Del - Del

Del operátor,
zastoupená
na symbolem nabla

Del nebo nabla je operátor používaný v matematice (zejména ve vektorovém počtu ) jako vektorový diferenciální operátor , obvykle reprezentovaný symbolem nabla ∇ . Při aplikaci na funkci definovanou v jednorozměrné doméně označuje standardní derivaci funkce, jak je definována v počtu . Když je aplikován na pole (funkce definovaná na vícerozměrné doméně), může to znamenat některého ze tří operátorů v závislosti na způsobu jeho použití: gradient nebo (lokálně) nejstrmější sklon skalárního pole (nebo někdy i vektorové pole , jako v Navier -Stokesových rovnicích ); divergence vektorového pole; nebo zvlnění (otočení) vektorového pole.

Přesně řečeno, del není konkrétní operátor, ale spíše pohodlný matematický zápis pro tyto tři operátory, který usnadňuje psaní a zapamatování mnoha rovnic . Symbol del (nebo nabla) lze interpretovat jako vektor parciálních derivačních operátorů; a jeho tři možné významy - gradient, divergence a zvlnění - lze formálně považovat za součin se skalárním, bodovým součinem a křížovým součinem „del operator“ s polem. Tyto formální produkty nemusí nutně dojíždět s jinými operátory nebo produkty. Tato tři použití, podrobně popsaná níže, jsou shrnuta jako:

• Spád: ${\ displaystyle \ operatorname {grad} f = \ nabla f}$
• Divergence: ${\ displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {v}} = \ nabla \ cdot {\ vec {v}}}$
• Kučera: ${\ displaystyle \ operatorname {curl} {\ vec {v}} = \ nabla \ times {\ vec {v}}}$

Definice

V kartézském souřadnicovém systému R ⁿ se souřadnicemi a standardním základem je del definován pomocí parciálních derivačních operátorů jako ${\ displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ Displaystyle \ {{\ vec {e}} _ {1}, \ tečky, {\ vec {e}} _ {n} \}}$

${\ Displaystyle \ nabla = \ sum _ {i = 1}^{n} {\ vec {e}} _ {i} {\ částečný \ přes \ částečný x_ {i}} = \ vlevo ({\ částečný \ přes \ částečné x_ {1}}, \ ldots, {\ částečné \ přes \ částečné x_ {n}} \ vpravo)}$

V trojrozměrném kartézském souřadném systému R ³ se souřadnicemi a standardními základními nebo jednotkovými vektory os je del zapsán jako ${\ Displaystyle (x, y, z)}$${\ displaystyle \ {{\ vec {e}} _ {x}, {\ vec {e}} _ {y}, {\ vec {e}} _ {z} \}}$

${\ Displaystyle \ nabla = {\ vec {e}} _ {x} {\ částečné \ přes \ částečné x}+{\ vec {e}} _ {y} {\ částečné \ přes \ částečné y}+{\ vec {e}} _ {z} {\ částečný \ přes \ částečný z} = \ vlevo ({\ částečný \ přes \ částečný x}, {\ částečný \ přes \ částečný y}, {\ částečný \ přes \ částečný z }\že jo)}$

Příklad:

${\ Displaystyle f (x, y, z) = x+y+z}$

${\ Displaystyle \ nabla f = {\ vec {e}} _ {x} {\ částečné f \ přes \ částečné x}+{\ vec {e}} _ {y} {\ částečné f \ přes \ částečné y} +{\ vec {e}} _ {z} {\ částečné f \ nad \ částečné z} = \ vlevo (1,1,1 \ vpravo)}$

Del může být také vyjádřen v jiných souřadnicových systémech, viz například del ve válcových a sférických souřadnicích .

Notační použití

Del se používá jako zkrácená forma pro zjednodušení mnoha dlouhých matematických výrazů. Nejčastěji se používá ke zjednodušení výrazů pro přechod , divergenci , zvlnění , směrovou derivaci a Laplacián .

Spád

Vektorová derivace skalárního pole se nazývá gradient a může být reprezentována jako: ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ operatorname {grad} f = {\ částečný f \ přes \ částečný x} {\ vec {e}} _ {x}+{\ částečný f \ přes \ částečný y} {\ vec {e}} _ {y}+{\ partial f \ over \ partial z} {\ vec {e}} _ {z} = \ nabla f}$

Vždy ukazuje ve směru největšího nárůstu a má velikost rovnou maximální rychlosti nárůstu v bodě - stejně jako standardní derivace. Zejména pokud je kopec definován jako výšková funkce nad rovinou , bude gradient v daném místě vektorem v rovině xy (viditelné jako šipka na mapě) směřující nejstrmějším směrem. Velikost gradientu je hodnota tohoto nejstrmějšího svahu. ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle h (x, y)}$

Zejména je tento zápis mocný, protože pravidlo součinového gradientu vypadá velmi podobně jako případ 1d-derivace:

${\ Displaystyle \ nabla (fg) = f \ nabla g+g \ nabla f}$

Pravidla pro bodové produkty se však nezdají být jednoduchá, jak ukazuje:

${\ Displaystyle \ nabla ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) = ({\ vec {u}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}}+({\ vec { v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {u}}+{\ vec {u}} \ times (\ nabla \ times {\ vec {v}})+{\ vec {v}} \ times (\ nabla \ times {\ vec {u}})}$

Divergence

Divergence z vektorového pole je skalární funkce, která může být rovněž vyjádřena jako: ${\ Displaystyle {\ vec {v}} (x, y, z) = v_ {x} {\ vec {e}} _ {x}+v_ {y} {\ vec {e}} _ {y}+ v_ {z} {\ vec {e}} _ {z}}$

${\ displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {v}} = {\ částečný v_ {x} \ přes \ částečný x}+{\ částečný v_ {y} \ přes \ částečný y}+{\ částečný v_ {z } \ over \ partial z} = \ nabla \ cdot {\ vec {v}}}$

Divergence je zhruba měřítkem nárůstu vektorového pole ve směru, kterým ukazuje; ale přesněji je to míra tendence tohoto pole konvergovat k bodu nebo se od něj odlišovat.

Síla del notace je znázorněna následujícím pravidlem produktu:

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot (f {\ vec {v}}) = (\ nabla f) \ cdot {\ vec {v}}+f (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})}$

Vzorec pro vektorový součin je o něco méně intuitivní, protože tento produkt není komutativní:

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot ({\ vec {u}} \ times {\ vec {v}}) = (\ nabla \ times {\ vec {u}}) \ cdot {\ vec {v}}-{ \ vec {u}} \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {v}})}$

Kučera

Kadeř vektorového pole je vektor funkce, která může být rovněž vyjádřena jako: ${\ Displaystyle {\ vec {v}} (x, y, z) = v_ {x} {\ vec {e}} _ {x}+v_ {y} {\ vec {e}} _ {y}+ v_ {z} {\ vec {e}} _ {z}}$

${\ displaystyle \ operatorname {curl} {\ vec {v}} = \ left ({\ částečný v_ {z} \ přes \ částečný y}-{\ částečný v_ {y} \ přes \ částečný z} \ vpravo) { \ vec {e}} _ {x}+\ vlevo ({\ částečný v_ {x} \ přes \ částečný z}-{\ částečný v_ {z} \ přes \ částečný x} \ vpravo) {\ vec {e} } _ {y}+\ vlevo ({\ částečný v_ {y} \ přes \ částečný x}-{\ částečný v_ {x} \ přes \ částečný y} \ vpravo) {\ vec {e}} _ {z} = \ nabla \ times {\ vec {v}}}$

Stočení v bodě je úměrné točivému momentu na ose, kterému by byl vystaven malý větrník, kdyby byl v tomto bodě vystředěn.

Operace vektorový součin lze vizualizovat jako pseudo determinant :

${\ Displaystyle \ nabla \ times {\ vec {v}} = \ left | {\ begin {matrix} {\ vec {e}} _ {x} & {\ vec {e}} _ {y} & {\ vec {e}} _ {z} \\ [2pt] {\ frac {\ částečný} {\ částečný x}} & {\ frac {\ částečný} {\ částečný y}} & {\ frac {\ částečný} { \ částečné z}} \\ [2pt] v_ {x} & v_ {y} & v_ {z} \ end {matrix}} \ vpravo |}$

Síla notace je opět ukázána pravidlem produktu:

${\ Displaystyle \ nabla \ times (f {\ vec {v}}) = (\ nabla f) \ times {\ vec {v}}+f (\ nabla \ times {\ vec {v}})}$

Bohužel pravidlo pro vektorový součin není jednoduché:

${\ Displaystyle \ nabla \ times ({\ vec {u}} \ times {\ vec {v}}) = {\ vec {u}} \, (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})-{ \ vec {v}} \, (\ nabla \ cdot {\ vec {u}})+({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) \, {\ vec {u}}-({\ vec { u}} \ cdot \ nabla) \, {\ vec {v}}}$

Směrový derivát

Směrová derivace skalárního pole ve směru je definován jako: ${\ Displaystyle f (x, y, z)}$${\ Displaystyle {\ vec {a}} (x, y, z) = a_ {x} {\ vec {e}} _ {x}+a_ {y} {\ vec {e}} _ {y}+ a_ {z} {\ vec {e}} _ {z}}$

${\ Displaystyle {\ vec {a}} \ cdot \ operatorname {grad} f = a_ {x} {\ částečný f \ přes \ částečný x}+a_ {y} {\ částečný f \ přes \ částečný y}+a_ {z} {\ partial f \ over \ partial z} = {\ vec {a}} \ cdot (\ nabla f)}$

To udává rychlost změny pole ve směru , zvětšenou o velikost . V zápisu operátorů lze prvek v závorkách považovat za jedinou koherentní jednotku; dynamika tekutin tuto konvenci široce využívá a označuje ji jako konvektivní derivát - „pohybující se“ derivát tekutiny. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$

Všimněte si, že je to operátor, který převádí skalární na skalární. Lze jej rozšířit tak, aby fungoval na vektoru, a to samostatným ovládáním každé z jeho součástí. ${\ displaystyle ({\ vec {a}} \ cdot \ nabla)}$

Laplacián

Laplaceův operátor je skalární operátor, který může být aplikován na buď vektoru nebo skalárních polí; pro kartézské souřadnicové systémy je definován jako:

${\ Displaystyle \ Delta = {\ částečná ^{2} \ přes \ částečná x ^{2}}+{\ částečná ^{2} \ přes \ částečná y ^{2}}+{\ částečná ^{2} \ přes \ částečné z ^{2}} = \ nabla \ cdot \ nabla = \ nabla ^{2}}$

a definice obecnějších souřadnicových systémů je uvedena ve vektorovém Laplaciánu .

Laplacián je v moderní matematické fyzice všudypřítomný , objevuje se například v Laplaceově rovnici , Poissonově rovnici , tepelné rovnici , vlnové rovnici a Schrödingerově rovnici .

Pytlovská matice

I když obvykle představuje Laplacian , někdy také představuje pytlovskou matici . První se týká vnitřního produktu , zatímco druhý se týká dyadického produktu : ${\ displaystyle \ nabla ^{2}}$${\ displaystyle \ nabla ^{2}}$${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle \ nabla}$

${\ Displaystyle \ nabla ^{2} = \ nabla \ cdot \ nabla ^{T}}$.

Zda tedy odkazuje na laplaciánskou nebo hesenskou matici, závisí na kontextu. ${\ displaystyle \ nabla ^{2}}$

Tensorový derivát

Del lze také použít na vektorové pole, přičemž výsledkem je tenzor . Tenzor derivát vektorového pole (ve třech rozměrech) je 9-termín druhořadou tensor - to je, 3 x 3 matice - ale může být označován jednoduše jako , kde představuje Dyadická produkt . Toto množství je ekvivalentní transpozici jakobiánské matice vektorového pole s ohledem na prostor. Divergence vektorového pole pak může být vyjádřena jako stopa této matice. ${\ displaystyle {\ vec {v}}}$${\ Displaystyle \ nabla \ otimes {\ vec {v}}}$${\ Displaystyle \ otimes}$

U malého posunutí je změna ve vektorovém poli dána vztahem: ${\ displaystyle \ delta {\ vec {r}}}$

${\ Displaystyle \ delta {\ vec {v}} = (\ nabla \ otimes {\ vec {v}})^{T} \ cdot \ delta {\ vec {r}}}$

Pravidla produktu

Pro vektorový počet :

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ nabla (fg) & = f \ nabla g+g \ nabla f \\\ nabla ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) & = { \ vec {u}} \ times (\ nabla \ times {\ vec {v}})+{\ vec {v}} \ times (\ nabla \ times {\ vec {u}})+({\ vec { u}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}}+({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) {\ vec {u}} \\\ nabla \ cdot (f {\ vec {v} }) & = f (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})+{\ vec {v}} \ cdot (\ nabla f) \\\ nabla \ cdot ({\ vec {u}} \ times { \ vec {v}}) & = {\ vec {v}} \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {u}})-{\ vec {u}} \ cdot (\ nabla \ times {\ vec { v}}) \\\ nabla \ times (f {\ vec {v}}) & = (\ nabla f) \ times {\ vec {v}}+f (\ nabla \ times {\ vec {v}} ) \\\ nabla \ times ({\ vec {u}} \ times {\ vec {v}}) & = {\ vec {u}} \, (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})- {\ vec {v}} \, (\ nabla \ cdot {\ vec {u}})+({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) \, {\ vec {u}}-({\ vec {u}} \ cdot \ nabla) \, {\ vec {v}} \ end {zarovnáno}}}$

Pro maticový počet (pro který lze zapsat ): ${\ displaystyle {\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}}$${\ displaystyle {\ vec {u}}^{\ text {T}} {\ vec {v}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ left (\ mathbf {A} \ nabla \ right) ^{\ text {T}} {\ vec {u}} & = \ nabla ^{\ text {T}} \ vlevo (\ mathbf {A} ^{\ text {T}} {\ vec {u}} \ right)-\ left (\ nabla ^{\ text {T}} \ mathbf {A} ^{\ text {T }} \ right) {\ vec {u}} \ end {aligned}}}$

Další zajímavý vztah (viz např. Eulerovy rovnice ) je následující, kde je tenzor vnějšího produktu : ${\ displaystyle {\ vec {u}} \ otimes {\ vec {v}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ nabla \ cdot ({\ vec {u}} \ otimes {\ vec {v}}) = (\ nabla \ cdot {\ vec {u}}) {\ vec {v }}+({\ vec {u}} \ cdot \ nabla) {\ vec {v}} \ end {aligned}}}$

Druhé deriváty

DCG graf: Jednoduchý graf zobrazující všechna pravidla týkající se druhých derivátů. D, C, G, L a CC jsou zkratka pro divergenci, zvlnění, spád, Laplacián a zvlnění zvlnění. Šipky ukazují na existenci druhých derivátů. Modrý kruh uprostřed představuje zvlnění, zatímco další dva červené kruhy (čárkované) znamenají, že DD a GG neexistují.

Když del funguje na skaláru nebo vektoru, je vrácen skalár nebo vektor. Vzhledem k rozmanitosti vektorových produktů (skalární, tečkovaný, křížový) jedna aplikace del již dala vzniknout třem hlavním derivátům: gradientu (skalární součin), divergenci (bodový součin) a zvlnění (křížový součin). Opětovné použití těchto tří druhů derivátů na sebe dává pět možných druhých derivací pro skalární pole f nebo vektorové pole v ; použití skalárního Laplacianu a vektoru Laplaciana dává další dvě:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} f) & = \ nabla \ cdot (\ nabla f) \\\ operatorname {curl} (\ operatorname {grad} f) & = \ nabla \ times (\ nabla f) \\\ Delta f & = \ nabla ^{2} f \\\ operatorname {grad} (\ operatorname {div} {\ vec {v}}) & = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) \\\ operatorname {div} (\ operatorname {curl} {\ vec {v}}) & = \ nabla \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {v}}) \\\ operatorname {curl} (\ operatorname {curl} {\ vec {v}}) & = \ nabla \ times (\ nabla \ times {\ vec {v}}) \\\ Delta {\ vec {v} } & = \ nabla ^{2} {\ vec {v}} \ end {zarovnáno}}}$

Ty jsou zajímavé především proto, že nejsou vždy jedinečné nebo na sobě nezávislé. Dokud jsou funkce dobře vychované , dvě z nich jsou vždy nulové:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {curl} (\ operatorname {grad} f) & = \ nabla \ times (\ nabla f) = 0 \\\ operatorname {div} (\ operatorname {curl} {\ vec {v}}) & = \ nabla \ cdot (\ nabla \ times {\ vec {v}}) = 0 \ end {aligned}}}$

Dva z nich jsou si vždy rovni:

${\ Displaystyle \ operatorname {div} (\ operatorname {grad} f) = \ nabla \ cdot (\ nabla f) = \ nabla ^{2} f = \ Delta f}$

Zbývající 3 vektorové deriváty jsou spojeny rovnicí:

${\ Displaystyle \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times {\ vec {v}} \ right) = \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}})-\ nabla ^{2} {\ vec {proti}}}$

A jeden z nich lze dokonce vyjádřit součinem tenzoru, pokud jsou funkce dobře vychované:

${\ Displaystyle \ nabla (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) = \ nabla \ cdot ({\ vec {v}} \ otimes \ nabla)}$

Opatření

Většina z výše uvedených vektorových vlastností (kromě těch, které se výslovně spoléhají na diferenciální vlastnosti del - například pravidlo produktu) se spoléhá pouze na přeskupení symbolů a musí nutně platit, pokud je symbol del nahrazen jakýmkoli jiným vektorem. Toto je část hodnoty, kterou je třeba získat při notačním znázornění tohoto operátoru jako vektoru.

I když je možné často nahradit del s vektorem, a získání vektoru identitu, takže tyto identity mnemotechnický, naopak je ne nutně spolehlivé, protože del nemá dojíždět obecně.

Protipříklad, který se spoléhá na selhání dojíždění del:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) f & \ equiv ({\ vec {v}} \ cdot {\ vec {u}}) f \ \ (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) f & = \ left ({\ frac {\ částečný v_ {x}} {\ částečný x}}+{\ frac {\ částečný v_ {y}} {\ částečné y}}+{\ frac {\ částečné v_ {z}} {\ částečné z}} \ vpravo) f = {\ frac {\ částečné v_ {x}} {\ částečné x}} f+{\ frac {\ částečný v_ {y}} {\ částečný y}} f+{\ frac {\ částečný v_ {z}} {\ částečný z}} f \\ ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) f & = \ vlevo (v_ {x} {\ frac {\ částečný} {\ částečný x}}+v_ {y} {\ frac {\ částečný} {\ částečný y}}+v_ {z} {\ frac {\ částečný} {\ částečný z}} \ vpravo) f = v_ {x} {\ frac {\ částečný f} {\ částečný x}}+v_ {y} {\ frac {\ částečný f} {\ částečný y}}+v_ {z } {\ frac {\ částečný f} {\ částečný z}} \\\ Rightarrow (\ nabla \ cdot {\ vec {v}}) f & \ neq ({\ vec {v}} \ cdot \ nabla) f \ \\ end {aligned}}}$

Protipříklad, který se spoléhá na diferenciální vlastnosti del:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} (\ nabla x) \ times (\ nabla y) & = \ left ({\ vec {e}} _ {x} {\ frac {\ částečný x} {\ částečný x} }+{\ vec {e}} _ {y} {\ frac {\ částečný x} {\ částečný y}}+{\ vec {e}} _ {z} {\ frac {\ částečný x} {\ částečný z}} \ right) \ times \ left ({\ vec {e}} _ {x} {\ frac {\ částečné y} {\ částečné x}}+{\ vec {e}} _ {y} {\ frac {\ částečné y} {\ částečné y}}+{\ vec {e}} _ {z} {\ frac {\ částečné y} {\ částečné z}} \ vpravo) \\ & = ({\ vec { e}} _ {x} \ cdot 1+{\ vec {e}} _ {y} \ cdot 0+{\ vec {e}} _ {z} \ cdot 0) \ times ({\ vec {e} } _ {x} \ cdot 0+{\ vec {e}} _ {y} \ cdot 1+{\ vec {e}} _ {z} \ cdot 0) \\ & = {\ vec {e}} _ {x} \ times {\ vec {e}} _ {y} \\ & = {\ vec {e}} _ {z} \\ ({\ vec {u}} x) \ times ({\ vec {u}} y) & = xy ({\ vec {u}} \ times {\ vec {u}}) \\ & = xy {\ vec {0}} \\ & = {\ vec {0}} \ end {aligned}}}$

Ústředním bodem těchto rozdílů je skutečnost, že del není jen vektor; je to vektorový operátor . Zatímco vektor je objekt s magnitudou i směrem, del nemá ani velikost, ani směr, dokud nepracuje s funkcí.

Z tohoto důvodu musí být identity zahrnující del odvozeny opatrně, s využitím vektorových identit i diferenciačních identit, jako je pravidlo produktu.

Viz také

• Del ve válcových a sférických souřadnicích
• Zápis pro rozlišení
• Identity vektorového počtu
• Maxwellovy rovnice
• Navier – Stokesovy rovnice
• Tabulka matematických symbolů
• Operátor Quabla

Reference

• Willard Gibbs & Edwin Bidwell Wilson (1901) Vector Analysis , Yale University Press , 1960: Dover Publications .
• Schey, HM (1997). Div, Grad, Curl a vše ostatní: neformální text o vektorovém počtu . New York: Norton. ISBN 0-393-96997-5.
• Miller, Jeff. „Nejčasnější použití symbolů počtu“ .
• Arnold Neumaier (26. ledna 1998). Cleve Moler (ed.). „Historie Nabla“ . NA Digest, svazek 98, vydání 03. netlib.org.

externí odkazy

• Průzkum nesprávného použití ∇ ve vektorové analýze (1994) Tai, Chen