Jordanova křivková věta - Jordan curve theorem

Ilustrace Jordanovy věty o křivce. Jordanova křivka (nakreslená černě) rozděluje letadlo na „vnitřní“ oblast (světle modrá) a „vnější“ oblast (růžová).

V topologii je Jordanova křivka , někdy také nazývaná rovinná jednoduchá uzavřená křivka , non-self-intersecting cross loop in the plane. Jordán křivka teorém tvrdí, že každý Jordan křivka rozděluje roviny do „vnitřní“, který je ohraničen křivkou a oblasti „vnější“, obsahující všechny blízkých a vzdálených vnějších míst, tak, aby každý kontinuální cesty spojující bod jednoho kraje do bodu druhého se někde protíná s tou smyčkou. I když se tvrzení této věty zdá být intuitivně zřejmé, vyžaduje nějakou vynalézavost, aby se dokázala elementárními prostředky.„Přestože je JCT jednou z nejznámějších topologických vět, existuje mnoho, dokonce i mezi profesionálními matematiky, kteří nikdy nečetli důkaz o tom.“ ( Tverberg (1980 , úvod)). Transparentnější důkazy se spoléhají na matematický aparát algebraické topologie , což vede ke zobecnění prostorů s vyšší dimenzí.

Jordánská křivková věta je pojmenována po matematikovi Camille Jordanovi (1838–1922), který našel svůj první důkaz. Po celá desetiletí si matematici obecně mysleli, že tento důkaz byl chybný a že první přísný důkaz provedl Oswald Veblen . Tuto představu však Thomas C. Hales a další vyvrátili .

Definice a prohlášení Jordánské věty

Jordan křivka nebo jednoduchá uzavřená křivka v rovině R ² je obraz C z injective kontinuální mapy části kruhu, do roviny, φ : S ¹ → R ² . Jordán oblouk v rovině je obrazem injective kontinuální mapy uzavřeném a ohraničeném intervalu [ , b ] do roviny. Je to rovinná křivka, která nemusí být nutně hladká ani algebraická .

Alternativně je Jordanova křivka obrazem souvislé mapy φ : [0,1] → R ² tak, že φ (0) = φ (1) a omezení φ na [0,1) je injektivní. První dvě podmínky říkají, že C je spojitá smyčka, zatímco poslední podmínka stanoví, že C nemá žádné body protnutí.

S těmito definicemi lze Jordanovu větu vyjádřit následovně:

Nechť C je Jordanova křivka v rovině R ² . Pak se jeho doplněk , R ²  \  C , skládá přesně ze dvou spojených komponent . Jedna z těchto složek je ohraničená ( vnitřní ) a druhá je neomezená ( vnější ) a křivka C je hranicí každé složky.

Naproti tomu komplement Jordanova oblouku v rovině je spojen.

Důkaz a zobecnění

Věta o Jordanově křivce byla nezávisle zobecněna na vyšší dimenze H. Lebesgueem a LEJem Brouwerem v roce 1911, což vedlo k separační větě Jordan – Brouwer .

Nechť X je n -dimenzionální topologická sféra v ( n +1) -dimenzionálním euklidovském prostoru R ^{n +1} ( n > 0), tj. Obraz injektivního souvislého mapování n -sféry S ⁿ do R ^{n +1} . Pak doplněk Y z X v R ^{n + 1} se skládá z přesně dvou připojených zařízení. Jedna z těchto součástí je ohraničená (interiér) a druhá je neomezená (vnější). Množina X je jejich společnou hranicí.

Důkaz používá teorii homologie . Nejprve se stanoví, že obecněji, pokud X je homeomorfní pro k -sféru, pak redukované integrální homologické skupiny Y = R ^{n +1} \ X jsou následující:

${\ Displaystyle {\ tilde {H}} _ {q} (Y) = {\ begin {cases} \ mathbb {Z}, & q = nk {\ text {or}} q = n, \\\ {0 \ }, & {\ text {jinak}}. \ end {cases}}}$

To je dokázáno indukcí v k pomocí Mayer -Vietorisovy sekvence . Když n = k , nultého snížena homologie Y má číslo 1, což znamená, že Y je 2 připojených zařízení (které jsou, kromě toho, cesta připojených ), a s trochou práce navíc, jeden ukazuje, že jejich společné hranice je X . Další zobecnění byl nalezen JW Alexander , který založil Alexander dualitu mezi omezenou homologii s kompaktní podmnožina X o R ^{n + 1} a sníženou kohomologie jejího komplementu. Pokud X je n -rozměrný kompaktní připojený dílčí potrubí R ^{n +1} (nebo S ^{n +1} ) bez ohraničení, jeho komplement má 2 připojené komponenty.

Tam je posilování křivky věty Jordán, volal Jordan-Schönflies věta , která uvádí, že vnitřní prostor a vnější rovinné oblasti určena křivka Jordan v R ² jsou homeomorphic do interiéru a exteriéru z jednotky disku . Zejména pro jakýkoli bod P ve vnitřní oblasti a bod A na Jordanově křivce existuje Jordanův oblouk spojující P s A a, s výjimkou koncového bodu A , zcela ležící ve vnitřní oblasti. Alternativní a ekvivalentní formulace Jordan – Schönfliesovy věty tvrdí, že jakoukoli jordánskou křivku φ : S ¹ → R ² , kde S ¹ je vnímána jako jednotkový kruh v rovině, lze rozšířit na homeomorfismus ψ : R ² → R ² letadla. Na rozdíl od Lebesgueovy a Brouwerovy zobecnění Jordanovy věty o křivce se toto tvrzení ve vyšších dimenzích stává nepravdivým : zatímco vnějšek jednotkové koule v R ³ je jednoduše spojen , protože se zatáhne na jednotkovou sféru, Alexandrova rohatá koule je podmnožinou R ³ homeomorfní do koule , ale tak stočená v prostoru, že neomezená složka jejího komplementu v R ³ není jednoduše spojena, a tudíž není homeomorfní s exteriérem jednotkové koule.

Historie a další důkazy

Prohlášení věty o Jordánské křivce se může na první pohled zdát zřejmé, ale je docela obtížné ji dokázat. Bernard Bolzano byl první, kdo zformuloval přesnou domněnku, a poznamenal, že nejde o samozřejmé prohlášení, ale že to vyžaduje důkaz. Je snadné stanovit tento výsledek pro polygony , ale problém nastal při zobecnění na všechny druhy špatně chovaných křivek, které neobsahují nikde odlišitelné křivky, jako je Kochova sněhová vločka a jiné fraktální křivky , nebo dokonce sestrojená Jordanova křivka pozitivní oblasti od Osgooda (1903) .

První důkaz této věty podal Camille Jordan ve svých přednáškách o skutečné analýze a byl publikován ve své knize Cours d'analyse de l'École Polytechnique . Existuje určitá polemika o tom, zda byl Jordanův důkaz úplný: většina komentátorů tvrdila, že první úplný důkaz poskytl později Oswald Veblen , který o Jordanově důkazu řekl následující:

Jeho důkaz je však pro mnoho matematiků neuspokojivý. V důležitém zvláštním případě jednoduchého mnohoúhelníku předpokládá větu bez důkazu a od té chvíle je třeba přiznat, že nejsou uvedeny žádné podrobnosti.

Nicméně, Thomas C. Hales napsal:

Téměř každá moderní citace, kterou jsem našel, souhlasí s tím, že první správný důkaz je způsoben Veblenem ... Vzhledem k silné kritice Jordanova důkazu jsem byl překvapen, když jsem si sedl a přečetl si jeho důkaz, že na něm nenacházím nic závadného. Od té doby jsem kontaktoval několik autorů, kteří Jordánsko kritizovali, a v každém případě autor přiznal, že nemá přímou znalost chyby v Jordánově důkazu.

Hales také poukázal na to, že speciální případ jednoduchých polygonů není jen snadné cvičení, ale Jordan ho ve skutečnosti stejně nepoužíval, a citoval slova Michaela Reekena:

Jordanův důkaz je v zásadě správný ... Jordanův důkaz nepředstavuje detaily uspokojivým způsobem. Ale myšlenka je správná a s nějakým vyleštěním by byl důkaz bezvadný.

Dříve byl Jordanův důkaz a další raný důkaz Charlese Jean de la Vallée Poussina kriticky analyzován a dokončen Schoenfliesem (1924).

Vzhledem k důležitosti Jordanovy věty o křivce v nízko dimenzionální topologii a komplexní analýze se jí dostalo velké pozornosti od významných matematiků první poloviny 20. století. Různé důkazy věty a jejích zobecnění vytvořili JW Alexander , Louis Antoine , Ludwig Bieberbach , Luitzen Brouwer , Arnaud Denjoy , Friedrich Hartogs , Béla Kerékjártó , Alfred Pringsheim a Arthur Moritz Schoenflies .

Nové základní důkazy o Jordánské větě a zjednodušení dřívějších důkazů se nadále provádějí.

• Elementární důkazy předložili Filippov (1950) a Tverberg (1980) .
• Důkaz pomocí nestandardní analýzy podle Narense (1971) .
• Důkaz pomocí konstruktivní matematiky od Gordona O. Berga, W. Juliana a R. Minesa a kol. ( 1975 ).
• Důkaz pomocí Brouwerovy věty o pevném bodě od Maehary (1984) .
• Důkaz pomocí nerovinnost z úplného bipartitního grafu K _3,3 byl dán Thomassen (1992) .

Kořen obtížnosti je v Tverbergovi (1980) vysvětlen následovně. Je poměrně jednoduché dokázat, že Jordanova věta o křivce platí pro každý Jordanův polygon (Lemma 1), a každou Jordanovu křivku lze libovolně dobře aproximovat Jordanovým polygonem (Lemma 2). Jordanův polygon je polygonální řetězec , hranice ohraničené připojené otevřené množiny , nazývejte ji otevřený mnohoúhelník a jeho uzavření uzavřený mnohoúhelník. Zvažte průměr největšího disku obsaženého v uzavřeném mnohoúhelníku. Evidentně je pozitivní. Pomocí sekvence Jordanových polygonů (které konvergují k dané Jordanově křivce) máme posloupnost pravděpodobně konvergující k kladnému číslu, průměru největšího disku obsaženého v uzavřené oblasti ohraničené Jordanovou křivkou. Musíme však dokázat , že posloupnost nekonverguje k nule, a to pouze pomocí dané Jordanovy křivky, nikoli oblasti pravděpodobně ohraničené křivkou. O to jde v Tverbergově Lemmě 3. Uzavřené polygony by zhruba neměly všude ztenčit na nulu. Kromě toho by neměly někde ztenčovat na nulu, což je bod Tverbergovy Lemmy 4. ${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ delta _ {1}, \ delta _ {2}, \ dots}$ ${\ Displaystyle \ delta}$${\ Displaystyle \ delta _ {1}, \ delta _ {2}, \ dots}$

První formální důkaz Jordanovy věty o křivce vytvořil Hales (2007a) v systému HOL Light v lednu 2005 a obsahoval asi 60 000 řádků. Další přísný formální důkaz na 6 500 řádcích vyrobil v roce 2005 mezinárodní tým matematiků pomocí systému Mizar . Mizar i HOL Light proof spoléhají na knihovny dříve prokázaných vět, takže tyto dvě velikosti nejsou srovnatelné. Nobujuki Sakamoto a Keita Yokoyama ( 2007 ) ukázali, že v reverzní matematice je Jordanova věta o křivce ekvivalentem slabého Königova lemmatu nad systémem . ${\ displaystyle {\ mathsf {RCA}} _ {0}}$

aplikace

Pokud počáteční bod ( p _a ) paprsku (červeně) leží mimo jednoduchý polygon (oblast A ), je počet průsečíků paprsku a polynomu sudý .
Pokud počáteční bod ( p _b ) paprsku leží uvnitř polygonu (oblast B ), je počet průsečíků lichý.

Ve výpočetní geometrii lze Jordanovu větu použít k testování, zda bod leží uvnitř jednoduchého polygonu nebo mimo něj .

Metoda je v zásadě následující. Z daného bodu vysledujte paprsek , který neprochází žádným vrcholem mnohoúhelníku (vhodné jsou všechny paprsky kromě konečného čísla). Poté spočítejte počet n průsečíků paprsku s hranou mnohoúhelníku. Důkaz Jordanovy křivky naznačuje, že bod je uvnitř mnohoúhelníku, když a pouze n je liché .

Viz také

• Denjoy – Rieszova věta , popis určitých sad bodů v rovině, které mohou být podmnožinami jordánských křivek
• Jezera Wada
• Kvazifuchsianská skupina , matematická skupina, která zachovává Jordanovu křivku
• Komplexní analýza

Poznámky

Reference

• Berg, Gordon O .; Julian, W .; Mines, R .; Richman, Fred (1975), „The constructive Jordan curve theorem“, Rocky Mountain Journal of Mathematics , 5 (2): 225–236, doi : 10,1216/RMJ-1975-5-2-225 , ISSN  0035-7596 , MR  0410701
• Courant, Richard (1978). „V. topologie“. Napsáno v Oxfordu. Co je to matematika? : elementární přístup k myšlenkám a metodám . Herbert Robbins ([4. vyd.] Vyd.). Spojené království: Oxford University Press. p. 267. ISBN 978-0-19-502517-0. OCLC  6450129 .
• Filippov, AF (1950), „Elementární důkaz Jordánovy věty“ (PDF) , Uspekhi Mat. Nauk (v ruštině), 5 (5): 173–176
• Hales, Thomas C. (2007a), „Jordanova věta o křivce, formálně i neformálně“, The American Mathematical Monthly , 114 (10): 882–894, ISSN  0002-9890 , MR  2363054
• Hales, Thomas (2007b), „Jordanův důkaz Jordánské věty o křivce“ (PDF) , studia logiky, gramatiky a rétoriky , 10 (23)
• Jordan, Camille (1887), Cours d'analyse (PDF) , s. 587–594
• Maehara, Ryuji (1984), „The Jordan Curve Theorem Via the Brouwer Fixed Point Theorem“, The American Mathematical Monthly , 91 (10): 641–643, doi : 10.2307/2323369 , ISSN  0002-9890 , JSTOR  2323369 , MR  0769530
• Narens, Louis (1971), „Nestandardní důkaz Jordánské věty o křivce“ , Pacific Journal of Mathematics , 36 : 219–229, doi : 10,2140/pjm.1971.36.219 , ISSN  0030-8730 , MR  0276940
• Osgood, William F. (1903), „A Jordan Curve of Positive Area“, Transactions of the American Mathematical Society , 4 (1): 107–112, doi : 10.2307/1986455 , ISSN  0002-9947 , JFM  34.0533.02 , JSTOR  1986455
• Ross, Fiona; Ross, William T. (2011), „Jordanova věta o křivce není triviální“, Journal of Mathematics and the Arts , 5 (4): 213–219, doi : 10.1080/17513472.2011.634320. autorské stránky
• Sakamoto, Nobujuki; Yokoyama, Keita (2007), „Jordanova věta o křivce a Schönfliesova věta ve slabé aritmetice druhého řádu“, Archiv pro matematickou logiku , 46 (5): 465–480, doi : 10,1007/s00153-007-0050-6 , ISSN  0933-5846 , MR  2321588
• Thomassen, Carsten (1992), „Jordan – Schönfliesova věta a klasifikace povrchů“, American Mathematical Monthly , 99 (2): 116–130, doi : 10,2307/2324180 , JSTOR  2324180
• Tverberg, Helge (1980), „Důkaz věty o Jordanově křivce“ (PDF) , Bulletin of London Mathematical Society , 12 (1): 34–38, CiteSeerX  10.1.1.374.2903 , doi : 10,1112/blms/12,1 0,34
• Veblen, Oswald (1905), „Theory on Plane Curves in Non-Metrical Analysis Situs“, Transactions of the American Mathematical Society , 6 (1): 83–98, doi : 10.2307/1986378 , JSTOR  1986378 , MR  1500697

externí odkazy

• MI Voitsekhovskii (2001) [1994], „Jordanova věta“ , encyklopedie matematiky , EMS Press
• Celých 6 500 řádků formální důkaz Jordanovy věty o křivce v Mizaru .
• Sbírka důkazů Jordánské věty o křivce na domovské stránce Andrewa Ranickiho
• Jednoduchý důkaz Jordánské věty o křivce (PDF) David B. Gauld
• Brown, R .; Antolino-Camarena, O. (2014). „Oprava“ Groupoidů, majetku Phragmen-Brouwer a věty o Jordanově křivce “, J. Homotopy a příbuzné struktury 1 (2006) 175-183“. arXiv : 1404.0556 .

doi : 10.1007/15.40062-014-0089-0