Paradoxy teorie množin - Paradoxes of set theory

Tento článek obsahuje diskuzi o paradoxech teorie množin . Stejně jako u většiny matematických paradoxů obecně odhalují překvapivé a protiintuitivní matematické výsledky, spíše než skutečné logické rozpory v moderní teorii axiomatických množin .

Základy

Kardinální čísla

Teorie množin, jak ji pojal Georg Cantor, předpokládá existenci nekonečných množin. Jak je tento předpoklad nelze prokázat z prvních principů byl zaveden do axiomatické teorie množin podle axiómem nekonečna , který tvrdí existenci nastavené N přirozených čísel. Každá nekonečná množina, kterou lze vyjmenovat přirozenými čísly, má stejnou velikost (mohutnost) jako N a říká se, že je spočetná. Příkladem spočetně nekonečných množin jsou přirozená čísla, sudá čísla, prvočísla a také všechna racionální čísla , tj. Zlomky. Tyto sady mají společné hlavní číslo | N | = (aleph-nic), číslo větší než každé přirozené číslo. ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Kardinální čísla lze definovat následovně. Definujte dvě sady tak, aby měly stejnou velikost podle: mezi těmito dvěma sadami existuje bijekce (vzájemná korespondence mezi prvky). Kardinální číslo je podle definice třída skládající se ze všech sad stejné velikosti. Mít stejnou velikost je vztah ekvivalence a základní čísla jsou třídy ekvivalence .

Řadové číslovky

Kromě mohutnosti, která popisuje velikost množiny, jsou uspořádané množiny také předmětem teorie množin. Axiom výběru zaručuje, že každý soubor může být dobře-objednal , což znamená, že celkové pořadí mohou být uloženy v jejích prvků tak, že každá neprázdná podmnožina má první prvek s ohledem na uvedeném pořadí. Pořadí dobře uspořádané množiny je popsáno pořadovým číslem . Například 3 je pořadové číslo množiny {0, 1, 2} s obvyklým řádem 0 <1 <2; a ω je pořadové číslo množiny všech přirozených čísel seřazených obvyklým způsobem. Při zanedbání pořadí nám zbývá hlavní číslo | N | = | ω | = . ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Pořadová čísla lze definovat stejnou metodou, která se používá pro základní čísla. Definujte dvě dobře uspořádané sady tak, aby měly stejný typ pořadí podle: mezi dvěma sadami respektujícími pořadí existuje bijekce : menší prvky jsou mapovány na menší prvky. Potom je pořadové číslo podle definice třída skládající se ze všech dobře uspořádaných sad stejného typu objednávky. Mít stejný typ pořadí je relace ekvivalence na třídě dobře uspořádaných množin a pořadová čísla jsou třídy ekvivalence.

Dvě sady stejného typu objednávky mají stejnou mohutnost. Konverzace obecně neplatí pro nekonečné množiny: na množinu přirozených čísel, která vedou k různým pořadovým číslům, je možné uložit různé uspořádání řádků.

Na ordinálech je přirozené uspořádání, které je samo o sobě řádným uspořádáním. Vzhledem k libovolnému pořadovému α lze považovat množinu všech řadových čísel za menší než α. Ukázalo se, že tato sada má pořadové číslo α. Toto pozorování se používá pro jiný způsob zavádění ordinálů, ve kterém je ordinál přirovnáván k množině všech menších ordinálů. Tato forma pořadového čísla je tedy kanonickým představitelem dřívější formy třídy ekvivalence.

Napájecí sady

Vytvořením všech podmnožin množiny S (všechny možné volby jejích prvků) získáme výkonovou množinu P ( S ). Georg Cantor dokázal, že výkonová sada je vždy větší než sada, tj. | P ( S ) | > | S |. Zvláštní případ Cantorovy věty dokazuje, že množinu všech reálných čísel R nelze vyčíslit přirozenými čísly. R je nespočetné: | R | > | N |.

Paradoxy nekonečné množiny

Místo spoléhání se na nejednoznačné popisy jako „to, které nelze zvětšit“ nebo „zvětšovat bez vazby“, poskytuje teorie množin definice termínu nekonečná množina, který dává jednoznačný význam frázím jako „množina všech přirozených čísel je nekonečná“ . Stejně jako u konečných množin přináší teorie další definice, které nám umožňují důsledně porovnávat dvě nekonečné množiny, pokud jde o to, zda je jedna množina „větší než“, „menší než“ nebo „má stejnou velikost jako“ druhá. Ale ne každá intuice týkající se velikosti konečných množin platí pro velikost nekonečných množin, což vede k různým zjevně paradoxním výsledkům týkajícím se výčtu, velikosti, míry a řádu.

Paradoxy výčtu

Před zavedením teorie množin byla představa o velikosti množiny problematická. Diskutovali o tom mimo jiné Galileo Galilei a Bernard Bolzano . Existuje tolik přirozených čísel jako druhé mocniny přirozených čísel, měřeno metodou výčtu?

Odpověď zní ano, protože pro každé přirozené číslo n existuje čtvercové číslo n ² , a naopak.
Odpověď zní ne, protože čtverce jsou správnou podmnožinou přirozených: každý čtverec je přirozené číslo, ale existují přirozená čísla jako 2, která nejsou čtverci přirozených čísel.

Definováním pojmu velikost souboru z hlediska jeho mohutnosti lze problém vyřešit. Jelikož mezi těmito dvěma sadami existuje bijekce , vyplývá to ve skutečnosti přímo z definice mohutnosti sady.

Více o paradoxech výčtu viz Hilbertův paradox Grand hotelu .

Je le vois, mais je ne crois pas

„Vidím to, ale nevěřím,“ napsal Cantor Richardu Dedekindovi poté, co dokázal, že množina bodů čtverce má stejnou mohutnost jako body na pouhém okraji čtverce: mohutnost kontinua .

To ukazuje, že „velikost“ množin definovaných samotnou mohutností není jediným užitečným způsobem porovnání sad. Teorie míry poskytuje jemnější teorii velikosti, která odpovídá naší intuici, že délka a plocha jsou nekompatibilní míry velikosti.

Důkazy silně naznačují, že Cantor si byl docela jistý samotným výsledkem a že jeho komentář k Dedekindovi namísto toho odkazuje na jeho tehdy ještě přetrvávající obavy ohledně platnosti jeho důkazu. Cantorova poznámka by však také pěkně posloužila k vyjádření překvapení, které tolik matematiků po něm zažilo při prvním setkání s výsledkem, který je tak protiintuitivní.

Paradoxy dobrého uspořádání

V roce 1904 Ernst Zermelo dokázal pomocí axiomu výběru (který byl zaveden z tohoto důvodu), že každá sada může být dobře uspořádaná. V roce 1963 Paul J. Cohen ukázal, že v teorii množin Zermelo – Fraenkel bez axiomu volby není možné prokázat existenci řádného uspořádání reálných čísel.

Schopnost dobře objednat libovolnou sadu však umožňuje provádět určité konstrukce, které se nazývají paradoxní. Jedním příkladem je paradox Banach – Tarski , věta široce považovaná za neintuitivní. Uvádí, že je možné rozložit kouli s pevným poloměrem na konečný počet kusů a poté tyto kousky přesunout a znovu sestavit běžnými překlady a rotacemi (bez změny měřítka), aby se získaly dvě kopie z jedné původní kopie. Konstrukce těchto kusů vyžaduje axiom výběru; kousky nejsou jednoduché oblasti koule, ale komplikované podmnožiny .

Paradoxy Supertask

V teorii množin se nekonečná množina nepovažuje za vytvořenou nějakým matematickým procesem, jako je „přidání jednoho prvku“, který se poté provede „nekonečný počet opakování“. Místo toho se říká , že určitá nekonečná množina (například množina všech přirozených čísel ) již existuje, „fiat“, jako předpoklad nebo axiom. Vzhledem k této nekonečné množině je potom prokázáno, že existují i další nekonečné množiny, což je logický důsledek. Je však stále přirozenou filozofickou otázkou uvažovat o nějaké fyzické akci, která se skutečně dokončí po nekonečném počtu jednotlivých kroků; a interpretace této otázky pomocí teorie množin vede k paradoxům supertaskingu.

Deník Tristrama Shandyho

Tristram Shandy , hrdina románu Laurence Sterna , píše svou autobiografii tak svědomitě, že mu trvá jeden rok, než stanoví události jednoho dne. Pokud je smrtelný, nikdy nemůže skončit; ale kdyby žil věčně, pak by žádná část jeho deníku nezůstala nepsaná, protože každému dni jeho života by odpovídal rok věnovaný popisu toho dne.

Paradox Ross-Littlewood

Zvýšená verze tohoto typu paradoxu posune nekonečně vzdálený cíl do konečného času. Naplňte obrovskou nádrž koulemi vyčíslenými čísly 1 až 10 a sundejte kouli číslo 1. Poté přidejte koule vyčíslené čísly 11 až 20 a vzlet číslo 2. Pokračujte v přidávání koulí vyčíslených čísly 10 n - 9 až 10 n a odstranit číslo koule n pro všechna přirozená čísla n = 3, 4, 5, .... Nechte první transakci trvat půl hodiny, nechte druhou transakci poslední čtvrt hodinu atd., aby byly všechny transakce dokončeny po jedna hodina. Je zřejmé, že množina koulí v nádrži se zvyšuje bez omezení. Nicméně po jedné hodině je zásobník prázdný, protože pro každý míč je znám čas jeho odstranění.

Paradox se dále zvyšuje významem sekvence odstranění. Pokud kuličky nejsou odstraněny v pořadí 1, 2, 3, ... ale v pořadí 1, 11, 21, ... po jedné hodině se v nádrži naplní nekonečně mnoho kuliček, i když stejné množství materiálu jako dříve již byl přesunut.

Paradoxy důkazu a definovatelnosti

Navzdory své užitečnosti při řešení otázek týkajících se nekonečných množin má naivní teorie množin některé fatální nedostatky. Zejména je kořistí logických paradoxů, jako jsou ty, které byly vystaveny Russellovým paradoxem . Objev těchto paradoxů odhalil, že ne všechny množiny, které lze popsat v jazyce teorie naivní množiny, lze ve skutečnosti říci, že existují bez vytvoření rozporu. 20. století vidělo řešení těchto paradoxů ve vývoji různých dnes běžně používaných axiomatizací teorií množin, jako jsou ZFC a NBG . Mezera mezi velmi formalizovaným a symbolickým jazykem těchto teorií a naším typickým neformálním používáním matematického jazyka však vede k různým paradoxním situacím, stejně jako k filozofické otázce, o čem přesně takové formální systémy navrhují mluvit.

Rané paradoxy: množina všech množin

V roce 1897 italský matematik Cesare Burali-Forti zjistil, že neexistuje žádná množina obsahující všechna pořadová čísla. Protože každé pořadové číslo je definováno sadou menších pořadových čísel, dobře uspořádaná množina Ω všech pořadových čísel (pokud existuje) odpovídá definici a je sama o sobě pořadovým číslem. Na druhou stranu žádné pořadové číslo nemůže obsahovat samo sebe, takže Ω nemůže být pořadové číslo. Sada všech pořadových čísel proto nemůže existovat.

Na konci 19. století si Cantor uvědomoval neexistenci množiny všech světových čísel a množiny všech řadových čísel. V dopisech Davidu Hilbertovi a Richardovi Dedekindovi psal o nekonzistentních sadách, jejichž prvky nelze považovat za všechny dohromady, a pomocí tohoto výsledku dokázal, že každá konzistentní sada má základní číslo.

Po tom všem vedla verze paradoxu „množiny všech množin“, kterou vytvořil Bertrand Russell v roce 1903, k vážné krizi teorie množin. Russell poznal, že tvrzení x = x platí pro každou množinu, a tedy množina všech množin je definována { x | x = x }. V roce 1906 zkonstruoval několik paradoxních sad, z nichž nejznámější je sada všech sad, které neobsahují samy sebe. Russell sám vysvětlil tuto abstraktní myšlenku pomocí několika velmi konkrétních obrázků. Jeden příklad, známý jako Barberův paradox , uvádí: Mužský holič, který holí všechny a jen muže, kteří se neholí sami, se musí oholit, pouze pokud se neholí sám.

Mezi Russellovým paradoxem v teorii množin a Grelling – Nelsonovým paradoxem , který demonstruje paradox v přirozeném jazyce, existují podobné podobnosti .

Paradoxy změnou jazyka

Königův paradox

V roce 1905 zveřejnil maďarský matematik Julius König paradox založený na skutečnosti, že existuje jen spočítatelně mnoho konečných definic. Pokud si představíme reálná čísla jako dobře uspořádanou množinu, tvoří ta reálná čísla, která lze definitivně definovat, podmnožinu. Proto by v tomto pořadí mělo být první reálné číslo, které není definitivně definovatelné. To je paradoxní, protože toto skutečné číslo bylo právě definitivně definováno poslední větou. To vede k rozporu v naivní teorii množin .

Tomuto paradoxu se v axiomatické teorii množin vyhýbáme. I když je možné vyjádřit tezi o množině jako množině, systémem kódů známých jako Gödelova čísla neexistuje v jazyce teorie množin žádný vzorec, který by platil přesně tehdy, když existuje kód pro konečnou tezi o množině, je sada a platí pro . Tento výsledek je známý jako Tarskiho věta o nedefinovatelnosti ; vztahuje se na širokou třídu formálních systémů včetně všech běžně studovaných axiomatizací teorie množin. ${\ displaystyle \ varphi (a, x)}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle x}$

Richardův paradox

Ve stejném roce francouzský matematik Jules Richard použil variantu Cantorovy diagonální metody k získání dalšího rozporu v naivní teorii množin. Zvažte množinu A všech konečných aglomerací slov. Množina E všech konečných definic reálných čísel je podmnožinou A . Jak je spočetná, takže je E . Nechť p je n- té desetinné místo n- tého reálného čísla definovaného množinou E ; vytvoříme číslo N mající nulu pro integrální část a p + 1 pro n. desetinné číslo, pokud p není rovno 8 nebo 9, a jednotu, pokud p je rovno 8 nebo 9. Toto číslo N není definováno množina E, protože se liší od libovolného konečně definovaného reálného čísla, konkrétně od n- tého čísla n- tou číslicí. Ale N bylo v tomto odstavci definováno konečným počtem slov. Proto by mělo být v nastaveném E . To je rozpor.

Stejně jako u Königova paradoxu nelze tento paradox formovat v axiomatické teorii množin, protože vyžaduje schopnost říci, zda se popis vztahuje na konkrétní množinu (nebo ekvivalentně říci, zda je formule ve skutečnosti definicí jedné množiny).

Paradox Löwenheimu a Skolemu

Na základě práce německého matematika Leopolda Löwenheima (1915) norský logik Thoralf Skolem v roce 1922 ukázal, že každá konzistentní teorie predikátového počtu prvního řádu , jako je teorie množin, má nanejvýš spočetný model . Nicméně cantorova věta dokazuje, že existuje nespočetné množiny. Kořenem tohoto zdánlivého paradoxu je, že spočitatelnost nebo nepočítatelnost množiny není vždy absolutní , ale může záviset na modelu, ve kterém je měřena mohutnost. Je možné, aby množina byla nespočetná v jednom modelu teorie množin, ale spočetná ve větším modelu (protože bijekce, které stanoví počitatelnost, jsou ve větším modelu, ale ne v menším).

Viz také

Poznámky

Reference

G. Cantor: Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts , E. Zermelo (Ed.), Olms, Hildesheim 1966.
H. Meschkowski, W. Nilson: Georg Cantor - Briefe , Springer, Berlin 1991.
A. Fraenkel: Einleitung in die Mengenlehre , Springer, Berlin 1923.
AA Fraenkel, A. Levy: Teorie abstraktních množin , Severní Holandsko, Amsterdam 1976.
F. Hausdorff: Grundzüge der Mengenlehre , Chelsea, New York 1965.
B. Russell: Principy matematiky I , Cambridge 1903.
B. Russell: K některým obtížím v teorii transfinitních čísel a typů řádů , Proc. London Math. Soc. (2) 4 (1907) 29-53.
PJ Cohen: Teorie množin a hypotéza kontinua , Benjamin, New York 1966.
S. Wagon: Banach – Tarski Paradox , Cambridge University Press, Cambridge 1985.
AN Whitehead , B. Russell: Principia Mathematica I , Cambridge Univ. Press, Cambridge 1910, str. 64.
E. Zermelo: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung , Math. Ann. 65 (1908) str. 107-128.

Languages

In other projects