Teorie geometrických grup - Geometric group theory

Cayley graf na volné skupiny se dvěma generátory. Jedná se o hyperbolickou skupinu, jejíž hranice Gromova je sada Cantor . Hyperbolické skupiny a jejich hranice jsou důležitými tématy v geometrické grupové teorii, stejně jako Cayleyovy grafy.

Geometrická teorie grup je oblast v matematice věnovaná studiu konečně generovaných skupin zkoumáním souvislostí mezi algebraickými vlastnostmi těchto skupin a topologickými a geometrickými vlastnostmi prostorů, na které tyto skupiny působí (to znamená, když jsou dotyčné skupiny realizovány jako geometrické symetrie nebo spojité transformace některých prostorů).

Další důležitou myšlenkou v teorii geometrických grup je považovat konečně generované skupiny za geometrické objekty. Obvykle se to děje studiem Cayleyových grafů skupin, které jsou kromě struktury grafu obdařeny strukturou metrického prostoru , danou takzvanou slovní metrikou .

Geometrická grupová teorie jako zřetelná oblast je relativně nová a na konci 80. a na počátku 90. let se stala jasně identifikovatelným oborem matematiky. Geometrická teorie grup úzce spolupracuje s nízko dimenzionální topologií , hyperbolickou geometrií , algebraickou topologií , teorií výpočetních skupin a diferenciální geometrií . Existují také podstatné souvislosti s teorií složitosti , matematickou logikou , studiem Lieových skupin a jejich diskrétních podskupin, dynamických systémů , teorie pravděpodobnosti , K-teorie a dalších oblastí matematiky.

V úvodu ke své knize témata v Geometrická skupinová teorie , Pierre de la Harpe napsal: „Jeden z mých osobních přesvědčení je, že fascinace symetrií a skupin je jedním ze způsobů, jak se vyrovnat s frustrací omezení života: chceme poznat symetrií, které nám umožňují v tomto smyslu je studium teorie geometrických skupin součástí kultury a připomíná mi několik věcí, které Georges de Rham praktikoval při mnoha příležitostech, jako je výuka matematiky, recitování Mallarmé nebo pozdrav přítel “.

Dějiny

Geometrická teorie skupina vznikla z kombinatorické teorie grup , že do značné míry studoval vlastnosti jednotlivých skupin pomocí analýzy skupiny prezentací , které popisují skupiny jako podílů o volných skupin ; bylo toto pole poprvé systematicky studována Walther von Dyck , student Felix Klein , v časném 1880s, zatímco časná forma se nalézá v 1856 icosian počtu všech William Rowan Hamilton , kde studoval icosahedral symetrickou skupinu přes hrany grafu dvanáctistěn . V současné době je teorie kombinatorických grup jako oblast do značné míry zahrnuta do teorie geometrických grup. Navíc termín „teorie geometrických grup“ často zahrnoval studium diskrétních skupin pomocí pravděpodobnostních, teoreticko-teoretických , aritmetických, analytických a dalších přístupů, které leží mimo tradiční arzenál teorie kombinatorických skupin.

V první polovině 20. století představila průkopnická práce Maxe Dehna , Jakoba Nielsena , Kurta Reidemeistera a Otto Schreiera , JHC Whiteheada , Egberta van Kampena , mimo jiné některé topologické a geometrické myšlenky do studia diskrétních skupin. Mezi další předchůdce teorie geometrických skupin patří teorie drobného zrušení a Bass -Serreova teorie . Teorii malého zrušení představil Martin Grindlinger v 60. letech minulého století a dále ji rozvinuli Roger Lyndon a Paul Schupp . Studuje van Kampenovy diagramy , odpovídající konečným skupinovým prezentacím, prostřednictvím podmínek kombinatorického zakřivení a z takové analýzy odvozuje algebraické a algoritmické vlastnosti skupin. Bass -Serreova teorie, představená v knize Serre z roku 1977, odvozuje strukturální algebraické informace o skupinách studiem skupinových akcí na zjednodušujících stromech . Externí předchůdci teorie geometrických grup zahrnují studium mřížek v Lieových skupinách, zejména Mostowovu větu o rigiditě , studium Kleinianových skupin a pokrok dosažený v nízko dimenzionální topologii a hyperbolické geometrii v 70. a na počátku 80. let, urychlen zejména by William Thurston ‚s programem Geometrization .

Vznik teorie geometrických skupin jako zřetelné oblasti matematiky je obvykle vysledován koncem 80. a počátkem 90. let. Podnítila to monografie Michaila Gromova „Hyperbolické skupiny“ z roku 1987, která zavedla pojem hyperbolické skupiny (také známé jako slovo-hyperbolická nebo Gromovova-hyperbolická nebo negativně zakřivená skupina), která zachycuje myšlenku konečně generované skupiny s velkým -škálovatelné negativní zakřivení a jeho následná monografie Asymptotické invarianty nekonečných skupin , která nastínila Gromovův program chápání diskrétních skupin až kvazi-izometrii . Gromovova práce měla transformační účinek na studium diskrétních skupin a brzy poté se začala objevovat fráze „teorie geometrických skupin“. (viz např.).

Moderní témata a vývoj

Pozoruhodná témata a vývoj v teorii geometrických skupin v devadesátých a dvacátých letech zahrnují:

• Gromovův program pro studium kvazi-izometrických vlastností skupin.

Obzvláště vlivným širokým tématem v této oblasti je Gromovův program klasifikace finálně generovaných skupin podle jejich velké geometrie měřítka. Formálně to znamená klasifikaci finálně generovaných skupin pomocí jejich slovní metriky až na kvazi-izometrii . Tento program zahrnuje:

1. Studium vlastností, které jsou invariantní v kvazi-izometrii . Příklady takových vlastností finálně generovaných skupin zahrnují: rychlost růstu finálně generované skupiny; Isoperimetric funkce nebo funkce Dehnová ze konečně prezentované skupiny ; počet konců skupiny ; hyperbolika skupiny ; homeomorphism typ Gromov hranice hyperbolického skupiny; asymptotické kužely konečně generovaných skupin (viz např.); přístupnost konečně generované skupiny; být prakticky abelian (to znamená mít abelianskou podskupinu konečného indexu ); být prakticky nilpotentní ; být prakticky svobodný ; být konečně prezentovatelný ; být konečně prezentovatelnou skupinou s řešitelným Slovním problémem ; a další.
2. Věty, které používají kvaziisometrické invarianty k prokázání algebraických výsledků o skupinách, například: Gromovova polynomiální růstová věta ; Stallingsova věta o koncích ; Mostowova věta o tuhosti .
3. Kvaziisometrické věty o rigiditě, ve kterých se klasifikují algebraicky všechny skupiny, které jsou kvazi-izometrické k určité dané skupině nebo metrickému prostoru. Tento směr byl zahájen prací Schwartze na kvazi-izometrické rigiditě mřížek první úrovně a prací Bensona Farba a Lee Moshera na kvazi-izometrické rigiditě skupin Baumslag – Solitar .

• Teorie slovně hyperbolických a relativně hyperbolických skupin. Obzvláště důležitým vývojem je zde práce Zlil Sely v 90. letech, která vyústila v řešení problému isomorfismu pro slovně hyperbolické skupiny. Pojem relativně hyperbolických skupin původně představil Gromov v roce 1987 a upřesnil Farb a Brian Bowditch v devadesátých letech. Studium relativně hyperbolických skupin se dostalo do popředí zájmu v roce 2000.
• Interakce s matematickou logikou a studium teorie volných skupin prvního řádu. Obzvláště důležitý pokrok nastal u slavných Tarskiho dohadů díky práci Sely a také Olgy Kharlampoviče a Alexeje Myasnikova. Do popředí se dostalo studium limitních skupin a zavedení jazyka a mechanismu nekomutativní algebraické geometrie .
• Interakce s počítačovou vědou, teorie složitosti a teorie formálních jazyků. Toto téma je ilustrováno vývojem teorie automatických skupin , pojmem, který ukládá určité geometrické a jazykové teoretické podmínky operaci násobení v konečné generované skupině.
• Studium izoperimetrických nerovností, Dehnových funkcí a jejich zobecnění pro konečně prezentovanou skupinu. To zahrnuje zejména práci Jean-Camille Birget, Aleksandra Olʹshanskiĭ, Eliyahu Rips a Marka Sapira, která v podstatě charakterizuje možné Dehnovy funkce finálně prezentovaných skupin, jakož i výsledky poskytující explicitní konstrukce skupin se zlomkovými Dehnovými funkcemi.
• Teorii torálních nebo JSJ-dekompozic pro 3-potrubí rozdělil původně do skupinového teoretického prostředí Peter Kropholler. Tuto představu vyvinula řada autorů pro finálně prezentované i finálně generované skupiny.
• Spojení s geometrickou analýzou , studium C*-algeber spojených s diskrétními skupinami a teorie volné pravděpodobnosti. Toto téma je reprezentováno zejména značným pokrokem v Novikovově domněnce a Baumově-Connesově domněnce a ve vývoji a studiu souvisejících skupinově teoretických pojmů, jako je topologická přístupnost, asymptotická dimenze, jednotná zabudovatelnost do Hilbertových prostor , vlastnost rychlého rozpadu, a tak dále (viz např.).
• Interakce s teorií kvazokonformní analýzy metrických prostor, zejména ve vztahu k Cannonově domněnce o charakterizaci hyperbolických skupin s Gromovskou hranicí homeomorfní na 2 sféru.
• Pravidla konečného dělení , také ve vztahu k Cannonovým dohadům .
• Interakce s topologickou dynamikou v kontextech studia akcí diskrétních skupin na různých kompaktních prostorech a skupinových kompaktifikacích, zejména konvergenčních skupinových metod
• Vývoj teorie skupinových akcí na stromech (zejména stroj Rips ) a její aplikace.${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• Studium skupinových akcí na CAT (0) prostorech a CAT (0) kubických komplexech, motivovaných nápady z Alexandrovovy geometrie.
• Interakce s nízko dimenzionální topologií a hyperbolickou geometrií, zejména studium skupin 3 různých (viz např.), Mapování třídních skupin povrchů, pletených skupin a Kleinianových skupin .
• Zavedení pravděpodobnostních metod ke studiu algebraických vlastností „náhodných“ skupinových teoretických objektů (skupiny, prvky skupiny, podskupiny atd.). Obzvláště důležitým vývojem je práce Gromova, který pomocí pravděpodobnostních metod dokázal existenci konečně generované skupiny, která není rovnoměrně vložitelná do Hilbertova prostoru. Mezi další pozoruhodné pokroky patří zavedení a studium pojmu komplexnost generických případů pro skupinové teoretické a jiné matematické algoritmy a výsledky algebraické rigidity pro generické skupiny.
• Studium skupin automatů a iterovaných monodromních skupin jako skupin automorfismů nekonečných zakořeněných stromů. V této souvislosti se objevují zejména Grigorčukovy skupiny mezilehlého růstu a jejich zobecnění.
• Studium teoreticko-teoretických vlastností skupinových akcí na měřicích prostorech , zejména zavedení a rozvoj pojmů ekvivalence opatření a ekvivalence oběžné dráhy , a také teoreticko-teoretická zobecnění mostowské rigidity.
• Studium unitárních reprezentací diskrétních skupin a Kazhdanova majetku (T)
• Studium Out ( F _n ), (dále jen vnější automorphism skupina z volné skupiny hodnosti n ) a jednotlivých automorphisms volných skupin. Obzvláště významnou roli zde hrálo představení a studium Culler-Vogtmannovho vesmíru a teorie kolejových kolejí pro volné skupinové automorfismy.
• Rozvoj teorie Bass -Serre , zejména různé výsledky přístupnosti a teorie stromových mřížek. Zobecnění teorie Bass -Serre, jako je teorie komplexů skupin.
• Studium náhodných procházek po skupinách a související teorie hranic, zejména pojem Poissonovy hranice (viz např.). Studium přístupnosti a skupin, jejichž stav dostupnosti není dosud znám.
• Interakce s teorií konečných skupin, zejména pokrok ve studiu růstu podskupin .
• Studovat podskupiny a mříže v lineárních skupin , jako jsou a dalších Lež skupin, pomocí geometrických metod (např budov ), algebro-geometrický nástrojů (např algebraických skupin a odrůd zastupování), analytických metod (např unitární reprezentace na Hilbert prostorech) a aritmetický metody.${\ Displaystyle SL (n, \ mathbb {R})}$
• Skupinová cohomologie využívající algebraické a topologické metody, zejména zahrnující interakci s algebraickou topologií a používání morse-teoretických myšlenek v kombinatorickém kontextu; rozsáhlé nebo hrubé (viz např.) homologické a kohomologické metody.
• Pokrok v tradičních tématech kombinatorické teorie skupin, jako je problém Burnside , studium Coxeterových skupin a Artinových skupin atd. (Metody používané ke studiu těchto otázek jsou v současné době často geometrické a topologické).

Příklady

Následující příklady jsou často studovány v teorii geometrických grup:

Viz také

• Ping-pong lemma , užitečný způsob, jak vykazovat skupiny jako volný produkt
• Skvělá skupina
• Nielsenova transformace
• Tietzeova transformace

Reference

Knihy a monografie

Tyto texty pokrývají teorii geometrických skupin a související témata.

• Bowditch, Brian H. (2006). Kurz z teorie geometrických grup . Vzpomínky MSJ. 16 . Tokio: Japonská matematická společnost . ISBN 4-931469-35-3.
• Bridson, Martin R .; Haefliger, André (1999). Metrické prostory kladného zakřivení . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd]. 319 . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-64324-9.
• Coornaert, Michel; Delzant, Thomas; Papadopoulos, Athanase (1990). Géométrie et théorie des groupes: les groupes hyperboliques de Gromov . Přednášky z matematiky. 1441 . Springer-Verlag. ISBN 3-540-52977-2. MR  1075994 .

• Clay, Matt; Margalit, Dan (2017). Úřední hodiny s teoretikem geometrických skupin . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-15866-2.

• Coornaert, Michel; Papadopoulos, Athanase (1993). Symbolická dynamika a hyperbolické skupiny . Přednášky z matematiky. 1539 . Springer-Verlag. ISBN 3-540-56499-3.
• de la Harpe, P. (2000). Témata v teorii geometrických grup . Chicago Přednášky z matematiky. University of Chicago Press. ISBN 0-226-31719-6.
• Druţu, Cornelia ; Kapovich, Michael (2018). Geometrická teorie skupin (PDF) . Publikace kolokvia Americké matematické společnosti. 63 . Americká matematická společnost . ISBN 978-1-4704-1104-6. MR  3753580 .
• Epstein, DBA; Dělo, JW; Holt, D .; Levy, S .; Paterson, M .; Thurston, W. (1992). Zpracování textu ve skupinách . Jones a Bartlett. ISBN 0-86720-244-0.
• Gromov, M. (1987). „Hyperbolické skupiny“. V Gersten, GM (ed.). Eseje v teorii skupiny . 8 . MSRI. s. 75–263. ISBN 0-387-96618-8.
• Gromov, Michail (1993). „Asymptotické invarianty nekonečných skupin“ . V Niblo, GA; Roller, MA (eds.). Geometric Group Theory: Proceedings of the Symposium konané v Sussexu 1991 . London Mathematical Society Lecture Note Series. 2 . Cambridge University Press. s. 1–295. ISBN 978-0-521-44680-8.
• Kapovich, M. (2001). Hyperbolické rozdělovače a diskrétní skupiny . Pokrok v matematice. 183 . Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3904-4.
• Lyndon, Roger C .; Schupp, Paul E. (2015) [1977]. Kombinatorická skupinová teorie . Klasika z matematiky. Springer. ISBN 978-3-642-61896-3.
• Ol'shanskii, A.Yu. (2012) [1991]. Geometrie definování vztahů ve skupinách . Springer. ISBN 978-94-011-3618-1.
• Roe, John (2003). Přednášky z hrubé geometrie . Univerzitní přednáškový cyklus. 31 . Americká matematická společnost. ISBN 978-0-8218-3332-2.

externí odkazy

• Stránka teorie geometrické skupiny Jona McCammonda
• Co je to teorie geometrických skupin? Autor Daniel Wise
• Otevřené problémy v teorii kombinatorické a geometrické grupy
• Téma teorie geometrických skupin na arxiv.org