Celá funkce - Entire function

V komplexní analýzy , An celá funkce , označovaný také jako integrální funkce, je komplexní hodnotou funkce , která je holomorphic na celé komplexní rovině . Typickými příklady celých funkcí jsou polynomy a exponenciální funkce a jakékoli konečné součty, produkty a jejich složení, jako jsou trigonometrické funkce sine a cosine a jejich hyperbolické protějšky sinh a cosh , stejně jako deriváty a integrály celých funkcí, jako jsou chybová funkce . Pokud má celá funkce f ( z ) kořen na w , pak f ( z ) / ( z − w ), přičemž limitní hodnotu na w , je celá funkce. Na druhou stranu ani přirozený logaritmus, ani druhá odmocnina není celá funkce, ani v nich nelze analyticky pokračovat na celou funkci.

Transcendentální celá funkce je celá funkce, že se nejedná o polynom.

Vlastnosti

Každá celá funkce f ( z ) může být reprezentována jako výkonová řada

${\ displaystyle f (z) = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}}$

který konverguje všude ve složité rovině, tedy rovnoměrně na kompaktních množinách . Poloměr konvergence je nekonečný, což znamená, že

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} | a_ {n} | ^ {\ frac {1} {n}} = 0}$

nebo

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ ln | a_ {n} |} {n}} = - \ infty.}$

Jakákoli výkonová řada splňující toto kritérium bude představovat celou funkci.

Pokud (a pouze za předpokladu) koeficienty výkonových řady jsou všechny skutečné pak funkce zřejmě se skutečné hodnoty pro skutečné argumenty, a hodnota funkce v komplexu konjugátu z Z bude komplexně sdružená hodnota v Z . Takovým funkcím se někdy říká self-konjugát (funkce konjugátu , která je dána ).${\ displaystyle F ^ {*} (z)}$${\ displaystyle {\ bar {F}} ({\ bar {z}})}$

Pokud je reálná část celé funkce známá v sousedství bodu, pak je známa jak reálná, tak imaginární část pro celou komplexní rovinu, až po imaginární konstantu. Například pokud je reálná část známá v sousedství nuly, pak můžeme najít koeficienty pro n > 0 z následujících derivací vzhledem ke skutečné proměnné r :

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {Re} a_ {n} & = {\ frac {1} {n!}} {\ frac {d ^ {n}} {dr ^ {n}}} \ operatorname {Re} f (r) && {\ text {at}} r = 0 \\\ operatorname {Im} a_ {n} & = {\ frac {1} {n!}} {\ frac {d ^ { n}} {dr ^ {n}}} \ operatorname {Re} f \ left (re ^ {- {\ frac {i \ pi} {2n}}} \ right) && {\ text {at}} r = 0 \ end {zarovnáno}}}$

(Podobně, pokud je imaginární část známá v sousedství, pak je funkce určena až po skutečnou konstantu.) Ve skutečnosti, pokud je reálná část známá jen na oblouku kruhu, pak je funkce určena až po imaginární konstantní. (Například pokud je reálná část známa na části jednotkové kružnice, pak je známa na celé jednotkové kružnici analytickým rozšířením a pak se koeficienty nekonečné řady určí z koeficientů Fourierovy řady pro skutečnou část na jednotkové kružnici.) Všimněte si však, že celá funkce není určena její skutečnou částí na všech křivkách. Zejména pokud je reálná část uvedena na jakékoli křivce v komplexní rovině, kde je skutečná část nějaké jiné celé funkce nulová, může být k funkci, kterou se snažíme určit, přidán libovolný násobek této funkce. Například pokud je křivka, kde je známá skutečná část, skutečná čára, můžeme přidat i krát libovolnou funkci s vlastním konjugátem. Pokud křivka tvoří smyčku, pak je určena skutečnou částí funkce ve smyčce, protože jediné funkce, jejichž skutečná část je na křivce nula, jsou ty, které jsou všude rovny nějakému imaginárnímu číslu.

Faktorizace věta Weierstrassova tvrdí, že jakýkoliv celá funkce může být reprezentován produkt zahrnující jeho nuly (nebo „kořeny“).

Celé funkce v komplexní rovině tvoří integrální doménu (ve skutečnosti Prüferova doména ). Rovněž vytvářejí komutativní jednotnou asociativní algebru nad komplexními čísly.

Liouvilleova věta říká, že jakákoli ohraničená celá funkce musí být konstantní. Liouvilleova věta může být použita k elegantnímu prokázání základní věty o algebře .

V důsledku Liouvilleovy věty je jakákoli funkce, která je celá v celé Riemannově sféře (komplexní rovina a bod v nekonečnu), konstantní. Jakákoli nekonstantní celá funkce tedy musí mít singularitu v komplexním bodě v nekonečnu , buď pól pro polynom, nebo základní singularitu pro transcendentální celou funkci. Konkrétně, podle Casoratiho-Weierstrassovy věty , pro jakoukoli transcendentální celou funkci f a jakýkoli komplex w existuje posloupnost taková, že ${\ displaystyle (z_ {m}) _ {m \ in \ mathbb {N}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {m \ to \ infty} | z_ {m} | = \ infty, \ qquad {\ text {a}} \ qquad \ lim _ {m \ to \ infty} f (z_ {m} ) = t.}$

Picardova malá věta je mnohem silnějším výsledkem: jakákoli nekonstantní celá funkce přebírá každé komplexní číslo jako hodnotu, možná s jedinou výjimkou. Pokud existuje výjimka, nazývá se mezní hodnotou funkce. Možnost mezní hodnoty ilustruje exponenciální funkce , která nikdy nepřijímá hodnotu 0. Lze převzít vhodnou větev logaritmu celé funkce, která nikdy nenarazí na 0, takže to bude také celá funkce (podle k Weierstrassově faktorizační větě ). Logaritmus zasáhne každé komplexní číslo, s výjimkou jednoho čísla, což znamená, že první funkce zasáhne libovolnou jinou hodnotu než 0 nekonečně mnohokrát. Podobně nekonstantní celá funkce, která nezasáhne určitou hodnotu, zasáhne každou další hodnotu nekonečně mnohokrát.

Liouvilleova věta je zvláštním případem následujícího tvrzení:

Věta: Předpokládejme, že M, R jsou kladné konstanty an je nezáporné celé číslo. Celá funkce f uspokojující nerovnost pro všechna z s je nutně polynom, stupně nanejvýš n . Podobně celá funkce f uspokojující nerovnost pro všechna z s je nutně polynom, stupně alespoň n .${\ displaystyle | f (z) | \ leq M | z | ^ {n}}$${\ displaystyle | z | \ geq R,}$${\ displaystyle M | z | ^ {n} \ leq | f (z) |}$${\ displaystyle | z | \ geq R,}$

Růst

Celá funkce může růst stejně rychle jako jakákoli rostoucí funkce: pro jakoukoli rostoucí funkci g : [0, ∞) → [0, ∞) existuje celá funkce f taková, že f ( x )> g (| x |) pro všechny skutečné x . Takovou funkci f lze snadno najít ve tvaru:

${\ displaystyle f (z) = c + \ součet _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left ({\ frac {z} {k}} \ right) ^ {n_ {k}}}$

pro konstantu ca přísně rostoucí posloupnost celých čísel n _k . Jakákoli taková posloupnost definuje celou funkci f ( z ), a pokud jsou mocniny zvoleny vhodně, můžeme uspokojit nerovnost f ( x )> g (| x |) pro všechna reálná x . (Například určitě platí, pokud zvolíme c  : = g (2) a pro každé celé číslo zvolíme sudý exponent takový, že ). ${\ displaystyle k \ geq 1}$${\ displaystyle n_ {k}}$${\ displaystyle \ left ({\ frac {k + 1} {k}} \ right) ^ {n_ {k}} \ geq g (k + 2)}$

Objednávka a typ

Pořadí (v nekonečnu) z celé funkce je definována mezní lepší jsou: ${\ displaystyle f (z)}$

${\ displaystyle \ rho = \ limsup _ {r \ to \ infty} {\ frac {\ ln \ vlevo (\ ln \ | f \ | _ {\ infty, B_ {r}} \ vpravo)} {\ ln r }},}$

kde B _r je disk o poloměru r a označuje Supremum normu a na B _r . Pořadí je nezáporné reálné číslo nebo nekonečno (kromě případů pro všechna z ). Jinými slovy, pořadí je infimum všech m takové, že: ${\ displaystyle \ | f \ | _ {\ infty, B_ {r}}}$${\ displaystyle f (z)}$${\ displaystyle f (z) = 0}$${\ displaystyle f (z)}$

${\ displaystyle f (z) = O \ left (\ exp \ left (| z | ^ {m} \ right) \ right), \ quad {\ text {as}} z \ do \ infty.}$

Příklad ukazuje, že to neznamená f ( z ) = O (exp (| z | ^m )), pokud je řádu m . ${\ displaystyle f (z) = \ exp (2z ^ {2})}$${\ displaystyle f (z)}$

Pokud lze také definovat typ : ${\ displaystyle 0 <\ rho <\ infty,}$

${\ displaystyle \ sigma = \ limsup _ {r \ to \ infty} {\ frac {\ ln \ | f \ | _ {\ infty, B_ {r}}} {r ^ {\ rho}}}.}$

Pokud je pořadí 1 a typ je σ , funkce se říká „ exponenciálního typu σ “. Pokud je řádu menší než 1, říká se, že je exponenciálního typu 0.

Li

${\ displaystyle f (z) = \ součet _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n},}$

pořadí a typ lze najít podle vzorců

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ rho & = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {n \ ln n} {- \ ln | a_ {n} |}} \\ [6pt] ( e \ rho \ sigma) ^ {\ frac {1} {\ rho}} & = \ limsup _ {n \ to \ infty} n ^ {\ frac {1} {\ rho}} | a_ {n} | ^ {\ frac {1} {n}} \ end {zarovnáno}}}$

Pojďme označit n- ^tou derivaci f , pak můžeme tyto vzorce přepracovat pomocí derivací v libovolném bodě z ₀ : ${\ displaystyle f ^ {(n)}}$

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ rho & = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {n \ ln n} {n \ ln n- \ ln | f ^ {(n)} (z_ {0}) |}} = \ left (1- \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {\ ln | f ^ {(n)} (z_ {0}) |} {n \ ln n }} \ right) ^ {- 1} \\ [6pt] (\ rho \ sigma) ^ {\ frac {1} {\ rho}} & = e ^ {1 - {\ frac {1} {\ rho} }} \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ frac {| f ^ {(n)} (z_ {0}) | ^ {\ frac {1} {n}}} {n ^ {1- { \ frac {1} {\ rho}}}}} \ end {zarovnáno}}}$

Typ může být nekonečný, jako v případě reciproční funkce gama , nebo nula (viz příklad níže pod #Objednávka 1 ).

Příklady

Zde je několik příkladů funkcí různých objednávek:

Objednávka ρ

Pro libovolná kladná čísla ρ a σ lze sestrojit příklad celé funkce řádu ρ a zadat σ pomocí:

${\ displaystyle f (z) = \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} \ vlevo ({\ frac {e \ rho \ sigma} {n}} \ vpravo) ^ {\ frac {n} {\ rho}} z ^ {n}}$

Objednávka 0

• Nenulové polynomy
• ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {- n ^ {2}} z ^ {n}}$

Objednat 1/4

${\ displaystyle f ({\ sqrt [{4}] {z}})}$

kde

${\ displaystyle f (u) = \ cos (u) + \ cosh (u)}$

Objednat 1/3

${\ displaystyle f ({\ sqrt [{3}] {z}})}$

kde

${\ displaystyle f (u) = e ^ {u} + e ^ {\ omega u} + e ^ {\ omega ^ {2} u} = e ^ {u} + 2e ^ {- {\ frac {u} {2}}} \ cos \ left ({\ frac {{\ sqrt {3}} u} {2}} \ right), \ quad {\ text {with}} \ omega {\ text {složitý kořenový adresář krychle ze dne 1}}.}$

Objednávka 1/2

${\ displaystyle \ cos \ left (a {\ sqrt {z}} \ right)}$s ≠ 0 (pro který typ je dán å = | |)

Objednávka 1

• exp ( AZ ) s ≠ 0 ( σ = | |)
• hřích ( z )
• cosh ( z )
• Besselovy funkce J ₀ ( z )
• reciproční funkce gamma 1 / Γ ( z ) ( σ je nekonečná)
• ${\ displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {z ^ {n}} {(n \ ln n) ^ {n}}}. \ quad (\ sigma = 0)}$

Objednávka 3/2

• Vzdušná funkce Ai ( z )

Objednávka 2

• exp ( az ² ) s ≠ 0 ( σ = | |)

Objednávejte nekonečno

• exp (exp ( z ))

Rod

Celá funkce konečného řádu má Hadamardovo kanonické znázornění:

${\ displaystyle f (z) = z ^ {m} e ^ {P (z)} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {\ frac {z} {z_ {n} }} \ right) \ exp \ left ({\ frac {z} {z_ {n}}} + \ cdots + {\ frac {1} {p}} \ left ({\ frac {z} {z_ {n }}} \ vpravo) ^ {p} \ vpravo),}$

kde jsou ty kořeny ze které nejsou nula ( ), je pořadí na nulu na (v případě převozu do střední ), polynom (jejíž míra budeme nazývat ) a je nejmenší nezáporné celé číslo taková, že série ${\ displaystyle z_ {k}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle z_ {k} \ neq 0}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle z = 0}$${\ displaystyle m = 0}$${\ displaystyle f (0) \ neq 0}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {| z_ {n} | ^ {p + 1}}}}$

konverguje. Nezáporné celé číslo se nazývá rod celé funkce . ${\ displaystyle g = \ max \ {p, q \}}$${\ displaystyle f}$

Pokud řád ρ není celé číslo, pak je jeho celočíselná část . Pokud je pořadí kladné celé číslo, existují dvě možnosti: nebo . ${\ displaystyle g = \ lbrack \ rho \ rbrack}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle g = \ rho -1}$${\ displaystyle g = \ rho}$

Například a jsou celé funkce rodu 1 . ${\ displaystyle \ sin, \ cos}$${\ displaystyle \ exp}$

Další příklady

Podle JE Littlewooda je Weierstrassova sigma funkce „typickou“ celou funkcí. Toto tvrzení lze v teorii náhodných celých funkcí upřesnit: asymptotické chování téměř všech celých funkcí je podobné chování sigma. Mezi další příklady patří Fresnelovy integrály , funkce Jacobi theta a reciproční funkce gama . Exponenciální funkce a chybová funkce jsou speciální případy funkce Mittag-Leffler . Podle základní věty Paleyho a Wienera jsou Fourierovy transformace funkcí (nebo distribucí) s omezenou podporou celé funkce řádu 1 a konečného typu.

Dalšími příklady jsou řešení lineárních diferenciálních rovnic s polynomiálními koeficienty. Pokud je koeficient na nejvyšší derivaci konstantní, pak všechna řešení takových rovnic jsou celé funkce. Například tímto způsobem vznikají exponenciální funkce, sinus, kosinus, vzdušné funkce a funkce parabolického válce . Třída celých funkcí je uzavřena s ohledem na kompozice. To umožňuje studovat dynamiku celých funkcí .

Celá funkce druhé odmocniny z komplexního čísla je celá v případě, že původní funkce je i , například . ${\ displaystyle \ cos ({\ sqrt {z}})}$

Pokud posloupnost polynomů, jejichž kořeny jsou všechny skutečné, konverguje v sousedství počátku k limitu, který není identicky roven nule, pak je tento limit celou funkcí. Celé takové funkce tvoří třídu Laguerre – Pólya , kterou lze také charakterizovat pomocí Hadamardova produktu, a sice, že f patří do této třídy právě tehdy, když v Hadamardově zastoupení jsou všechny z _n skutečné, p ≤ 1 a P ( z ) = a + bz + cz ² , kde b a c jsou reálné, a c ≤ 0. Například posloupnost polynomů

${\ displaystyle \ left (1 - {\ frac {(zd) ^ {2}} {n}} \ right) ^ {n}}$

konverguje, jak se n zvyšuje, na exp (- ( z - d ) ² ). Polynomy

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left (\ left (1 + {\ frac {iz} {n}} \ right) ^ {n} + \ left (1 - {\ frac {iz} {n}} \ right) ^ {n} \ right)}$

mít všechny skutečné kořeny a konvergovat k cos ( z ). Polynomy

${\ displaystyle \ prod _ {m = 1} ^ {n} \ left (1 - {\ frac {z ^ {2}} {\ left (\ left (m - {\ frac {1} {2}} \ vpravo) \ pi \ vpravo) ^ {2}}} \ vpravo)}$

také konvergovat k cos ( z ), což ukazuje nahromadění Hadamardova produktu pro kosinus.

Viz také

• Jensenův vzorec
• Carlsonova věta
• Exponenciální typ
• Paley – Wienerova věta
• Teorie Wiman-Valiron

Poznámky

Reference

• Boas, Ralph P. (1954). Celé funkce . Akademický tisk. ISBN 9780080873138. OCLC  847696 .
• Levin, B. Ya. (1980) [1964]. Distribuce nul celých funkcí . Amer. Matematika. Soc. ISBN 978-0-8218-4505-9.
• Levin, B. Ya. (1996). Přednášky o celých funkcích . Amer. Matematika. Soc. ISBN 978-0-8218-0897-9.