Spin kvantové číslo - Spin quantum number

V atomové fyziky je číslo rotační kvantové je kvantové číslo (označený $m$ _$y$ ), který popisuje vnitřní moment hybnosti (nebo odstřeďování moment hybnosti, nebo jednoduše spin ) produktu ve formě elektronu nebo jiné částice . Fráze byl původně používán k popisu čtvrté sady kvantových čísel (na hlavní kvantové číslo $n$ , na vedlejší kvantové číslo $l$ , na magnetické kvantové číslo $m$ , a rotační kvantové číslo $m$ _$y$ ), který zcela popisují kvantový stav z elektron v atomu. Název pochází z fyzického otáčení elektronu kolem osy, jak navrhli Uhlenbeck a Goudsmit . Hodnota $m$ _$s$ je složka momentu hybnosti rotace rovnoběžná s daným směrem ( $z -$ osa), která může být buď +1/2 nebo –1/2 (v jednotkách redukované Planckovy konstanty ).

Tento zjednodušený obraz však byl rychle realizován jako fyzicky nemožný, protože by vyžadoval otáčení elektronů rychleji, než je rychlost světla. Byl proto nahrazen abstraktnějším kvantově-mechanickým popisem. Tento popis technicky zahrnuje dvě spinová kvantová čísla $m$ _$s$ a $s$ , kde $s$ souvisí s velikostí elektronového spinu. Nicméně $s$ je pro elektron vždy +1/2, takže není nutné zahrnout jeho hodnotu do množiny kvantových čísel popisujících stav každého elektronu v atomu.

Na elementární úrovni je $m$ _$s$ popsáno jako spinové kvantové číslo a $s$ není uvedeno, protože jeho hodnota 1/2 je fixní vlastností elektronu. Na pokročilejší úrovni, kde jsou zavedeny kvantově mechanické operátory, je $s$ označováno jako spinové kvantové číslo a $m$ _$s$ je popsáno jako spinové magnetické kvantové číslo nebo jako z-složka spin $s$ _$z$ .

Dějiny

Počáteční pokusy vysvětlit chování elektronů v atomech se soustředily na řešení rovnice Schrödingerovy vlny pro atom vodíku , nejjednodušší možný případ, s jediným elektronem vázaným na atomové jádro . To bylo úspěšné při vysvětlování mnoha vlastností atomových spekter .

Řešení vyžadovala, aby každý možný stav elektronu byl popsán třemi „kvantovými čísly“. Ty byly identifikovány jako elektronové „skořápkové“ číslo $n$ , „orbitální“ číslo $l$ a „orbitální moment hybnosti“ číslo $m$ . Moment hybnosti je takzvaný „klasický“ koncept měřící hybnost hmoty v kruhovém pohybu kolem bodu. Čísla skořápky začínají na 1 a neomezeně se zvyšují. Každá skořápka čísla $n$ obsahuje $n$ 2 orbitálů. Každý orbitál je charakterizován číslem $l$ , kde $l$ nabývá celočíselných hodnot od 0 do $n$ −1, a číslem momentu hybnosti $m$ , kde $m$ nabývá celočíselných hodnot od + $l$ do - $l$ . Prostřednictvím různých aproximací a rozšíření mohli fyzici rozšířit svou práci na vodíku na složitější atomy obsahující mnoho elektronů.

Atomová spektra měří záření absorbované nebo emitované elektrony „skákajícími“ z jednoho „stavu“ do druhého, kde stav je reprezentován hodnotami $n$ , $l$ a $m$ . Takzvané „ pravidlo přechodu “ omezuje, jaké „skoky“ jsou možné. Skok nebo „přechod“ je obecně povolen pouze tehdy, pokud se v tomto procesu změní všechna tři čísla. Důvodem je, že přechod bude schopen způsobit emise nebo absorpci elektromagnetického záření, pouze pokud zahrnuje změnu elektromagnetického dipólu atomu.

V prvních letech kvantové mechaniky však bylo uznáno, že atomová spektra měřená ve vnějším magnetickém poli (viz Zeemanův efekt ) nelze předpovědět pouhými $n$ , $l$ a $m$ .

V lednu 1925, kdy byl Ralph Kronig ještě doktorandem na Kolumbijské univerzitě, poprvé navrhl otáčení elektronů po vyslechnutí Wolfganga Pauliho v Tübingenu. Werner Heisenberg a Pauli ten nápad okamžitě nenáviděli. Právě vyloučili všechny představitelné akce z kvantové mechaniky. Nyní Kronig navrhoval nastavit elektron rotující v prostoru. Pauli se zejména vysmíval myšlence na spin a řekl, že „je to opravdu velmi chytré, ale to samozřejmě nemá nic společného s realitou“. Tváří v tvář takové kritice se Kronig rozhodl svou teorii nezveřejnit a myšlenka elektronového spinu musela počkat, až si úvěr vezmou ostatní. Ralph Kronig přišel s myšlenkou elektronového spinu několik měsíců před Georgem Uhlenbeckem a Samuelem Goudsmitem . Většina učebnic připisuje objev těmto dvěma holandským fyzikům.

Pauli následně navrhl (také v roce 1925) nový kvantový stupeň volnosti (nebo kvantové číslo ) se dvěma možnými hodnotami, aby vyřešil nesrovnalosti mezi pozorovanými molekulárními spektry a rozvíjející se teorií kvantové mechaniky.

Krátce poté Uhlenbeck a Goudsmit identifikovali Pauliho nový stupeň volnosti jako otáčení elektronů .

Spřádání elektronů

Částice spin-1/2 je charakterizována kvantovým číslem hybnosti hybnosti pro spin s 1/2. V řešeních Schrödinger-Pauliho rovnice je moment hybnosti kvantován podle tohoto čísla, takže celkový moment hybnosti spinu

{\ Displaystyle S = \ hbar {\ sqrt {{\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {1} {2}}+1 \ right)}}} = {\ frac {\ sqrt {3 }} {2}} \ hbar}

.

Jemná struktura spektra vodíku je pozorována jako dublet odpovídající dvěma možnostem pro z -složku momentu hybnosti, kde pro jakýkoli daný směr z :

{\ Displaystyle S_ {z} = \ pm {\ frac {1} {2}} \ hbar}

jehož řešení má pouze dvě možné z -složky pro elektron. V elektronu jsou tyto dvě různé rotační orientace někdy nazývány „spin-up“ nebo „spin-down“.

Spinova vlastnost elektronu by dala vzniknout magnetickému momentu , který byl nezbytný pro čtvrté kvantové číslo. Magnetický moment elektronového spinu je dán vzorcem:

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} _ {s} =-{\ frac {e} {2m}} g \ mathbf {S}}

kde

e

je náboj elektronu

g

je Landův g-faktor

a podle rovnice:

{\ Displaystyle \ mu _ {z} = \ pm {\ frac {1} {2}} g {\ mu _ {\ rm {B}}}}

kde je Bohrův magneton ? ${\ displaystyle \ mu _ {\ rm {B}}}$

Když mají atomy sudý počet elektronů, má rotace každého elektronu v každém orbitálu opačnou orientaci než jeho bezprostřední soused (s). Mnoho atomů má však lichý počet elektronů nebo uspořádání elektronů, ve kterém existuje nestejný počet orientací „spin-up“ a „spin-down“. O těchto atomech nebo elektronech se říká, že mají nepárová otočení, která jsou detekována v rezonanci elektronového spinu .

Detekce otáčení

Když jsou čáry vodíkového spektra zkoumány ve velmi vysokém rozlišení, zjistí se, že jsou blízko sebe umístěné dublety. Toto štěpení se nazývá jemná struktura a bylo jedním z prvních experimentálních důkazů spinu elektronů. Přímého pozorování vnitřní hybnosti hybnosti elektronu bylo dosaženo v experimentu Stern -Gerlach .

Stern – Gerlachův experiment

Teorii prostorové kvantizace momentu otáčení hybnosti elektronů atomů umístěných v magnetickém poli bylo třeba experimentálně dokázat. V roce 1920 (dva roky před vytvořením teoretického popisu rotace) to Otto Stern a Walter Gerlach pozorovali v experimentu, který provedli.

Atomy stříbra byly odpařeny pomocí elektrické pece ve vakuu. Pomocí tenkých štěrbin byly atomy vedeny do plochého paprsku a paprsek byl odeslán nehomogenním magnetickým polem, než se srazil s kovovou deskou. Zákony klasické fyziky předpovídají, že sbírka kondenzovaných atomů stříbra na desce by měla tvořit tenkou plnou čáru ve stejném tvaru jako původní paprsek. Nehomogenní magnetické pole však způsobilo, že se paprsek rozdělil do dvou samostatných směrů a na kovové desce vznikly dvě čáry.

Tento jev lze vysvětlit prostorovou kvantizací točivého momentu hybnosti. V atomech jsou elektrony spárovány tak, že jeden se točí nahoru a jeden dolů, čímž neutralizuje účinek jejich rotace na působení atomu jako celku. Ale ve valenčním obalu atomů stříbra je jeden elektron, jehož spin zůstává nevyvážený.

Nevyvážené otáčení vytváří magnetický moment roztočení , díky čemuž se elektron chová jako velmi malý magnet. Když atomy procházejí nehomogenním magnetickým polem, moment síly v magnetickém poli ovlivňuje dipól elektronu, dokud jeho poloha neodpovídá směru silnějšího pole. Atom by pak byl přitažen k silnějšímu magnetickému poli nebo od něj o určité množství, v závislosti na hodnotě rotace valenčního elektronu. Když je spin elektronu +1/2, atom se vzdaluje od silnějšího pole a když je spin −1/2, atom se pohybuje směrem k němu. Paprsek atomů stříbra se tak při cestování v nehomogenním magnetickém poli rozdělí podle otáčení valenčního elektronu každého atomu.

V roce 1927 provedli Phipps a Taylor podobný experiment s použitím atomů vodíku s podobnými výsledky. Později vědci prováděli experimenty s použitím dalších atomů, které mají ve valenčním obalu pouze jeden elektron: ( měď , zlato , sodík , draslík ). Pokaždé se na kovové desce vytvořily dvě čáry.

Atomové jádro může také mít rotaci, ale protony a neutrony jsou mnohem těžší než elektrony (asi 1836 krát), a magnetický dipólový moment je nepřímo úměrná hmotnosti. Takže hybnost nukleárního magnetického dipólu je mnohem menší než hybnost celého atomu. Tento malý magnetický dipól později změřili Stern, Frisch a Easterman.

Elektronová paramagnetická rezonance

U atomů nebo molekul s nepárovým elektronem lze také pozorovat přechody v magnetickém poli, ve kterých se mění pouze kvantové číslo spinů, beze změny elektronového orbitálu nebo ostatních kvantových čísel. Jedná se o metodu elektronové paramagnetické rezonance (EPR) nebo elektronové spinové rezonance (ESR), která se používá ke studiu volných radikálů . Protože se mění pouze magnetická interakce rotace, je změna energie mnohem menší než u přechodů mezi orbitaly a spektra jsou pozorována v mikrovlnné oblasti.

Derivace

Pro řešení buď nerelativistické Pauliho rovnice nebo relativistické Diracovy rovnice lze kvantizovaný moment hybnosti (viz kvantové číslo hybnosti hybnosti ) zapsat jako:

{\ Displaystyle \ Vert \ mathbf {s} \ Vert = {\ sqrt {s \, (s+1)}} \, \ hbar}

kde

{\ displaystyle \ mathbf {s}}

je kvantovaný spinový vektor nebo spinor

{\ Displaystyle \ Vert \ mathbf {s} \ Vert}

je normou vektoru rotace

${\ displaystyle s}$ je kvantové číslo spinu spojené s hybností spinu

{\ displaystyle \ hbar}

je snížená Planckova konstanta .

Při daném libovolném směru z (obvykle určeném vnějším magnetickým polem) je rotace z -projekce dána vztahem

{\ Displaystyle s_ {z} = m_ {s} \, \ hbar}

kde $m$ _$s$ je sekundární spinové kvantové číslo v rozmezí od - $s$ do + $s$ v krocích po jedné. To generuje $2 s + 1$ různých hodnot $m$ _$s$ .

Povolené hodnoty pro s jsou nezáporná celá čísla nebo poloviční celá čísla . Fermiony mají poloviční celočíselné hodnoty, včetně elektronu , protonu a neutronu, které všechny mají s = 1/2. Bosony , jako je foton a všechny mezony ), mají celočíselné hodnoty spinu.

Algebra

Algebraická teorie spinu je kopií momentu hybnosti v teorii kvantové mechaniky . Za prvé, spin splňuje základní komutační vztah :

{\ Displaystyle [S_ {i}, S_ {j}] = i \ hbar \ epsilon _ {ijk} S_ {k}}

,

{\ Displaystyle \ left [S_ {i}, S^{2} \ right] = 0}

kde je (antisymetrický) symbol Levi-Civita . To znamená, že je nemožné znát dvě souřadnice spinu současně kvůli omezení principu neurčitosti . ${\ displaystyle \ epsilon _ {ijk}}$

Dále jsou vektory z a Uspokojovat: ${\ displaystyle S^{2}}$ ${\ displaystyle S_ {z}}$

{\ Displaystyle S^{2} | s, m_ {s} \ rangle = {\ hbar}^{2} s (s+1) | s, m_ {s} \ rangle}

{\ Displaystyle S_ {z} | s, m_ {s} \ rangle = \ hbar m_ {s} | s, m_ {s} \ rangle}

{\ Displaystyle S _ {\ pm} | s, m_ {s} \ rangle = \ hbar {\ sqrt {s (s+1) -m_ {s} (m_ {s} \ pm 1)}} s, m_ {s} \ pm 1 \ rangle}

kde jsou operátory vytváření a ničení (nebo „zvedání“ a „spouštění“ nebo „nahoru“ a „dolů“). ${\ Displaystyle S _ {\ pm} = S_ {x} \ pm iS_ {y}}$

Energetické hladiny z Diracovy rovnice

V roce 1928 Paul Dirac vyvinul relativistickou vlnovou rovnici , nyní nazývanou Diracova rovnice , která správně předpovídala spinový magnetický moment a současně považovala elektron za bodovou částici. Při řešení Diracovy rovnice pro energetické hladiny elektronu v atomu vodíku se všechna čtyři kvantová čísla včetně $s$ vyskytovala přirozeně a dobře souhlasila s experimentem.

Celková rotace atomu nebo molekuly

U některých atomů jsou spiny několika nepárových elektronů (s ₁ , s ₂ , ...) spřaženy za vzniku celkového spinového kvantového čísla S. K tomu dochází zejména u atomů světla (nebo u molekul tvořených pouze světlými atomy), když spin- orbitální vazba je slabá ve srovnání se spojkou mezi otočeními nebo spojkou mezi orbitálními momentovými momenty, což je situace známá jako LS vazba, protože L a S jsou pohybové konstanty. Zde L je celkové kvantové číslo orbitální hybnosti.

U atomů s přesně definovaným S je multiplicita stavu definována jako (2S+1). To se rovná počtu různých možných hodnot celkového (orbitálního plus spin) momentu hybnosti J pro danou (L, S) kombinaci, za předpokladu, že S ≤ L (typický případ). Například pokud S = 1, existují tři stavy, které tvoří triplet . Vlastní čísla S _z pro tyto tři stavy jsou +1ħ, 0 a -1ħ. Symbol Termín atomové stavu indikuje své hodnoty L, S a J.

Jako příklady, základní stavy atomu kyslíku a molekuly dioxygenu mají dva nepárové elektrony, a jsou tedy tripletovými stavy. Atomový stav je popsán termínem symbol ³ P a molekulární stav výrazem symbol ³ Σ^-
_g.

Jaderná rotace

Atomová jádra mají také spiny a orbitální moment hybnosti. Nukleární spin $I$ je fixní vlastností každého jádra a může být buď celé nebo poloviční. Složka $m$ _$I$ jaderná rotace rovnoběžná se $z -$ osou) může mít (2 $I$ + 1) hodnoty $I$ , $I$ –1, ..., $-I$ . Například, ¹⁴ N jádro má $I$ = 1, tak, že existují 3 možné orientace relativně k $Z$ aretačním kroužkem, odpovídající stavy $m$ _$I$ = +1, 0 a 1.

Otáčky $I$ různých jader jsou interpretovány pomocí modelu jaderného obalu . Sudá sudá jádra se sudým počtem protonů i neutronů, například ¹² C a ¹⁶ O, mají spinovou nulu. Jádra lichých čísel mají napůl integrální otočení, například 3/2 pro ⁷ Li, 1/2 pro ¹³ C a 5/2 pro ¹⁷ O, obvykle odpovídající momentu hybnosti posledního přidaného nukleonu . Lichá lichá jádra s lichým počtem protonů i neutronů mají integrální otočení, například 3 pro ¹⁰ B a 1 pro ¹⁴ N. Hodnoty jaderného spinu pro daný izotop se nacházejí v seznamech izotopů pro každý prvek. (Viz Izotopy kyslíku , Izotopy hliníku atd. Atd.)

Viz také

Reference

externí odkazy

Weiss, Michael (2001). „Úplné zpracování Spinu-včetně původu, evoluce Spin Theory a podrobností Spinových rovnic“ . UC Riverside Department of Mathematics .

Languages

In other projects