Divizní prsten - Division ring

V algebře je dělící kruh , nazývaný také šikmé pole , prsten, ve kterém je možné dělení . Konkrétně to je nenulový kruh, ve kterém každý nenulový prvek má multiplikativní inverzní , to znamená, že prvek obecně označený $na$ $-1$ , tak, že $se$ $A$ $-1$ $=$ $-1$ $= 1$ . Takže, rozdělení může být definován jako $v$ $/$ $b$ $=$ $a$ $b$ $-1$ , ale tento zápis je obecně vyhnout, jak jeden může mít $s$ $b$ $-1$ $\neq$ $b$ $-1$ .

Dělicí kruh je obecně nekomutativní kruh . Je komutativní právě tehdy, pokud se jedná o pole , v takovém případě se výraz „dělící prsten“ používá jen zřídka, s výjimkou vlastností dělících prstenů, které jsou pravdivé, i když jsou komutativní nebo v důkazu, že určitý dělící prsten je komutativní . Například Wedderburnova malá věta tvrdí, že všechny prstence konečného dělení jsou komutativní a tedy konečná pole .

Historicky se dělící kruhy někdy označovaly jako pole, zatímco pole se nazývala „komutativní pole“. V některých jazycích, například ve francouzštině , se slovo „pole“ („corps“) používá pro komutativní i nekomutativní případy a rozdíl mezi těmito dvěma případy se provádí přidáním kvalifikačních výrazů, jako je „corps commutatif“ (komutativní pole). ) nebo „corps gauche“ (šikmé pole).

Všechny dělící kroužky jsou jednoduché . To znamená, že kromě nulového ideálu a sebe samého nemají žádný oboustranný ideál .

Vztah k polím a lineární algebře

Všechna pole jsou dělící kroužky; zajímavějšími příklady jsou nekomutativní dělící kruhy. Nejznámějším příkladem je kruh čtveřic H . Budeme-li povolit pouze racionální namísto reálných koeficientů v staveb čtveřice, získáme další divize prsten. Obecně platí, že pokud R je kruh a S je jednoduchý modul přes R , pak, Schurova lemmatu je endomorphism kroužek z S je rozdělení kruh; každý dělící prsten vzniká tímto způsobem z nějakého jednoduchého modulu.

Lze formulovat hodně lineární algebry a zůstává správná pro moduly nad dělícím prstencem D místo vektorových prostorů nad polem. Přitom je třeba určit, zda uvažujeme o pravém nebo levém modulu, a při správném rozlišování levého a pravého vzorce je zapotřebí určité opatrnosti. Při práci v souřadnicích mohou být prvky konečného dimenzionálního pravého modulu reprezentovány vektory sloupců, které lze vpravo vynásobit skaláry a vlevo maticemi (představujícími lineární mapy); pro prvky konečného dimenzionálního levého modulu je nutné použít řádkové vektory, které lze vlevo vynásobit skaláry a vpravo maticemi. Duál pravého modulu je levý modul a naopak. Na transpozici matice je třeba pohlížet jako na matici přes opačný dělící kruh D ^op, aby pravidlo $(AB) T = B T A T$ zůstalo platné.

Každý modul přes dělící kruh je zdarma ; to znamená, že má základ a všechny základny modulu mají stejný počet prvků . Lineární mapy mezi konečně-dimenzionálními moduly nad dělícím prstencem lze popsat maticemi ; skutečnost, že lineární mapy podle definice dojíždějí se skalárním násobením, je nejpohodlněji reprezentována v notaci jejich zápisem na opačnou stranu vektorů, jako jsou skaláry. Gaussova eliminační algoritmus zůstává v platnosti. Pořadí sloupců matice je dimenze pravého modulu generovaného sloupci a pořadí řádků je dimenze levého modulu generovaného řádky; stejný důkaz jako v případě vektorového prostoru lze použít k prokázání, že tyto řady jsou stejné, a k definování hodnosti matice.

Ve skutečnosti platí i naopak, a to dává charakterizaci divize kroužků prostřednictvím své kategorii modulu: a unital kruh R je rozdělení kruhu tehdy, když každý R modul je zdarma .

Centrum z divize prstenu je komutativní a proto pole. Každý dělící kruh je proto divizní algebra nad jeho středem. Dělicí prstence lze zhruba klasifikovat podle toho, zda jsou nad svými středy konečně-rozměrné nebo nekonečně-rozměrné. První se nazývají centrálně konečné a druhé centrálně nekonečné . Každé pole je samozřejmě ve svém středu jednorozměrné. Prsten Hamiltonovských čtveřic tvoří nad svým středem 4-dimenzionální algebru, která je izomorfní se skutečnými čísly.

Příklady

Jak je uvedeno výše, všechna pole jsou dělící kruhy.
Tyto čtveřice tvoří nekomutativní dělení kruhu.
Podmnožinou čtveřic $a + bi + cj + dk$ , takže $a$ , $b$ , $c$ a $d$ patří do pevného podpole reálných čísel , je nekomutativní dělící kruh. Když je toto podpole pole racionálních čísel , jedná se o dělící kruh racionálních čtveřic .
Pojďme být automorfismem pole . Nechť značí kruh formálních Laurent série s komplexními koeficienty, vyznačující se tím, násobení definovány následovně: místo jednoduše umožňuje koeficienty dojíždět přímo s neurčité , pro , definovat pro každý index . Pokud je netriviální automorfismus komplexních čísel (například konjugace ), pak výsledný prsten Laurentovy řady je striktně nekomutativní dělící prstenec známý jako šikmý prsten Laurentovy řady ; pokud $σ$ $=$ $id,$ pak obsahuje standardní násobení formálních řad . Tento koncept lze zobecnit na kruh Laurentovy řady nad jakýmkoli pevným polem , vzhledem k netriviálnímu -utomorfismu . ${\ displaystyle \ sigma: \ mathbb {C} \ až \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ((z, \ sigma))}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle z ^ {i} \ alpha: = \ sigma ^ {i} (\ alpha) z ^ {i}}$ ${\ displaystyle i \ in \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

Hlavní věty

Wedderburnova malá věta : Všechny prstence konečného dělení jsou komutativní a tedy konečná pole . ( Ernst Witt poskytl jednoduchý důkaz.)

Frobeniova věta : Jedinými konečnými dimenzionálními asociativními dělícími algebrami nad reálemi jsou samotné reality, komplexní čísla a čtveřice .

Související pojmy

Dělicí prstence se dříve nazývaly „pole“. V mnoha jazycích se pro dělení prstenů používá slovo s významem „tělo“, v některých jazycích se jedná o komutativní nebo nekomutativní dělení prstenů, zatímco v jiných se výslovně jedná o komutativní dělení prstenů (dnes se tomu v angličtině říkáme pole). Úplnější srovnání najdete v článku o polích .

Název „Šikmé pole“ má zajímavou sémantickou vlastnost: modifikátor (zde „zkosení“) rozšiřuje rozsah základního výrazu (zde „pole“). Pole je tedy určitý typ šikmého pole a ne všechna šikmá pole jsou pole.

Zatímco se předpokládá, že dělící kruhy a algebry, jak jsou zde diskutovány, mají asociativní násobení, jsou zajímavé také neasociální dělící algebry , jako jsou oktoniony .

Blízké pole je algebraická struktura podobná dělícímu kruhu, kromě toho, že má pouze jeden ze dvou distribučních zákonů .

Poznámky

^ V tomto článku mají prsteny 1.
^ 1948, Prsteny a ideály. Northampton, Massachusetts, Mathematical Association of America
^ Artin, Emil, 1965: Sebrané dokumenty. Editoval Serge Lang, John T. Tate. New York a kol .: Springer
^ Brauer, Richard, 1932: Über die algebraische Struktur von Schiefkörpern. Journal für die reine und angewandte Mathematik 166.4, 103-252
^ V anglické jazykové oblasti byly termíny „skew field“ a „sfield“ zmíněny v roce 1948 Nealem McCoyem jako „někdy používané v literatuře“ a od roku 1965 má skewfield záznam v OED . Německý termín Schiefkörper je dokumentován jako návrh vd Waerdena v textu E. Artina z roku 1927 a E. Noether byl použit jako název přednášky v roce 1928.
^ Lam (2001), Schurova lemma , s. 33, v Knihách Google .
^ Grillet, Pierre Antoine. Abstraktní algebra. Sv. 242. Springer Science & Business Media, 2007; důkaz naleznete zde
^ Jednoduché komutativní kruhy jsou pole. Viz Lam (2001), jednoduché komutativní prstence , str. 39, v Knihách Google a cvičení 3.4 , str. 45, v Knihách Google .
^ Lam (2001), str. 10

Viz také

Identita Hua

Reference

Lam, Tsit-Yuen (2001). První kurz v nekomutativních kruzích . Postgraduální texty z matematiky . 131 (2. vydání). Springer. ISBN 0-387-95183-0 . Zbl 0980.16001 .

Další čtení

Cohn, PM (1995). Šikmá pole. Teorie obecných dělících prstenů . Encyklopedie matematiky a její aplikace. 57 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-43217-0 . Zbl 0840.16001 .

externí odkazy

[1] V tomto článku mají prsteny 1.

[2] 1948, Prsteny a ideály. Northampton, Massachusetts, Mathematical Association of America

[3] Artin, Emil, 1965: Sebrané dokumenty. Editoval Serge Lang, John T. Tate. New York a kol .: Springer

[4] Brauer, Richard, 1932: Über die algebraische Struktur von Schiefkörpern. Journal für die reine und angewandte Mathematik 166.4, 103-252

[5] V anglické jazykové oblasti byly termíny „skew field“ a „sfield“ zmíněny v roce 1948 Nealem McCoyem jako „někdy používané v literatuře“ a od roku 1965 má skewfield záznam v OED . Německý termín Schiefkörper je dokumentován jako návrh vd Waerdena v textu E. Artina z roku 1927 a E. Noether byl použit jako název přednášky v roce 1928.

[6] Lam (2001), Schurova lemma , s. 33, v Knihách Google .

[7] Grillet, Pierre Antoine. Abstraktní algebra. Sv. 242. Springer Science & Business Media, 2007; důkaz naleznete zde

[8] Jednoduché komutativní kruhy jsou pole. Viz Lam (2001), jednoduché komutativní prstence , str. 39, v Knihách Google a cvičení 3.4 , str. 45, v Knihách Google .

[9] Lam (2001), str. 10

Languages

In other projects