Zhutnění Stone – Čech - Stone–Čech compactification

V matematické disciplíně obecné topologie je Stone – Čechova kompaktifikace (nebo Čech – Stoneova kompaktizace ) technikou pro konstrukci univerzální mapy z topologického prostoru X do kompaktního Hausdorffova prostoru βX . Stone -Čechova kompaktizace βX topologického prostoru X je největší, nejobecnější kompaktní Hausdorffův prostor „generovaný“ X , v tom smyslu, že jakákoli souvislá mapa od X do kompaktního Hausdorffova prostoru ovlivňuje prostřednictvím βX (jedinečným způsobem). Pokud X je prostor Tychonoff, pak mapa od X k jeho obrazu v βX je homeomorphism , takže X lze považovat za (hustý) podprostor βX ; každý druhý kompaktní Hausdorff prostor, který hustě obsahuje X je kvocient z βX . Pro obecné topologické prostory X nemusí být mapa od X do βX injektivní.

Je vyžadována forma zvoleného axiomu, aby se prokázalo, že každý topologický prostor má Stone -Čechovo zhutnění. I pro celkem prosté prostory X zůstává dostupný konkrétní popis βX často nepolapitelný. Zejména důkazy, že βX  \  X je neprázdná nedávají výslovný popis konkrétního bodu v βX  \  X .

Ke zhutnění Stone – Čech dochází implicitně v příspěvku Andrey Nikolajeviče Tychonoffa  ( 1930 ) a výslovně jej poskytli Marshall Stone  ( 1937 ) a Eduard Čech  ( 1937 ).

Dějiny

Andrej Nikolajevič Tichonov představil v roce 1930 zcela pravidelné prostory, aby se vyhnul patologické situaci Hausdorffových prostorů, jejichž jedinou spojitou skutečnou hodnotou jsou konstantní mapy.

Ve stejném článku z roku 1930, kde Tychonoff definoval zcela pravidelné prostory, také dokázal, že každý Tychonoffův prostor (tj. Hausdorffův zcela pravidelný prostor) má Hausdorffovo zhutnění (ve stejném článku také dokázal Tychonoffovu větu ). V roce 1937 Čech rozšířil Tychonoffovu techniku ​​a pro toto zhutnění zavedl notaci β X. Stone také zkonstruoval β X v článku z roku 1937, i když použil velmi odlišnou metodu. Přes Tychonoff je článek je první práce na téma Stone-Čech compactification a navzdory Tychonoff v článku odkazovaný jak Stone a Čecha, název Tychonoff je vzácně spojována s beta X .

Univerzální vlastnictví a funktorialita

Stone -Čechova kompaktizace topologického prostoru X je kompaktní Hausdorffův prostor βX společně se spojitou mapou i _X  : X → βX, která má následující univerzální vlastnost : jakákoli souvislá mapa f  : X → K , kde K je kompaktní Hausdorffův prostor , sahá jedinečně na spojitou mapu βf  : βX → K , tj. ( βf ) i _X = f .

Jak je obvyklé u univerzálních vlastností, tato univerzální vlastnost charakterizuje βX až do homeomorfismu .

Jak je uvedeno v § staveb , dále, je možné prokázat (pomocí axiom výběru), který takový kámen Čech kompaktifikace i _X  : X → βX existuje pro každou topologického prostoru X . Kromě toho je obraz i _X ( X ) hustý v βX .

Někteří autoři přidávají předpoklad, že počátečním prostorem X je Tychonoff (nebo dokonce lokálně kompaktní Hausdorff), a to z následujících důvodů:

• Mapa z X na její obraz v βX je homeomorphism právě tehdy, když X je Tychonoff.
• Mapa z X k jejímu obrazu v βX je homeomorfismem do otevřeného podprostoru právě tehdy, když X je lokálně kompaktní Hausdorff.

Konstrukci Stone – Čech lze provést pro obecnější prostory X , ale v takovém případě mapa X → βX nemusí být homeomorfismem obrazu X (a někdy není ani injektivní).

Jak je obvyklé pro univerzální konstrukce, jako je tento, je rozšíření vlastnost dělá beta je funktor z vrcholu (dále jen kategorie topologických prostorů ) na chaus (kategorie kompaktních Hausdorffových mezer). Dále, pokud necháme U být inkluzní funktor z CHaus do Top , mapy od βX do K (pro K v CHaus ) odpovídají bijektivně mapám z X do UK (s ohledem na jejich omezení na X a pomocí univerzální vlastnosti βX ). tj

Hom ( βX , K ) ≅ Hom ( X , UK ),

což znamená, že β je vlevo adjoint k U . To znamená, že chaus je reflexivní podkategorie z Top s reflektorem beta .

Příklady

Pokud je X kompaktní Hausdorffův prostor, pak se shoduje s jeho kompaktací Stone -Čech. Většina ostatních Stone – Čechových kompaktifikací postrádá konkrétní popis a je extrémně nepraktická. Výjimky zahrnují:

Stone -Čechovo zhutnění prvního nespočetného pořadového čísla s topologií řádu je pořadovým číslem . Stone -Čechovo zhutnění odstraněné desky Tychonoff je deska Tychonoff. ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$${\ displaystyle \ omega _ {1} +1}$

Stavby

Stavba s využitím produktů

Jedním z pokusů o vytvoření Stone -Čechovy kompaktifikace X je uzavření obrazu X v

${\ Displaystyle \ prod \ nolimits _ {f: X \ to K} K}$

kde je výrobek přes všechny map od X do kompaktní Hausdorff prostory K . Podle Tychonoffovy věty je tento produkt kompaktních prostorů kompaktní a uzavření X v tomto prostoru je proto také kompaktní. Funguje to intuitivně, ale selhává z technického důvodu, že kolekce všech takových map je správná třída, nikoli sada. Existuje několik způsobů, jak tuto myšlenku upravit, aby fungovala; například lze omezit kompaktní Hausdorffovy prostory K tak, aby měly podkladovou množinu P ( P ( X )) ( výkonová sada výkonové sady X ), která je dostatečně velká, aby měla mohutnost alespoň stejnou jako u každého kompaktu Hausdorffův prostor, do kterého lze X namapovat hustým obrazem.

Konstrukce s použitím jednotkového intervalu

Jedním ze způsobů konstrukce βX je nechat C být množinou všech spojitých funkcí od X do [0, 1] a zvážit mapu, kde ${\ Displaystyle e: X \ až [0,1]^{C}}$

${\ Displaystyle e (x): f \ mapsto f (x)}$

To může být viděno jako souvislá mapa na jeho obrázku, pokud [0, 1] ^C je dána topologie produktu . Podle Tychonoffovy věty máme, že [0, 1] ^C je kompaktní, protože [0, 1] je. V důsledku toho je uzavření X v [0, 1] ^C je kompaktní obal z X .

Ve skutečnosti je tento uzávěr kompaktací Stone – Čech. Abychom to mohli ověřit, stačí ověřit, zda uzavření splňuje příslušnou univerzální vlastnost. Děláme to nejprve pro K = [0, 1], kde je žádoucí prodloužení f  : X → [0, 1] je jen projekce na f souřadnici [0, 1] ^C . Abychom to potom získali pro obecný kompaktní Hausdorff K , použijeme výše uvedené poznámky k tomu, že K lze vložit do nějaké krychle, rozšířit každou z souřadnicových funkcí a poté vzít součin těchto rozšíření.

Zvláštní vlastností jednotkového intervalu potřebného pro fungování této konstrukce je, že se jedná o kogenerátor kategorie kompaktních Hausdorffových prostorů: to znamená, že pokud A a B jsou kompaktní Hausdorffovy prostory a f a g jsou odlišné mapy od A do B , pak existuje mapa h  : B → [0, 1] taková, že hf a hg jsou odlišné. V této konstrukci lze použít jakýkoli jiný kogenerátor (nebo kogenerační soupravu).

Konstrukce pomocí ultrafiltrů

Alternativně, pokud je diskrétní , pak je možné vytvořit jako soubor všech ultrafiltry na s prvky odpovídající hlavní ultrafiltry . Topologie na sadě ultrafiltrů, známá jako${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ beta X}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X}$ Topologie kamene je generována sadami formulářepropodmnožinu${\ displaystyle \ {F: U \ in F \}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X.}$

Opět ověříme univerzální vlastnost: Pro s kompaktním Hausdorff a ultrafiltr na máme Ultrafilter základnu na na pushforward of To má jedinečnou hranici, protože je kompaktní Hausdorff, říkají a budeme definovat To může být ověřeno, že je kontinuální prodloužení${\ displaystyle f: X \ to K}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f (F)}$${\ displaystyle K,}$${\ Displaystyle F.}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle x,}$${\ displaystyle \ beta f (F) = x.}$${\ Displaystyle f.}$

Ekvivalentně, jeden může vzít kámen místo na úplném booleovské algebře všech podmnožin jako kámen Čech compactification. Toto je opravdu stejná konstrukce, protože kamenný prostor této booleovské algebry je soubor ultrafiltrů (nebo ekvivalentně prvotních ideálů nebo homomorfismů se 2 prvky booleovské algebry) booleovské algebry, která je stejná jako sada ultrafiltrů na${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X.}$

Konstrukci lze zobecnit na libovolné Tychonoffovy prostory pomocí maximálních filtrů nulových sad namísto ultrafiltrů. (Pokud je mezera normální, stačí filtry uzavřených sad .)

Konstrukce pomocí C*-algebras

Kompaktizace Stone – Čech je přirozeně homeomorfní ke spektru C _b ( X ). Zde C _b ( X ) označuje C*-algebru všech spojitých ohraničených komplexních hodnotových funkcí na X se sup-normou. Všimněte si, že C _b ( X ) je kanonicky izomorfní k multiplikační algebře C ₀ ( X ).

Stone – Čechova kompaktizace přirozených čísel

V případě, že X je lokálně kompaktní , např. N nebo R , obraz X tvoří otevřenou podmnožinu βX nebo skutečně jakékoli zhutnění (to je také nezbytná podmínka, protože otevřená podmnožina kompaktního Hausdorffova prostoru je lokálně kompaktní). V tomto případě se často studuje zbytek prostoru, βX  \  X . Toto je uzavřená podmnožina βX , a tak je kompaktní. Uvažujeme N s jeho diskrétní topologií a píšeme β N  \  N = N * (ale to se nezdá být standardní notace pro obecné X ).

Jak bylo vysvětleno výše, je možné zobrazit β N jako soubor ultrafiltry na N , s topologií generované soubory formě pro U podmnožinu N . Sada N odpovídá sadě hlavních ultrafiltrů a sada N * sadě volných ultrafiltrů . ${\ displaystyle \ {F: U \ in F \}}$

Studium β N , a zejména N *, je hlavní oblastí moderní topologie set-theoretic . Hlavními výsledky, které to motivují, jsou Parovicenkovy věty , které v podstatě charakterizují jeho chování za předpokladu hypotézy kontinua .

Tyto stavy:

• Každý kompaktní Hausdorffův prostor o hmotnosti nejvýše (viz Alephovo číslo ) je spojitým obrazem N * (to nepotřebuje hypotézu kontinua, ale je méně zajímavé, pokud neexistuje).${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$
• Pokud hypotéza kontinua platí, pak N * je jedinečný prostor Parovicenko , až do izomorfismu.

Ty byly původně prokázány zvážením booleovských algeber a použitím Stoneovy duality .

Jan van Mill popsal β N jako „trojhlavou příšeru“ - tři hlavy jsou usměvavá a přátelská hlava (chování podle předpokladu hypotézy kontinua), ošklivá hlava nezávislosti, která se vás neustále snaží zmást (určuje, co chování je možné v různých modelech teorie množin), a třetí hlava je nejmenší ze všech (co o tom můžete dokázat v ZFC ). Relativně nedávno bylo pozorováno, že tato charakteristika není úplně správná - ve skutečnosti existuje čtvrtá hlava β N , ve které vynucené axiomy a axiomy typu Ramsey dávají vlastnosti β N téměř diametrálně odlišné od vlastností podle hypotézy kontinua, což dává opravdu velmi málo map z N *. Příklady těchto axiomů zahrnují kombinaci Martinova axiomu a otevřeného zbarvovacího axiomu, které například dokazují, že ( N *) ² ≠ N *, zatímco hypotéza kontinua implikuje opak.

Aplikace: duální prostor prostoru ohraničených sekvencí realit

Pomocí kompaktizace Stone – Čech β N lze charakterizovat ( Banachův prostor všech ohraničených sekvencí ve skalárním poli R nebo C , s normou supremum ) a jeho duální prostor . ${\ displaystyle \ ell ^{\ infty} (\ mathbf {N})}$

Vzhledem k omezené sekvenci existuje ve skalárním poli uzavřená koule B, která obsahuje obraz a . je pak funkcí od N do B . Protože N je diskrétní a B je kompaktní a Hausdorff, a je spojité. Podle všeobecného majetku, existuje jedinečná prodlužovací pA  : p N → B . Toto prodloužení nezávisí na kouli B, kterou zvažujeme. ${\ Displaystyle a \ in \ ell ^{\ infty} (\ mathbf {N})}$

Jsme definovali mapu rozšíření z prostoru omezených skalárních ceněných sekvencí do prostoru spojitých funkcí přes p N .

${\ Displaystyle \ ell ^{\ infty} (\ mathbf {N}) \ to C (\ beta \ mathbf {N})}$

Tato mapa je bijektivní, protože každá funkce v C ( β N ) musí být ohraničená a pak může být omezena na ohraničenou skalární sekvenci.

Pokud dále vezmeme v úvahu oba prostory se sup normou, z mapy rozšíření se stane izometrie. Skutečně, vezmeme -li v konstrukci výše nejmenší možnou kouli B , vidíme, že sup norma rozšířené sekvence neroste (i když obraz rozšířené funkce může být větší).

Tak mohou být identifikovány s C ( β N ). To nám umožňuje použít reprezentační teorém Riesz a zjistíte, že dvojí prostor lze identifikovat s prostorem konečných opatření Borel na p N . ${\ displaystyle \ ell ^{\ infty} (\ mathbf {N})}$${\ displaystyle \ ell ^{\ infty} (\ mathbf {N})}$

Na závěr je třeba poznamenat, že tato technika zobecňuje k L ^∞ prostoru libovolným měřítkem prostor X . Avšak namísto prostého uvažování prostoru βX ultrafiltrů na X je správným způsobem, jak tuto konstrukci zobecnit, uvažovat o kamenném prostoru Y měrné algebry X : prostory C ( Y ) a L ^∞ ( X ) jsou izomorfní jako C*-algebry, pokud X splňuje přiměřenou podmínku konečnosti (že jakákoli sada kladné míry obsahuje podmnožinu konečné kladné míry).

Monoidní operace na Stone – Čechově kompaktifikaci přirozených

Přirozená čísla tvoří monoid při sčítání . Ukazuje se, že tuto operaci lze rozšířit (obecně více než jedním způsobem, ale jedinečně za dalších podmínek) na β N , čímž se tento prostor také změní na monoidní, i když překvapivě nekomutativní.

Pro jakoukoli podmnožinu A z N a kladné celé číslo n v N definujeme

${\ Displaystyle An = \ {k \ in \ mathbf {N} \ mid k+n \ in A \}.}$

Vzhledem ke dvěma ultrafiltrům F a G na N definujeme jejich součet pomocí

${\ Displaystyle F+G = {\ Big \ {} A \ subseteq \ mathbf {N} \ mid \ {n \ in \ mathbf {N} \ mid An \ in F \} \ in G {\ Big \}} ;}$

lze ověřit, že se opět jedná o ultrafiltr a že operace + je asociativní (ale nikoli komutativní) na β N a rozšiřuje adici na N ; 0 slouží jako neutrální prvek pro provoz + na P N . Operace je také spojitá doprava, v tom smyslu, že pro každý ultrafiltr F je mapa

${\ Displaystyle {\ begin {cases} \ beta \ mathbf {N} \ to \ beta \ mathbf {N} \\ G \ mapsto F+G \ end {cases}}}$

je kontinuální.

Obecněji řečeno, pokud S je poloskupina s diskrétní topologií, lze operaci S rozšířit na βS , čímž se získá asociativní operace se správným spojením.

Viz také

• Kompaktifikace (matematika)  - Vložení topologického prostoru do kompaktního prostoru jako husté podmnožiny
• Corona soubor prostoru, doplněk jeho obrazu v Stone -Čechově kompaktifikaci.
• Filtry v topologii  - Použití filtrů k popisu a charakterizaci všech základních topologických pojmů a výsledků.
• Jednobodové zhutnění
• Zhutnění Wallmana

Poznámky

Reference

• Čech, Eduard (1937), „O bicompact spaces“, Annals of Mathematics , 38 (4): 823–844, doi : 10.2307/1968839 , hdl : 10338.dmlcz/100420 , JSTOR  1968839
• Dunford, Nelson ; Schwarz, Jacob T. (1988). Lineární operátory část I: obecná teorie (Wiley Classics ed.). John Wiley & Sons. p. 276.
• Hindman, Neil; Strauss, Dona (1998), Algebra v kompaktaci Stone -Cech. Theory and applications , de Gruyter Expositions in Mathematics, 27 (2nd revised and extended 2012 ed.), Berlin: Walter de Gruyter & Co., pp. Xiv+485 pp, doi : 10.1515/9783110809220 , ISBN 978-3-11-015420-7, MR  1642231
• Koshevnikova, IG (2001) [1994], „Stone-Čech compactification“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory . Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Shields, Allen (1987), „Před lety“, Mathematical Intelligencer , 9 (2): 61–63, doi : 10,1007/BF03025901 , S2CID  189886579
• Stone, Marshall H. (1937), „Aplikace teorie booleovských prstenů na obecnou topologii“, Transactions of the American Mathematical Society , 41 (3): 375–481, doi : 10,2307/1989788 , JSTOR  1989788
• Tychonoff, Andrey (1930), „Über die topologische Erweiterung von Räumen“, Mathematische Annalen , 102 : 544–561, doi : 10,1007/BF01782364 , ISSN  0025-5831 , S2CID  124737286

externí odkazy

• Kompaktace Stone-Čech na planetě Math
• Dror Bar-Natan, Ultrafiltry, kompaktnost a kompaktnost Stone – Čech