Tenzor rychlosti napětí - Strain-rate tensor

Dvourozměrný tok, který má ve zvýrazněném bodě pouze složku rychlosti deformace bez střední rychlosti nebo rotační složky.

V mechaniky kontinua se napětí-frekvence tenzor nebo rychlost-of-tenzoru deformace je fyzikální veličina , která popisuje rychlost změny na deformaci materiálu v okolí určitého bodu, v určitém časovém okamžiku. To může být definována jako derivát z tenzoru deformace v závislosti na čase, nebo jako symetrický složky gradientu (derivace polohy) na rychlosti proudění . V mechanice tekutin může být také popsán jako rychlostní gradient , míra toho, jak se rychlost tekutiny mění mezi různými body uvnitř tekutiny. Ačkoli termín může odkazovat na rozdíly v rychlosti mezi vrstvami toku v potrubí, často se používá k označení gradientu rychlosti toku vzhledem k jeho souřadnicím . Tento koncept má důsledky v různých oblastech fyziky a techniky , včetně magnetohydrodynamiky , těžby a úpravy vody.

Tenzor rychlosti deformace je čistě kinematický koncept, který popisuje makroskopický pohyb materiálu. Nezáleží tedy na povaze materiálu ani na silách a napětí, která na něj mohou působit; a platí pro jakékoli kontinuální médium , ať už pevné , kapalné nebo plynné .

Na druhou stranu, u jakékoli tekutiny kromě supratekutých , jakákoli postupná změna její deformace (tj. Nenulový tenzor rychlosti deformace) vyvolává v jejím vnitřku viskózní síly v důsledku tření mezi sousedními tekutinovými prvky , které mají tendenci se této změně bránit. . V každém bodě tekutiny lze tato napětí popsat tenzorem tenzoru napětí, který je téměř vždy zcela určen tenzorem rychlosti deformace a určitými vnitřními vlastnostmi tekutiny v daném bodě. Viskózní napětí se vyskytuje také v pevných látkách, kromě pružného napětí pozorovaného u statické deformace; když je příliš velký na to, aby byl ignorován, je materiál údajně viskoelastický .

Rozměrová analýza

Provedením dimenzionální analýzy lze určit rozměry gradientu rychlosti. Rozměry rychlosti jsou a rozměry vzdálenosti jsou . Protože rychlostní gradient lze vyjádřit jako . Proto má rychlostní gradient stejné rozměry jako tento poměr, tzn . ${\ Displaystyle M^{0} L^{1} T^{-1}}$${\ Displaystyle M^{0} L^{1} T^{0}}$${\ displaystyle {\ frac {\ Delta {\ text {velocity}}} {\ Delta {\ text {distance}}}}}$${\ displaystyle M^{0} L^{0} T^{-1}}$

V mechanice kontinua

Ve 3 rozměrech je gradient rychlosti tenzorem druhého řádu (viz níže), který lze transponovat jako matici : ${\ displaystyle \ nabla {\ bf {v}}}$${\ displaystyle {\ bf {v}}}$ ${\ displaystyle {\ bf {J}}}$ ${\ displaystyle {\ bf {L}}}$

${\ Displaystyle {\ bf {{L} = (\ nabla {\ bf {{v})^{\ intercal} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ částečná v_ {x}} {\ částečná x} } & {\ frac {\ částečný v_ {y}} {\ částečný x}} & {\ frac {\ částečný v_ {z}} {\ částečný x}} \\ {\ frac {\ částečný v_ {x}} {\ částečné y}} & {\ frac {\ částečné v_ {y}} {\ částečné y}} & {{\ frac {\ částečné v_ {z}} {\ částečné y}} \} \\ {\ frac {\ částečný v_ {x}} {\ částečný z}} & {\ frac {\ částečný v_ {y}} {\ částečný z}} & {\ frac {\ částečný v_ {z}} {\ částečný z}} \ end {bmatrix}}}}}}}$

${\ displaystyle {\ bf {L}}}$lze rozložit na součet symetrické matice a zkosené symetrické matice následujícím způsobem ${\ displaystyle {\ textbf {E}}}$ ${\ displaystyle {\ textbf {W}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ bf {E}} & = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ bf {{L}+{\ bf {{L}^{\ textyf {T}}}}} \ right) \\ {\ bf {W}} & = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ bf {{L}-{\ bf {{L} ^{\ textyf {T}}}}}} \ \ right) \ end {aligned}}}$

${\ displaystyle {\ textbf {E}}}$se nazývá tenzor rychlosti deformace a popisuje rychlost natažení a střihu. se nazývá spinový tenzor a popisuje rychlost otáčení. ${\ displaystyle {\ textbf {W}}}$

Vztah mezi smykovým napětím a rychlostním polem

Sir Isaac Newton navrhl, že smykové napětí je přímo úměrné gradientu rychlosti:

${\ Displaystyle \ tau = \ mu {\ frac {\ částečný u} {\ částečný y}}}$.

Konstanta úměrnosti , a nazývá se dynamická viskozita . ${\ Displaystyle \ mu}$

Formální definice

Uvažujme hmotné tělo, pevné nebo tekuté, které teče a/nebo se pohybuje v prostoru. Nechť v je rychlostní pole v těle; to znamená, hladká funkce od ℝ ³ × ℝ taková, že v ( p , t ) je makroskopická rychlost materiálu, který prochází bodem p v čase t .

Rychlost v ( p + r , t ) v bodě posunutém z p malým vektorem r lze zapsat jako Taylorovu řadu :

${\ Displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {p} +\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {v} (\ mathbf {p}, t) +(\ nabla \ mathbf {v}) (\ mathbf {p}, t) (\ mathbf {r})+{\ text {podmínky vyššího řádu}},}$

kde ∇ v gradient rychlostního pole, chápaný jako lineární mapa, která vezme vektor posunu r na odpovídající změnu rychlosti.

Celkové pole v ( p + r ) .

Konstantní část v ( p ) .

Lineární část (∇ v ) ( p , t ) ( r ) .

Nelineární zbytkový.

Pole rychlosti v ( p + r , t ) libovolného toku kolem bodu p (červená tečka), v určitém okamžiku t , a podmínky jeho Taylorovy aproximace prvního řádu o p . Předpokládá se, že třetí složka rychlosti (mimo obrazovku) je všude nulová.

V libovolné vztažné soustavě , ∇ v souvisí s Jacobian matrici pole, a to do 3 rozměry, že je 3 x 3 matice

${\ Displaystyle \ nabla \ mathbf {v} = {\ begin {bmatrix} \ částečné _ {1} v_ {1} & \ částečné _ {2} v_ {1} & \ částečné _ {3} v_ {1} \ \\ částečné _ {1} v_ {2} & \ částečné _ {2} v_ {2} & \ částečné _ {3} v_ {2} \\\ částečné _ {1} v_ {3} & \ částečné _ { 2} v_ {3} & \ partial _ {3} v_ {3} \ end {bmatrix}} = \ mathbf {J}.}$

kde v _i je složka v rovnoběžná s osou i a ∂ _j f označuje parciální derivaci funkce f vzhledem k vesmírné souřadnici x _j . Všimněte si, že J je funkce p a t .

V tomto souřadném systému je Taylorova aproximace pro rychlost blízkou p je

${\ Displaystyle v_ {i} (\ mathbf {p} +\ mathbf {r}, t) = v_ {i} (\ mathbf {p}, t) +\ sum _ {j} J_ {ij} (\ mathbf {p}, t) r_ {j} = v_ {i} (\ mathbf {p}, t)+\ sum _ {j} \ částečný _ {j} v_ {i} (\ mathbf {p}, t) r_ {j};}$

nebo jednoduše

${\ Displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {p} +\ mathbf {r}, t) = \ mathbf {v} (\ mathbf {p}, t) +\ mathbf {J} (\ mathbf {p} , t) \ mathbf {r}}$

pokud jsou v a r považovány za matice 3 × 1.

Symetrické a antisymetrické části

Symetrická část E ( p , t ) ( r ) (rychlost deformace) lineárního členu příkladového toku.

Asymetrická část R ( p , t ) ( r ) (rotace) lineárního členu.

Libovolnou matici lze rozložit na součet symetrické matice a antisymetrické matice . To platí pro jakobijskou matici J = ∇ v se symetrickými a antisymetrickými složkami E a R :

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {E} & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ mathbf {J} +\ mathbf {J} ^{\ textf {T}} \ right ) & \ mathbf {R} & = {\ frac {1} {2}} \ left (\ mathbf {J} -\ mathbf {J} ^{\ textyf {T}} \ right) \\ E_ {ij} & = {\ frac {1} {2}} \ vlevo (\ částečné _ {j} v_ {i}+\ částečné _ {i} v_ {j} \ vpravo) & R_ {ij} & = {\ frac {1 } {2}} \ left (\ partial _ {j} v_ {i}-\ partial _ {i} v_ {j} \ right) \ end {aligned}}}$

Tento rozklad je nezávislý na souřadnicovém systému, a proto má fyzický význam. Potom může být rychlostní pole aproximováno jako

${\ Displaystyle \ mathbf {v} (\ mathbf {p} +\ mathbf {r}, t) \ cca \ mathbf {v} (\ mathbf {p}, t) +\ mathbf {E} (\ mathbf {p }, t) (\ mathbf {r})+\ mathbf {R} (\ mathbf {p}, t) (\ mathbf {r}),}$

to znamená,

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} v_ {i} (\ mathbf {p} +\ mathbf {r}, t) & = v_ {i} (\ mathbf {p}, t) +\ sum _ {j} E_ {ij} (\ mathbf {p}, t) r_ {j}+\ sum _ {j} R_ {ij} (\ mathbf {p}, t) r_ {j} \\ & = v_ {i} ( \ mathbf {p}, t)+{\ frac {1} {2}} \ sum _ {j} \ left (\ částečné _ {j} v_ {i} (\ mathbf {p}, t)+\ částečné _ {i} v_ {j} (\ mathbf {p}, t) \ right) r_ {j}+{\ frac {1} {2}} \ sum _ {j} \ left (\ partial _ {j} v_ {i} (\ mathbf {p}, t)-\ partial _ {i} v_ {j} (\ mathbf {p}, t) \ right) r_ {j} \ end {aligned}}}$

Antisymetrický termín R představuje tuhou rotaci tekutiny kolem bodu p . Jeho úhlová rychlost je ${\ displaystyle {\ vec {\ omega}}}$

${\ Displaystyle {\ vec {\ omega}} = {\ frac {1} {2}} \ nabla \ times \ mathbf {v} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} \ částečná _ {2} v_ {3}-\ částečné _ {3} v_ {2} \\\ částečné _ {3} v_ {1}-\ částečné _ {1} v_ {3} \\\ částečné _ {1} v_ {2}-\ částečné _ {2} v_ {1} \ konec {bmatrix}}.}$

Součin ∇ × v se nazývá rotační zvlnění vektorového pole. Tuhá rotace nemění vzájemné polohy tekutých prvků, takže asymetrický člen R rychlostního gradientu nepřispívá k rychlosti změny deformace. Skutečná rychlost deformace je proto popsána symetrickým E termínem, který je tenzorem rychlosti deformace .

Smyková rychlost a rychlost komprese

Skalární část D ( p , t ) ( r ) (rovnoměrná expanze nebo rychlost stlačení) tenzoru rychlosti deformace E ( p , t ) ( r ) .

Beze stopy část S ( p , t ) ( r ) (smyková rychlost) tenzoru rychlosti deformace E ( p , t ) ( r ) .

Symetrický člen E rychlostního gradientu (tenzor rychlosti deformace) lze dále členit jako součet skalárních časů jednotkového tenzoru, což představuje postupnou izotropní expanzi nebo kontrakci; a bezeztrátový symetrický tenzor, který představuje postupnou smykovou deformaci bez změny objemu:

${\ Displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {p}, t) (\ mathbf {r}) = \ mathbf {D} (\ mathbf {p}, t) (\ mathbf {r})+\ mathbf { S} (\ mathbf {p}, t) (\ mathbf {r}).}$

To znamená,

${\ Displaystyle E_ {ij} = \ underbrace {{\ frac {1} {3}} \ left (\ sum _ {k} \ partial _ {k} v_ {k} \ right) \ delta _ {ij}} _ {{\ text {tenzor rychlosti rozšiřování}} D_ {ij}}+\ underbrace {\ overbrace {{\ frac {1} {2}} \ left (\ partial _ {i} v_ {j}+ \ částečné _ {j} v_ {i} \ vpravo)} ^{E_ {ij}}-D_ {ij}} _ {{\ text {tenzor tenzoru}} S_ {ij}},}$

Zde δ je jednotkový tenzor , takže δ _ij je 1, pokud i = j a 0, pokud i ≠ j . Tento rozklad je nezávislý na volbě souřadného systému, a je tedy fyzicky významný.

Stopa tenzoru rychlosti expanze je divergence rychlostního pole:

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {v} = \ částečné _ {1} v_ {1}+\ částečné _ {2} v_ {2}+\ částečné _ {3} v_ {3};}$

což je rychlost, kterou se v daném bodě zvětší objem fixního množství tekutiny.

Tenzor smykové rychlosti je reprezentován symetrickou maticí 3 × 3 a popisuje tok, který kombinuje kompresní a expanzní toky podél tří ortogonálních os, takže nedochází ke změně objemu. K tomuto druhu proudění dochází například tehdy, když je gumový pás natažen tahem za konce, nebo když med padá z lžíce jako hladký nepřerušený proud.

Pro dvourozměrný tok má divergence v pouze dva termíny a kvantifikuje změnu plochy spíše než objemu. Faktor 1/3 v období rychlosti expanze by měl být nahrazen1/2 v tom případě.

Příklady

Studium rychlostních gradientů je užitečné při analýze materiálů závislých na dráze a v následné studii napětí a deformací; např Plastická deformace z kovů . Gradient rychlosti nespálených reaktantů proudících z trubice u stěny je klíčovým parametrem pro charakterizaci stability plamene. Rychlostní gradient plazmy může definovat podmínky pro řešení základních rovnic v magnetohydrodynamice.

Tekutina v potrubí

Zvažte rychlostní pole tekutiny protékající trubkou . Vrstva tekutiny v kontaktu s trubkou má tendenci být vzhledem k trubce v klidu. Tomu se říká podmínka bez prokluzu . Pokud je rozdíl rychlostí mezi tekutinovými vrstvami ve středu potrubí a po stranách potrubí dostatečně malý, pak je tok tekutiny pozorován ve formě souvislých vrstev. Tento typ toku se nazývá laminární tok .

Rozdíl rychlosti proudění mezi sousedními vrstvami lze měřit pomocí rychlostního gradientu, který je dán vztahem . Kde je rozdíl v rychlosti proudění mezi oběma vrstvami a je vzdálenost mezi vrstvami. ${\ Displaystyle \ Delta u/\ Delta y}$${\ displaystyle \ Delta u}$${\ Displaystyle \ Delta y}$

Viz také

• Tenzor napětí (disambiguation)
• Teorie konečných deformací#Časová derivace deformačního gradientu , gradient prostorové a materiálové rychlosti z mechaniky kontinua

Reference