Trace (lineární algebra) - Trace (linear algebra)

V lineární algebře je stopa o čtvercové matice A , označený TR ( ) , je definována jako součet prvků na hlavní diagonále (z horní zleva vpravo dole) z A .

Stopa matice je součtem jejích (komplexních) vlastních čísel (počítaných s multiplicitami) a je invariantní vzhledem ke změně základu . Tuto charakterizaci lze použít k definování stopy lineárního operátoru obecně. Trasování je definováno pouze pro čtvercovou matici ( n × n ).

Stopa souvisí s derivací determinantu (viz Jacobiho vzorec ).

Definice

Stopa z n x n čtvercová matice A je definováno jako

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = \ sum _ {i = 1}^{n} a_ {ii} = a_ {11}+a_ {22}+\ dots+a_ {nn} }$

kde _ii označuje vstup na i- tý řádek a i tý sloupec A .

Příklad

Nechť A je matice, s

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32 } & a_ {33} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 11 & 5 & 2 \\ 6 & 12 & -5 \ end {pmatrix}}}$

Pak

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = \ sum _ {i = 1}^{3} a_ {ii} = a_ {11}+a_ {22}+a_ {33} = 1+ 5+(-5) = 1}$

Vlastnosti

Základní vlastnosti

Trasování je lineární mapování . To znamená,

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} +\ mathbf {B}) & = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) +\ operatorname {tr} (\ mathbf {B}) \\\ operatorname {tr} (c \ mathbf {A}) & = c \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ end {aligned}}}$

pro všechny čtvercové matice A a B a všechny skaláry c .

Matice a její transpozice mají stejnou stopu:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^{\ mathsf {T}} \ right).}$

To bezprostředně vyplývá ze skutečnosti, že transpozice čtvercové matice neovlivňuje prvky podél hlavní diagonály.

Stopa výrobku

Stopa čtvercové matice, která je součinem dvou matic, lze přepsat jako součet vstupních součinů jejich prvků. Přesněji, pokud A a B jsou dvě m  ×  n matice, pak:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^{\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {B } ^{\ mathsf {T}} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {B} ^{\ mathsf {T}} \ mathbf {A} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {B} \ mathbf {A} ^{\ mathsf {T}} \ right) = \ sum _ {i, j} a_ {ji} b_ {ji}.}$

To znamená, že stopa součinu matic stejné velikosti funguje podobným způsobem jako bodový součin vektorů (představte si A a B jako dlouhé vektory se sloupci naskládanými na sebe). Z tohoto důvodu zobecnění vektorových operací na matice (např. V maticovém počtu a statistikách ) často zahrnuje stopu maticových produktů.

Pro skutečné matice A a B lze stopu produktu zapsat také v následujících formách:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^{\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ right) = \ sum _ {i, j} (\ mathbf {A} \ circle \ mathbf {B}) _ {ij}}$	(pomocí produktu Hadamard , známého také jako vstupní produkt).
${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^{\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ right) = \ operatorname {vec} (\ mathbf {B}) ^{\ mathsf { T}} \ operatorname {vec} (\ mathbf {A}) = \ operatorname {vec} (\ mathbf {A})^{\ mathsf {T}} \ operatorname {vec} (\ mathbf {B})}$	(pomocí operátoru vektorizace ).

Matice ve stopě produktu lze přepnout beze změny výsledku: Pokud A je matice m × n a B je matice n × m , pak

Navíc pro skutečné sloupcové matice a stopa vnějšího produktu je ekvivalentní vnitřnímu produktu: ${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ in \ mathbb {R} ^{n}}$${\ Displaystyle \ mathbf {b} \ in \ mathbb {R} ^{n}}$

Cyklická vlastnost

Obecněji je stopa při cyklických permutacích neměnná , tj.

Toto je známé jako cyklická vlastnost .

Libovolné permutace nejsou povoleny: obecně platí,

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C}) \ neq \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {C} \ mathbf {B}). }$

Pokud jsou však brány v úvahu produkty tří symetrických matic, je povolena jakákoli permutace, protože:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C}) = \ operatorname {tr} \ left (\ left (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf { C} \ right)^{\ mathsf {T}} \ right) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {C} \ mathbf {B} \ mathbf {A}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A } \ mathbf {C} \ mathbf {B}),}$

kde první rovnost je, protože stopy matice a její transpozice jsou stejné. Všimněte si toho, že to neplatí obecně pro více než tři faktory.

Stopa maticového produktu

Na rozdíl od determinantu není stopa produktu součinem stop, tj. Existují matice A a B takové, že

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) \ neq \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf {B})}$

Například pokud

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}, \ \ \ mathbf {B} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} ,}$

pak je produkt

${\ displaystyle \ mathbf {AB} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}},}$

a stopy jsou ${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = 1 \ neq 0 \ cdot 0 = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf { B}).}$

Stopa produktu Kronecker

Stopa Kroneckerova produktu dvou matic je výsledkem jejich stop:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}).}$

Úplná charakteristika stopy

Následující tři vlastnosti:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} +\ mathbf {B}) & = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) +\ operatorname {tr} (\ mathbf {B}), \\\ operatorname {tr} (c \ mathbf {A}) & = c \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}), \\\ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) & = \ operatorname {tr} (\ mathbf {B} \ mathbf {A}), \ end {aligned}}}$

stopu zcela charakterizujte v následujícím smyslu. Nechť f je lineární funkce v prostoru čtvercových matic splňující f  ( xy ) = f  ( yx ) . Pak jsou f a tr úměrné.

Neměnnost podobnosti

Trasa je invariantní podobností , což znamená, že pro jakoukoli čtvercovou matici A a jakoukoli invertovatelnou matici P stejných rozměrů mají matice A a P ⁻¹ AP stejnou stopu. To je proto, že

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {P} ^{-1} \ mathbf {A} \ mathbf {P} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {P} ^{ -1} (\ mathbf {A} \ mathbf {P}) \ right) = \ operatorname {tr} \ left ((\ mathbf {A} \ mathbf {P}) \ mathbf {P} ^{-1} \ vpravo) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} \ left (\ mathbf {P} \ mathbf {P} ^{-1} \ right) \ right) = \ operatorname {tr} (\ mathbf { A}).}$

Stopa součinu symetrické a zkosené symetrické matice

Pokud je symetrický a B je zešikmení symetrická , potom

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = 0}$.

Vztah k vlastním číslům

Stopa matice identity

Stopa n × n matice identity je dimenze prostoru, konkrétně n .

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {I} _ {n} \ right) = n}$

To vede k zobecnění dimenze pomocí trasování .

Stopa idempotentní matice

Trasa z idempotent matice A (matice, pro které ² = ) se rovná hodnosti části A .

Stopa nilpotentní matice

Stopa nulové potenciální matice je nulová.

Když je charakteristika základního pole nulová, platí i obráceně: jestliže tr ( A ^k ) = 0 pro všechna k , pak A je nilpotentní.

Když je charakteristika n > 0 kladná, identita v n dimenzích je protipříkladem, jako , ale identita není nulová. ${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {I} _ {n}^{k} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {I} _ {n} \ right) = n \ equiv 0}$

Trace se rovná součtu vlastních hodnot

Obecněji, pokud

${\ Displaystyle f (x) = \ prod _ {i = 1}^{k} \ left (x- \ lambda _ {i} \ right)^{d_ {i}}}$

je charakteristický polynom matice A , pak

to znamená, že stopa čtvercové matice se rovná součtu vlastních čísel počítaných s multiplicitami.

Stopa komutátoru

Když oba a B jsou n x n matice, stopě (ring-teoretická) komutátoru z A a B zmizí: tr ([ , B ]) = 0 , protože TR ( AB ) = tr ( BA ) a tr je lineární. Lze to říci jako „stopa je mapa Lieových algeber gl _n → k od operátorů ke skalárům“, protože komutátor skalárů je triviální (jedná se o algebru Abelian Lie). Zejména při použití invariance podobnosti vyplývá, že matice identity není nikdy podobná komutátoru jakékoli dvojice matic.

Naopak jakákoli čtvercová matice s nulovou stopou je lineární kombinací komutátorů dvojic matic. Navíc jakákoli čtvercová matice s nulovou stopou je jednotkově ekvivalentní čtvercové matici s diagonálou skládající se ze všech nul.

Stopa hermitovské matice

Stopa hermitovské matice je skutečná, protože prvky na diagonále jsou skutečné.

Stopa permutační matice

Stopa permutační matice je počet pevných bodů , protože diagonální člen a _ii je 1, pokud je i tý bod pevný a 0 jinak.

Stopa projekční matice

Stopa projekční matice je dimenzí cílového prostoru.

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {P} _ {\ mathbf {X}} & = \ mathbf {X} \ left (\ mathbf {X} ^{\ mathsf {T}} \ mathbf {X} \ right) ^{-1} \ mathbf {X} ^{\ mathsf {T}} \\ [3pt] \ Longrightarrow \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {P} _ {\ mathbf {X}} \ vpravo) & = \ jméno operátora {rank} (\ mathbf {X}). \ end {aligned}}}$

Matice P _X je idempotentní a obecněji se stopa jakékoli idempotentní matice rovná její vlastní pozici.

Exponenciální stopa

Výrazy jako tr (exp ( A )) , kde A je čtvercová matice, se v některých oblastech (např. Vícerozměrná statistická teorie) vyskytují tak často, že se stala běžnou zkratka:

${\ displaystyle \ operatorname {tre} (A): = \ operatorname {tr} (\ exp (A)).}$

tre je někdy označována jako exponenciální stopová funkce; používá se v Golden -Thompsonově nerovnosti .

Stopa lineárního operátoru

Obecně platí, že vzhledem k tomu, nějakou lineární mapa f  : V → V (kde V je finite- rozměrný vektorový prostor ), můžeme definovat trasu této mapě zvážením obrys průmětu reprezentace matice z f , která je, výběr základ pro V a popisující f jako matici vztaženou k tomuto základu, přičemž vezmeme stopu této čtvercové matice. Výsledek nebude záviset na zvoleném základě, protože různé báze povedou k podobným maticím , což umožňuje možnost definice stopy lineární mapy nezávislou na základu.

Taková definice lze aplikovat na kanonický izomorfismus mezi prostorem konci ( V ) lineárních map na V a V ⊗ V * , kde X * je duální prostor z V . Nechť v je ve V a f je ve V * . Potom je stopa nerozložitelného prvku v ⊗ f definována jako f  ( v ) ; stopa obecného prvku je definována linearitou. Pomocí explicitní báze pro V a odpovídající duální báze pro V * lze ukázat, že to dává stejnou definici stopy, jak je uvedeno výše.

Vztahy vlastních čísel

Pokud je lineární operátor reprezentován čtvercové matice s reálné nebo komplexními záznamy a pokud λ ₁ , ..., λ _n jsou vlastní hodnoty z A (uvedeno podle jejich algebraické násobnostmi ), poté

To vyplývá ze skutečnosti, že A je vždy podobná své Jordanově formě , horní trojúhelníkové matici, která má na hlavní úhlopříčce λ ₁ ,…, λ _n . Na rozdíl od toho determinant z A je produkt z jeho vlastních hodnot; to znamená,

${\ Displaystyle \ det (\ mathbf {A}) = \ prod _ {i} \ lambda _ {i}.}$

Obecněji,

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^{k} \ right) = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} ^{k}.}$

Deriváty

Stopa odpovídá derivaci determinantu: je to analog algebry Lieovy mapy ( skupiny Lieových ) determinantu. To je přesné Jacobiova rovnice pro derivát z determinant .

Jako konkrétní případ, na totožnosti , derivát determinantu ve skutečnosti činí stopy: tr = det ' _I . Z toho (nebo ze spojení mezi stopou a vlastními hodnotami) lze odvodit spojení mezi stopovou funkcí, exponenciální mapou mezi Lieovou algebrou a její Lieovou skupinou (nebo konkrétně maticovou exponenciální funkcí) a determinantem :

${\ Displaystyle \ det (\ exp (\ mathbf {A})) = \ exp (\ operatorname {tr} (\ mathbf {A})).}$

Zvažte například rodinu jednoho parametru lineárních transformací daných otáčením o úhel θ ,

${\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {\ theta} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta &-\ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}.}$

Všechny tyto transformace mají determinant 1, takže zachovávají oblast. Derivát této rodiny při θ = 0 , rotace identity, je antisymetrická matice

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

který má jasně stopovou nulu, což naznačuje, že tato matice představuje nekonečně malou transformaci, která zachovává oblast.

Související charakterizace stopy platí pro lineární vektorová pole . Vzhledem k matici A definujte vektorové pole F na R ⁿ pomocí F ( x ) = Ax . Komponenty tohoto vektorového pole jsou lineární funkce (dané řádky A ). Jeho divergence div F je konstantní funkce, jejíž hodnota se rovná tr ( A ) .

Při rozbíhání věty , lze vyložit z hlediska toků: v případě, F ( x ) představuje rychlost tekutiny v místě X a U je oblast v R ⁿ je čistý tok na ven tekutiny U je dán tr ( ) · díl ( U ) , přičemž díl ( U ) je objem o U .

Trasování je lineární operátor, proto dojíždí s derivací:

${\ displaystyle \ operatorname {d} \ operatorname {tr} (\ mathbf {X}) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {d} \ mathbf {X}).}$

Aplikace

Ke klasifikaci Möbiusových transformací se používá stopa 2 × 2 komplexní matice . Nejprve je matice normalizována tak, aby její determinant byl roven jedné. Pokud je tedy čtverec stopy 4, je odpovídající transformace parabolická . Pokud je čtverec v intervalu [0,4) , je eliptický . Nakonec, pokud je čtverec větší než 4, transformace je loxodromická . Viz klasifikace Möbiusových transformací .

Trasování slouží k definování postavy ze skupinových reprezentací . Dva reprezentace , B  : G → GL ( V ) ze skupiny G jsou ekvivalentní (až do změny základu na V ), kde tr ( ( g )) = tr ( B ( g )) pro všechny g ∈ G .

Trasování také hraje ústřední roli v distribuci kvadratických forem .

Lež algebra

Trasa je mapa Lieových algeber z Lieovy algebry lineárních operátorů na n -rozměrném prostoru ( n × n matric se vstupy v ) do Lieovy algebry K skalárů; protože K je Abelian (hranatá závorka zmizí), skutečnost, že se jedná o mapu Lieových algeber, je přesně tvrzením, že stopa závorky zmizí: ${\ displaystyle \ operatorname {tr}: {\ mathfrak {gl}} _ {n} \ to K}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$${\ displaystyle K}$

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} ([\ mathbf {A}, \ mathbf {B}]) = 0 {\ text {for each}} \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ in {\ mathfrak { gl}} _ {n}.}$

O jádru této mapy, matici, jejíž stopa je nulová , se často říká, že je beze stopy nebostopové zdarma , a tyto matrice tvoříjednoduché algebry lži , což jelež algebryzespeciálního lineárního skupinymatic s determinantu 1. Zvláštní lineární skupina se skládá z matric, které nemění objem, zatímcozvláštní lineární algebry lžije matice, které nemění objemnekonečně malýchmnožin. ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n}}$

Ve skutečnosti dochází k vnitřnímu přímému rozkladu součtů operátorů/matic na beze stopy operátorů/matic a skalárních operátorů/matic. Projekční mapu na skalární operátory lze vyjádřit pomocí stopy, konkrétně jako: ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ oplus K}$

${\ Displaystyle \ mathbf {A} \ mapsto {\ frac {1} {n}} \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ mathbf {I}.}$

Formálně lze stopu ( mapu hrabství ) sestavit z jednotkové mapy „zahrnutí skalárů “, abychom získali mapu mapující na skaláry a vynásobenou n . Dělení n to dělá projekcí, čímž se získá vzorec výše. ${\ displaystyle K \ to {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} \ to {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$

Pokud jde o krátké přesné sekvence , jeden má

${\ Displaystyle 0 \ to {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ to {\ mathfrak {gl}} _ {n} {\ overset {\ operatorname {tr}} {\ to}} K \ to 0}$

což je analogické

${\ Displaystyle 1 \ to \ operatorname {SL} _ {n} \ to \ operatorname {GL} _ {n} {\ overset {\ det} {\ to}} K^{*} \ to 1}$

(kde ) pro Lieovy skupiny. Stopa se však rozděluje přirozeně (prostřednictvím skalárů časů) , ale rozdělení determinantu by bylo jako n -tý kořen krát skaláry, a to obecně nedefinuje funkci, takže se determinant nerozděluje a obecná lineární skupina nerozkládá se: ${\ Displaystyle K^{*} = K \ setminus \ {0 \}}$${\ Displaystyle 1/n}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ oplus K}$

${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} \ neq \ operatorname {SL} _ {n} \ times K^{*}.}$

Bilineární formy

Bilineární forma (kde X , Y jsou čtvercové matice)

${\ Displaystyle B (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {ad} (\ mathbf {X}) \ operatorname {ad} (\ mathbf {Y})) \ quad {\ text {where}} \ operatorname {ad} (\ mathbf {X}) \ mathbf {Y} = [\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}] = \ mathbf {X} \ mathbf {Y} -\ mathbf {Y} \ mathbf {X}}$

se nazývá Killingova forma , která se používá pro klasifikaci Lieových algeber.

Trasování definuje bilineární formu:

${\ Displaystyle (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) \ mapsto \ operatorname {tr} (\ mathbf {X} \ mathbf {Y}).}$

Forma je symetrická, nedegenerovaná a asociativní v tom smyslu, že:

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {X} [\ mathbf {Y}, \ mathbf {Z}]) = \ operatorname {tr} ([[\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}] \ mathbf {Z}).}$

Pro komplexní jednoduchou Lieovu algebru (například _n ) je každá taková bilineární forma navzájem úměrná; zejména do formuláře Killing. ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}}}$

Říká se, že dvě matice X a Y jsou stopové ortogonální, pokud

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {X} \ mathbf {Y}) = 0}$.

Vnitřní výrobek

Pro matici m × n A s komplexními (nebo skutečnými) vstupy a ^H jako konjugovanou transpozici máme

${\ displaystyle \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^{\ mathsf {H}} \ mathbf {A} \ right) \ geq 0}$

s rovností právě tehdy, když A = 0 .

Úkol

${\ Displaystyle \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^{\ mathsf {H}} \ mathbf {B} \ right)}$

dává vnitřní součin v prostoru všech komplexních (nebo skutečných) m × n matic.

Normou odvozený z výše uvedeného vnitřního produktu se nazývá Frobenius normu , která splňuje submultiplicative vlastnost jako matrice normy. Pokud je matice považována za vektor délky m ⋅ n , je to prostě euklidovská norma .

Z toho vyplývá, že pokud A a B jsou skutečné kladné polodefinované matice stejné velikosti, pak

${\ Displaystyle 0 \ leq \ left [\ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) \ right] ^{2} \ leq \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^{ 2} \ right) \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {B} ^{2} \ right) \ leq \ left [\ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ right] ^{2} \ vlevo [\ operatorname {tr} (\ mathbf {B}) \ right]^{2}.}$

Zobecnění

Koncepce stopy matice je zobecnit na trasování třídy z kompaktních operátorů na Hilbert prostorech a analog Frobeniova normy se nazývá Hilbert-Schmidt normu.

Pokud K je trace-class, pak pro jakýkoli ortonormální základ je trasování dáno pomocí ${\ Displaystyle (\ varphi _ {n}) _ {n}}$

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (K) = \ sum _ {n} \ left \ langle \ varphi _ {n}, K \ varphi _ {n} \ right \ rangle,}$

a je konečný a nezávislý na ortonormálním základě.

Dílčí stopa je další zevšeobecňování stopy, které je operátor-cenil. Stopa lineárního operátoru Z, který žije v produktovém prostoru A ⊗ B, se rovná dílčím stopám přes A a B :

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (Z) = \ operatorname {tr} _ {A} \ left (\ operatorname {tr} _ {B} (Z) \ right) = \ operatorname {tr} _ {B} \ vlevo (\ operatorname {tr} _ {A} (Z) \ right).}$

Další vlastnosti a zobecnění částečného trasování najdete v trasovaných monoidálních kategoriích .

Pokud je obecný asociativní algebra přes pole k , pak stopa na A je často definována jako jakýkoliv mapa tr: ↦ k které mizí na komutátorů: tr ([ , b ]) pro všechny A , b ∈ A . Taková stopa není jednoznačně definována; vždy jej lze alespoň upravit vynásobením nenulovým skalárem.

Supertrace je zobecnění stopy k nastavení superalgebry .

Operace kontrakce tenzoru generalizuje trasování na libovolné tenzory.

Definice bez souřadnic

Ke stopě lze také přistoupit bezsouřadnicovým způsobem, tj. Bez odvolání se na výběr základu, takto: prostor lineárních operátorů na konečném rozměrovém vektorovém prostoru V (definovaném nad polem F ) je izomorfní k prostor V ⊗ V ^∗ prostřednictvím lineární mapy

${\ Displaystyle V \ otimes V^{*} \ to \ operatorname {Hom} (V, V), v \ otimes h \ mapsto (w \ mapsto h (w) v).}$

Existuje také kanonická bilineární funkce t  : V × V ^∗ → F, která spočívá v aplikaci prvku w ^∗ z V ^∗ na prvek v z V pro získání prvku F :

${\ Displaystyle t \ left (v, w^{*} \ right): = w^{*} (v) \ in F.}$

To indukuje lineární funkci na tenzorovém produktu (podle jeho univerzální vlastnosti ) t  : V ⊗ V ^∗ → F , což, jak se ukazuje, když je tenzorový produkt vnímán jako prostor operátorů, je roven stopě.

Zejména s ohledem na jedničkový operátor A (ekvivalentně jednoduchý tenzor ) je čtverec proto, že na jeho jednorozměrném obrázku je A jen skalární násobení. Z hlediska výrazu tenzoru je to stopa (a pouze nenulová vlastní hodnota) A ; to dává výklad souřadnic bez souřadnic. Každý operátor na n -dimenzionálním prostoru může být vyjádřen jako součet n operátorů první úrovně; tím se získá verze součtů diagonálních záznamů bez souřadnic. ${\ Displaystyle v \ otimes w^{*}}$${\ Displaystyle A^{2} = \ lambda A,}$${\ Displaystyle \ lambda = w^{*} (v),}$

To také objasňuje, proč tr ( AB ) = tr ( BA ) a proč tr ( AB ) ≠ tr ( A ) tr ( B ) , jako složení operátorů (násobení matic) a stopy lze interpretovat jako stejné párování. Prohlížení

${\ displaystyle \ operatorname {End} (V) \ cong V \ otimes V^{*},}$

lze interpretovat mapu kompozice

${\ displaystyle \ operatorname {End} (V) \ times \ operatorname {End} (V) \ to \ operatorname {End} (V)}$

tak jako

${\ Displaystyle (V \ otimes V^{*}) \ times (V \ otimes V^{*}) \ to (V \ otimes V^{*})}$

pocházející z párování V ^∗ × V → F ve středních termínech. Získání stopy produktu pak pochází z párování na vnějších podmínkách, přičemž produkt v opačném pořadí a poté sledování stopy pouze přepne, které párování se použije jako první. Na druhou stranu, přičemž stopa A a stopa B odpovídá aplikaci párování na levé termíny a na pravé termíny (spíše než na vnitřní a vnější), a je tedy odlišná.

V souřadnicích to odpovídá indexům: násobení je dáno vztahem

${\ Displaystyle (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) _ {ik} = \ sum _ {j} a_ {ij} b_ {jk},}$

tak

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = \ sum _ {ij} a_ {ij} b_ {ji} \ quad {\ text {and}} \ quad \ operatorname {tr } (\ mathbf {B} \ mathbf {A}) = \ sum _ {ij} b_ {ij} a_ {ji}}$

což je stejné, zatímco

${\ displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ cdot \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}) = \ sum _ {i} a_ {ii} \ cdot \ sum _ {j} b_ { jj},}$

což je jiné.

Pro V s konečnou dimenzí , se základem { e _i } a duálním základem { e ⁱ } , pak e _i ⊗ e ^j je ij -zadání matice operátoru s ohledem na tento základ. Každý operátor A je tedy součtem formuláře

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = a_ {ij} e_ {i} \ otimes e^{j}.}$

S t definovaným výše

${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) = a_ {ij} \ operatorname {tr} \ left (e_ {i} \ otimes e^{j} \ right).}$

Ten druhý je však pouze Kroneckerova delta , která je 1, pokud i = j a 0 jinak. To ukazuje, že tr ( A ) je jednoduše součet koeficientů podél diagonály. Tato metoda však dělá z invariance souřadnic bezprostřední důsledek definice.

Dvojí

Dále je možné tuto mapu dualizovat získáním mapy

${\ Displaystyle F^{*} = F \ to V \ otimes V^{*} \ cong \ operatorname {End} (V).}$

Tato mapa je přesně zahrnutím skalárů , posílajících 1 ∈ F do matice identity: „stopa je duální vůči skalárům“. V jazyce bialgebras jsou skaláry jednotkou , zatímco stopa je hrabství .

Potom je lze složit,

${\ displaystyle F ~ {\ overset {I} {\ to}} ~ \ operatorname {End} (V) ~ {\ overset {\ operatorname {tr}} {\ to}} ~ F,}$

což vede k násobení n , protože stopa identity je dimenze vektorového prostoru.

Zobecnění

Pomocí pojmu dualizovatelných objektů a kategoriálních stop lze tento přístup ke stopám plodně axiomatizovat a aplikovat na další matematické oblasti.

Viz také

• Stopa tenzoru s ohledem na metrický tenzor
• Charakteristická funkce
• Stopa pole
• Zlatá – Thompsonova nerovnost
• Singulární stopa
• Spechtova věta
• Třída stop
• Sledovat identitu
• Sledujte nerovnosti
• von Neumannova stopová nerovnost

Poznámky

Reference

externí odkazy

• „Stopa čtvercové matice“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]