Náhodný prvek - Random element

V teorii pravděpodobnosti je náhodný prvek zobecněním pojmu náhodné proměnné do složitějších prostor než jednoduchá reálná čára. Koncept představil Maurice Fréchet  ( 1948 ), který uvedl, že „vývoj teorie pravděpodobnosti a rozšíření oblasti jejích aplikací vedly k nutnosti přejít od schémat, kde lze (náhodné) výsledky experimentů popsat číslem nebo konečnou množinou čísel, do schémat, kde výsledky experimentů představují například vektory , funkce , procesy, pole , řady , transformace a také množiny nebo kolekce množin. “

Moderní použití „náhodného prvku“ často předpokládá, že prostor hodnot je topologický vektorový prostor , často Banachův nebo Hilbertův prostor se specifickou přirozenou sigma algebrou podmnožin.

Definice

Dovolit být pravděpodobnostní prostor a měřitelný prostor . Náhodný prvek s hodnotami v E je funkcí X : Ω → E , který je - měřitelný . To znamená, že funkce X tak, že na každém je preimage b leží v . ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}})}$${\ displaystyle ({\ mathcal {F}}, {\ mathcal {E}})}$${\ displaystyle B \ v {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Někdy se náhodné prvky s hodnotami nazývají náhodné proměnné s hodnotami . ${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$

Všimněte si , že pokud jsou reálná čísla a je to Borelova σ-algebra , pak definice náhodného prvku je klasická definice náhodné proměnné . ${\ displaystyle (E, {\ mathcal {E}}) = (\ mathbb {R}, {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R}))}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (\ mathbb {R})}$

Definice náhodného prvku s hodnotami v Banachově prostoru se obvykle chápe jako využití nejmenší -algebry na B, pro kterou je měřitelná každá ohraničená lineární funkce . Ekvivalentní definice, v tomto případě, na výše uvedené skutečnosti je, že mapa , z prostoru pravděpodobnosti, je náhodný prvek, pokud je náhodná proměnná pro každá omezená lineární funkční f , nebo ekvivalentně, že je slabě měřitelné . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle X: \ Omega \ rightarrow B}$${\ displaystyle f \ circ X}$${\ displaystyle X}$

Příklady náhodných prvků

Náhodná proměnná

Náhodná proměnná je nejjednodušším typem náhodného prvku. Je to mapa, která je měřitelnou funkcí od souboru možných výsledků až po . ${\ displaystyle X \ colon \ Omega \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Jako funkce se skutečnou hodnotou často popisuje určité numerické množství dané události. Např. Počet hlav po určitém počtu otočení mince; výšky různých lidí. ${\ displaystyle X}$

Když je obraz (nebo jeho rozsah) konečný nebo spočetně nekonečný , náhodná proměnná se nazývá diskrétní náhodná proměnná a její rozdělení lze popsat pomocí funkce pravděpodobnostní hmotnosti, která přiřadí pravděpodobnost každé hodnotě v obraze . Pokud je obraz nespočetně nekonečný, pak se nazývá spojitá náhodná proměnná. Ve zvláštním případě, že je absolutně spojitý , lze jeho rozdělení popsat funkcí hustoty pravděpodobnosti , která přiřadí pravděpodobnosti intervalům; zejména každý jednotlivý bod musí mít nutně nulovou pravděpodobnost pro absolutně spojitou náhodnou proměnnou. Ne všechny spojité náhodné proměnné jsou absolutně spojité, například rozdělení směsi . Takové náhodné proměnné nelze popsat hustotou pravděpodobnosti nebo funkcí pravděpodobnostní hmotnosti. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Náhodný vektor

Náhodný vektor je sloupec vektor (nebo její transpozice , což je vektor řádek ), jehož komponenty jsou skalární cenil náhodné veličiny na stejném pravděpodobnostním prostoru , kde je vzorek prostor , je sigma-algebry (kolekce všech událostí) , a je míra pravděpodobnosti (funkce, která vrací pravděpodobnost každé události ). ${\ displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, ..., X_ {n}) ^ {T}}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle P}$

Náhodné vektory se často používají jako základní implementace různých typů agregovaných náhodných proměnných , např. Náhodná matice , náhodný strom , náhodná sekvence , náhodný proces atd.

Náhodná matice

Náhodný matice je matice cenil náhodný prvek. Mnoho důležitých vlastností fyzických systémů lze matematicky vyjádřit jako maticové problémy. Například tepelná vodivost z mřížky může být vypočítán z dynamické matrice interakcí částice-částice v mřížce.

Náhodná funkce

Náhodná funkce je typ náhodného prvku, ve kterém je vybrán jeden výsledek z některé rodiny funkcí, kde se rodina skládá z nějaké třídy všech map z domény do codomain . Například třída může být omezena na všechny spojité funkce nebo na všechny krokové funkce . Hodnoty určené náhodnou funkcí vyhodnocenou v různých bodech ze stejné realizace by obecně nebyly statisticky nezávislé, ale v závislosti na modelu mohou být hodnoty určené ve stejných nebo různých bodech z různých realizací považovány za nezávislé.

Náhodný proces

Náhodný proces je sbírka náhodných proměnných , které představují vývoj nějakého systému náhodných hodnot v průběhu času. Toto je pravděpodobný protějšek deterministického procesu (nebo deterministického systému ). Namísto popisu procesu, který se může vyvinout pouze jedním způsobem (jako v případě řešení běžné diferenciální rovnice ), je ve stochastickém nebo náhodném procesu určitá neurčitost: i když počáteční podmínka (nebo výchozí bod ) je známo, existuje několik (často nekonečně mnoho) směrů, kterými se může proces vyvíjet.

V jednoduchém případě diskrétního času , na rozdíl od kontinuálního času , stochastický proces zahrnuje posloupnost náhodných proměnných a časovou řadu spojenou s těmito náhodnými proměnnými (například viz Markovův řetězec , také známý jako diskrétní Markovův řetězec).

Náhodné pole

Vzhledem k tomu, prostor pravděpodobnosti a měřitelný prostor X, An X cenil náhodné pole je kolekce X cenil náhodné proměnné indexovány prvky topologický prostor T . To znamená, že náhodné pole F je kolekce ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$

${\ displaystyle \ {F_ {t}: t \ v T \}}$

kde každý je náhodná proměnná s hodnotou X.${\ displaystyle F_ {t}}$

Existuje několik druhů náhodných polí, mezi nimi Markovovo náhodné pole (MRF), Gibbsovo náhodné pole (GRF), podmíněné náhodné pole (CRF) a Gaussovo náhodné pole . MRF vystavuje majetek Markovian

${\ displaystyle P (X_ {i} = x_ {i} | X_ {j} = x_ {j}, i \ neq j) = P (X_ {i} = x_ {i} | \ částečné _ {i}) , \,}$

kde je množina sousedů náhodné proměnné X _i . Jinými slovy, pravděpodobnost, že náhodná proměnná převezme hodnotu, závisí na ostatních náhodných proměnných pouze prostřednictvím těch, které jsou jejími bezprostředními sousedy. Pravděpodobnost náhodné proměnné v MRF je dána vztahem ${\ displaystyle \ částečné _ {i}}$

${\ displaystyle P (X_ {i} = x_ {i} | \ částečné _ {i}) = {\ frac {P (\ omega)} {\ sum _ {\ omega '} P (\ omega')}} ,}$

kde Ω 'je stejná realizace Ω, s výjimkou náhodné veličiny X _i . Je obtížné vypočítat pomocí této rovnice, aniž bychom použili vztah mezi MRF a GRF, který navrhl Julian Besag v roce 1974.

Náhodná míra

Náhodný opatřením je opatření cenil náhodný prvek. Nechť X je úplný oddělitelné metrický prostor a σ-algebra jeho Borel sad. Borel míra μ na X je konečný jestliže boundedly μ (A) <∞ pro každé ohraničené Borel set A. Dovolit být prostor všech boundedly konečných opatření týkajících se . Nechť (Ω, ℱ, P ) je prostor pravděpodobnosti , pak náhodná míra mapuje z tohoto prostoru pravděpodobnosti do měřitelného prostoru ( ,  ) . Opatření lze obecně rozložit jako: ${\ displaystyle {\ mathfrak {B}} (X)}$${\ displaystyle M_ {X}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {B}} (X)}$ ${\ displaystyle M_ {X}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {B}} (M_ {X})}$

${\ displaystyle \ mu = \ mu _ {d} + \ mu _ {a} = \ mu _ {d} + \ součet _ {n = 1} ^ {N} \ kappa _ {n} \ delta _ {X_ {n}},}$

Zde je difúzní míra bez atomů, zatímco čistě atomová míra. ${\ displaystyle \ mu _ {d}}$${\ displaystyle \ mu _ {a}}$

Náhodná sada

Náhodná množina je náhodný prvek se stanovenou hodnotou.

Jedním konkrétním příkladem je náhodná kompaktní sada . Pojďme být úplný oddělitelný metrický prostor . Nechť značí množinu všech kompaktních podmnožin . Hausdorffova metrika na je definována ${\ displaystyle (M, d)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$

${\ displaystyle h (K_ {1}, K_ {2}): = \ max \ left \ {\ sup _ {a \ v K_ {1}} \ inf _ {b \ v K_ {2}} d (a , b), \ sup _ {b \ v K_ {2}} \ inf _ {a \ v K_ {1}} d (a, b) \ vpravo \}.}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {K}}, h)}$ je také úplný oddělitelný metrický prostor. Odpovídající otevřené podmnožiny generovat -algebra na , na Borel sigma algebry části . ${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {K}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {K}}}$

Náhodný ucelený soubor je а měřitelná funkce od а pravděpodobnostním prostoru do . ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$${\ displaystyle ({\ mathcal {K}}, {\ mathcal {B}} ({\ mathcal {K}}))}$

Jinými slovy, náhodná kompaktní sada je měřitelná funkce , která je téměř jistě kompaktní a ${\ displaystyle K \ colon \ Omega \ na 2 ^ {M}}$${\ displaystyle K (\ omega)}$

${\ displaystyle \ omega \ mapsto \ inf _ {b \ v K (\ omega)} d (x, b)}$

je měřitelná funkce pro každého . ${\ displaystyle x \ v M}$

Náhodné geometrické objekty

Patří mezi ně náhodné body, náhodné postavy a náhodné tvary.

Reference

Literatura

externí odkazy

• Vstup do Springerovy encyklopedie matematiky