budeme suplovat v „chirálním“ nebo Weylově zastoupení .

Konstrukce Diracova rotoru s daným směrem otáčení a nábojem

Nejprve zvolíme směr otáčení pro náš elektron nebo pozitron. Stejně jako v případě Pauliho algebry diskutované výše, směr otáčení je definován jednotkovým vektorem ve 3 rozměrech, (a, b, c). Podle konvence Peskin & Schroeder je operátor spinu pro spin ve směru (a, b, c) definován jako bodový součin (a, b, c) s vektorem

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ left (i \ gamma ^{2} \ gamma ^{3}, \; \; i \ gamma ^{3} \ gamma ^{1}, \; \; i \ gamma ^{1} \ gamma ^{2} \ right) & =-\ left (\ gamma ^{1}, \; \ gamma ^{2}, \; \ gamma ^{3} \ right) i \ gamma ^{1} \ gamma ^{2} \ gamma ^{3} \\\ sigma _ {(a, b, c)} & = ia \ gamma ^{2} \ gamma ^{3}+ib \ gamma ^ {3} \ gamma ^{1}+ic \ gamma ^{1} \ gamma ^{2} \ end {aligned}}}$

Všimněte si, že výše je kořenem jednoty , to znamená, že je čtvercem na 1. V důsledku toho z něj můžeme vytvořit operátor projekce , který promítá subalgebru Diracovy algebry, která má spin orientovaný v (a, b, c) směr:

${\ Displaystyle P _ {(a, b, c)} = {\ frac {1} {2}} \ left (1+ \ sigma _ {(a, b, c)} \ right)}$

Nyní musíme vybrat náboj, +1 (pozitron) nebo −1 (elektron). Podle konvencí Peskin & Schroeder, operátor za poplatek je , to znamená, že elektronové stavy budou mít vlastní číslo -1 vzhledem k tomuto operátorovi, zatímco pozitronové státy budou mít vlastní číslo +1. ${\ displaystyle \ scriptstyle Q \, = \,-\ gamma ^{0}}$

Všimněte si, že je to také druhá odmocnina jednoty. Navíc dojíždí s . Tvoří kompletní sadu operátorů dojíždění pro Diracovu algebru . Pokračujeme v našem příkladu a hledáme reprezentaci elektronu se spinem ve směru (a, b, c). Když se změníme na operátor projekce za poplatek = −1, máme ${\ displaystyle \ scriptstyle Q}$${\ displaystyle \ scriptstyle Q}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ sigma _ {(a, b, c)}}$${\ displaystyle \ scriptstyle Q}$

${\ Displaystyle P _ {-Q} = {\ frac {1} {2}} \ left (1-Q \ right) = {\ frac {1} {2}} \ left (1+ \ gamma ^{0} \že jo)}$

Projekční operátor pro hledaný spinor je tedy výsledkem dvou operátorů projekce, které jsme našli:

${\ Displaystyle P _ {(a, b, c)} \; P _ {-Q}}$

Výše uvedený operátor projekce při aplikaci na jakýkoli spinor poskytne tu část spinoru, která odpovídá stavu elektronů, který hledáme. Můžeme ji tedy použít na spinor s hodnotou 1 v jedné z jejích složek a 0 v ostatních, což dává sloupec matice. Pokračujeme v příkladu a vložíme (a, b, c) = (0, 0, 1) a máme

${\ Displaystyle P _ {(0,0,1)} = {\ frac {1} {2}} \ left (1+i \ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \ right)}$

a tak je náš požadovaný operátor projekce

${\ Displaystyle P = {\ frac {1} {2}} \ left (1+i \ gamma ^{1} \ gamma ^{2} \ right) \ cdot {\ frac {1} {2}} \ left (1+ \ gamma ^{0} \ right) = {\ frac {1} {4}} \ left (1+ \ gamma ^{0}+i \ gamma ^{1} \ gamma ^{2}+i \ gamma ^{0} \ gamma ^{1} \ gamma ^{2} \ right)}$

Gama matice 4 × 4 použité v Weylově reprezentaci jsou

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ gamma _ {0} & = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {bmatrix}} \\\ gamma _ {k} & = {\ begin {bmatrix} 0 & \ sigma ^{k} \\-\ sigma ^{k} & 0 \ end {bmatrix}} \ end {aligned}}}$

pro k = 1, 2, 3 a kde jsou obvyklé 2 × 2 Pauliho matice . Jejich nahrazení za P dává ${\ displaystyle \ sigma ^{i}}$

${\ Displaystyle P = {\ frac {1} {4}} {\ begin {bmatrix} 1+ \ sigma ^{3} & 1+\ sigma ^{3} \\ 1+ \ sigma ^{3} & 1+\ sigma ^ {3} \ end {bmatrix}} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}}}$

Naše odpověď je jakýkoli nenulový sloupec výše uvedené matice. Dělení dvěma je jen normalizace. První a třetí sloupec poskytují stejný výsledek:

${\ Displaystyle \ left | e^{-}, \,+{\ frac {1} {2}} \ right \ rangle = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix }}}$

Obecněji řečeno, pro elektrony a pozitrony se spinem orientovaným ve směru (a, b, c) je operátor projekce

${\ Displaystyle {\ frac {1} {4}} {\ begin {bmatrix} 1+c & a-ib & \ pm (1+c) & \ pm (a-ib) \\ a+ib & 1-c & \ pm (a +ib) & \ pm (1-c) \\\ pm (1+c) & \ pm (a-ib) & 1+c & a-ib \\\ pm (a+ib) & \ pm (1-c) & a+ib & 1-c \ end {bmatrix}}}$

kde horní značky jsou pro elektron a dolní znaky jsou pro pozitron. Odpovídající spinor může být brán jako jakýkoli nenulový sloupec. Protože různé sloupce jsou násobky stejného spinoru. Reprezentaci výsledného spinoru v Diracově bázi lze získat pomocí pravidla uvedeného v článku bispinor. ${\ Displaystyle \ scriptstyle a^{2}+b^{2}+c^{2} \, = \, 1}$

Viz také

• Dirac spinor
• Spin (3,1) je dvojitý kryt z tak (3,1) prostřednictvím skupiny spin
• Rarita – Schwingerova rovnice

Poznámky

Reference

• Caban, Paweł; Rembieliński, Jakub (5. července 2005). „Lorentz-kovariantní matice se sníženou hustotou odstřeďování a korelace Einstein-Podolsky-Rosen – Bohm“. Fyzická Aktualizace . 72 (1): 012103. arXiv : quant-ph/0507056v1 . Bibcode : 2005PhRvA..72a2103C . doi : 10,1103/physreva.72.012103 . S2CID  119105796 .
• Weinberg, S (2002), The Quantum Theory of Fields, sv. I , ISBN 0-521-55001-7.