Ultrafiltr - Ultrafilter

Mřížka množiny mocnin sady {1,2,3,4}, přičemž horní sada ↑ {1,4} je zbarvena tmavě zeleně. Je to hlavní filtr , ale ne ultrafiltr , protože jej lze rozšířit na větší netriviální filtr ↑ {1} zahrnutím také světle zelených prvků. Protože ↑ {1} nelze dále rozšiřovat, jedná se o ultrafiltr.

V matematickém oblasti teorii objednávky , což ultrafiltru na dané uspořádaná množina (nebo „uspořádané množiny“) je určitá podmnožina , a to maximální filtr na , to znamená, je správné filtr na které nemohou být zvětšena na větší správné filtru na . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$

Pokud je libovolná množina, její mocenská množina seřazená podle zahrnutí sady je vždy booleovskou algebrou, a tedy posetem, a ultrafiltry na se obvykle nazývají ultrafiltery na množině . Ultrafiltr na sadě může být považován za konečně aditivní opatření na . V tomto pohledu je každá podmnožina považována za „ téměř všechno “ (má míru 1) nebo „téměř nic“ (má míru 0), v závislosti na tom, zda patří k danému ultrafiltraci nebo ne. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ wp (X),}$${\ displaystyle \ wp (X)}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Ultrafiltry mají mnoho aplikací v teorii množin, teorii modelů a topologii .

Ultrafiltry na dílčí objednávky

V teorii objednávky , An ultrafiltr je podmnožina z částečně uspořádané soustavě , která je maximální mezi všemi ochranných filtrů . To znamená, že každý filtr, který správně obsahuje ultrafiltr, se musí rovnat celé sadě.

Formálně, pokud je to sada, do té doby částečně seřazená${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \, \ leq \,}$

• podmnožina se nazývá filtr na if ${\ displaystyle F \ subseteq P}$${\ displaystyle P}$
  • ${\ displaystyle F}$ je prázdný,
  • pro každý existuje nějaký prvek takový, že i i${\ displaystyle x, y \ v F,}$${\ displaystyle z \ v F}$${\ Displaystyle z \ leq x}$${\ Displaystyle z \ leq y,}$
  • pro každého a implikuje, že je také v;${\ displaystyle x \ in F}$${\ displaystyle y \ in P,}$ ${\ Displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle F}$
• vlastní podmnožina of se nazývá ultrafilter v případě, ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$
  • ${\ displaystyle U}$je filtr na a${\ displaystyle P,}$
  • není vhodné filtr na který správně rozšiřuje (to je tak, že je vlastní podmnožina ).${\ displaystyle F}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle F}$

Typy a existence ultrafiltrů

Každý ultrafiltr spadá přesně do jedné ze dvou kategorií: hlavní a bezplatná. Hlavní (nebo pevné , nebo triviální ) ultrafiltr je filtr, který obsahuje nejméně elementu . V důsledku toho mají hlavní ultrafiltry formu pro některé (ale ne všechny) prvky dané množiny. V tomto případě se nazývá hlavní prvek ultrafiltrace. Jakýkoli ultrafiltr, který není hlavní, se nazývá bezplatný (nebo ne-hlavní ) ultrafiltr. ${\ Displaystyle F_ {a} = \ {x: a \ leq x \}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$

U ultrafiltrů na sadě výkonů se hlavní ultrafiltr skládá ze všech jeho podmnožin, které obsahují daný prvek. Každý ultrafiltr, který je zároveň hlavním filtrem, má tuto formu. Ultrafiltr zapnutý je tedy zásadní právě tehdy, pokud obsahuje konečnou sadu. Pokud je nekonečný, ultrafiltr na je tudíž nejsou hlavní tehdy a jen tehdy, pokud obsahuje Frechet filtr z cofinite podskupin z Pokud je konečný, každý ultrafiltr je hlavní. ${\ displaystyle \ wp (S),}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle s \ v S.}$${\ displaystyle \ wp (S)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ wp (S)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ wp (S)}$${\ Displaystyle S.}$${\ displaystyle S}$

Každý filtr na booleovské algebře (nebo obecněji jakékoli podmnožině s vlastností konečných průsečíků ) je obsažen v ultrafiltru (viz lemma ultrafiltrů ) a že tedy existují ultrafiltry, ale důkazy zahrnují axiom výběru ( AC ) ve formě o princip maximality . Na druhou stranu tvrzení, že každý filtr je obsažen v ultrafiltru, neznamená AC . Ve skutečnosti je ekvivalentní Booleově primární ideální větě ( BPIT ), známému mezilehlému bodu mezi axiomy teorie množin Zermelo – Fraenkel ( ZF ) a teorií ZF umocněnou axiomem volby ( ZFC ). Důkazy zahrnující zvolený axiom obecně nevytvářejí explicitní příklady volných ultrafiltrů, i když v některých modelech ZFC je možné explicitní příklady najít ; Gödel například ukázal, že to lze provést v konstruovatelném vesmíru, kde lze zapsat explicitní globální volbu. V ZF bez zvoleného axiomu je možné, že každý ultrafiltr je hlavní.

Ultrafiltr na booleovské algebře

Důležitý speciální případ konceptu nastane, pokud uvažovaná množina je booleovská algebra . V tomto případě, Ultrafiltry se vyznačují tím, že obsahují, pro každý prvek z booleovské algebry, přesně jeden z prvků, a ¬ (druhé bytí Logická doplněk z ): ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$

Pokud je booleovská algebra a je správným filtrem, pak jsou následující příkazy ekvivalentní: ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle P,}$

1. ${\ displaystyle F}$ je ultrafiltr na ${\ displaystyle P,}$
2. ${\ displaystyle F}$Je prime filtr na${\ displaystyle P,}$
3. pro každého buď nebo (¬ )${\ displaystyle a \ v P,}$${\ displaystyle a \ in F}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ in F.}$

Důkaz 1. ⇔ 2. je také uveden v (Burris, Sankappanavar, 2012, Corollary 3.13, s.133).

Ultrafiltry na booleovské algebře lze navíc vztahovat k maximálním ideálům a homomorfismům k 2prvkové booleovské algebře {true, false} (také známé jako morfismy s 2 hodnotami ) takto:

• Vzhledem k homomorfismu booleovské algebry na {true, false} je inverzní obraz „true“ ultrafiltrem a inverzní obraz „false“ je maximálním ideálem.
• Vzhledem k maximálnímu ideálu booleovské algebry je jeho doplněk ultrafiltr a existuje jedinečný homomorfismus na {true, false}, přičemž maximální ideál je "false".
• Vzhledem k ultrafiltraci na booleovské algebře je její doplněk maximálním ideálem a existuje jedinečný homomorfismus na {true, false}, který ultrafilter převádí na „true“.

Ultrafilter na sadě sady

Vzhledem k libovolné sadě je její mocenská sada seřazená podle zahrnutí sady vždy booleovskou algebrou; proto výsledky výše uvedené části Zvláštní případ: použije se booleovská algebra . Zapnutý (ultra) filtr se často nazývá jen „(ultra) filtr zapnutý “. Výše uvedené formální definice lze specifikovat na případ mocnin takto: ${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle \ wp (X),}$${\ displaystyle \ wp (X)}$${\ displaystyle X}$

Vzhledem k libovolné sadě ultrafiltru je sada sestávající z podmnožin takových, že: ${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle \ wp (X)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

1. Prázdná sada není prvkem ${\ displaystyle U.}$
2. If a are subsets of the set is a subset of and is an element of then is also an element of${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U,}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle U.}$
3. Pokud a jsou prvky pak tak je křižovatka of a${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle U,}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle B.}$
4. If je podmnožinou potom buď nebo jeho relativní doplněk je prvkem${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle X \ setminus A}$${\ displaystyle U.}$

Další způsob, jak se dívat na ultrafiltrech na napájecí sadě je následující: pro daný ultrafilter definovat funkci na nastavením , pokud je prvkem i jinak. Taková funkce se nazývá 2-ceněný morfismus . Pak se konečně aditivní , a tudíž obsah na a každá vlastnost prvků je buď pravdivé téměř všude , nebo false téměř všude. Nicméně, obvykle není countably přísada , a tudíž nedefinuje opatření v obvyklém smyslu. ${\ displaystyle \ wp (X)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ wp (X)}$${\ Displaystyle m (A) = 1}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle m (A) = 0}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ wp (X),}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle m}$

U filtru, který není ultrafiltrem, by se dalo říci, zda a zda ponechat jinde nedefinováno. ${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle m (A) = 1}$${\ displaystyle A \ in F}$${\ Displaystyle m (A) = 0}$${\ Displaystyle X \ setminus A \ in F,}$${\ displaystyle m}$

Aplikace

Ultrafiltry na energetických sadách jsou užitečné v topologii , zejména ve vztahu k kompaktním Hausdorffovým prostorům, a v teorii modelů při konstrukci ultraproduktů a ultrapowerů . Každý ultrafiltr na kompaktním Hausdorffově prostoru konverguje přesně k jednomu bodu. Podobně ultrafiltery na booleovských algebrách hrají ústřední roli v Stoneově větě o reprezentaci .

Soubor všech ultrafiltry jednoho uspořádané množiny mohou být topologized přirozeným způsobem, který je v tom, úzce souvisí s výše uvedené reprezentace věty. Pro jakýkoli prvek funkce Let This is most useful when is again a Boolean algebra, since in this Situ the set of all is a base for a compact Hausdorff topology on . Zejména, když s ohledem na Ultrafiltry na POWERSET výsledná topologický prostor je kámen Čech kompaktifikace z diskrétní prostoru mohutnosti${\ displaystyle G}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle D_ {a} = \ left \ {U \ in G: a \ in U \ right \}.}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle D_ {a}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ wp (S),}$${\ displaystyle | S |.}$

Konstrukce ultraproduktu v modelové teorii využívá ultrafiltry k výrobě elementárních rozšíření struktur. Například při konstrukci hyperreálných čísel jako ultraproduktu skutečných čísel je doména diskurzu rozšířena od skutečných čísel k sekvencím reálných čísel. Tento sekvenční prostor je považován za nadmnožinu skutečností identifikací každého skutečného s odpovídající konstantní sekvencí. Chcete -li rozšířit známé funkce a vztahy (např. + A <) ze skutečností na hyperrealy, přirozenou myšlenkou je definovat je bodově. To by ale ztratilo důležité logické vlastnosti realit; například pointwise <není celkové uspořádání. Místo toho jsou funkce a vztahy definovány „ bodově modulo “ , kde je ultrafiltr na indexové sadě sekvencí; podle Łośovy věty , tím jsou zachovány všechny vlastnosti realů, které lze uvést v logice prvního řádu . Pokud není hlavní, pak takto získané rozšíření není netriviální. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

V teorii geometrických skupin se k definování asymptotického kužele skupiny používají nepodstatné ultrafiltry . Tato konstrukce poskytuje přísný způsob, jak zvážit pohled na skupinu z nekonečna , to je geometrie skupiny ve velkém měřítku. Asymptotické kužele jsou konkrétní příklady ultralimits z metrických prostorů .

Gödelův ontologický důkaz Boží existence používá jako axiom, že soubor všech „pozitivních vlastností“ je ultrafiltr.

V teorii sociální volby se k definování pravidla (nazývaného funkce sociálního zabezpečení ) pro agregaci preferencí nekonečně mnoha jednotlivců používají nepodstatné ultrafiltry . Na rozdíl od věty o nemožnosti Arrowa pro konečně mnoho jednotlivců takové pravidlo splňuje podmínky (vlastnosti), které Arrow navrhuje (například Kirman a Sondermann, 1972). Mihara (1997, 1999) však ukazuje, že taková pravidla prakticky zajímají sociální vědce, protože jsou nealgoritmická nebo nevypočitatelná.

Viz také

• Filtr (matematika)  - v matematice speciální podmnožina částečně uspořádané množiny
• Filtry v topologii  - Použití filtrů k popisu a charakterizaci všech základních topologických pojmů a výsledků.
• Univerzální síť

Poznámky

Reference

Bibliografie

• Arkhangel'skii, Alexander Vladimirovič ; Ponomarev, VI (1984). Základy obecné topologie: Problémy a cvičení . Matematika a její aplikace. 13 . Dordrecht Boston: D. Reidel . ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC  9944489 .
• Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. Obecná topologie: kapitoly 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Berlín New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Dixmier, Jacques (1984). Obecná topologie . Vysokoškolské texty z matematiky. Přeložil Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303 .
• Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Konvergenční základy topologie . New Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Dugundji, James (1966). Topologie . Boston: Allyn a Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Császár, Ákos (1978). Obecná topologie . Přeložil Császár, Klára. Bristol Anglie: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC  4146011 .
• Jech, Thomas (2006). Set Theory: The Third Millenium Edition, Revised and Expanded . Berlín New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC  50422939 .
• Joshi, KD (1983). Úvod do obecné topologie . New York: John Wiley and Sons Ltd. ISBN 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750 .
• Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory . Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schechter, Eric (1996). Příručka analýzy a jejích základů . San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Schubert, Horst (1968). Topologie . Londýn: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753 .

Další čtení

• Pohodlí, WW (1977). „Ultrafiltry: některé staré a některé nové výsledky“ . Bulletin Americké matematické společnosti . 83 (4): 417–455. doi : 10,1090/S0002-9904-1977-14316-4 . ISSN  0002-9904 . MR  0454893 .
• Pohodlí, WW; Negrepontis, S. (1974), The theory of ultrafilters , Berlin, New York: Springer-Verlag , MR  0396267
• Ultrafiltr v nLab