Nilpotentní skupina - Nilpotent group

V matematiky , konkrétně teorii skupiny , je nilpotentní skupina G je skupina , která má horní středový sérii , který ukončuje s G . Ekvivalentně má jeho střední řada konečnou délku nebo její spodní střední řada končí znakem {1}.

Intuitivně nilpotentní skupina je skupina, která je „téměř abelianská “. Tato myšlenka je motivována skutečností, že nilpotentní skupiny jsou řešitelné , a pro konečné nilpotentní skupiny musí dojíždět dva prvky, které mají relativně hlavní příkazy. Je také pravda, že konečné nilpotentní skupiny jsou supersolvable . Koncept je připočítán k práci ve 30. letech ruským matematikem Sergejem Černikovem .

Nilpotentní skupiny vznikají v Galoisově teorii i v klasifikaci skupin. Objevují se také prominentně v klasifikaci Lieových skupin .

Analogické termíny se používají pro Lieovy algebry (pomocí Lieovy závorky ), včetně nilpotentu , dolní střední řady a horní střední řady .

Definice

Definice využívá myšlenku centrální řady pro skupinu. Následují ekvivalentní definice pro nilpotentní skupinu $G$ :

$G$ má centrální řadu konečné délky. To znamená řadu normálních podskupin

{\ displaystyle \ {1 \} = G_ {0} \ triangleleft G_ {1} \ triangleleft \ dots \ triangleleft G_ {n} = G}

kde nebo ekvivalentně .

{\ displaystyle G_ {i + 1} / G_ {i} \ leq Z (G / G_ {i})}

{\ displaystyle [G, G_ {i + 1}] \ leq G_ {i}}

$G$ má nižší centrální řadu končící v triviální podskupině po konečně mnoha krocích. To znamená řadu normálních podskupin

{\ displaystyle G = G_ {0} \ triangleright G_ {1} \ triangleright \ dots \ triangleright G_ {n} = \ {1 \}}

kde .

{\ displaystyle G_ {i + 1} = [G_ {i}, G]}

$G$ má horní centrální řadu končící v celé skupině po konečně mnoha krocích. To znamená řadu normálních podskupin

{\ displaystyle \ {1 \} = Z_ {0} \ triangleleft Z_ {1} \ triangleleft \ dots \ triangleleft Z_ {n} = G}

kde a je podskupina taková, že .

{\ displaystyle Z_ {1} = Z (G)}

{\ displaystyle Z_ {i + 1}}

{\ displaystyle Z_ {i + 1} / Z_ {i} = Z (G / Z_ {i})}

Pro nilpotentní skupinu, nejmenší $n$ takové, že $G$ má centrální řadu o délce $n$ se nazývá nilpotency třída z $G$ ; a $G$ se říká, že nilpotentní pro třídu $n$ . (Podle definice je délka $n,$ pokud jsou v řadě různé podskupiny, včetně triviální podskupiny a celé skupiny.) ${\ displaystyle n + 1}$

Ekvivalentně se nilpotenční třída $G$ rovná délce dolní střední řady nebo horní střední řady. Pokud má skupina nilpotenciální třídu $n$ , pak se jí někdy říká nil- $n$ skupina .

Z jakékoli z výše uvedených forem definice nilpotence bezprostředně vyplývá, že triviální skupina je jedinečná skupina nilpotenční třídy $0$ a skupiny nilpotenční třídy $1$ jsou přesně netriviální abelianské skupiny.

Příklady

Část Cayleyova grafu diskrétní Heisenbergovy skupiny , známá nilpotentní skupina.

Jak je uvedeno výše, každá abelianská skupina je nilpotentní.
Pro malý neabelovský příklad zvažte kvartérní skupinu Q ₈ , což je nejmenší neabelovská p -skupina. Má střed {1, −1} řádu 2 a jeho horní střední řada je {1}, {1, −1}, Q ₈ ; takže je nilpotentní pro třídu 2.
Přímý produkt dvou nilpotentní skupin nilpotentní.
Všechny konečné p -skupiny jsou ve skutečnosti nilpotentní ( důkaz ). Maximální třída skupiny řádu p ⁿ je n (například libovolná skupina řádu 2 je nilpotentní pro třídu 1). 2-skupiny maximální třídy jsou zobecněné čtveřice skupin , dihedrální skupiny a semidihedrální skupiny .
Kromě toho je každá konečná nilpotentní skupina přímým produktem p -skupin.
Multiplikativní skupina horních unitriangulárních matic n x n nad jakýmkoli polem F je nilpotentní skupina nilpotenční třídy n - 1. Zejména při použití n = 3 se získá Heisenbergova skupina H , příklad neabelské nekonečné nilpotentní skupiny. Má nilpotency třídy 2 s centrální řady 1, Z ( H ), H .
Multiplikativní skupina invertibilních horních trojúhelníkových n x n matic nad polem F není obecně nilpotentní, ale je řešitelná .
Každý nonabelian skupiny G tak, že G / Z ( G ) je abelian má nilpotency třídy 2, s centrální řady {1}, Z ( G ), G .

Vysvětlení pojmu

Nilpotentní skupiny jsou tzv protože „adjoint akce“ jakéhokoliv prvku nilpotentní , což znamená, že pro nilpotentní skupinu o nilpotence stupně a prvku , funkce definované (kde je komutátor z a ) je nilpotentní v tom smyslu, že th iterace funkce je triviální: pro vše v . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {g} \ dvojtečka G \ až G}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {g} (x): = [g, x]}$ ${\ displaystyle [g, x] = g ^ {- 1} x ^ {- 1} gx}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ left (\ operatorname {ad} _ {g} \ right) ^ {n} (x) = e}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle G}$

Toto není definující charakteristika nilpotentních skupin: skupiny, pro které je nilpotent stupně (ve smyslu výše), se nazývají - Engelovy skupiny a obecně nemusí být nilpotentní. Ukázalo se, že jsou nilpotentní, pokud mají konečný řád , a domnívají se, že jsou nilpotentní, pokud jsou definitivně generováni . ${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {g}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Abelianská skupina je přesně ta, pro kterou adjunktní akce není jen nilpotentní, ale triviální (skupina 1-Engel).

Vlastnosti

Protože každá následná skupina faktorů Z _{i +1} / Z _i v horní centrální řadě je abelianská a řada je konečná, každá nilpotentní skupina je řešitelná skupina s relativně jednoduchou strukturou.

Každá podskupina nilpotentní skupiny třídy n je nilpotentní třídy maximálně n ; navíc, pokud f je homomorfismus nilpotentní skupiny třídy n , pak je obraz f nilpotentní třídy nanejvýš n .

Následující příkazy jsou ekvivalentní pro konečné skupiny a odhalují některé užitečné vlastnosti nilpotence:

(a) G je nilpotentní skupina.
(b) Je-li H je vlastní podskupina G , pak H je vlastní normální podskupina z N _G ( H ) (na normalizátor z H v G ). Toto se nazývá vlastnost normalizátoru a lze jej formulovat jednoduše jako „růst normalizátorů“.
(c) Každá podskupina Sylow G je normální.
(d) G je přímým produktem jejích podskupin Sylow .
(e) V případě, d rozděluje pořadí z G , pak G je normální podskupina objednávky d .

Důkaz: (a) → (b): Indukcí na | G |. Jestliže G je abelian, pak pro všechny H , N _G ( H ) = G . Pokud tomu tak není, je-li Z ( G ) není obsažena v H , pak h _Z H _Z^-1h ^-1 = h ' H' h ^-1 = H , takže H · Z ( G ) normalizers H . Pokud je Z ( G ) obsažen v H , pak H / Z ( G ) je obsažen v G / Z ( G ). Všimněte si, že G / Z ( G ) je nilpotentní skupina. Existuje tedy podskupina G / Z ( G ), která normalizuje H / Z ( G ) a H / Z ( G ) je její správnou podskupinou. Proto se stáhnout zpět této podskupiny do podskupiny v G a normalizuje H . (Tento důkaz je stejný argument jako u p -skupin - jedinou skutečností, kterou jsme potřebovali, bylo, že pokud G je nilpotentní, pak také G / Z ( G ) - takže podrobnosti jsou vynechány.)

(b) → (c): Nechť p ₁ , p ₂ , ..., p _s jsou zřetelná prvočísla rozdělující jeho pořadí a nechme P _i v Syl _{p _i} ( G ), 1 ≤ i ≤ s . Nechť P = P _i pro některé i a N = N _G ( P ). Vzhledem k tomu, P je normální podskupina N , P, je charakteristická v N . Protože P char N a N je normální podskupina N _G ( N ), dostaneme, že P je normální podskupina N _G ( N ). To znamená, že N _G ( N ), je podskupina N a tedy N _G ( N ) = N . Z (b) tedy musíme mít N = G , což dává (c).

(c) → (d): Nechť p ₁ , p ₂ , ..., p _s jsou zřetelná prvočísla rozdělující jeho pořadí a nechme P _i v Syl _{p _i} ( G ), 1 ≤ i ≤ s . Pro libovolné t , 1≤ t ≤ s indukčně ukazujeme, že P ₁P ₂ ... P _t je izomorfní s P ₁ × P ₂ × ... × P _t . Všimněte si, že každá první P _i je normální v G, tak P ₁P ₂ ... P _t je podskupina G . Nechť H je produkt P ₁P ₂ ... P _t-1 a nechť K = P _t , takže indukcí H je izomorfní s P ₁ × P ₂ × ... × P _t-1 . Zejména | H | = | P ₁ | · | P ₂ | · ... · | P _t-1 |. Od | K | = | P _t |, řády H a K jsou relativně prvotní. Lagrangeova věta znamená, že průsečík H a K se rovná 1. Podle definice P ₁P ₂ ... P _t = HK , proto HK je izomorfní s H × K, což se rovná P ₁ × P ₂ × ... × P _t . Tím je indukce dokončena. Nyní vezměte t = s pro získání (d).

(d) → (e): Všimněte si, že P-skupina řádu p ^k má normální podskupinu řádu p ^m pro všechny 1≤ m ≤ k . Protože G je přímým produktem jejích podskupin Sylow a normálnost je zachována na přímém produktu skupin, G má normální podskupinu řádu d pro každého dělitele d z | G |.

(e) → (a): Pro jakékoli prvočíselné dělení p | G | se Sylow p -subgroup je normální. Můžeme tedy použít (c) (protože jsme již prokázali (c) → (e)).

Prohlášení (d) může být rozšířen na nekonečné skupiny: v případě, G je nilpotentní skupina, pak každý Sylow podskupina G _p z G je normální, a přímým produktem těchto Sylow podskupin je podskupina všech prvků konečné pořadí, v G (viz torzní podskupina ).

Mnoho vlastností nilpotentních skupin sdílí hypercentrální skupiny .

Poznámky

Reference

Bechtell, Homer (1971). Teorie grup . Addison-Wesley .
Von Haeseler, Friedrich (2002). Automatické sekvence . De Gruyterovy expozice v matematice. 36 . Berlín: Walter de Gruyter . ISBN 3-11-015629-6.
Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9.
Isaacs, I. Martin (2008). Teorie konečné skupiny . Americká matematická společnost . ISBN 0-8218-4344-3.
Palmer, Theodore W. (1994). Banachovy algebry a obecná teorie * -algeber . Cambridge University Press . ISBN 0-521-36638-0.
Stammbach, Urs (1973). Homologie v teorii skupiny . Přednášky z matematiky. 359 . Springer-Verlag. Posouzení
Suprunenko, DA (1976). Maticové skupiny . Providence, Rhode Island: American Mathematical Society . ISBN 0-8218-1341-2.
Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Témata v teorii skupin . Springerova vysokoškolská matematická série. Springer. ISBN 1-85233-235-2.
Zassenhaus, Hans (1999). Teorie grup . New York: Dover Publications . ISBN 0-486-40922-8.

Languages

In other projects