Model oceňování binomických opcí - Binomial options pricing model

Ve financích poskytuje binomický model oceňování opcí ( BOPM ) zobecnitelnou numerickou metodu oceňování opcí . V zásadě model používá model „diskrétního času“ ( na základě mřížky ) s proměnlivou cenou v čase podkladového finančního nástroje, který řeší případy, kdy je žádoucí uzavřený vzorec Black – Scholes .

Binomický model poprvé navrhl William Sharpe ve vydání Investice z roku 1978 ( ISBN 013504605X ) a formalizovali ho Cox , Ross a Rubinstein v roce 1979 a Rendleman a Bartter ve stejném roce.

Binomické stromy aplikované na deriváty s pevným výnosem a úrokové sazby viz Lattice model (finance) § Úrokové deriváty .

Použití modelu

Přístupový model oceňování binomických opcí byl široce používán, protože je schopen zvládnout celou řadu podmínek, pro které nelze jiné modely snadno aplikovat. Je to do značné míry proto, že BOPM je založen na popisu podkladového nástroje za určité časové období, nikoli v jediném bodě. V důsledku toho se používá k ocenění amerických opcí, které jsou uplatnitelné kdykoli v daném intervalu, a také bermudských opcí, které jsou uplatnitelné v konkrétních časových případech. Model je relativně jednoduchý a je snadno implementovatelný v počítačovém softwaru (včetně tabulky ).

Přestože je výpočetně pomalejší než Black-Scholesův vzorec , je přesnější, zejména u opcí s delšími daty u cenných papírů s výplatou dividend . Z těchto důvodů praktici na opčních trzích široce používají různé verze binomického modelu.

Pro možnosti s několika zdroji nejistoty (např. Skutečné možnosti ) a pro možnosti s komplikovanými funkcemi (např. Asijské možnosti ) jsou binomické metody méně praktické kvůli několika obtížím a místo nich se běžně používají opční modely Monte Carlo . Při simulaci malého počtu časových kroků bude simulace Monte Carlo časově náročnější než BOPM (viz metody Monte Carlo ve financích ). Nejhorší doba běhu BOPM však bude O (2 ⁿ ) , kde n je počet časových kroků v simulaci. Simulace Monte Carlo budou mít obecně polynomiální časovou složitost a budou rychlejší pro velký počet simulačních kroků. Simulace Monte Carlo jsou také méně náchylné k chybám vzorkování, protože binomické techniky používají diskrétní časové jednotky. Čím více se tyto diskrétní jednotky zmenšují, tím více to platí.

Metoda

function americanPut(T, S, K, r, sigma, q, n) 
{ 
  '  T... expiration time
  '  S... stock price
  '  K... strike price
  '  q... dividend yield
  '  n... height of the binomial tree
  deltaT := T / n;
  up := exp(sigma * sqrt(deltaT));
  p0 := (up*exp(-q * deltaT) - exp(-r * deltaT)) / (up^2 - 1);
  p1 := exp(-r * deltaT) - p0;
  ' initial values at time T
  for i := 0 to n {
      p[i] := K - S * up^(2*i - n);
      if p[i] < 0 then p[i] := 0;
  }
  ' move to earlier times
  for j := n-1 down to 0 {
      for i := 0 to j {
          ' binomial value
          p[i] := p0 * p[i+1] + p1 * p[i];   
          ' exercise value
          exercise := K - S * up^(2*i - j);  
          if p[i] < exercise then p[i] := exercise;
      }
  }
  return americanPut := p[0];
}

Binomický model oceňování sleduje vývoj klíčových základních proměnných opce v diskrétním čase. To se provádí pomocí binomické mřížky (stromu) po řadu časových kroků mezi daty ocenění a vypršením platnosti. Každý uzel v mřížce představuje možnou cenu podkladu v daném časovém okamžiku.

Ocenění se provádí iterativně, počínaje každým z konečných uzlů (těch, kterých lze dosáhnout v době vypršení platnosti), a poté pracuje zpět přes strom směrem k prvnímu uzlu (datum ocenění). Hodnota vypočítaná v každé fázi je hodnota opce v daném časovém okamžiku.

Ocenění opce pomocí této metody je, jak je popsáno, třístupňový proces:

Generování cenového stromu,
Výpočet hodnoty opce v každém konečném uzlu,
Sekvenční výpočet hodnoty opce v každém předchozím uzlu.

Krok 1: Vytvořte binomický strom cen

Strom cen se vytváří přepočtem od data ocenění do vypršení platnosti.

V každém kroku se předpokládá, že se podkladový nástroj bude pohybovat nahoru nebo dolů o určitý faktor ( nebo ) na krok stromu (kde podle definice a ). Pokud je tedy aktuální cena, pak v dalším období bude cena buď nebo . ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ Displaystyle u \ geq 1}$ ${\ Displaystyle 0 <d \ leq 1}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S_ {up} = S \ cdot u}$ ${\ Displaystyle S_ {down} = S \ cdot d}$

Nahoru a dolů faktory jsou vypočteny s použitím základní volatility , a doba trvání kroku , měřeno v letech (pomocí počítání den konvence z podkladového aktiva). Z podmínky, že rozptyl logu ceny je , máme: ${\ Displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ Displaystyle \ sigma ^{2} t}$

{\ Displaystyle u = e^{\ sigma {\ sqrt {t}}}}

{\ Displaystyle d = e^{-\ sigma {\ sqrt {t}}} = {\ frac {1} {u}}.}

Nahoře je původní metoda Cox, Ross a Rubinstein (CRR); existují různé další techniky pro generování mřížky, například strom „stejných pravděpodobností“, viz.

Metoda CRR zajišťuje, že strom je rekombinantní, tj. Pokud se podkladové aktivum pohybuje nahoru a potom dolů (u, d), cena bude stejná, jako kdyby se pohybovala dolů a poté nahoru (d, u) - kde dva cesty se sloučí nebo překombinují. Tato vlastnost snižuje počet stromových uzlů, a tím urychluje výpočet ceny opce.

Tato vlastnost také umožňuje vypočítat hodnotu podkladového aktiva v každém uzlu přímo pomocí vzorce a nevyžaduje, aby byl nejprve vytvořen strom. Hodnota uzlu bude:

{\ displaystyle S_ {n} = S_ {0} \ times u^{N_ {u} -N_ {d}},}

Kde je počet klíšťat nahoru a počet dolů. ${\ displaystyle N_ {u}}$ ${\ displaystyle N_ {d}}$

Krok 2: Najděte hodnotu volby v každém konečném uzlu

V každém konečném uzlu stromu - tj. Při vypršení platnosti možnosti - je hodnota opce jednoduše její vnitřní nebo cvičná hodnota:

Max [(S n - K), 0]

, pro možnost volání

Max [(K - S n), 0]

, u prodejní opce ,

Kde $K$ je realizační cena a je spotová cena podkladového aktiva v $n$ ^th období. ${\ displaystyle S_ {n}}$

Krok 3: Najděte hodnotu volby na dřívějších uzlech

Jakmile je výše uvedený krok dokončen, pak je pro každý uzel nalezena hodnota opce, počínaje předposledním časovým krokem a pracující zpět k prvnímu uzlu stromu (datum ocenění), kde vypočítaným výsledkem je hodnota opce.

V přehledu: „binomická hodnota“ se nachází v každém uzlu pomocí předpokladu neutrality rizika ; viz Rizikově neutrální ocenění . Pokud je v uzlu povoleno cvičení, pak model bere binomickou a cvičnou hodnotu v uzlu podle toho, která je vyšší.

Kroky jsou následující:

Za předpokladu neutrality riziko, dnešní odpovídající z derivátu se rovná očekávané hodnotě jejího budoucího splacení diskontovaného podle bezriziková úroková sazba . Proto se očekává, že hodnota se vypočítá pomocí hodnoty možností z pozdějších dva uzly ( Option nahoru a možnost dolů ) váženého příslušné probabilities- „pravděpodobnosti“ p o up pohybují v základní, a „pravděpodobnosti“ (1-p) z pohyb dolů. Očekávaná hodnota je poté diskontována na r , bezriziková sazba odpovídající životnosti opce.
V každém uzlu je použit následující vzorec pro výpočet hodnoty očekávání :

${\ Displaystyle {\ text {Binomial Value}} = [p \ times {\ text {Option up}}+(1-p) \ times {\ text {Option down]}} \ times \ exp (-r \ times \ Delta t)}$ , nebo

${\ Displaystyle C_ {t- \ Delta t, i} = e^{-r \ Delta t} (pC_ {t, i}+(1-p) C_ {t, i+1}) \,}$

kde

${\ displaystyle C_ {t, i} \,}$ je hodnota volby pro uzel v čase $t$ , ${\ displaystyle i^{th} \,}$

${\ Displaystyle p = {\ frac {e^{(rq) \ Delta t} -d} {ud}}}$ je vybrán tak, aby související binomické rozdělení simulovalo geometrický Brownův pohyb podkladové akcie s parametry r a σ ,

$q$ je dividendový výnos podkladového aktiva odpovídající životnosti opce. Z toho vyplývá, že v rizikově neutrálním světě by cena futures měla mít očekávanou míru růstu nulovou, a proto můžeme uvažovat o futures. ${\ Displaystyle q = r}$

Všimněte si, že aby $p$ bylo v intervalu, musí být splněna následující podmínka . ${\ Displaystyle (0,1)}$ ${\ displaystyle \ Delta t}$ ${\ Displaystyle \ Delta t <{\ frac {\ sigma ^{2}} {(rq) ^{2}}}}$

(Všimněte si toho, že alternativní přístup oceňování, stanovení cen bez arbitráží , přináší stejné výsledky; viz „ zajištění delta “.)
Výsledkem je „binomická hodnota“. Představuje reálnou cenu derivátu v určitém časovém okamžiku (tj. V každém uzlu), s ohledem na vývoj ceny podkladového aktiva k tomuto bodu. Je to hodnota opce, pokud by byla držena - na rozdíl od uplatnění v tomto bodě.
V závislosti na stylu možnosti vyhodnoťte možnost časného cvičení v každém uzlu: pokud (1) možnost lze uplatnit a (2) hodnota cvičení překračuje binomickou hodnotu, pak (3) hodnota v uzlu je cvičební hodnota.
- U evropské možnosti neexistuje možnost raného cvičení a binomická hodnota platí pro všechny uzly.
- Pro americkou opci , protože možnost může být buď držena, nebo uplatněna před vypršením platnosti, hodnota v každém uzlu je: Max (binomická hodnota, cvičná hodnota).
- U možnosti Bermudan je hodnota v uzlech, kde je povoleno rané cvičení, následující: Max (binomická hodnota, hodnota cvičení); v uzlech, kde není povoleno časné cvičení, platí pouze binomická hodnota.

Při výpočtu hodnoty v dalším vypočteném časovém kroku - tj. O krok blíže k ocenění - musí model použít zde zvolenou hodnotu pro „Možnost nahoru“/„Možnost dolů“ podle potřeby ve vzorci v uzlu. Algoritmus stranou ukazuje přístup počítající cenu americké prodejní opce, ačkoli je snadno generalizovatelný pro volání a pro evropské a bermudské opce:

Vztah s Black -Scholesem

Podobné předpoklady podporují jak binomický model, tak Black -Scholesův model , a binomický model tak poskytuje diskrétní časové přiblížení kontinuálnímu procesu, který je základem Black -Scholesova modelu. Binomický model předpokládá, že pohyby v ceně sledují binomické rozdělení ; u mnoha pokusů se tato binomická distribuce blíží log-normální distribuci předpokládané Black – Scholesem. V tomto případě tedy u evropských opcí bez dividend hodnota binomického modelu konverguje k hodnotě vzorce Black -Scholes, jak se zvyšuje počet časových kroků.

Kromě toho, při analýze číselnou postupu binomické způsob CRR může být viděno jako zvláštní případ na explicitní metoda sítí pro Black-Scholes PDE ; pro stanovení cen opcí viz metody konečných rozdílů .

Viz také

Trinomiální strom , podobný model se třemi možnými cestami na uzel.
Strom (datová struktura)
Mřížkový model (finance) , pro obecnější diskusi a aplikaci na jiné podklady
Black – Scholes : binomické mříže jsou schopné zvládnout řadu podmínek, pro které nelze Black – Scholes použít.
Opční model Monte Carlo , používaný při oceňování opcí s komplikovanými funkcemi, které je obtížně oceňují jinými metodami.
Analýza reálných možností , kde je BOPM široce používán.
Kvantové finance , kvantový binomický cenový model.
Matematické finance , které mají seznam souvisejících článků.
Možnost zaměstnaneckých akcií § Ocenění , kde je široce využíván BOPM.
Implikovaný binomický strom
Binomický strom Edgeworth

Reference

externí odkazy

Binomický model pro stanovení cen , prof. Thayer Watkins
Ceny binomických opcí ( PDF ), Prof. Robert M. Conroy
Binomický model oceňování opcí od Fiony Maclachlan, projekt The Wolfram Demonstrations Project
O irelevanci očekávaných výnosů akcií při oceňování opcí v binomickém modelu: pedagogická poznámka Valeri Zakamouline
Jednoduché odvození pravděpodobnosti neutrální k riziku v modelu oceňování binomických opcí od Grega Orosiho

Languages

In other projects