Penrose -Hawkingovy věty singularity - Penrose–Hawking singularity theorems

Obecná relativita
${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu}+\ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c^{4}} T _ {\ mu \ nu}}$
Úvod Dějiny Matematická formulace Testy
Základní koncepty Princip ekvivalence Speciální relativita Světová linie Pseudo-Riemannian potrubí
Jevy Keplerův problém Gravitační čočky Gravitační vlny Přetahování snímků Geodetický efekt Horizont událostí Jedinečnost Černá díra Vesmírný čas Časoprostorové diagramy Časoprostor Minkowski Einstein – Rosenův most
Rovnice Formalismy Rovnice Linearizovaná gravitace Einsteinovy ​​rovnice pole Friedmanna Geodetika Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Formalismy ADM BSSN Post-newtonský Pokročilá teorie Kaluza – Kleinova teorie Kvantová gravitace
Řešení Schwarzschild ( interiér ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr – Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker pp-vlna van Stockum prach Weyl - Lewis - Papapetrou
Vědci Einstein Lorentz Hilberte Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Kolář Robertson Bardeen chodec Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Nový muž Yau Thorne ostatní
Fyzikální portál  Kategorie
proti t E

Tyto Penrose-Odkašlávat Singularity věty (po Roger Penrose a Stephen Hawking ) je sada výsledků v obecné relativity , které se pokoušejí odpovědět na otázku, kdy gravitace produkuje singularity . Penroseova singularity věta je věta v semi-Riemannian geometrie a jeho celková relativistická interpretace předpovídá gravitační výstřednost při tvorbě černé díry. Na Hawking je singularita věta je založen na Penrose teorému a je interpretated jako gravitační singularity v Big Bang situaci. Penrose získal v roce 2020 Nobelovu cenu za fyziku „za objev, že tvorba černé díry je robustní predikcí obecné teorie relativity“, o kterou se podělil s Reinhardem Genzelem a Andreou Ghezem .

Jedinečnost

Jedinečnost v řešeních Einsteinových rovnic pole je jednou ze dvou věcí:

1. situace, kdy je hmota nucena být stlačena do bodu (prostorová singularita)
2. situace, kdy určité světelné paprsky pocházejí z oblasti s nekonečným zakřivením (časová singularita)

Prostorové singularity jsou rysem nerotujících černých děr bez náboje, jak je popsáno v Schwarzschildově metrice , zatímco časové singularity jsou ty, které se vyskytují v přesných řešeních nabitých nebo rotujících černých děr. Oba mají vlastnost geodetické neúplnosti , kdy nelze buď určitou světelnou cestu, nebo nějakou dráhu částic prodloužit za určitý správný čas nebo afinní parametr (afinní parametr je nulový analog správného času).

Penrosova věta zaručuje, že v každé černé díře nastane jakýkoli druh geodetické neúplnosti, kdykoli hmota splňuje rozumné energetické podmínky . Energetický stav požadovaný pro větu o singularitě černé díry je slabý: říká se, že světelné paprsky jsou vždy soustředěny společně gravitací, nikdy nejsou odděleny, a to platí vždy, když energie hmoty není záporná.

Hawkingova věta singularity je pro celý vesmír a funguje zpětně v čase: zaručuje, že (klasický) velký třesk má nekonečnou hustotu. Tato věta je omezenější a platí pouze tehdy, když hmota dodržuje silnější energetické podmínky, nazývané dominantní energetické podmínky , ve kterých je energie větší než tlak. Veškerá běžná hmota, s výjimkou hodnoty očekávání vakua skalárního pole , tuto podmínku splňuje. Během inflace vesmír narušuje dominantní energetickou podmínku a původně se tvrdilo (např. Starobinským), že inflační kosmologie by se mohly vyhnout prvotní singularitě velkého třesku. Od té doby se však ukázalo, že inflační kosmologie jsou stále minulostí neúplné, a proto vyžadují k popisu minulé hranice nafukovací oblasti časoprostoru jinou fyziku než inflaci.

Stále je otevřenou otázkou, zda (klasická) obecná relativita předpovídá časově podobné singularity v nitru realistických nabitých nebo rotujících černých děr, nebo zda se jedná o artefakty řešení s vysokou symetrií a proměnit se v prostorové singularity, když se přidají poruchy.

Interpretace a význam

V obecné relativitě je singularita místo, kam mohou objekty nebo světelné paprsky dosáhnout v konečném čase, kde se zakřivení stane nekonečným, nebo časoprostor přestane být rozmanitý . Singularity lze nalézt ve všech časoprostorech černé díry, Schwarzschildově metrice , Reissnerově-Nordströmově metrice , Kerrově metrice a Kerr-Newmanově metrice a ve všech kosmologických řešeních, která nemají energii skalárního pole ani kosmologickou konstantu.

Nelze předvídat, co může v naší minulosti vyjít „z“ singularity velkého třesku, nebo co se stane pozorovateli, který v budoucnosti „zapadne“ do singularity černé díry, takže vyžadují úpravu fyzikálního zákona. Před Penroseem bylo myslitelné, že singularity se tvoří pouze ve vykonstruovaných situacích. Například při kolapsu hvězdy za vzniku černé díry, pokud se hvězda otáčí a má tedy určitý moment hybnosti , možná odstředivá síla částečně působí proti gravitaci a brání vzniku singularity. Věty o singularitě dokazují, že se to nemůže stát a že singularita se vytvoří vždy, jakmile se vytvoří horizont událostí .

V příkladu kolabující hvězdy, protože je veškerá hmota a energie zdrojem gravitační přitažlivosti v obecné relativitě, dodatečný moment hybnosti přitáhne hvězdu k sobě jen silněji, když se smršťuje: část mimo horizont událostí se nakonec usadí až do Kerrové černé díry (viz Věta o no-hair ). Část uvnitř horizontu událostí musí mít někde jedinečnost. Důkaz je poněkud konstruktivní-ukazuje, že singularitu lze nalézt sledováním světelných paprsků z povrchu těsně uvnitř horizontu. Důkaz ale neříká, jaký typ singularity se vyskytuje, prostorový, časový, orbifoldový , skoková nespojitost v metrice. Pouze zaručuje, že pokud někdo sleduje časově podobnou geodetiku do budoucnosti, je nemožné, aby hranice oblasti, kterou tvoří, byla generována nulovou geodetikou z povrchu. To znamená, že hranice musí pocházet buď odnikud, nebo celá budoucnost končí nějakým konečným rozšířením.

Zajímavý „filozofický“ rys obecné relativity odhalují věty o singularitě. Protože obecná relativita předpovídá nevyhnutelný výskyt singularit, není teorie úplná bez specifikace toho, co se stane s hmotou, která zasáhne singularitu. Obecnou relativitu lze rozšířit na unifikovanou teorii pole, jako je systém Einstein – Maxwell – Dirac, kde se takové singularity nevyskytují.

Prvky vět

V historii existuje hluboké spojení mezi zakřivením potrubí a jeho topologií . Bonnet-Myers teorém říká, že úplný Riemannian různý, který má Ricci zakřivení všude větší než určitý pozitivní konstanty musí být kompaktní . Stav kladného Ricciho zakřivení je nejvýhodněji stanoven následujícím způsobem: pro každou geodetiku existuje blízká zpočátku rovnoběžná geodetika, která se při prodloužení ohne směrem k ní, a obě se protnou v určité konečné délce.

Když se protnou dvě blízké paralelní geodetiky , prodloužení kteréhokoli z nich již není nejkratší cestou mezi koncovými body. Důvodem je, že po prodloužení o stejné délce se nutně srazí dvě rovnoběžné geodetické cesty, a pokud je jedna cesta následována křižovatkou, pak druhou, spojujete koncové body negeodickou cestou stejné délky. To znamená, že aby byla geodetika nejkratší cestou, nesmí nikdy protínat sousední rovnoběžné geodetiky.

Počínaje malou sférou a vysíláním paralelních geodetik z hranice za předpokladu, že potrubí má Ricciho zakřivení ohraničené níže kladnou konstantou, žádná z geodetik není po nějaké době nejkratšími cestami, protože se všechny srazí se sousedem. To znamená, že po určitém množství rozšíření bylo dosaženo všech potenciálně nových bodů. Pokud jsou všechny body v připojeném potrubí v konečné geodetické vzdálenosti od malé koule, musí být potrubí kompaktní.

Roger Penrose argumentoval analogicky v relativitě. Pokud se do budoucnosti sleduje nulová geodetika , cesty světelných paprsků , generují se body v budoucnosti regionu. Pokud je bod na hranici budoucnosti regionu, lze jej dosáhnout pouze rychlostí světla, nikoli pomaleji, takže nulová geodetika zahrnuje celou hranici vlastní budoucnosti regionu. Když se nulová geodetika protne, už nejsou na hranici budoucnosti, jsou v nitru budoucnosti. Pokud tedy dojde ke srážce všech nulových geodetik, neexistuje žádná hranice do budoucnosti.

V relativitě je Ricciho zakřivení, které určuje kolizní vlastnosti geodetiky, určeno tenzorem energie a jeho projekce na světelné paprsky se rovná nulové projekci tenzoru energie – hybnosti a je vždy nezáporná. To znamená, že objem kongruence rovnoběžné nulové geodetiky, jakmile začne klesat, dosáhne v konečném čase nuly. Jakmile je objem nulový, dojde v určitém směru ke kolapsu, takže každá geodetika protne nějakého souseda.

Penrose dospěl k závěru, že kdykoli existuje koule, kde se všechny odcházející (a přicházející) světelné paprsky zpočátku sbíhají, hranice budoucnosti této oblasti skončí po konečném prodloužení, protože veškerá nulová geodetika se bude sbíhat. To je významné, protože vycházející světelné paprsky pro jakoukoli sféru uvnitř horizontu řešení černé díry se všechny sbíhají, takže hranice budoucnosti této oblasti je buď kompaktní, nebo přichází odnikud. Budoucnost interiéru buď končí po konečném prodloužení, nebo má hranici, která je nakonec generována novými světelnými paprsky, které nelze vysledovat zpět do původní sféry.

Povaha singularity

Věty o singularitě používají pojem geodetické neúplnosti jako záskok za přítomnost nekonečných zakřivení. Geodetická neúplnost je představa, že existují geodetika , cesty pozorovatelů skrz časoprostor, které lze prodloužit pouze na konečný čas, měřeno pozorovatelem cestujícím po jednom. Pravděpodobně na konci geodetiky upadl pozorovatel do singularity nebo se setkal s nějakou jinou patologií, při které se rozpadají zákony obecné relativity.

Předpoklady vět

Věta singularity má obvykle tři složky:

1. Stav energie v této věci,
2. Podmínka globální struktury časoprostoru ,
3. Gravitace je dostatečně silná (někde), aby zachytila ​​region.

Pro každou složku existují různé možnosti a každá vede k různým větám singularity.

Použité nářadí

Klíčový nástroj použitý ve formulaci a doklad o singularity vět je Raychaudhuri rovnice , která popisuje divergenci o kongruencí (rodiny) geodetik. Divergence kongruence je definována jako derivace logu determinantu objemu kongruence. Raychaudhuriho rovnice je ${\ displaystyle \ theta}$

${\ Displaystyle {\ dot {\ theta}} =-\ sigma _ {ab} \ sigma ^{ab}-{\ frac {1} {3}} \ theta ^{2}-{E [{\ vec { X}}]^{a}} _ {a}}$

kde je smykový tenzor shody a je také známý jako Raychaudhuriho skalár (podrobnosti najdete na stránce kongruence ). Klíčovým bodem je, že bude nezáporný za předpokladu, že rovnice Einsteinova pole platí a ${\ Displaystyle \ sigma _ {ab}}$${\ displaystyle {E [{\ vec {X}}]^{a}} _ {a} = R_ {mn} \, X^{m} \, X^{n}}$${\ displaystyle {E [{\ vec {X}}]^{a}} _ {a}}$

• platí nulová energetická podmínka a geodetická kongruence je nulová, nebo
• silný stav energie platí a geodetické shoda je timelike.

Když tyto platí, divergence se stane nekonečnou při nějaké konečné hodnotě afinního parametru. Všechna geodetika opouštějící bod se tedy nakonec po určitém čase znovu sblíží, za předpokladu, že platí příslušné energetické podmínky, což je výsledek známý také jako fokusační věta .

To je relevantní pro singularity díky následujícímu argumentu:

1. Předpokládejme, že máme časoprostor, který je globálně hyperbolické a dva body , a které mohou být spojeny timelike nebo nulové křivky . Pak existuje geodetika maximální délky spojující a . Nazvěme to geodeticky .${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ gamma}$
2. Geodetiku lze změnit na delší křivku, pokud se jiná geodetika z protíná v jiném bodě, který se nazývá konjugovaný bod.${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ gamma}$
3. Z fokusační věty víme, že všechny geodetiky z mají konjugované body na konečných hodnotách afinního parametru. To platí zejména pro geodetiku maximální délky. To je ale rozpor - lze tedy dojít k závěru, že časoprostor je geodeticky neúplný.${\ displaystyle p}$

V obecné relativitě existuje několik verzí Penrose -Hawkingovy věty o singularitě . Většina verzí zhruba uvádí, že pokud je zde zachycený nulový povrch a hustota energie je nezáporná, pak existují geodetika konečné délky, kterou nelze prodloužit.

Tyto věty, přísně vzato, dokazují, že existuje alespoň jedna geodetika, která není prostorová, a která je pouze konečně rozšiřitelná do minulosti, ale existují případy, kdy se podmínky těchto vět získají takovým způsobem, že všechny minule zaměřené časoprostorové cesty končí v jedinečnost.

Verze

Existuje mnoho verzí. Zde je nulová verze:

Převzít

1. Stav null energie platí.
2. Máme nekompaktně spojený Cauchyův povrch .
3. Máme uzavřený zachycený nulový povrch .${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$

Potom máme buď nulovou geodetickou neúplnost, nebo uzavřené časové křivky .

Náčrt důkazu : Důkaz rozporem. Hranice budoucnosti , je generován null geodetické segmentů pocházejících z s tečna vektory kolmé k ní. Obě rodiny nulových paprsků vycházejících z nulové hladiny, které jsou nulovou Raychaudhuriho rovnicí , narazí na žíravinu. (Žíravina sama o sobě je bezproblémová. Hranicí budoucnosti dvou prostorově oddělených bodů je například spojení dvou budoucích světelných kuželů s odstraněnými vnitřními částmi křižovatky. Kaustika se vyskytuje tam, kde se světelné kužely protínají, ale žádná singularita leží Generování nulové geodetiky však musí skončit, tj. dosáhnout svých budoucích koncových bodů na nebo před kaustikou. Jinak můžeme vzít dva nulové geodetické segmenty - měnící se v louhu - a pak je mírně deformovat, abychom získali časově podobnou křivku spojující bod na hranici s bodem na , rozpor. Ale jak je kompaktní, vzhledem k kontinuální afinní parametrizaci geodetických generátorů existuje spodní hranice absolutní hodnoty parametru expanze. Víme tedy, že kaustika se vyvine pro každý generátor, než uplyne stejná vazba v afinním parametru. V důsledku toho musí být kompaktní. Buď máme uzavřené časově podobné křivky, nebo můžeme sestrojit shodu pomocí časově podobných křivek a každá z nich musí protnout nekompaktní Cauchyův povrch přesně jednou. Zvažte všechny takové časové křivky, které procházejí, a podívejte se na jejich obraz na povrchu Cauchy. Jako souvislá mapa musí být obrázek také kompaktní. Protože se jedná o časově shodnou křivku, časové křivky se nemohou protnout, a tak je mapa injektivní . Pokud byl povrch Cauchy nekompaktní, pak má obrázek hranici. Předpokládáme, že časoprostor je součástí jednoho propojeného dílu. Je však kompaktní a bez hranic, protože hranice hranice je prázdná. Souvislá injektivní mapa nemůže vytvářet hranice, což nám dává rozpor.${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle {\ dot {J}} ({\ mathcal {T}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle {\ dot {J}} ({\ mathcal {T}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$${\ displaystyle {\ dot {J}} ({\ mathcal {T}})}$${\ displaystyle {\ dot {J}} ({\ mathcal {T}})}$${\ displaystyle {\ dot {J}} ({\ mathcal {T}})}$

Mezery : Pokud existují uzavřené časové křivky, pak časové křivky nemusí protínat částečný povrch Cauchy. Pokud by byl povrch Cauchy kompaktní, tj. Prostor je kompaktní, nulové geodetické generátory hranice se mohou protínat všude, protože se mohou protínat na druhé straně prostoru.

Existují také další verze věty zahrnující slabé nebo silné energetické podmínky.

Upravená gravitace

V modifikované gravitaci Einsteinovy ​​rovnice pole neplatí, a proto tyto singularity nemusí nutně vzniknout. Například v Infinite Derivative Gravity je možné být negativní, i když platí nulová energetická podmínka. ${\ displaystyle {E [{\ vec {X}}]^{a}} _ {a}}$

Poznámky

Reference

• Hawking, Stephen & Ellis, GFR (1973). Struktura časoprostoru ve velkém měřítku . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4. Klasická reference.
• Natário, J. (2006). „Relativita a singularity - krátký úvod pro matematiky“. Resenhas . 6 : 309–335. arXiv : math.DG/0603190 . Bibcode : 2006math ...... 3190N .
• Penrose, Roger (1965), „Gravitační kolaps a časoprostorové singularity“, Phys. Rev.Lett. , 14 (3): 57, Bibcode : 1965PhRvL..14 ... 57P , doi : 10.1103/PhysRevLett.14.57
• Garfinkle, D .; Senovilla, JMM (2015), „The 1965 Penrose singularity theorem“, Class. Quantum Grav. , 32 (12): 124008, arXiv : 1410.5226 , Bibcode : 2015CQGra..32l4008S , doi : 10.1088/0264-9381/32/12/124008 , S2CID  54622511. K dispozici také jako arXiv : 1410.5226
• Kalvakota, Vaibhav R. (2021), „ Diskuse o geometrii a obecné relativitě “
• Viz také arXiv : hep-th/9409195 pro příslušnou kapitolu z The Large Scale Structure of Space Time .