Hausdorffův prostor - Hausdorff space

V topologii a příbuzných odvětvích matematiky , je Hausdorff prostor , oddělený prostor nebo T ₂ prostor je topologický prostor , kde pro všechny dvou rozdílných místech existují sousedství každého z nich, které jsou disjunktní od sebe navzájem. Z mnoha separačních axiomů, které lze uložit na topologický prostor, je nejčastěji používána a diskutována „Hausdorffova podmínka“ (T ₂ ). To znamená jedinečnost limitů pro sekvencí , sítí , a filtry .

Hausdorffovy prostory jsou pojmenovány podle Felixe Hausdorffa , jednoho ze zakladatelů topologie. Hausdorffova původní definice topologického prostoru (v roce 1914) zahrnovala Hausdorffův stav jako axiom .

Definice

Body x a y oddělené příslušnými sousedstvími U a V.

Body a v topologického prostoru může být oddělena čtvrtích , pokud existuje na sousedství s a sousedství s taková, že a jsou disjunktní ( ). je Hausdorffův prostor, pokud jsou všechny odlišné body v párově oddělitelné sousedství. Tato podmínka je třetím separačním axiomem (po ), proto se Hausdorffovým prostorům také říká mezery. Používá se také prostor oddělený od názvu . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle U \ cap V = \ emptyset}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T_ {0}, T_ {1}}$${\ displaystyle T_ {2}}$

Příbuznou, ale slabší představou je představa preregulárního prostoru . je preregulární prostor, pokud lze libovolné dva topologicky rozlišitelné body oddělit disjunktními sousedstvími. Preregular spaces se také nazývají mezery . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle R_ {1}}$

Vztah mezi těmito dvěma podmínkami je následující. Topologický prostor je Hausdorff právě tehdy, je-li oba preregulární (tj. Topologicky rozlišitelné body jsou odděleny sousedstvími) a Kolmogorov (tj. Odlišné body jsou topologicky rozlišitelné). Topologický prostor je preregulární právě tehdy, pokud je jeho Kolmogorovovým kvocientem Hausdorff.

Ekvivalence

Pro topologický prostor jsou ekvivalentní následující: ${\ displaystyle X}$

• ${\ displaystyle X}$ je Hausdorffův prostor.
• Hranice sítě v jedinečné.${\ displaystyle X}$
• Limity filtrů na jedinečné.${\ displaystyle X}$
• Jakékoli Singleton set se rovná průsečíku všech uzavřených čtvrtí v . (Uzavřená čtvrť je uzavřená množina, která obsahuje otevřenou množinu obsahující x .)${\ displaystyle \ {x \} \ podmnožina X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• Úhlopříčka je uzavřena jako podmnožina produktového prostoru .${\ displaystyle \ Delta = \ {(x, x) \ střední x \ v X \}}$ ${\ displaystyle X \ krát X}$

Příklady a příklady

Téměř všechny prostory, s nimiž se při analýze setkáme, jsou Hausdorff; nejdůležitější je, že reálná čísla (podle standardní metrické topologie na reálných číslech) jsou Hausdorffův prostor. Obecněji jsou všechny metrické prostory Hausdorff. Ve skutečnosti má mnoho prostorů pro použití v analýze, jako jsou topologické skupiny a topologické potrubí , Hausdorffův stav ve svých definicích výslovně uveden.

Jednoduchým příkladem topologie, která je T _1, ale není Hausdorff, je kofinitová topologie definovaná na nekonečné množině .

Pseudometrické prostory obvykle nejsou Hausdorffovy, ale jsou preregulární a jejich použití při analýze je obvykle pouze při konstrukci Hausdorffových prostorů . Ve skutečnosti, když analytici narazí na ne-Hausdorffův prostor, je to stále pravděpodobně přinejmenším preregulární a pak ho jednoduše nahradí jeho Kolmogorovovým kvocientem, kterým je Hausdorff.

Naproti tomu s nepreregulárními prostory se setkáváme mnohem častěji v abstraktní algebře a algebraické geometrii , zejména jako Zariskiho topologie na algebraické rozmanitosti nebo spektru prstenu . Oni také vznikají v teorii modelu z intuitionistic logika : každý úplný Heyting algebra je algebra otevřených souborů nějaké topologické prostor, ale tento prostor nemusí být preregular, mnohem méně Hausdorff, a ve skutečnosti je obvykle ne. Související koncept Scottovy domény také sestává z neregulárních prostorů.

Zatímco existence jedinečných limitů pro konvergentní sítě a filtry znamená, že prostor je Hausdorff, existují ne-Hausdorffovy prostory T _1, ve kterých má každá konvergentní sekvence jedinečný limit.

Vlastnosti

Podprostory a produkty Hausdorffových prostorů jsou Hausdorff, ale kvocientové prostory Hausdorffových prostorů nemusí být Hausdorff. Ve skutečnosti lze každý topologický prostor realizovat jako kvocient nějakého Hausdorffova prostoru.

Hausdorffovy prostory jsou T ₁ , což znamená, že všechny singletony jsou uzavřeny. Podobně jsou pravoúhlé prostory R ₀ . Každý Hausdorffův prostor je střízlivým prostorem, i když konverzace obecně není pravdivá.

Další pěknou vlastností Hausdorffových prostorů je, že kompaktní sady jsou vždy uzavřeny. Pro non-Hausdorffovy prostory může být, že všechny kompaktní množiny jsou uzavřené množiny (například cocountable topologie na nespočetné množině) nebo ne (například cofinite topologie na nekonečné množině a Sierpiński prostor ).

Definice Hausdorffova prostoru říká, že body lze oddělit sousedstvími. Ukazuje se, že z toho vyplývá něco, co je zdánlivě silnější: v prostoru Hausdorff může být každá dvojice disjunktních kompaktních sad také oddělena sousedstvími, jinými slovy existuje sousedství jedné sady a sousedství druhé, takže tyto dvě sousedství jsou nesouvislá. Toto je příklad obecného pravidla, že kompaktní množiny se často chovají jako body.

Podmínky kompaktnosti spolu s preregularitou často znamenají silnější separační axiomy. Například jakýkoli lokálně kompaktní preregulární prostor je zcela pravidelný . Kompaktní preregulární prostory jsou normální , což znamená, že uspokojují Urysohnovo lemma a teorém o rozšíření Tietze a mají oddíly jednoty podřízené místně konečným otevřeným krytům . Hausdorffovy verze těchto tvrzení jsou: každý místně kompaktní prostor Hausdorff je Tychonoff a každý kompaktní prostor Hausdorff je normální Hausdorff.

Následující výsledky uvádějí některé technické vlastnosti týkající se map ( souvislých i jiných) do az Hausdorffových prostorů.

Nechť je spojitá funkce a předpokládejme, že je Hausdorff. Pak graf z , , je uzavřený podmnožina . ${\ displaystyle f: X \ až Y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ {(x, f (x)) \ střední x \ v X \}}$${\ displaystyle X \ krát Y}$

Nechť je funkce a nechť je její jádro považováno za podprostor . ${\ displaystyle f: X \ až Y}$${\ displaystyle \ operatorname {ker} (f) \ triangleq \ {(x, x ') \ střední f (x) = f (x') \}}$${\ displaystyle X \ krát X}$

• Pokud je spojitý a je Hausdorff, pak je uzavřen.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ ker (f)}$
• Pokud je otevřené surjection a je uzavřeno, pak je to Hausdorff.${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ ker (f)}$${\ displaystyle Y}$
• Pokud je to spojité, otevřené surjekce (tj. Otevřená mapa kvocientu), pak je Hausdorff právě tehdy, když je uzavřeno.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ ker (f)}$

Pokud jsou spojité mapy a je Hausdorff, pak je ekvalizér uzavřen . Z toho vyplývá, že pokud je Hausdorff a a dohodnout se na hustou podmnožinu poté . Jinými slovy, spojité funkce do Hausdorffových prostorů jsou určovány jejich hodnotami v hustých podmnožinách. ${\ displaystyle f, g: X \ až Y}$${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle {\ mbox {eq}} (f, g) = \ {x \ střední f (x) = g (x) \}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f = g}$

Dovolme být uzavřeným překvapením, které je kompaktní pro všechny . Pokud ano, tak ano . ${\ displaystyle f: X \ až Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (y)}$${\ displaystyle y \ v Y}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Pojďme být kvocientovou mapou s kompaktním Hausdorffovým prostorem. Pak jsou ekvivalentní následující: ${\ displaystyle f: X \ až Y}$${\ displaystyle X}$

• ${\ displaystyle Y}$ je Hausdorff.
• ${\ displaystyle f}$je uzavřená mapa .
• ${\ displaystyle \ ker (f)}$ je zavřený.

Preregularita versus pravidelnost

Všechny běžné prostory jsou preregulární, stejně jako všechny Hausdorffovy prostory. Existuje mnoho výsledků pro topologické prostory, které platí jak pro běžné, tak pro Hausdorffovy prostory. Většinu času tyto výsledky platí pro všechny preregulární prostory; byly vypsány pro běžné a Hausdorffovy prostory samostatně, protože myšlenka předobjednávkových prostorů přišla později. Na druhou stranu tyto výsledky, které se skutečně týkají pravidelnosti, obecně neplatí také pro neregulérní Hausdorffovy prostory.

Existuje mnoho situací, kdy další podmínka topologických prostorů (například parakompaktnost nebo lokální kompaktnost ) bude znamenat pravidelnost, pokud je splněna preregularita. Takové podmínky často přicházejí ve dvou verzích: v běžné verzi a ve verzi Hausdorff. Ačkoli Hausdorffovy prostory nejsou obecně regulární, Hausdorffův prostor, který je také (řekněme) lokálně kompaktní, bude pravidelný, protože jakýkoli Hausdorffův prostor je preregulární. V určitých situacích tedy z určitého hlediska záleží spíše na pravidelnosti než na pravidelnosti. Definice jsou však obvykle stále formulovány z hlediska pravidelnosti, protože tato podmínka je známější než preregularita.

Další informace o této problematice naleznete v historii separačních axiomů .

Varianty

Výrazy „Hausdorff“, „oddělené“ a „preregulární“ lze také použít na takové varianty v topologických prostorech, jako jsou uniformní prostory , Cauchyovy prostory a konvergenční prostory . Charakteristikou, která spojuje koncept ve všech těchto příkladech, je to, že limity sítí a filtrů (pokud existují) jsou jedinečné (pro oddělené prostory) nebo jedinečné až do topologické nerozeznatelnosti (pro preregulární prostory).

Jak se ukázalo, jednotné mezery a obecněji Cauchyův mezery, jsou vždy preregular, takže podmínka Hausdorff v těchto případech omezuje na T ₀ stavu. Toto jsou také prostory, ve kterých má úplnost smysl, a Hausdorffness je v těchto případech přirozeným společníkem úplnosti. Konkrétně je mezera úplná právě tehdy, když má každá síť Cauchy alespoň jeden limit, zatímco mezera je Hausdorff právě tehdy, když má každá síť Cauchy maximálně jeden limit (protože na prvním místě mohou mít limity pouze sítě Cauchy).

Algebra funkcí

Algebra spojitých (skutečných nebo komplexních) funkcí na kompaktním Hausdorffově prostoru je komutativní C * -algebra a naopak podle Banach-Stoneovy věty lze obnovit topologii prostoru z algebraických vlastností jeho algebry spojitých funkcí. To vede k nekomutativní geometrii , kde jeden považuje nekomutativní C * -algebry za reprezentující algebry funkcí v nekomutativním prostoru.

Akademický humor

• Hausdorffův stav je ilustrován slovní hříčkou, že v Hausdorffových prostorech mohou být libovolné dva body od sebe „umístěny“ otevřenými množinami .
• V Matematickém institutu univerzity v Bonnu , kde Felix Hausdorff zkoumal a přednášel, existuje určitá místnost označená jako Hausdorff-Raum . To je hračka, protože Raum v němčině znamená pokoj i prostor .

Viz také

• Kvazitopologický prostor
• Slabý Hausdorffův prostor
• Prostor s pevným bodem , Hausdorffův prostor X takový, že každá spojitá funkce f  : X → X má pevný bod.

Poznámky

Reference

• Arkhangelskii, AV, LS Pontryagin , General Topology I , (1990) Springer-Verlag, Berlín. ISBN  3-540-18178-4 .
• Bourbaki ; Základy matematiky: Obecná topologie , Addison-Wesley (1966).
• „Hausdorffův prostor“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Willard, Stephen (2004). Obecná topologie . Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.