Itô's lemma - Itô's lemma

V matematice , Ito lemma je identity použit v Ito kalkul najít diferenciálu o časově závislé funkce je stochastický proces . Slouží jako stochastický kalkul protějšek řetězového pravidla . Lze jej heuristicky odvodit vytvořením Taylorovy řady rozšíření funkce až na její druhé derivace a zachováním výrazů až do prvního řádu v časovém přírůstku a druhého řádu v přírůstku Wienerova procesu . Lemma je široce využívána v matematických financí a jeho nejznámější použití je při odvozování z Black-Scholes rovnice pro hodnoty opce.

Neformální odvození

Formální důkaz lemmatu závisí na převzetí limitu posloupnosti náhodných proměnných. Tento přístup zde není představen, protože zahrnuje řadu technických podrobností. Místo toho dáváme náčrt toho, jak lze odvodit Itôovo lemma rozšířením Taylorovy řady a použitím pravidel stochastického počtu.

Předpokládejme, že X _t je Itô drift-difúzní proces, který splňuje stochastickou diferenciální rovnici

${\ Displaystyle dX_ {t} = \ mu _ {t} \, dt+\ sigma _ {t} \, dB_ {t},}$

kde B _t je Wienerův proces . Pokud f ( t , x ) je dvakrát diferencovatelná skalární funkce, její expanze v Taylorově řadě je

${\ Displaystyle df = {\ frac {\ částečný f} {\ částečný t}} \, dt+{\ frac {\ částečný f} {\ částečný x}} \, dx+{\ frac {1} {2}} { \ frac {\ částečné^{2} f} {\ částečné x^{2}}} \, dx^{2}+\ cdots.}$

Dosazením X _t za x a tedy μ _t  dt + σ _t  dB _t za dx dává

${\ Displaystyle df = {\ frac {\ částečná f} {\ částečná t}} \, dt+{\ frac {\ částečná f} {\ částečná x}} (\ mu _ {t} \, dt+\ sigma _ { t} \, dB_ {t})+{\ frac {1} {2}} {\ frac {\ částečný ^{2} f} {\ částečný x ^{2}}} \ vlevo (\ mu _ {t }^{2} \, dt^{2} +2 \ mu _ {t} \ sigma _ {t} \, dt \, dB_ {t}+\ sigma _ {t}^{2} \, dB_ { t}^{2} \ vpravo)+\ cdots.}$

V limitu dt → 0 mají termíny dt ² a dt dB _t tendenci nulovat se rychleji než dB ² , což je O ( dt ) . Nastavením podmínek dt ² a dt dB _t na nulu, nahrazením dt za dB ² (kvůli kvadratické variaci Wienerova procesu ) a shromážděním výrazů dt a dB získáme

${\ Displaystyle df = \ left ({\ frac {\ částečný f} {\ částečný t}}+\ mu _ {t} {\ frac {\ částečný f} {\ částečný x}}+{\ frac {\ sigma _ {t}^{2}} {2}} {\ frac {\ částečné^{2} f} {\ částečné x^{2}}} \ vpravo) dt+\ sigma _ {t} {\ frac {\ částečný f} {\ částečný x}} \, dB_ {t}}$

podle potřeby.

Matematická formulace Itôova lemmatu

V následujících podsekcích diskutujeme o verzích Itôova lemmatu pro různé typy stochastických procesů.

Itô drift-diffusion processes (due to: Kunita – Watanabe)

Ve své nejjednodušší formě uvádí Itôovo lemma následující: pro proces Itô drift-diffusion

${\ Displaystyle dX_ {t} = \ mu _ {t} \, dt+\ sigma _ {t} \, dB_ {t}}$

a jakákoli dvakrát diferencovatelná skalární funkce f ( t , x ) dvou reálných proměnných t a x , jedna má

${\ Displaystyle df (t, X_ {t}) = \ left ({\ frac {\ částečný f} {\ částečný t}}+\ mu _ {t} {\ frac {\ částečný f} {\ částečný x} }+{\ frac {\ sigma _ {t}^{2}} {2}} {\ frac {\ částečné^{2} f} {\ částečné x^{2}}} \ vpravo) dt+\ sigma _ {t} {\ frac {\ částečný f} {\ částečný x}} \, dB_ {t}.}$

To okamžitě znamená, že f ( t , X _t ) je sám procesem Itô drift-diffusion.

Ve vyšších dimenzích, pokud je vektor Itô zpracovává tak, že ${\ Displaystyle \ mathbf {X} _ {t} = (X_ {t}^{1}, X_ {t}^{2}, \ ldots, X_ {t}^{n})^{T}}$

${\ Displaystyle d \ mathbf {X} _ {t} = {\ boldsymbol {\ mu}} _ {t} \, dt+\ mathbf {G} _ {t} \, d \ mathbf {B} _ {t} }$

pro vektor a matici to Itôovo lemma pak uvádí ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} _ {t}}$${\ displaystyle \ mathbf {G} _ {t}}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} df (t, \ mathbf {X} _ {t}) & = {\ frac {\ částečný f} {\ částečný t}} \, dt+\ left (\ nabla _ {\ mathbf {X}} f \ right)^{T} \, d \ mathbf {X} _ {t}+{\ frac {1} {2}} \ left (d \ mathbf {X} _ {t} \ vpravo)^{T} \ vlevo (H _ {\ mathbf {X}} f \ vpravo) \, d \ mathbf {X} _ {t}, \\ & = \ left \ {{\ frac {\ částečný f} {\ partial t}}+\ left (\ nabla _ {\ mathbf {X}} f \ right)^{T} {\ boldsymbol {\ mu}} _ {t}+{\ frac {1} {2} } \ operatorname {Tr} \ left [\ mathbf {G} _ {t}^{T} \ left (H _ {\ mathbf {X}} f \ right) \ mathbf {G} _ {t} \ right] \ vpravo \} dt+\ vlevo (\ nabla _ {\ mathbf {X}} f \ vpravo)^{T} \ mathbf {G} _ {t} \, d \ mathbf {B} _ {t} \ end {zarovnáno }}}$

kde je přechod z f wrt X , H _X f je pytloviny matice z f wrt X , a Tr je operátor stopa . ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {X}} f}$

Poissonovy skokové procesy

Můžeme také definovat funkce na nespojitých stochastických procesech.

Nechť h je intenzita skoku. Způsob Poissonův model pro skoky je, že pravděpodobnost jeden skoku v intervalu [ t , t + Δ t ] je h Δ t a vyšších řádů podmínek. h může být konstanta, deterministická funkce času nebo stochastický proces. Pravděpodobnost přežití p _s ( t ) je pravděpodobnost, že v intervalu [0, t ] nedošlo k žádnému skoku . Změna pravděpodobnosti přežití je

${\ Displaystyle dp_ {s} (t) =-p_ {s} (t) h (t) \, dt.}$

Tak

${\ Displaystyle p_ {s} (t) = \ exp \ left (-\ int _ {0}^{t} h (u) \, du \ right).}$

Nechť S ( t ) je diskontinuální stochastický proces. Napište hodnotu S, jak se blížíme k t zleva. Zapište pro nekonečně malou změnu S ( t ) v důsledku skoku. Pak ${\ displaystyle S (t^{-})}$${\ displaystyle d_ {j} S (t)}$

${\ Displaystyle d_ {j} S (t) = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} (S (t+\ Delta t) -S (t^{-}))}$

Nechť z je velikost skoku a nechat je distribuce of Z . Očekávaná velikost skoku je ${\ Displaystyle \ eta (S (t^{-}), z)}$

${\ Displaystyle E [d_ {j} S (t)] = h (S (t^{-})) \, dt \ int _ {z} z \ eta (S (t^{-}), z) \, dz.}$

Definujte , kompenzovaný proces a martingale , as ${\ displaystyle dJ_ {S} (t)}$

${\ Displaystyle dJ_ {S} (t) = d_ {j} S (t) -E [d_ {j} S (t)] = S (t) -S (t^{-})-\ left (h (S (t^{-})) \ int _ {z} z \ eta \ left (S (t^{-}), z \ right) \, dz \ right) \, dt.}$

Pak

${\ Displaystyle d_ {j} S (t) = E [d_ {j} S (t)]+dJ_ {S} (t) = h (S (t^{-})) \ left (\ int _ { z} z \ eta (S (t^{-}), z) \, dz \ right) dt+dJ_ {S} (t).}$

Zvažte funkci skokového procesu dS ( t ) . Pokud S ( t ) skočí o Δ s, pak g ( t ) skočí o Δ g . Δ g je čerpáno z distribuce, která může záviset na , dg a . Skoková část je ${\ Displaystyle g (S (t), t)}$${\ displaystyle \ eta _ {g} ()}$${\ displaystyle g (t^{-})}$${\ displaystyle S (t^{-})}$${\ displaystyle g}$

${\ Displaystyle g (t) -g (t^{-}) = h (t) \, dt \ int _ {\ Delta g} \, \ Delta g \ eta _ {g} (\ cdot) \, d \ Delta g+dJ_ {g} (t).}$

Pokud obsahuje části driftu, difúze a skoku, pak Itô's Lemma for is ${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle g (S (t), t)}$

${\ Displaystyle dg (t) = \ left ({\ frac {\ částečný g} {\ částečný t}}+\ mu {\ frac {\ částečný g} {\ částečný S}}+{\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}} {\ frac {\ částečné ^{2} g} {\ částečné S ^{2}}}+h (t) \ int _ {\ Delta g} \ left (\ Delta g \ eta _ {g} (\ cdot) \, d {\ Delta} g \ right) \, \ right) dt+{\ frac {\ částečný g} {\ částečný S}} \ sigma \, dW (t)+dJ_ {g} (t).}$

Itôovo lemma pro proces, který je součtem procesu driftové difúze a skokového procesu, je pouze součtem Itôova lemmatu pro jednotlivé části.

Nekontinuální semimartingales

Itôovo lemma lze také aplikovat na obecná d -rozměrná semimartingales , která nemusí být spojitá. Semimartingale je obecně càdlàg proces a do vzorce je třeba přidat další výraz, aby bylo zajištěno, že skoky procesu jsou správně dány Itôovým lemmatem. Pro jakýkoli proces kad tlabu Y _t je levý limit v t označen Y _t− , což je levý spojitý proces. Skoky se zapisují jako Δ Y _t = Y _t - Y _t− . Potom Itôovo lemma uvádí, že pokud X = ( X ¹ , X ² , ..., X ^d ) je d -dimenzionální semimartingale a f je dvakrát spojitě diferencovatelná skutečná hodnota funkce na R ^d, pak f ( X ) je semimartingale , a

${\ displaystyle {\ begin {aligned} f (X_ {t}) & = f (X_ {0})+\ sum _ {i = 1}^{d} \ int _ {0}^{t} f_ { i} (X_ {s-}) \, dX_ {s}^{i}+{\ frac {1} {2}} \ sum _ {i, j = 1}^{d} \ int _ {0} ^{t} f_ {i, j} (X_ {s-}) \, d [X^{i}, X^{j}] _ {s} \\ & \ qquad +\ sum _ {s \ leq t} \ left (\ Delta f (X_ {s})-\ sum _ {i = 1}^{d} f_ {i} (X_ {s-}) \, \ Delta X_ {s}^{i} -{\ frac {1} {2}} \ sum _ {i, j = 1}^{d} f_ {i, j} (X_ {s-}) \, \ Delta X_ {s}^{i} \, \ Delta X_ {s}^{j} \ right). \ End {aligned}}}$

To se liší od vzorce pro spojité semi-martingale doplňkovým termínem sčítajícím přes skoky X , který zajišťuje, že skok pravé strany v čase t je Δ f ( X _t ).

Několik nespojitých skokových procesů

Existuje také jeho verze pro dvakrát spojitě diferencovatelnou v prostoru funkci jednou za čas f vyhodnocenou na (potenciálně odlišných) nesouvislých semi-martingalech, které lze zapsat takto:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} f (t, X_ {t}^{1}, \ ldots, X_ {t}^{d}) = {} & f (0, X_ {0}^{1}, \ ldots, X_ {0}^{d})+\ int _ {0}^{t} {\ dot {f}} ({s _ {-}}, X_ {s _ {-}}^{1}, \ ldots, X_ {s _ {-}}^{d}) d {s} \\ & {}+\ sum _ {i = 1}^{d} \ int _ {0}^{t} f_ {i } ({s _ {-}}, X_ {s _ {-}}^{1}, \ ldots, X_ {s _ {-}}^{d}) \, dX_ {s}^{(c, i)} \\ & {}+{\ frac {1} {2}} \ sum _ {i_ {1}, \ ldots, i_ {d} = 1}^{d} \ int _ {0}^{t} f_ {i_ {1}, \ ldots, i_ {d}} ({s _ {-}}, X_ {s _ {-}}^{1}, \ ldots, X_ {s _ {-}}^{d}) \ , dX_ {s}^{(c, i_ {1})} \ cdots X_ {s}^{(c, i_ {d})} \\ & {}+\ sum _ {0 <s \ leq t} \ left [f (s, X_ {s}^{1}, \ ldots, X_ {s}^{d})-f ({s _ {-}}, X_ {s _ {-}}^{1}, \ ldots, X_ {s _ {-}}^{d}) \ right] \ end {aligned}}}$

kde označuje spojitou část i. semi-martingale. ${\ displaystyle X^{c, i}}$

Příklady

Geometrický Brownův pohyb

Proces S se říká, sledovat geometrické Brownův pohyb s konstantním volatility å a konstantní drift u Stabilizátory , splňuje-li stochastické diferenciální rovnice , pro Brownův pohyb B . Použití Itôova lemmatu pomocí dává ${\ Displaystyle dS_ {t} = \ sigma S_ {t} \, dB_ {t}+\ mu S_ {t} \, dt}$${\ displaystyle f (S_ {t}) = \ log (S_ {t})}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} df & = f^{\ prime} (S_ {t}) \, dS_ {t}+{\ frac {1} {2}} f^{\ prime \ prime} (S_ {t}) (dS_ {t})^{2} \\ & = {\ frac {1} {S_ {t}}} \, dS_ {t}+{\ frac {1} {2}} (- S_ {t}^{-2}) (S_ {t}^{2} \ sigma^{2} \, dt) \\ & = {\ frac {1} {S_ {t}}} \ left (\ sigma S_ {t} \, dB_ {t}+\ mu S_ {t} \, dt \ right)-{\ frac {1} {2}} \ sigma ^{2} \, dt \\ & = \ sigma \, dB_ {t}+\ left (\ mu -{\ tfrac {\ sigma ^{2}} {2}} \ right) \, dt. \ end {aligned}}}$

Z toho vyplývá, že

${\ Displaystyle \ log (S_ {t}) = \ log (S_ {0})+\ sigma B_ {t}+\ left (\ mu -{\ tfrac {\ sigma ^{2}} {2}} \ vpravo) t,}$

umocňování dává výraz pro S ,

${\ Displaystyle S_ {t} = S_ {0} \ exp \ left (\ sigma B_ {t}+\ left (\ mu -{\ tfrac {\ sigma ^{2}} {2}} \ right) t \ že jo).}$

Opravný termín - σ ²/2odpovídá rozdílu mezi mediánem a průměrem log-normálního rozdělení , nebo ekvivalentně pro toto rozdělení, geometrický průměr a aritmetický průměr, přičemž medián (geometrický průměr) je nižší. To je způsobeno nerovností AM – GM a odpovídá logaritmu, který je konkávní (nebo konvexní směrem nahoru), takže korekční člen lze podle toho interpretovat jako korekci konvexity . Toto je nekonečně malá verze skutečnosti, že roční výnos je menší než průměrný výnos, přičemž rozdíl je úměrný rozptylu. Další diskusi viz geometrické momenty log-normální distribuce .

Stejný faktor σ ²/2se objevuje v pomocných proměnných d ₁ a d ₂ Black -Scholesova vzorce a lze jej interpretovat jako důsledek Itôova lemmatu.

Doléans-Dade exponenciální

Doléans-Dade exponenciální (nebo stochastické exponenciální) kontinuálního semimartingale X může být definována jako řešení SDE dY = Y dX s počátečním stavu Y ₀ = 1 . Někdy se označuje Ɛ ( X ) . Použití Itôova lemmatu s f ( Y ) = log ( Y ) dává

${\ displaystyle {\ begin {aligned} d \ log (Y) & = {\ frac {1} {Y}} \, dY-{\ frac {1} {2Y^{2}}} \, d [Y ] \\ [6pt] & = dX-{\ tfrac {1} {2}} \, d [X]. \ End {aligned}}}$

Umocňování dává řešení

${\ Displaystyle Y_ {t} = \ exp \ left (X_ {t} -X_ {0}-{\ tfrac {1} {2}} [X] _ {t} \ right).}$

Black – Scholesův vzorec

Itôovo lemma lze použít k odvození Black -Scholesovy rovnice pro volbu . Předpokládejme, že cena akcie sleduje geometrický Brownův pohyb daný stochastickou diferenciální rovnicí dS = S ( σdB + μ dt ) . Potom, je-li hodnota opce v čase t je f ( t , S _t ), ITO lemma dává

${\ Displaystyle df (t, S_ {t}) = \ left ({\ frac {\ částečný f} {\ částečný t}}+{\ frac {1} {2}} \ left (S_ {t} \ sigma \ right)^{2} {\ frac {\ částečný^{2} f} {\ částečný S^{2}}} \ pravý) \, dt+{\ frac {\ částečný f} {\ částečný S}} \ , dS_ {t}.}$

Termín ∂ f/. S. dS představuje změnu hodnoty v čase dt obchodní strategie sestávající z držení částky∂ f/. S.akcií. Pokud je tato obchodní strategie dodržována a předpokládá se, že veškerá držená hotovost poroste bezrizikovou sazbou r , pak celková hodnota V tohoto portfolia splňuje SDE

${\ Displaystyle dV_ {t} = r \ left (V_ {t}-{\ frac {\ částečný f} {\ částečný S}} S_ {t} \ vpravo) \, dt+{\ frac {\ částečný f} { \ částečné S}} \, dS_ {t}.}$

Tato strategie replikuje možnost, pokud V = f ( t , S ). Kombinací těchto rovnic vznikne oslavovaná Black -Scholesova rovnice

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný f} {\ částečný t}}+{\ frac {\ sigma ^{2} S ^{2}} {2}} {\ frac {\ částečný ^{2} f} {\ částečné S^{2}}}+rS {\ frac {\ částečné f} {\ částečné S}}-rf = 0.}$

Pravidlo produktu pro procesy Itô

Budiž dvourozměrný proces Ito s SDE: ${\ displaystyle \ mathbf {X} _ {t}}$

${\ Displaystyle d \ mathbf {X} _ {t} = d {\ begin {pmatrix} X_ {t}^{1} \\ X_ {t}^{2} \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} \ mu _ {t}^{1} \\\ mu _ {t}^{2} \ end {pmatrix}} dt+{\ begin {pmatrix} \ sigma _ {t}^{1} \\\ sigma _ {t}^{2} \ end {pmatrix}} \, dB_ {t}}$

Pak můžeme použít vícerozměrnou formu Itoova lemmatu k nalezení výrazu pro . ${\ Displaystyle d (X_ {t}^{1} X_ {t}^{2})}$

Máme a . ${\ Displaystyle \ mu _ {t} = {\ begin {pmatrix} \ mu _ {t}^{1} \\\ mu _ {t}^{2} \ end {pmatrix}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {G} = {\ begin {pmatrix} \ sigma _ {t}^{1} \\\ sigma _ {t}^{2} \ end {pmatrix}}}$

Nastavili jsme a sledovali to a${\ Displaystyle f (t, \ mathbf {X} _ {t}) = X_ {t}^{1} X_ {t}^{2}}$${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný f} {\ částečný t}} = 0, \ (\ nabla _ {\ mathbf {X}} f)^{T} = (X_ {t}^{2} \ \ X_ {t}^{1})}$${\ Displaystyle H _ {\ mathbf {X}} f = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

Nahrazením těchto hodnot ve vícerozměrné verzi lemmatu získáme:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} d (X_ {t}^{1} X_ {t}^{2}) & = df (t, \ mathbf {X} _ {t}) \\ & = 0 \ cdot dt+(X_ {t}^{2} \ \ X_ {t}^{1}) \, d \ mathbf {X} _ {t}+{\ frac {1} {2}} (dX_ {t} ^{1} \ \ dX_ {t}^{2}) {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} dX_ {t}^{1} \\ dX_ {t }^{2} \ end {pmatrix}} \\ & = X_ {t}^{2} \, dX_ {t}^{1}+X_ {t}^{1} dX_ {t}^{2} +dX_ {t}^{1} \, dX_ {t}^{2} \ end {zarovnáno}}}$

Toto je zobecnění Leibnizova produktového pravidla na procesy Ito, které jsou nediferencovatelné.

Dále nám to dává použití druhé formy vícerozměrné verze výše

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} d (X_ {t}^{1} X_ {t}^{2}) & = \ left \ {0+ (X_ {t}^{2} \ \ X_ {t }^{1}) {\ begin {pmatrix} \ mu _ {t}^{1} \\\ mu _ {t}^{2} \ end {pmatrix}}+{\ frac {1} {2} } \ operatorname {Tr} \ left [(\ sigma _ {t}^{1} \ \ \ sigma _ {t}^{2}) {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} { \ begin {pmatrix} \ sigma _ {t}^{1} \\\ sigma _ {t}^{2} \ end {pmatrix}} \ right] \ right \} \, dt+(X_ {t}^{ 2} \ sigma _ {t}^{1}+X_ {t}^{1} \ sigma _ {t}^{2}) \, dB_ {t} \\ [5pt] & = \ left (X_ { t}^{2} \ mu _ {t}^{1}+X_ {t}^{1} \ mu _ {t}^{2}+\ sigma _ {t}^{1} \ sigma _ { t}^{2} \ vpravo) \, dt+(X_ {t}^{2} \ sigma _ {t}^{1}+X_ {t}^{1} \ sigma _ {t}^{2} ) \, dB_ {t} \ end {zarovnáno}}}$

takže vidíme, že produkt je sám o sobě procesem Itô drift-diffusion . ${\ displaystyle X_ {t}^{1} X_ {t}^{2}}$

Viz také

• Wienerův proces
• Je to kalkul
• Feynman – Kacův vzorec

Poznámky

Reference

• Kiyosi Itô (1944). Stochastický integrál. Proč. Imperial Acad. Tokio 20 , 519–524. Toto je papír se vzorcem Ito; Online
• Kiyosi Itô (1951). O stochastických diferenciálních rovnicích. Memoirs, American Mathematical Society 4 , 1–51. Online
• Bernt Øksendal (2000). Stochastické diferenciální rovnice. Úvod do aplikací , 5. vydání, opravený 2. tisk. Springer. ISBN  3-540-63720-6 . Oddíly 4.1 a 4.2.
• Philip E Protter (2005). Stochastická integrace a diferenciální rovnice , 2. vydání. Springer. ISBN  3-662-10061-4 . Oddíl 2.7.

externí odkazy

• Derivace , prof. Thayer Watkins
• Neformální důkaz , optiontutor