Hopfova fibrace - Hopf fibration

Hopfova fibration lze znázornit pomocí stereographic projekci z S ³ až R ^3, a potom se lisuje R ³ do míče. Tento obrázek ukazuje body na S ² a jim odpovídající vlákna se stejnou barvou.

Párové propojené klíčenky napodobují část Hopfovy fibrace.

V matematickém oblasti diferenciální topologie se fibration Hopfova (také známý jako svazek Hopfovy nebo Hopfovy mapě ) popisuje 3-koule (a hypersphere ve čtyřech trojrozměrném prostoru ), pokud jde o kruhů a obyčejného koule . Objevil Heinz Hopf v roce 1931, je to vlivný raný příklad svazku vláken . Technicky Hopfova našel mnoho k jedné spojité funkce (nebo „mapa“) z 3 -sphere Na 2 -sphere tak, že každý odlišný bod z2 -sphere je mapována zřetelné kružnici o 3 -sphere ( Hopfovy 1931 ). Tak 3 -sphere se skládá z vláken, kde každé vlákno je kruh - jeden pro každý bod 2 -sphere.

Tato struktura svazku vláken je označena

${\ Displaystyle S^{1} \ hookrightarrow S^{3} {\ xrightarrow {\ p \,}} S^{2},}$

to znamená, že vláknový prostor S ¹ (kruh) je vložen do celkového prostoru S ³ ( 3 koule) a p  :  S ³ → S ² (Hopfova mapa) promítá S ³ na základní prostor S ² (obyčejný 2 -koule). Hopfova fibration, jako každý svazek vláken, má důležitou vlastnost, že je místně mezera produktu . Nejedná se však o triviální svazek vláken, tj. S ³ není globálně produktem S ² a S ^1, ačkoli místně je od něj nerozeznatelný.

To má mnoho důsledků: například existence tohoto svazku ukazuje, že vyšší homotopické skupiny sfér nejsou obecně triviální. Poskytuje také základní příklad hlavního svazku identifikací vlákna se skupinou kruhů .

Stereografická projekce Hopfovy fibrace indukuje pozoruhodnou strukturu na R ³ , ve které je celý trojrozměrný prostor, kromě osy z, vyplněn vnořenými tori vyrobenými ze spojovacích Villarceauových kruhů . Zde každé vlákno promítá do kruhu v prostoru (z nichž jeden je přímka, myšlenka jako „kruh nekonečnem“). Každý torus je stereografická projekce inverzního obrazu kruhu zeměpisné šířky 2 -sféry. (Topologicky je torus produktem dvou kruhů.) Tyto tori jsou znázorněny na obrázcích vpravo. Když je R ³ stlačeno na hranici koule, nějaká geometrická struktura se ztratí, i když je zachována topologická struktura (viz Topologie a geometrie ). Smyčky jsou homeomorphic k kruhům, ačkoli oni nejsou geometrické kruhy .

Existuje mnoho generalizací Hopfovy fibrace. Jednotková sféra v komplexním souřadnicovém prostoru C ^{n +1} vlákna přirozeně přes komplexní projektivní prostor CP ⁿ s kruhy jako vlákny a existují také skutečné , kvartérní a oktonionické verze těchto fibrací. Zejména Hopfova fibrace patří do rodiny čtyř svazků vláken, ve kterých jsou celkový prostor, základní prostor a prostor vláken všechny sféry:

${\ Displaystyle S^{0} \ hookrightarrow S^{1} \ to S^{1},}$

${\ Displaystyle S^{1} \ hookrightarrow S^{3} \ to S^{2},}$

${\ Displaystyle S^{3} \ hookrightarrow S^{7} \ to S^{4},}$

${\ Displaystyle S^{7} \ hookrightarrow S^{15} \ to S^{8}.}$

Podle Adamsovy věty k takovýmto fibracím může dojít pouze v těchto dimenzích.

Hopfova fibrace je v teorii twistorů důležitá .

Definice a konstrukce

Pro jakékoli přirozené číslo n může být n -rozměrná koule nebo n -koule definována jako množina bodů v -rozměrném prostoru, které jsou pevnou vzdáleností od centrálního bodu . Pro konkrétnost lze za počátek považovat centrální bod a vzdálenost bodů na kouli od tohoto počátku lze považovat za jednotkovou délku. Díky této konvence je n -sphere, se skládá z bodů v s x ₁ ²  +  x ₂ ²  + ⋯ +  x _{n + 1} ²  = 1. Například, 3 -sphere skládá z bodů ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ ,  x ₄ ) v R ⁴ s x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ²  = 1. ${\ displaystyle (n+1)}$${\ displaystyle S^{n}}$${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n+1})}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{n+1}}$

Fibration Hopf p : S ³ → S ² ze 3 -sphere přes 2 -sphere lze definovat různými způsoby.

Přímá konstrukce

Identifikujte R ⁴ s C ² a R ³ s C × R (kde C označuje komplexní čísla ) napsáním:

${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) \ leftrightarrow (z_ {0}, z_ {1}) = (x_ {1}+ix_ {2}, x_ {3}+ix_ {4})}$

a

${\ Displaystyle (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) \ leftrightarrow (z, x) = (x_ {1}+ix_ {2}, x_ {3})}$.

Tak S ³ je identifikován s podmnožinou všech ( Z ₀ , z ₁ ) v C ^2, tak, že | z ₀ | ² + | z ₁ | ²  = 1 , a S ² je identifikován s podmnožinou všech ( z , x ) v C × R tak, že | z | ²  +  x ² = 1 . (Zde pro komplexní číslo z  = x  + i y , | z | ²  = z  z ^∗  = x ²  +  y ² , kde hvězda označuje komplexní konjugát .) Potom je Hopfova fibrace p definována

${\ Displaystyle p (z_ {0}, z_ {1}) = (2z_ {0} z_ {1}^{\ ast}, \ left | z_ {0} \ right |^{2}-\ left | z_ {1} \ right |^{2}).}$

První složka je komplexní číslo, zatímco druhá složka je skutečná. Jakýkoli bod na 3 -sféře musí mít vlastnost, která | z ₀ | ²  + | z ₁ | ²  = 1 . Pokud tomu tak je, pak p ( z ₀ , z ₁ ) leží na sféře jednotky 2 v C × R , jak může být ukázáno kvadraturou komplexních a reálných složek p

${\ Displaystyle 2z_ {0} z_ {1}^{\ ast} \ cdot 2z_ {0}^{\ ast} z_ {1}+\ left (\ left | z_ {0} \ right |^{2}- \ left | z_ {1} \ right |^{2} \ right)^{2} = 4 \ left | z_ {0} \ right |^{2} \ left | z_ {1} \ right |^{2 }+\ left | z_ {0} \ right |^{4} -2 \ left | z_ {0} \ right |^{2} \ left | z_ {1} \ right |^{2}+\ left | z_ {1} \ right |^{4} = \ left (\ left | z_ {0} \ right |^{2}+\ left | z_ {1} \ right |^{2} \ right)^{2 } = 1}$

Kromě toho, pokud dva body na 3-kouli mapují stejný bod na 2-kouli, tj. Pokud p ( z ₀ , z ₁ ) = p ( w ₀ , w ₁ ) , pak ( w ₀ , w ₁ ) se musí rovnat ( λ  z ₀ , λ  z ₁ ) pro nějaké komplexní číslo λ s | λ | ²  = 1 . Opak je také pravdivý; libovolné dva body na 3 -sféře, které se liší společným komplexním faktorem λ, mapují do stejného bodu na 2 -sféře. Tyto závěry následují, protože komplexní faktor λ se ruší svým komplexním konjugátem λ ^∗ v obou částech p : v komplexu 2 z ₀ z ₁ ^∗ složce a ve skutečné složce | z ₀ | ²  - | z ₁ | ² .

Protože množina komplexních čísel λ s | λ | ²  = 1 tvoří jednotkovou kružnici v komplexní rovině, z čehož vyplývá, že pro každý bod m v S ² je inverzní obraz p ⁻¹ ( m ) kružnice, tj. P ⁻¹ m  ≅  S ¹ . Tak 3 -sphere je realizován jako disjunktní sjednocení těchto kruhových vláken.

Přímá parametrizace 3 -sféry využívající Hopfovu mapu je následující.

${\ Displaystyle z_ {0} = e^{i \, {\ frac {\ xi _ {1}+\ xi _ {2}} {2}}} \ sin \ eta}$

${\ Displaystyle z_ {1} = e^{i \, {\ frac {\ xi _ {2}-\ xi _ {1}} {2}}} \ cos \ eta.}$

nebo v euklidovském R ⁴

${\ Displaystyle x_ {1} = \ cos \ left ({\ frac {\ xi _ {1}+\ xi _ {2}} {2}} \ right) \ sin \ eta}$

${\ Displaystyle x_ {2} = \ sin \ left ({\ frac {\ xi _ {1}+\ xi _ {2}} {2}} \ right) \ sin \ eta}$

${\ Displaystyle x_ {3} = \ cos \ left ({\ frac {\ xi _ {2}-\ xi _ {1}} {2}} \ right) \ cos \ eta}$

${\ Displaystyle x_ {4} = \ sin \ left ({\ frac {\ xi _ {2}-\ xi _ {1}} {2}} \ right) \ cos \ eta}$

Kde η běží v rozsahu 0 až π /2 , ξ ₁ běží v rozsahu 0 a 2 π a ξ ₂ může nabývat libovolných hodnot mezi 0 a 4 π . Každá hodnota η , kromě 0 a π /2, které specifikují kruhy, určuje samostatný plochý torus ve 3 sféře a jeden zpáteční ( 0 až 4 π ) buď ξ ₁ nebo ξ ₂ způsobí, že vytvoříte jeden celý kruh obou končetin torusu.

Mapování výše uvedené parametrizace na 2 -sféru je následující, přičemž body na kruzích jsou parametrizovány ξ ₂ .

${\ Displaystyle z = \ cos (2 \ eta)}$

${\ Displaystyle x = \ sin (2 \ eta) \ cos \ xi _ {1}}$

${\ Displaystyle y = \ sin (2 \ eta) \ sin \ xi _ {1}}$

Geometrická interpretace pomocí komplexní projektivní linie

Geometrická interpretace fibration mohou být získány za použití komplexní projektivní linku , CP ¹ , který je definován jako množina všech komplexních jednorozměrných podprostorů z C ² . Ekvivalentně, CP ¹ je kvocient z C ² \ {0} podle ekvivalence , který identifikuje ( Z ₀ , z ₁ ) s ( λ z ₀ , λ z ₁ ) pro každou nenulovou hodnotu komplexního čísla lambda . Na jakékoli složité přímce v C ² je kruh jednotkové normy, a tak omezení mapy kvocientu na body jednotkové normy je fibrace S ³ nad CP ¹ .

CP ¹ je diffeomorphic do 2 -sphere: ve skutečnosti, že může být identifikován s Riemann koule C _∞ = C ∪ {∞} , což je jeden bod kompaktifikace z C (získá přidáním bodu v nekonečnu ). Vzorec uvedený pro p výše definuje explicitní diffeomorfismus mezi komplexní projektivní linií a obyčejnou 2 sférou v 3 -dimenzionálnímprostoru. Alternativně lze bod ( z ₀ , z ₁ ) namapovat na poměr z ₁ / z ₀ v Riemannově sféře C _∞ .

Struktura svazku vláken

Hopfova fibrace definuje svazek vláken s projekcí svazku str . To znamená, že má „místní strukturu produktu“, v tom smyslu, že každý bod 2 -sphere má nějaký sousedství U , jehož inverzní obraz v 3 -sphere mohou být identifikovány s produktem z U a kruhu: p ^-1 ( U ) ≅  U × S ¹ . O takovéto fibraci se říká, že je lokálně triviální .

Pro Hopfovu fibraci stačí odebrat jediný bod m ze S ² a odpovídající kružnici p ⁻¹ ( m ) ze S ³ ; můžeme tedy vzít U = S ² \ { m } a jakýkoli bod v S ² má sousedství této formy.

Geometrická interpretace pomocí rotací

Jinou geometrickou interpretaci Hopfovy fibrace lze získat uvažováním rotací 2 -sféry v běžném 3 -dimenzionálním prostoru. SO rotace skupina (3) má dvojitý kryt , na odstředění skupina Spin (3) , diffeomorphic do 3 -sphere. Skupina spinů působí na S ² rotačně přechodně . Stabilizátor na místě je isomorphic ke skupině kruhu . Snadno z toho vyplývá, že 3 -sféra je hlavní kruhový svazek nad 2 -koulí, a toto je Hopfova fibrace.

Aby to bylo jasnější, existují dva přístupy: skupinu Spin (3) lze identifikovat buď se skupinou Sp (1) jednotkových kvaternionů , nebo se speciální unitární skupinou SU (2) .

V prvním přístupu je vektor ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) v R ⁴ interpretován jako čtveřice q ∈ H zápisem

${\ Displaystyle q = x_ {1}+\ mathbf {i} x_ {2}+\ mathbf {j} x_ {3}+\ mathbf {k} x_ {4}. \, \!}$

3 -sphere je pak identifikován s versors , čtveřice jednotkových normy, ty, q ∈ H , pro které | q | ² = 1 , kde | q | ² = qq ^∗ , což se rovná x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² pro q, jak je uvedeno výše.

Na druhou stranu vektor ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) v R ³ lze interpretovat jako imaginární kvaternion

${\ Displaystyle p = \ mathbf {i} y_ {1}+\ mathbf {j} y_ {2}+\ mathbf {k} y_ {3}. \, \!}$

Poté, jak je dobře známo od Cayleyho (1845) , mapování

${\ Displaystyle p \ mapsto qpq^{*} \, \!}$

je rotace v R ³ : ve skutečnosti je to jasně izometrie , protože | qpq ^∗ | ² = qpq ^∗ qp ^∗ q ^∗ = qpp ^∗ q ^∗ = | p | ² , a není těžké zkontrolovat, zda zachovává orientaci.

Ve skutečnosti to identifikuje skupinu versorů se skupinou rotací R ³ , moduluje skutečnost, že versory q a - q určují stejnou rotaci. Jak bylo uvedeno výše, rotace působí na S ² přechodně a množina versorů q, které fixují daný pravý versor p, má tvar q = u + v p , kde u a v jsou reálná čísla s u ² + v ² = 1 . Toto je podskupina kruhů. Pro konkrétnost je možné vzít p = k , a pak Hopfovu fibraci lze definovat jako mapu odesílající versor ω na ω k ω ^∗ . Všechny čtveřice ωq , kde q je jedním z kruhu versorů, které fixují k , se mapují na stejnou věc (což je shodou okolností jedna ze dvou 180 ° rotací rotujících k do stejného místa jako ω ).

Další způsob, jak se na tuto fibraci podívat, je, že každý versor ω přesune rovinu o rozměru {1, k } do nové roviny o rozložení { ω , ωk } . Jakýkoli kvaternion ωq , kde q je jedním z kruhu versorů, které opravují k , bude mít stejný účinek. To vše jsme vložili do jednoho vlákna a vlákna lze mapovat jedna ku jedné do 2 sféry otáčení o 180 °, což je rozsah ωkω ^* .

Tento přístup souvisí s přímou konstrukcí identifikací čtveřice q = x ₁ + i x ₂ + j x ₃ + k x ₄ s maticí 2 × 2 :

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1}+\ mathbf {i} x_ {2} & x_ {3}+\ mathbf {i} x_ {4} \\-x_ {3}+\ mathbf {i} x_ {4} & x_ {1}-\ mathbf {i} x_ {2} \ end {bmatrix}}. \, \!}$

Toto identifikuje skupinu versorů se SU (2) a imaginární kvaterniony se zkosenými hermitovskými maticemi 2 × 2 (izomorfní až C × R ).

Explicitní vzorce

Rotace vyvolaná jednotkovým kvaterniem q = w + i x + j y + k z je dána výslovně ortogonální maticí

${\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} 1-2 (y^{2}+z^{2}) & 2 (xy-wz) & 2 (xz+wy) \\ 2 (xy+wz) & 1-2 (x ^{2}+z^{2}) & 2 (yz-wx) \\ 2 (xz-wy) & 2 (yz+wx) & 1-2 (x^{2}+y^{2}) \ end { bmatrix}}.}$

Zde nalezneme explicitní skutečný vzorec pro projekci svazku tím, že si všimneme, že pevný jednotkový vektor podél osy z (0,0,1) se otáčí do jiného jednotkového vektoru,

${\ Displaystyle {\ Big (} 2 (xz+wy), 2 (yz-wx), 1-2 (x^{2}+y^{2}) {\ Big)}, \, \!}$

což je spojitá funkce ( w , x , y , z ) . To znamená, že obraz q je bod na 2 -sféře, kam posílá jednotkový vektor podél osy z . Vlákno pro daný bod na S ^{2 se} skládá ze všech těch jednotkových kvaternionů, které tam posílají jednotkový vektor.

Můžeme také napsat explicitní vzorec pro vlákno přes bod ( a , b , c ) v S ² . Násobením jednotkových kvaternionů vzniká složení rotací a

${\ Displaystyle q _ {\ theta} = \ cos \ theta +\ mathbf {k} \ sin \ theta}$

je rotace o 2 θ kolem osy z . Jako θ liší, tato zatáčky ven z velkého kruhu o S ³ , našeho prototypu vlákna. Dokud základní bod ( a , b , c ) není antipod, (0, 0, −1) , kvaternion

${\ Displaystyle q _ {(a, b, c)} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 (1+c)}}} (1+c- \ mathbf {i} b+\ mathbf {j} a )}$

odešle (0, 0, 1) na ( a , b , c ) . Vlákno ( a , b , c ) je tedy dáno čtveřicemi tvaru q _{( a , b , c )} q _θ , což jsou body S ³

${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 (1+c)}}} {\ Big (} (1+c) \ cos (\ theta), a \ sin (\ theta) -b \ cos (\ theta), a \ cos (\ theta)+b \ sin (\ theta), (1+c) \ sin (\ theta) {\ Big)}. \, \!}$

Protože násobení q _{( a , b , c )} funguje jako rotace kvaternionového prostoru, vlákno není jen topologický kruh, je to geometrický kruh.

Konečné vlákno pro (0, 0, −1) lze zadat definováním q _{(0,0, −1)} na hodnotu i , čímž vznikne

${\ Displaystyle {\ Big (} 0, \ cos (\ theta),-\ sin (\ theta), 0 {\ Big)},}$

který balíček dokončí. Všimněte si však, že toto individuální mapování mezi S ³ a S ² × S ¹ není v tomto kruhu spojité, což odráží skutečnost, že S ³ není topologicky ekvivalentní S ² × S ¹ .

Jednoduchý způsob vizualizace Hopfovy fibrace je tedy následující. Jakýkoli bod na 3 -sféře je ekvivalentní čtveřici , což je zase ekvivalentní konkrétní rotaci kartézského souřadnicového rámce ve třech rozměrech. Sada všech možných kvaternionů vytváří množinu všech možných rotací, která přesouvá špičku jednoho jednotkového vektoru takového souřadnicového rámce (řekněme vektoru z ) do všech možných bodů na sféře jednotky 2 . Upevnění špičky vektoru z však neurčuje rotaci úplně; další otáčení je možné o Z - osa. To znamená, že 3 -sphere je mapován na 2 -sphere plus jedné otáčky.

Rotaci lze znázornit pomocí Eulerových úhlů θ, φ a ψ. Hopfovo mapování mapuje rotaci k bodu na 2-sféře danému θ a φ a přidružený kruh je parametrizován ψ. Všimněte si, že když θ = π Eulerovy úhly φ a ψ nejsou jednotlivě dobře definovány, nemáme tedy mapování jeden na jednoho (nebo mapování jedna na dvě) mezi 3 torusem (θ, φ (ψ) a S ³ .

Mechanika tekutin

Pokud je Hopfova fibrace považována za vektorové pole v trojrozměrném prostoru, pak existuje řešení (stlačitelných, neviskózních) Navier-Stokesových rovnic dynamiky tekutin, ve kterých tekutina proudí po kruzích projekce Hopfovy fibrace v trojrozměrném prostoru. Velikost rychlostí, hustotu a tlak lze zvolit v každém bodě, aby byly rovnice splněny. Všechna tato množství klesají na nulu, když odcházejí ze středu. Pokud a je vzdálenost k vnitřnímu prstenci, rychlosti, tlaková a hustotní pole jsou dána vztahem:

${\ Displaystyle \ mathbf {v} (x, y, z) = A \ left (a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2} \ right)^{-2 } \ left (2 (-ay+xz), 2 (ax+yz), a^{2} -x^{2} -y^{2}+z^{2} \ right)}$

${\ Displaystyle p (x, y, z) =-A^{2} B \ vlevo (a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2} \ vpravo)^{ -3},}$

${\ Displaystyle \ rho (x, y, z) = 3B \ left (a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2} \ right)^{-1}}$

pro libovolné konstanty A a B . Podobné vzorce polí se nacházejí jako solitonová řešení magnetohydrodynamiky :

Zobecnění

Konstrukce Hopf, vnímaná jako svazek vláken p : S ³ → CP ¹ , připouští několik zobecnění, která jsou také často známá jako Hopfova fibrace. Zaprvé je možné nahradit projektivní linii n -dimenzionálním projektivním prostorem . Za druhé, komplexní čísla lze nahradit libovolnou (skutečnou) divizní algebrou , včetně (pro n = 1) octonionů .

Skutečná Hopfova fibrace

Skutečný verze Hopfova fibration se získá, pokud jde o kruhu S ¹ jako podmnožina R ² obvyklým způsobem a identifikací opačné body. To dává svazku vláken S ¹ → RP ¹ přes skutečnou projektivní linii s vláknem S ⁰ = {1, −1}. Stejně jako CP ¹ je pro kouli dvoufeomorfní, RP ¹ je pro kruh odlišná.

Obecněji řečeno, n -sféra S ⁿ vlákna přes skutečný projektivní prostor RP ⁿ s vláknem S ⁰ .

Komplexní Hopfova fibrace

Hopfova konstrukce dává kruhové svazky p  : S ^{2 n +1} → CP ⁿ přes složitý projektivní prostor . Toto je ve skutečnosti omezení svazku tautologických linií přes CP ⁿ na jednotkovou sféru v C ^{n +1} .

Kvartérní Hopfova fibrace

Podobně lze považovat S ^{4 n+3} za ležící v H ⁿ⁺¹ ( kvartérní n -prostor) a vynásobení jednotkovým kvaternionem (= S ³ ) násobením, abychom získali kvaternionální projektivní prostor HP ⁿ . Zejména, protože S ⁴ = HP ¹ , existuje svazek S ⁷ → S ⁴ s vláknem S ³ .

Octonionová Hopfova fibrace

Podobná konstrukce s oktoniony poskytuje svazek S ¹⁵ → S ⁸ s vláknem S ⁷ . Ale koule S ³¹ nevlákní přes S ¹⁶ s vláknem S ¹⁵ . Lze považovat S ⁸ za oktonionickou projektivní linii OP ¹ . Ačkoli lze také definovat oktonionickou projektivní rovinu OP ² , sféra S ²³ nevlákní přes OP ² vláknem S ⁷ .

Vlákna mezi sférami

Někdy je termín "Hopfova fibrace" omezen na fibrace mezi sférami získanými výše, což jsou

• S ¹ → S ¹ s vláknem S ⁰
• S ³ → S ² s vláknem S ¹
• S ⁷ → S ⁴ s vláknem S ³
• S ¹⁵ → S ⁸ s vláknem S ⁷

V důsledku Adamsovy věty se svazky vláken s koulemi jako celkový prostor, základní prostor a vlákno mohou vyskytovat pouze v těchto dimenzích. Svazky vláken s podobnými vlastnostmi, ale odlišné od Hopfových fibrací, použil John Milnor ke konstrukci exotických sfér .

Geometrie a aplikace

Vlákna Hopfovy fibrace stereograficky vyčnívají do rodiny kruhů Villarceau v R ³ .

Hopfova fibrace má mnoho důsledků, některé čistě atraktivní, jiné hlubší. Například stereografická projekce S ³ → R ³ indukuje v R ³ pozoruhodnou strukturu , která zase osvětluje topologii svazku ( Lyons 2003 ). Stereografická projekce zachovává kruhy a mapuje vlákna Hopf na geometricky dokonalé kruhy v R ^3, které vyplňují prostor. Zde je jedna výjimka: Hopfův kruh obsahující projekční bod mapuje přímku v R ³ - „kruh nekonečnem“.

Vlákna přes kruh zeměpisné šířky na S ² tvoří torus v S ³ (topologicky je torus produktem dvou kruhů) a tato vyčnívají do vnořených torusů v R ^3, které také vyplňují prostor. Jednotlivá vlákna mapují propojení Villarceauových kruhů na těchto tori, s výjimkou kruhu procházejícího bodem projekce a jednoho přes jeho opačný bod : první mapuje přímku, druhá jednotkovou kružnici kolmou a soustředěnou na Tato čára může být považována za degenerovaný torus, jehož menší poloměr se zmenšil na nulu. Každý další vláknový obraz obepíná také čáru, a tak je symetrie každý kruh propojen každým kruhem, a to jak v R ^3, tak v S ³ . Dva takové spojovací kruhy tvoří v R ³ odkaz Hopf

Hopf dokázal, že Hopfova mapa má Hopfův invariant 1, a proto není homotopická . Ve skutečnosti generuje homotopickou skupinu π ₃ ( S ² ) a má nekonečný řád.

V kvantové mechanice je Riemannova koule známá jako Blochova koule a Hopfova fibrace popisuje topologickou strukturu kvantově mechanického dvouúrovňového systému nebo qubitu . Podobně je topologie dvojice zapletených dvouúrovňových systémů dána Hopfovou fibrací

${\ Displaystyle S^{3} \ hookrightarrow S^{7} \ to S^{4}.}$

( Mosseri & Dandoloff 2001 ).

Hopfova fibrace je ekvivalentní struktuře svazku vláken monopolu Dirac .

Poznámky

Reference

• Cayley, Arthur (1845), „O určitých výsledcích týkajících se čtveřic“ , Philosophical Magazine , 26 (171): 141–145, doi : 10,1080/14786444508562684; přetištěno jako článek 20 v Cayley, Arthur (1889), Shromážděné matematické práce Arthur Cayley , I, (1841–1853), Cambridge University Press , s. 123–126
• Hopf, Heinz (1931), „Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche“ , Mathematische Annalen , Berlin: Springer , 104 (1): 637–665, doi : 10.1007/BF01457962 , ISSN  0025-5831 , S2CID  123533
• Hopf, Heinz (1935), „Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären nied chladnička Dimension“, Fundamenta Mathematicae , Warsaw: Polish Acad. Sci., 25 : 427–440, doi : 10,4064/fm-25-1-427-440 , ISSN  0016-2736
• Lyons, David W. (duben 2003), „An Elementary Introduction to the Hopf Fibration“ (PDF) , Mathematics Magazine , 76 (2): 87–98, doi : 10.2307/3219300 , ISSN  0025-570X , JSTOR  3219300
• Mosseri, R .; Dandoloff, R. (2001), „Geometry of entangled state, Bloch spheres and Hopf fibrations“, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 34 (47): 10243–10252, arXiv : quant-ph/0108137 , Bibcode : 2001JPhA ... 3410243M , doi : 10,1088/0305-4470/34/47/324 , S2CID  119462869.
• Steenrod, Norman (1951), Topologie vlákenných svazků , PMS 14, Princeton University Press (publikováno 1999), ISBN 978-0-691-00548-5
• Urbantke, HK (2003), „The Hopf fibration-seven times in physics“, Journal of Geometry and Physics , 46 (2): 125–150, Bibcode : 2003JGP .... 46..125U , doi : 10.1016/S0393 -0440 (02) 00121-3
• Zamboj, Michal (8. ledna 2021). „Syntetická konstrukce Hopfovy fibrace ve dvojité ortogonální projekci 4prostoru“. arXiv : 2003.09236v2 [ math.HO ].

externí odkazy

• „Hopfova fibrace“ , encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]
• Dimenze Matematika Kapitoly 7 a 8 ilustrují Hopfovu fibraci s animovanou počítačovou grafikou.
• Elementary Introduction to the Hopf Fibration by David W. Lyons ( PDF )
• Animace YouTube zobrazující dynamické mapování bodů na 2-sféře na kruhy ve 3-sféře, profesor Niles Johnson.
• Animace stavby 120 buněk na YouTube Autor: Gian Marco Todesco ukazuje Hopfovu fibraci 120 buněk.
• Video z jednoho 30článkového prstence 600 buněk z http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/ .
• Interaktivní vizualizace mapování bodů na 2-sféře na kruhy ve 3-sféře