T ₁ mezera -T₁ space

Separační axiomy v topologických prostorech
Kolmogorovova klasifikace
T 0	(Kolmogorov)
T 1	(Fréchet)
T 2	(Hausdorff)
T 2 ½	(Urysohn)
úplně T 2	(zcela Hausdorff)
T 3	(pravidelný Hausdorff)
T 3½	(Tychonoff)
T 4	(normální Hausdorff)
T 5	(zcela normální  Hausdorff)
T 6	(naprosto normální  Hausdorff)
Dějiny

V topologii a příbuzných odvětvích matematiky , je T ₁ prostor je topologický prostor , ve kterém pro každou dvojici různých bodů, přičemž každý má sousedství neobsahující jiný bod. R ₀ prostor je jeden ze kterého to platí pro každou dvojici topologicky rozlišitelných bodů. Vlastnosti T ₁ a R ₀ jsou příklady separačních axiomů .

Definice

Nechť X bude topologický prostor a nechť x a y být body X . Říkáme, že x a y lze oddělit, pokud každý leží v sousedství, které neobsahuje druhý bod.

• X je T ₁ prostor , pokud nějaké dva různé body X, jsou od sebe odděleny.
• X je R ₀ prostor , pokud nějaké dva topologicky rozeznatelné body X, jsou od sebe odděleny.

Prostor AT ₁ se také nazývá přístupný prostor nebo prostor s Fréchetovou topologií a prostor R ₀ se také nazývá symetrický prostor . (Termín Fréchetův prostor má ve funkční analýze také zcela jiný význam . Z tohoto důvodu je upřednostňován termín prostor T _1. Existuje také pojem Fréchet – Urysohnův prostor jako typ sekvenčního prostoru . Termín symetrický prostor má jiný význam .)

Vlastnosti

Pokud X je topologický prostor, pak jsou následující podmínky ekvivalentní:

1. X je prostor T ₁ .
2. X je prostor T ₀ a prostor R ₀ .
3. Body jsou uzavřeny v X ; tj. vzhledem k tomu, že jednotlivá sada je uzavřená .${\ displaystyle x \ v X,}$${\ displaystyle \ {x \}}$
4. Každá podmnožina X je průsečíkem všech otevřených sad, které ji obsahují.
5. Každá konečná sada je uzavřena.
6. Každá kofinitová sada X je otevřená.
7. Pevné ultrafilter na x konverguje pouze na x .
8. Pro každé podmnožiny S o X a každý bod x je mezní bod na S právě tehdy, když každý otevřený sousedství of x obsahuje nekonečně mnoho bodů S .${\ displaystyle x \ v X,}$

Pokud X je topologický prostor, pak jsou následující podmínky ekvivalentní:

1. X je prostor R ₀ .
2. Vzhledem k tomu jakýkoliv uzávěr z obsahuje pouze body, které jsou topologicky k nerozeznání od x .${\ displaystyle x \ v X,}$${\ displaystyle \ {x \}}$
3. Pro libovolné dva body x a y v prostoru je x v uzavření právě tehdy, když y je v uzavření${\ displaystyle \ {y \}}$${\ displaystyle \ {x \}.}$
4. Specializace preorder na X je symetrický (a tedy relace ekvivalence ).
5. Pevný ultrafiltr na x konverguje pouze k bodům, které jsou topologicky nerozeznatelné od x .
6. Každá otevřená sada je spojením uzavřených sad .

V jakémkoli topologickém prostoru máme jako vlastnosti jakýchkoli dvou bodů následující implikace

oddělené topologicky rozlišitelné odlišné${\ displaystyle \ implies}$ ${\ displaystyle \ implies}$

Pokud lze první šipku obrátit, je mezera R ₀ . Pokud lze druhou šipku obrátit, je mezera T ₀ . Pokud lze složenou šipku obrátit, je mezera T ₁ . Mezera je T _{1 právě} tehdy, je -li jak R _0, tak T ₀ .

Všimněte si, že konečný prostor T ₁ je nutně diskrétní (protože každá sada je uzavřena).

Příklady

• Sierpinskiho prostor je jednoduchým příkladem topologie, která je T _0, ale není T ₁ .
• Překrývání interval topologie je jednoduchý příklad topologie, která je T ₀ , ale není T ₁ .
• Každý slabě Hausdorffův prostor je T _1, ale opak není obecně pravdivý.
• Cofinite topologie na nekonečné množiny je jednoduchý příklad topologie, která je T ₁ , ale není Hausdorffův (T ₂ ). To vyplývá z toho, že žádné dvě otevřené sady cofinitové topologie nejsou disjunktní. Konkrétně, nechť je množina celých čísel , a definovat otevřené soubory , aby tyto podmnožiny , které obsahují vše, ale konečná podmnožina of Pak daných odlišných celá čísla a :${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle O_ {A}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

• otevřená sada obsahuje ale ne a otevřená sada obsahuje a ne ;${\ displaystyle O _ {\ {x \}}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle O _ {\ {y \}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$
• ekvivalentně je každá sada singletonů doplňkem otevřené sady, takže je uzavřenou sadou;${\ displaystyle \ {x \}}$${\ displaystyle O _ {\ {x \}},}$

takže výsledný prostor je T ₁ podle každé z výše uvedených definic. Tento prostor není T ₂ , protože na křižovatce dvou jakýchkoli otevřených souborů a je , který není nikdy prázdná. Alternativně je sada sudých celých čísel kompaktní, ale ne uzavřená , což by v Hausdorffově prostoru nebylo možné.${\ displaystyle O_ {A}}$${\ displaystyle O_ {B}}$${\ displaystyle O_ {A} \ cap O_ {B} = O_ {A \ cup B},}$

• Výše uvedený příklad lze mírně upravit, aby se vytvořila topologie s dvojitým špičatým kofinitem , což je příklad prostoru R _0, který není ani T _1, ani R ₁ . Dovolit je množina celých čísel znovu, a pomocí definice z předchozího příkladu, definovat podloží otevřených sad pro libovolné celé číslo , aby v případě, je sudé číslo , a jestliže je liché. Pak základem topologie jsou dány konečných průsečíky těchto subbasic sad: vzhledem k tomu, konečná množina otevřené soubory jsou${\ displaystyle X}$${\ displaystyle O_ {A}}$${\ displaystyle G_ {x}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle G_ {x} = O _ {\ {x, x+1 \}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle G_ {x} = O _ {\ {x-1, x \}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle U_ {A}: = \ bigcap _ {x \ v A} G_ {x}.}$

Výsledný prostor není T ₀ (a tedy ani T ₁ ), protože body a (pro sudé) jsou topologicky nerozeznatelné; ale jinak je v podstatě ekvivalentní předchozímu příkladu.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x+1}$${\ displaystyle x}$

• Topologie Zariski na algebraické odrůdy (přes algebraicky uzavřené pole ) je T ₁ . Chcete-li to, na vědomí, vidět, že Singleton obsahující bod s lokálním souřadnicím je nulový soubor z polynomů To znamená, že bod je uzavřen. Tento příklad je však dobře známý jako prostor, který není Hausdorff (T ₂ ). Topologie Zariski je v podstatě příkladem cofinitové topologie.${\ Displaystyle \ left (c_ {1}, \ ldots, c_ {n} \ right)}$ ${\ Displaystyle x_ {1} -c_ {1}, \ ldots, x_ {n} -c_ {n}.}$
• Topologie Zariski na komutativním kruhu (tj. Primární spektrum kruhu ) je T _0, ale obecně není T ₁ . Abyste to viděli, všimněte si, že uzavření jednobodové množiny je množinou všech primárních ideálů, které obsahují bod (a tedy topologie je T ₀ ). Toto uzavření je však maximálním ideálem a jediné uzavřené body jsou maximální ideály, a nejsou tedy obsaženy v žádné z otevřených sad topologie, a prostor tedy nevyhovuje axiomu T ₁ . Aby bylo jasno o tomto příkladu: topologie Zariski pro komutativního prstenu je dána následovně: topological prostor je množina všech primárních ideálů v The základu topologie je dán otevřených souborů z primárních ideálů, které nejsou obsahovat Je jednoduché ověřit, že tomu tak skutečně je základem: tak a a uzavřené soubory topologie Zariski jsou sady primárních ideálů, které se obsahují Všimněte si, jak tento příklad se liší nepatrně od cofinite například topologie, v horní části: bodů v topologii nejsou obecně uzavřené, zatímco v prostoru T ₁ jsou body vždy uzavřeny.${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle A.}$${\ displaystyle O_ {a}}$${\ displaystyle a \ v A.}$${\ displaystyle O_ {a} \ cap O_ {b} = O_ {ab}}$${\ displaystyle O_ {0} = \ varnothing}$${\ displaystyle O_ {1} = X.}$${\ displaystyle a.}$
• Každý zcela odpojený prostor je T ₁ , protože každý bod je připojenou komponentou, a proto je uzavřen.

Zobecnění na jiné druhy prostorů

Termíny „T ₁ “, „R ₀ “ a jejich synonyma lze také použít na takové variace topologických prostorů, jako jsou jednotné prostory , Cauchyho prostory a konvergenční prostory . Charakteristikou, která spojuje koncept ve všech těchto příkladech, je, že limity pevných ultrafiltrů (nebo konstantních sítí ) jsou jedinečné (pro prostory T ₁ ) nebo jedinečné až do topologické nerozeznatelnosti (pro prostory R ₀ ).

Jak se ukazuje, jednotné prostory a obecněji Cauchyho prostory jsou vždy R ₀ , takže podmínka T _{1 se} v těchto případech snižuje na podmínku T ₀ . Ale samotná R ₀ může být zajímavou podmínkou pro jiné druhy konvergenčních prostorů, jako jsou pretopologické prostory .

Viz také

• Topologická vlastnost  - předmět studia v kategorii topologických prostorů

Citace

Bibliografie

• Lynn Arthur Steen a J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology . Springer-Verlag, New York, 1978. Přetištěno společností Dover Publications, New York, 1995. ISBN  0-486-68735-X (vydání Dover).
• Willard, Stephen (1998). Obecná topologie . New York: Dover. s. 86–90. ISBN 0-486-43479-6.
• Folland, Gerald (1999). Skutečná analýza: moderní techniky a jejich aplikace (2. vydání). John Wiley & Sons, Inc. p. 116 . ISBN 0-471-31716-0.
• AV Arkhangel'skii, LS Pontryagin (Eds.) Obecná topologie I (1990) Springer-Verlag ISBN  3-540-18178-4 .