Kritický bod (matematika) - Critical point (mathematics)

Úseček ( „x-souřadnice“) z červené kroužky jsou stacionární body; modré čtverce jsou inflexní body .

Kritický bod je široký pojem používaný v mnoha oborech matematiky .

Při práci s funkcemi reálné proměnné je kritickým bodem bod v doméně funkce, kde funkce buď není diferencovatelná, nebo je derivace rovna nule. Při řešení složitých proměnných je kritickým bodem obdobně bod v doméně funkce, kde buď není holomorfní, nebo je derivace rovna nule. Podobně pro funkci několika reálných proměnných je kritickým bodem hodnota v její doméně, kde gradient není definován nebo je roven nule.

Hodnota funkce v kritickém bodě je kritická hodnota .

Tento druh definice se vztahuje i na diferencovatelné mapy mezi R ^m a R ⁿ , je kritický bod , přičemž v tomto případě je místo, kde se pořadí v Jacobian matrice není maximální. Dále se rozšiřuje na diferencovatelné mapy mezi diferencovatelnými varietami , protože body, kde se snižuje hodnost jakobiánské matice. V tomto případě se kritické body nazývají také bifurkační body .

Zejména pokud C je rovinná křivka , definovaná implicitní rovnicí f ( x , y ) = 0, kritické body projekce na osu x , rovnoběžné s osou y, jsou body, kde tečna k C jsou rovnoběžné s osou y , to jsou body, kde . Jinými slovy, kritické body jsou ty, kde věta o implicitní funkci neplatí. ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y}} (x, y) = 0}$

Pojem kritického bodu umožňuje matematický popis astronomického jevu, který byl nevysvětlitelný před dobou Koperníka . Pevný bod na oběžné dráze planety je bod dráhy planety na nebeské sféry , kde je pohyb planety se zdá zastavit před opětovným v opačném směru. K tomu dochází kvůli kritickému bodu projekce oběžné dráhy do ekliptického kruhu .

Kritický bod jedné proměnné funkce

Kritický bod z funkce jedné reálné proměnné , f ( x ), je hodnota x ₀ v oboru z f , kde to není diferencovatelná nebo jeho derivát je 0 ( f '( x ₀ ) = 0). Kritická hodnota je obraz v f kritického bodu. Tyto pojmy mohou být zobrazeny pomocí grafu o f : v kritickém bodě, graf má horizontální tangentu , pokud můžete přiřadit jeden vůbec.

Všimněte si, že pro diferencovatelnou funkci je kritický bod stejný jako stacionární bod .

I když je to snadno vizualizovatelné na grafu (což je křivka), pojem kritický bod funkce nesmí být zaměňován s pojmem kritický bod, v určitém směru, křivky ( podrobnou definici viz níže ). Pokud g ( x , y ) je diferencovatelná funkce dvou proměnných, pak g ( x , y ) = 0 je implicitní rovnice křivky. Kritický bod takové křivky, na projekční paralelně k y aretačním kroužkem (mapa ( x , y ) → x ), je bod na křivce kde . To znamená, že tečna křivky je rovnoběžná s osou y a že v tomto bodě g nedefinuje implicitní funkci od x do y (viz teorém implicitních funkcí ). Pokud ( x ₀ , y ₀ ) je takový kritický bod, pak x ₀ je odpovídající kritická hodnota . Takový kritický bod se také nazývá bifurkační bod , protože obecně, když se x mění, existují dvě větve křivky na straně x ₀ a nula na druhé straně. ${\ displaystyle {\ frac {\ částečné g} {\ částečné y}} (x, y) = 0}$

Z těchto definic vyplývá, že diferencovatelná funkce f ( x ) má kritický bod x ₀ s kritickou hodnotou y ₀ , právě tehdy, když ( x ₀ , y ₀ ) je kritickým bodem jeho grafu pro projekci rovnoběžnou s x -os, se stejnou kritickou hodnotou y ₀ . Pokud f není diferencovatelné na x ₀ kvůli tomu, že tečna se stala rovnoběžnou s osou y, pak je x ₀ opět kritickým bodem f , ale nyní (x ₀ , y ₀ ) je kritickým bodem jeho grafu pro projekci rovnoběžně s osou y .

Například kritické body jednotkové kružnice rovnice x ² + y ² - 1 = 0 jsou (0, 1) a (0, -1) pro projekci rovnoběžnou s osou x a (1, 0) a (-1, 0) pro směr rovnoběžný s osou y . Pokud považujeme horní polovinu kruhu za graf funkce , pak x = 0 je kritický bod s kritickou hodnotou 1 kvůli derivaci rovnou 0 a x = -1 a x = 1 jsou kritické body s kritickou hodnotou 0 kvůli nedefinovanému derivátu. ${\ displaystyle f (x) = {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}$

Příklady

Funkce f ( x ) = x ² + 2 x + 3 je všude diferencovatelná, s derivací f ′ ( x ) = 2 x + 2. Tato funkce má jedinečný kritický bod −1, protože je to jedinečné číslo x ₀ pro které 2 x ₀ + 2 = 0. Tento bod je globální minimum z f . Odpovídající kritická hodnota je f (−1) = 2. Graf f je konkávní parabola , kritickým bodem je úsečka vrcholu, kde je tečna vodorovná, a kritická hodnota je souřadnice vrcholu a může být reprezentován průsečíkem této tečné čáry a osy y .
Funkce f ( x ) = x ^2/3 je definována pro všechna x a diferencovatelná pro x ≠ 0, s derivací f ′ ( x ) = 2 x ^−1/3 / 3. Protože f není diferencovatelné na x = 0 a f '(x) ≠ 0 jinak, je to jedinečný kritický bod. Graf funkce f má hrot v tomto bodě se svislou tečnu. Odpovídající kritická hodnota je f (0) = 0.
Funkce absolutní hodnoty f (x) = | x | je diferencovatelné všude kromě kritického bodu x = 0, kde má globální minimální bod s kritickou hodnotou 0.
Funkce f ( x ) = 1 / x nemá žádné kritické body. Bod x = 0 není kritickým bodem, protože není zahrnut v doméně funkce.

Umístění kritických bodů

Podle Gauss-Lucas teorém , všechny kritických bodů funkce polynomial je v letadle komplexu jsou uvnitř konvexní obálky z kořenů o funkci. U polynomické funkce s pouze skutečnými kořeny jsou tedy všechny kritické body skutečné a jsou mezi největšími a nejmenšími kořeny.

Sendovova domněnka tvrdí, že pokud všechny kořeny funkce leží na jednotkovém disku v komplexní rovině, pak existuje alespoň jeden kritický bod v jednotkové vzdálenosti od kteréhokoli daného kořene.

Kritické body implicitní křivky

Kritické body hrají důležitou roli při studiu rovinných křivek definovaných implicitními rovnicemi , zejména při jejich skicování a určování jejich topologie . Pojem kritického bodu, který se používá v této části, se může zdát odlišný od toho v předchozí části. Ve skutečnosti se jedná o specializaci na jednoduchý případ obecného pojmu kritického bodu uvedeného níže .

Uvažujeme tedy o křivce $C$ definované implicitní rovnicí , kde $f$ je diferencovatelná funkce dvou proměnných, obvykle dvojrozměrný polynom . Body křivky jsou body euklidovské roviny, jejíž kartézské souřadnice splňují rovnici. K dispozici jsou dvě standardní projekce a , definované a že mapa křivky na základě souřadných os . Nazývají se na projekční paralelně k ose y a projekční paralelně k ose x , resp. ${\ displaystyle f (x, y) = 0}$ ${\ displaystyle \ pi _ {y}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {x}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {y} ((x, y)) = x}$ ${\ displaystyle \ pi _ {x} ((x, y)) = y,}$

Bod $C$ je kritický pro , pokud tečna k $C$ existuje a je rovnoběžná s osou y . V tomto případě, jsou obrazy od kritického bodu a tangenty jsou stejné bod z x v ose, která se nazývá kritická hodnota . Bod je tedy kritický, pokud jeho souřadnice jsou řešením soustavy rovnic : ${\ displaystyle \ pi _ {y}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {y}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {y}}$

{\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y}} (x, y) = 0}

To znamená, že tato definice je zvláštním případem obecné definice kritického bodu, která je uvedena níže .

Definice kritického bodu pro je podobná. Pokud $C$ je graf funkce , pak $($ $x$ $,$ $y$ $)$ je kritické pro právě tehdy, když $x$ je kritický bod $g$ , a že kritické hodnoty jsou stejné. ${\ displaystyle \ pi _ {x}}$ ${\ displaystyle y = g (x)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {x}}$

Někteří autoři definují kritické body z $C$ jako body, které jsou rozhodující pro to buď anebo , i když závisí nejen na $C$ , ale také na volbě souřadnicových os. Závisí také na autorech, zda jsou singulární body považovány za kritické. Ve skutečnosti singulární body jsou body, které splňují ${\ displaystyle \ pi _ {x}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {y}}$

{\ displaystyle f (x, y) = {\ frac {\ částečné f} {\ částečné x}} (x, y) = {\ frac {\ částečné f} {\ částečné y}} (x, y) = 0}

,

a jsou tedy řešením obou soustav rovnic charakterizujících kritické body. S touto obecnější definicí jsou kritické body pro přesně ty body, kde věta o implicitní funkci neplatí. ${\ displaystyle \ pi _ {y}}$

Využití diskriminujícího

Když je křivka $C$ algebraická, tj. Když je definována bivariačním polynomem $f$ , je diskriminátor užitečným nástrojem pro výpočet kritických bodů.

Zde uvažujeme pouze projekci ; Podobné výsledky platí pro výměnu $x$ a $y$ . ${\ displaystyle \ pi _ {y}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {x}}$

Nechť je diskriminační z $f$ pohledu jako polynom v $y$ s koeficienty, které jsou polynomy v $x$ . Tento diskriminátor je tedy polynom v $x,$ který má mezi svými kořeny kritické hodnoty . ${\ displaystyle \ operatorname {disk} _ {y} (f)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {y}}$

Přesněji řečeno, jednoduchý kořen je buď kritická hodnota takového odpovídajícího kritického bodu je bod, který není singulární ani inflexní bod, nebo $x-$ souřadnice asymptoty, která je rovnoběžná s osou $y$ a je tečna " v nekonečnu "do inflexního bodu (inflexní asymptota). ${\ displaystyle \ operatorname {disk} _ {y} (f)}$ ${\ displaystyle \ pi _ {y}}$

Vícenásobný kořen diskriminujícího odpovídá buď několika kritickým bodům nebo inflexním asymptotům sdílejícím stejnou kritickou hodnotu, nebo kritickému bodu, který je také inflexním bodem, nebo singulárnímu bodu.

Několik proměnných

Pro funkci několika reálných proměnných je kritický bod P (tj. Sada hodnot pro vstupní proměnné, která je považována za bod v R ⁿ ), pokud jde o bod, kde je gradient nedefinovaný nebo je gradient nulový . Kritické hodnoty jsou hodnoty funkce v kritických bodech.

Kritickým bodem (kde je funkce diferencovatelná) může být buď lokální maximum , lokální minimum nebo sedlový bod . V případě, že funkce je alespoň dvakrát spojitě diferencovatelná různé případy mohou být rozlišeny s ohledem na vlastní čísla z pytloviny matice druhých derivátů.

Kritický bod, ve kterém pytloviny matrice je nonsingular se říká, že nedegenerovaného a znaménka vlastní čísla z pytloviny určují místní chování funkce. V případě funkce jedné proměnné je pytlovina jednoduše druhou derivací , považovanou za matici 1 × 1, která je nesingulární právě tehdy, když není nulová. V tomto případě je nedegenerovaný kritický bod lokálním maximem nebo lokálním minimem, v závislosti na znaménku druhé derivace, které je kladné pro místní minimum a záporné pro místní maximum. Pokud má druhá derivace hodnotu null, je kritickým bodem obecně inflexní bod , ale může to být také zvlněný bod , což může být místní minimum nebo místní maximum.

Pro funkci n proměnných se počet záporných vlastních čísel hesenské matice v kritickém bodě nazývá index kritického bodu. Nedegenerovaný kritický bod je lokální maximum právě tehdy, když je index n , nebo, pokud je hesenská matice záporně definitivní ; je to lokální minimum, pokud je index nula, nebo ekvivalentně, pokud je hesenská matice kladně definitivní . Pro ostatní hodnoty indexu je nedegenerovaný kritický bod sedlovým bodem , což je bod, který je maximem v některých směrech a minimem v jiných.

Aplikace k optimalizaci

Podle Fermatovy věty se všechna lokální maxima a minima spojité funkce vyskytují v kritických bodech. Proto, abychom našli lokální maxima a minima diferencovatelné funkce, stačí teoreticky spočítat nuly gradientu a vlastní čísla hesenské matice na těchto nulách. To není dobře fungovat v praxi, protože to vyžaduje řešení v nelineárním systému z simultánních rovnic , což je obtížný úkol. Obvyklé numerické algoritmy jsou mnohem efektivnější pro hledání lokálních extrémů, ale nemohou potvrdit, že byly nalezeny všechny extrémy. Zejména v globální optimalizaci tyto metody nemohou potvrdit, že výstup je skutečně globální optimum.

Když je funkcí minimalizace vícerozměrný polynom , jsou kritické body a kritické hodnoty řešením systému polynomiálních rovnic a moderní algoritmy pro řešení těchto systémů poskytují konkurenční certifikované metody pro nalezení globálního minima.

Kritický bod rozlišitelné mapy

Vzhledem k tomu, diferencovatelnou mapa f z R ^m do R ⁿ jsou kritické body z F jsou body R ^m , kde hodnost Jacobian matrice z f není maximální. Obraz kritického bodu pod f se nazývá kritická hodnota . Bod v doplňku sady kritických hodnot se nazývá běžná hodnota . Sardova věta uvádí, že sada kritických hodnot hladké mapy má nulu .

Někteří autoři dávají mírně odlišnou definici: a kritický bod o f je bod R ^m , kde hodnost Jacobian matrice o f je menší než n . U této konvence jsou všechny body kritické, když m < n .

Tyto definice se rozšiřují na diferenciální mapy mezi diferencovatelnými varietami následujícím způsobem. Dovolit být diferenciální mapa mezi dvěma potrubí $V$ a $W$ příslušných rozměrů m a n . V okolí bodu $p$ o $V$ a o $f$ $($ $p$ $)$ , grafy jsou difeomorfismus a Jde $p$ je rozhodující pro $f$ , pokud je kritická pro tato definice nezávisí na volbě grafů, protože přechody mapuje pohody difeomorfismus, jejich Jacobské matice jsou invertovatelné a jejich násobením se nemění hodnost jakobiánské matice If M je Hilbertův variet (ne nutně konečný rozměr) a f je funkce se skutečnou hodnotou, pak říkáme, že p je kritický bod f, pokud f je není ponoření na str . ${\ displaystyle f: V \ rightarrow W}$ ${\ displaystyle \ varphi: V \ rightarrow \ mathbf {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ psi: W \ rightarrow \ mathbf {R} ^ {n}.}$ ${\ displaystyle \ varphi (p)}$ ${\ displaystyle \ psi \ circ f \ circ \ varphi ^ {- 1}.}$ ${\ displaystyle \ psi \ circ f \ circ \ varphi ^ {- 1}.}$

Aplikace na topologii

Kritické body jsou zásadní pro studium topologie z rozdělovačů a reálných algebraických variet . Zejména jsou základním nástrojem teorie Morse a teorie katastrof .

Spojení mezi kritickými body a topologií se již objevuje na nižší úrovni abstrakce. Předpokládejme například, být sub-varieta a $P$ je bod mimo čtvercem vzdálenosti $P$ od místa je diferenční mapě tak, že každý připojený složka obsahuje alespoň kritického bodu, kde je vzdálenost je minimální. Z toho vyplývá, že počet připojených komponent je omezen výše počtem kritických bodů. ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ displaystyle V.}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$

V případě skutečných algebraických odrůd nám toto pozorování spojené s Bézoutovou větou umožňuje svázat počet připojených komponent funkcí funkce stupňů polynomů, které definují odrůdu.

Languages

In other projects