Konformní mapa - Conformal map

Obdélníková mřížka (nahoře) a její obrázek pod konformní mapou (dole). Je vidět, že mapuje dvojice čar protínajících se v 90 ° na páry křivek, které se stále protínají v 90 °.${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Matematická analýza → Komplexní analýza
Komplexní analýza
Složitá čísla
Reálné číslo Imaginární číslo Složité letadlo Komplexní konjugát Komplexní číslo jednotky
Komplexní funkce
Komplexní funkce Analytická funkce Holomorfní funkce Cauchyho – Riemannovy rovnice Formální výkonová řada
Základní teorie
Nuly a póly Cauchyova integrální věta Místní primitiv Cauchyův integrální vzorec Navíjecí číslo Série Laurent Izolovaná singularita Věta o zbytcích Konformní mapa Schwarzovo lemma Harmonická funkce Laplaceova rovnice
Teorie geometrických funkcí
Lidé
Augustin-Louis Cauchy Leonhard Euler Carl Friedrich Gauss Jacques Hadamard Kiyoshi Dobře Bernhard Riemann Karl Weierstrass
Matematický portál
proti t E

V matematice , je konformní zobrazení je funkce , která lokálně zachovává úhly , ale ne nutně délky.

Více formálně, nechť a být otevřené podmnožiny . Funkce je volána konformní (nebo úhel konzervaci ) v místě, pokud se zachovává úhly mezi směřujících křivky prostřednictvím , jakož i zachování orientace. Konformní mapy zachovávají jak úhly, tak tvary nekonečně malých postav, ale ne nutně jejich velikost nebo zakřivení . ${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to V}$${\displaystyle u_{0}\in U}$${\displaystyle u_{0}}$

Konformní vlastnost může být popsána termíny jakobijské derivační matice transformace souřadnic . Transformace je konformní, kdykoli je Jacobian v každém bodě kladná skalární doba rotační matice ( ortogonální s determinantní). Někteří autoři definují konformalitu tak, aby zahrnovala mapování obracející orientaci, jejichž Jacobians lze zapsat jako jakékoli skalární časy jakékoli ortogonální matice.

Pro mapování ve dvou dimenzích jsou (udržující orientaci) konformní mapování přesně lokálně invertovatelné komplexní analytické funkce. Ve třech a vyšších dimenzích Liouvilleova věta ostře omezuje konformní zobrazení na několik typů.

Pojem konformity generalizuje přirozeným způsobem mapy mezi riemannianskými nebo semi-riemannianskými varietami .

Konformní mapy ve dvou rozměrech

Pokud je otevřená podmnožina z komplexní roviny , pak funkce je konformní jestliže a pouze v případě, že je holomorphic a jeho derivát je všude nenulová na . Pokud je antiholomorfní ( konjugovaný s holomorfní funkcí), zachovává úhly, ale obrací jejich orientaci. ${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$

V literatuře existuje další definice konformního: mapování, které je individuální a holomorfní na otevřené sadě v rovině. Otevřená mapovací věta nutí, aby inverzní funkce (definovaná na obrázku ) byla holomorfní. Podle této definice je tedy mapa konformní právě tehdy , je -li biholomorfní. Tyto dvě definice pro konformní mapy nejsou ekvivalentní. Být jeden na jednoho a holomorfní znamená mít nenulovou derivaci. Exponenciální funkce je však holomorfní funkce s nenulovou derivací, ale není individuální, protože je periodická. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

Riemann mapování věta , jeden z hlubokých výsledků komplexní analýzy , se uvádí, že jakýkoliv neprázdný otevřeno jednoduše připojí vlastní podmnožinou připouští bijective konformní zobrazení do otevřené jednotky disku v . ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Globální konformní mapy na Riemannově sféře

Mapa Riemannovy sféry na sebe je konformní právě tehdy, je -li to Möbiova transformace .

Složitý konjugát Möbiovy transformace zachovává úhly, ale obrací orientaci. Například kruhové inverze .

Konformní mapy ve třech nebo více dimenzích

Riemannova geometrie

V Riemannian geometrii , dvě Riemannian metriky a na hladké potrubí se nazývají konformně ekvivalentní, pokud pro nějakou pozitivní funkci na . Funkce se nazývá konformní faktor . ${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle M}$${\displaystyle g=uh}$${\displaystyle u}$${\displaystyle M}$${\displaystyle u}$

Difeomorfismus mezi dvěma Riemannových variety se nazývá konformní zobrazení v případě, že se odtáhla metrika je konformně ekvivalentní k původní. Například stereografická projekce z koule do roviny rozšířená s nevlastní bod je konformní zobrazení.

Lze také definovat konformní strukturu na hladkém potrubí jako třídu konformně ekvivalentních Riemannianových metrik .

Euklidovský prostor

Klasická věta of Joseph Liouvilleových ukazuje, že existuje mnohem méně konformní zobrazení ve vyšších dimenzích, než ve dvou rozměrech. Jakákoli konformní mapa z otevřené podmnožiny euklidovského prostoru do stejného euklidovského prostoru dimenze tři nebo větší může být složena ze tří typů transformací: homotety , izometrie a speciální konformní transformace .

Aplikace

Kartografie

V kartografii je několik pojmenovaných mapových projekcí , včetně Mercatorovy projekce a stereografické projekce, shodných. Jsou zvláště užitečné pro použití v námořní plavbě, protože mají jedinečnou vlastnost reprezentovat jakýkoli průběh konstantního ložiska jako přímý segment. Takový kurz, známý jako rhumb (nebo matematicky loxodrom), je v námořní plavbě upřednostňován, protože lodě mohou plout konstantním směrem kompasu.

Fyzika a inženýrství

Konformní mapování je neocenitelné pro řešení problémů v inženýrství a fyzice, které lze vyjádřit funkcemi komplexní proměnné, a přesto vykazují nepohodlné geometrie. Výběrem vhodného mapování může analytik transformovat nepohodlnou geometrii na mnohem pohodlnější. Například si můžeme přát vypočítat elektrické pole, vycházející z bodového náboje umístěného v blízkosti rohu dvou vodivých rovin oddělených určitým úhlem (kde je komplexní souřadnice bodu ve 2-prostoru). Tento problém je sám o sobě poměrně neohrabaný v uzavřené formě. Použitím velmi jednoduchého konformního mapování je však nepohodlný úhel mapován na jeden z přesně radiánů, což znamená, že roh dvou rovin je transformován na přímku. V této nové doméně je problém (problém výpočtu elektrického pole zapůsobeného bodovým nábojem umístěným poblíž vodivé stěny) celkem snadno vyřešitelný. Roztok se získá v této oblasti, a pak mapovány zpět na původní doméně za zmínku, že se získá jako funkce ( VIZ . Se kompozice z a ) z , odkud může být považována za , která je funkcí , originál souřadnicový základ. Všimněte si, že tato aplikace není v rozporu se skutečností, že konformní mapování zachovává úhly, dělají to pouze pro body uvnitř jejich domény, a ne na hranici. Dalším příkladem je použití konformní zobrazení techniky pro řešení okrajová úloha z kapalného stříkající v nádržích. ${\displaystyle E(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle E(w)}$${\displaystyle w}$${\displaystyle E}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle E(w)}$${\displaystyle E(w(z))}$${\displaystyle z}$

Pokud je funkce harmonická (to znamená, že splňuje Laplaceovu rovnici ) v rovinné oblasti (která je dvourozměrná) a je transformována prostřednictvím konformní mapy do jiné rovinné domény, je transformace také harmonická. Z tohoto důvodu může být jakákoli funkce, která je definována potenciálem, transformována konformní mapou a stále zůstává řízena potenciálem. Příklady ve fyzice rovnic definovaných potenciálu zahrnují elektromagnetické pole , je gravitační pole , a, v dynamiky tekutin , potenciálního proudění , který je přiblížení k toku tekutiny za předpokladu konstantní hustoty , nulovou viskozitu a irrotational toku . Jedním příkladem tekuté dynamické aplikace konformní mapy je Joukowského transformace . ${\displaystyle \nabla ^{2}f=0}$

Konformní mapy jsou také cenné při řešení nelineárních parciálních diferenciálních rovnic v některých specifických geometriích. Taková analytická řešení poskytují užitečnou kontrolu přesnosti numerických simulací řídící rovnice. Například v případě velmi viskózního toku volného povrchu kolem napůl nekonečné stěny lze doménu mapovat do poloroviny, ve které je řešení jednorozměrné a lze jej snadno vypočítat.

U diskrétních systémů Noury ​​a Yang představili způsob, jak převést diskrétní kořenový lokus systému na souvislý kořenový lokus prostřednictvím dobře známého konformního mapování v geometrii (aka inverzní mapování ).

Maxwellovy rovnice

Ebenezer Cunningham (1908) a Harry Bateman (1910) identifikovali velkou skupinu konformních map pro související řešení Maxwellových rovnic . Jejich výcvik na univerzitě v Cambridgi jim poskytl zázemí pro metodu obrazových nábojů a související metody obrazů pro sféry a inverze. Jak líčí Andrew Warwick (2003) Masters of Theory :

Každé čtyřrozměrné řešení by bylo možné převrátit do čtyřrozměrné hypersféry pseudo-poloměru, aby se vytvořilo nové řešení.${\displaystyle K}$

Warwick zdůrazňuje tuto „novou větu relativity“ jako reakci Cambridge na Einsteina a vychází z cvičení využívajících metodu inverze, jak ji najdete v učebnici Jamese Hopwooda Jeans Matematická teorie elektřiny a magnetismu .

Obecná relativita

V obecné relativitě jsou konformní mapy nejjednodušším a tedy nejběžnějším typem kauzálních transformací. Fyzicky tyto popisují různé vesmíry, ve kterých jsou stále možné (kauzálně) všechny stejné události a interakce, ale k tomu je nutná nová dodatečná síla (to znamená, že replikace všech stejných trajektorií by vyžadovala odchylky od geodetického pohybu, protože metrický tenzor je jiný). Často se používá k tomu, aby se modely snažily rozšířit mimo singularity zakřivení , například aby umožnily popis vesmíru ještě před Velkým třeskem .

Viz také

• Biholomorfní mapa
• Carathéodoryho věta - konformní mapa se nepřetržitě rozprostírá k hranici
• Penroseův diagram
• Mapování Schwarz – Christoffel- konformní transformace horní poloroviny do nitra jednoduchého mnohoúhelníku
• Speciální lineární skupina - transformace, které zachovávají objem (na rozdíl od úhlů) a orientaci

Reference

Další čtení

• Ahlfors, Lars V. (1973), Konformní invarianty: témata v teorii geometrických funkcí , New York: McGraw – Hill Book Co., MR  0357743
• Constantin Carathéodory (1932) Conformal Representation , Cambridge Tracts in Mathematics and Physics
• Chanson, H. (2009), Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows , CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, The Netherlands, 478 stran, ISBN 978-0-415-49271-3
• Churchill, Ruel V. (1974), Complex Variables and Applications , New York: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-010855-4
• EP Dolzhenko (2001) [1994], „Conformal mapping“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw – Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, MR  0924157
• Weisstein, Eric W. „Konformní mapování“ . MathWorld .

externí odkazy

• Interaktivní vizualizace mnoha konformních map
• Konformní mapy od Michaela Trotta, Wolfram Demonstrations Project .
• Konformní mapování obrazů toku proudu v různých geometriích bez a s magnetickým polem od Gerharda Brunthalera.
• Konformní transformace: z kruhu na čtverec .
• Online Conformal Map Grapher .
• Interaktivní webová aplikace Joukowski Transform
• Konformní mapování nakreslené MC Escherem