Jordan opatření - Jordan measure

V matematice je míra Peano – Jordan (také známá jako Jordanův obsah ) rozšířením pojmu velikost ( délka , plocha , objem ) na tvary komplikovanější než například trojúhelník , disk nebo rovnoběžnostěn .

Ukazuje se, že má-li mít set Jordan míru, mělo by se chovat dobře v určitém omezujícím smyslu. Z tohoto důvodu je nyní běžnější pracovat s mírou Lebesgue , což je rozšíření jordánské míry na větší třídu sad. Historicky vzato, na konci devatenáctého století bylo na prvním místě jordánské opatření. Z historických důvodů je nyní pojem Jordanova míra dobře zavedený, a to navzdory skutečnosti, že se nejedná o skutečnou míru v jeho moderní definici, protože Jordanem měřitelné množiny netvoří σ-algebru. Například singletonové sady v každé z nich mají Jordanovu míru 0, zatímco jejich spočítatelné spojení není měřitelné Jordanem. Z tohoto důvodu někteří autoři dávají přednost použití termínu Jordan content (viz článek o obsahu ) .${\ displaystyle \ {x \} _ {x \ v \ mathbb {R}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} \ čepice [0,1]}$

Opatření Peano – Jordan je pojmenováno po původcích, francouzském matematikovi Camille Jordanovi a italském matematikovi Giuseppe Peanovi .

Jordan míra "jednoduchých sad"

Jednoduchá sada je podle definice sjednocení (možná překrývajících se) obdélníků.

Jednoduchá sada shora se rozložila jako spojení nepřekrývajících se obdélníků.

Uvažujme euklidovský prostor R ⁿ . Jeden začíná zvážením produktů omezených intervalů

${\ displaystyle C = [a_ {1}, b_ {1}) \ krát [a_ {2}, b_ {2}) \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n})}$

které jsou uzavřené na levém konci a otevřené na pravém konci (polootevřené intervaly jsou technickou volbou; jak vidíme níže, lze použít uzavřené nebo otevřené intervaly, pokud je to preferováno). Taková sada se bude nazývat n - rozměrný obdélník nebo jednoduše obdélník . Jeden definuje Jordanovu míru takového obdélníku jako součin délek intervalů:

${\ displaystyle m (C) = (b_ {1} -a_ {1}) (b_ {2} -a_ {2}) \ cdots (b_ {n} -a_ {n}).}$

Next, uvážíme jednoduché sady , někdy nazývané polyrectangles , které jsou konečnými odbory obdélníků,

${\ displaystyle S = C_ {1} \ pohár C_ {2} \ pohár \ cdots \ pohár C_ {k}}$

pro libovolné  k  ≥ 1.

Nelze definovat Jordanovu míru S jako jednoduše součet měr jednotlivých obdélníků, protože taková reprezentace S není zdaleka jedinečná a mezi obdélníky by mohlo dojít k významnému překrytí.

Naštěstí lze jakoukoli takovou jednoduchou množinu S přepsat jako spojení jiné konečné rodiny obdélníků, obdélníků, které jsou tentokrát vzájemně disjunktní , a pak jeden definuje Jordanovu míru m ( S ) jako součet měr disjunktních obdélníků.

Lze ukázat, že tato definice jordánské míry S je nezávislá na reprezentaci S jako konečného spojení disjunktních obdélníků. V kroku „přepisování“ se používá předpoklad obdélníků vytvořených z polootevřených intervalů.

Rozšíření na složitější sady

Sada (znázorněná na obrázku oblastí uvnitř modré křivky) je Jordan měřitelná právě tehdy, pokud ji lze dobře aproximovat zevnitř i zvenčí jednoduchými sadami (jejich hranice jsou zobrazeny tmavě zelenou a tmavě růžovou). .

Všimněte si, že množina, která je produktem uzavřených intervalů,

${\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ krát [a_ {2}, b_ {2}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}]}$

není jednoduchá sada ani míč . Proto je sada jordánských měřitelných souborů stále velmi omezená. Klíčovým krokem je pak definování ohraničené množiny, aby byla měřitelná Jordanem, pokud je „dobře aproximována“ jednoduchými množinami, přesně stejným způsobem, jako je funkce Riemannova integrovatelná, pokud je dobře aproximována po částech konstantní funkcí.

Formálně pro ohraničenou množinu B definujte její vnitřní míru Jordan jako

${\ displaystyle m _ {*} (B) = \ sup _ {S \ podmnožina B} m (S)}$

a jeho vnější rozměr jako

${\ displaystyle m ^ {*} (B) = \ inf _ {S \ supset B} m (S)}$

kde infimum a supremum jsou převzaty jednoduchých souprav S . O množině B se říká, že je měřitelná Jordanem, pokud se vnitřní míra B rovná vnější míře. Společná hodnota obou opatření je pak jednoduše nazvaný opatření Jordan B .

Ukazuje se, že všechny obdélníky (otevřené nebo uzavřené), stejně jako všechny koule, simplexy atd., Jsou měřitelné Jordanem. Pokud vezmeme v úvahu dvě spojité funkce , soubor bodů mezi grafy těchto funkcí je Jordan měřitelný, pokud je tato sada ohraničená a společnou doménou těchto dvou funkcí je Jordan měřitelný. Jakákoli konečná unie a průnik jordánských měřitelných množin je Jordan měřitelná, stejně jako rozdíl množiny jakýchkoli dvou Jordan měřitelných množin. Ucelený soubor není nutně Jordan měřitelné. Například tlustá Cantorova sada není. Jeho vnitřní míra Jordan zmizí, protože jeho doplněk je hustý ; jeho vnější jordánské opatření však nezmizí, protože nemůže být menší než (ve skutečnosti se rovná) jeho Lebesgueovy míře. Ohraničená otevřená množina nemusí být nutně Jordan měřitelná. Například doplněk sady tuku Cantor (v daném intervalu) není. Omezená sada Jordan měřitelná tehdy, jestliže jeho funkce indikátor je Riemann-integrovatelná , a hodnota integrálu je jeho Jordan opatření. [1]

Ekvivalentně pro omezená množina B vnitřní Jordán měřítkem B je Lebesgue měřítkem vnitřního prostoru z B a vnější opatření Jordán je Lebesgueova míra uzávěru . Z toho vyplývá, že ohraničená množina je Jordan měřitelná právě tehdy, má-li její hranice Lebesgueovu míru nula. (Nebo ekvivalentně, pokud má hranice Jordánsko nulu; ekvivalence platí kvůli kompaktnosti hranice.)

Lebesgueovo opatření

Tato poslední vlastnost výrazně omezuje typy sad, které jsou měřitelné Jordanem. Například sada racionálních čísel obsažená v intervalu [0,1] pak není měřitelná Jordanem, protože její hranice je [0,1], což není Jordanova míra nula. Intuitivně je však množina racionálních čísel „malá“ množina, protože je spočetná , a měla by mít „velikost“ nula. To je skutečně pravda, ale pouze v případě, že by bylo jordánské opatření nahrazeno opatřením Lebesgue . Lebesgueova míra sady je stejná jako její míra Jordánska, pokud má tato míra Jordan. Lebesgueova míra je však definována pro mnohem širší třídu množin, jako je množina racionálních čísel v dříve zmíněném intervalu, a také pro množiny, které mohou být neomezené nebo fraktální . Také Lebesgueova míra, na rozdíl od jordánské míry, je skutečná míra , to znamená, že jakékoli spočetné sjednocení měřitelných množin Lebesgue je Lebesgue měřitelné, zatímco spočetné svazky jordánských měřitelných množin nemusí být Jordan měřitelné.

Reference

• Emmanuele DiBenedetto (2002). Skutečná analýza . Basilej, Švýcarsko: Birkhäuser. ISBN   0-8176-4231-5 .
• Richard Courant; Fritz John (1999). Úvod do kalkulu a analýzy Svazek II / 1: Kapitoly 1–4 (Klasika z matematiky) . Berlín: Springer. ISBN   3-540-66569-2 .

externí odkazy

• Derwent, Johne. „Jordan Measure“ . MathWorld .
• Terekhin, AP (2001) [1994], „Jordan measure“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press