Síla dvou - Power of two

Vizualizace mocnin dvou od 1 do 1024 (2 ⁰ až 2 ¹⁰ )

Síla dva je číslo formy $2, n$ , kde $n$ je celé číslo , to znamená, že výsledek umocňování s číslem dvě jako báze a celé číslo $n$ jako exponent .

V kontextu, kde se berou v úvahu pouze celá čísla, je $n$ omezeno na nezáporné hodnoty, takže máme 1, 2 a 2 vynásobená sama sebou určitý početkrát.

Protože dva jsou základem binární číselné soustavy , jsou mocniny dvou v počítačové vědě běžné . Napsáno binárně, mocnina dvou má vždy tvar 100 ... 000 nebo 0,00 ... 001, stejně jako síla 10 v desítkové soustavě.

Počítačová věda

Dva na mocninu $n$ , zapsanou jako $2 n$ , je počet způsobů, jak lze uspořádat bity v binárním slově o délce $n$ . Slovo interpretované jako celé číslo bez znaménka může zahrnovat hodnoty od 0 ( $000 ... 000 2$ ) do $2 n - 1$ ( $111 ... 111 2$ ) včetně. Odpovídající podepsané celočíselné hodnoty může být pozitivní, negativní a nula; viz reprezentace podepsaných čísel . Ať tak či onak, jedna menší než mocnina dvou je často horní hranicí celého čísla v binárních počítačích. V důsledku toho se čísla tohoto formuláře často objevují v počítačovém softwaru. Jako příklad, videohry běží na 8-bitový systém může omezit skóre nebo počtu kusů hráč může pojmout až 255-výsledek pomocí byte , což je 8 bitů dlouhé , můžete uložit číslo, dávat maximální hodnota $28 - 1 = 255$ . Například v původní Legend of Zelda byla hlavní postava omezena na nošení 255 rupií (měna hry) v daném okamžiku a videohra Pac-Man má skvěle obrazovku zabití na úrovni 256.

Pravomoci dvou se často používají k měření paměti počítače. Bajt je nyní považován za osm bitů ( oktet ), což má za následek možnost 256 hodnot (2 ⁸ ). (Termín byte kdysi znamenal (a v některých případech stále znamená) soubor bitů , obvykle 5 až 32 bitů, nikoli pouze 8bitovou jednotku.) Kilo prefixu ve spojení s byte může být a se tradičně používá k označení 1024 (2 ¹⁰ ). Nicméně, obecně, termín kilo byl použit v mezinárodním systému jednotek v tom smyslu, 1000 (10 ³ ). Byly standardizovány binární předpony , například kibi (Ki), což znamená 1024. Téměř všechny registry procesorů mají velikosti dvě, 32 nebo 64 jsou velmi běžné.

Pravomoci dvou se vyskytují také na řadě dalších míst. U mnoha diskových jednotek je alespoň jeden z velikosti sektoru, počtu sektorů na stopu a počtu stop na povrch síla dvou. Velikost logického bloku je téměř vždy mocninou dvou.

Čísla, která nejsou mocninami dvou, se vyskytují v řadě situací, jako je rozlišení videa, ale často jsou součtem nebo součinem pouze dvou nebo tří mocnin dvou nebo sil dvou mínus jedna. Například $640 = 32 \times 20$ a $480 = 32 \times 15$ . Jinak řečeno, mají poměrně pravidelné bitové vzory.

Mersenne a Fermat připraví

Prvočíslo to je jeden méně než mocninu dvou se nazývá Mersenne prime . Například prvočíslo 31 je Mersennovo prvočíslo, protože je o 1 menší než 32 (2 ⁵ ). Podobně prvočíslo (jako 257 ), které je o jednu více než kladná mocnina dvou, se nazývá Fermatova prvočíslo - samotný exponent je mocninou dvou. Frakce , která má sílu dvou jako jeho jmenovateli se nazývá dvojčlenný racionální . Čísla, která lze reprezentovat jako součty po sobě jdoucích kladných celých čísel, se nazývají zdvořilá čísla ; jsou to přesně ta čísla, která nejsou mocninami dvou.

Euclidovy prvky , kniha IX

Geometrická posloupnost 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (nebo v binární číselné soustavě 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ...) je v teorii čísel důležitá . Kniha IX, Propozice 36 prvků prokazuje, že je -li součet prvních $n$ podmínek této posloupnosti prvočíslem (a jde tedy o Mersennovo prvočíslo, jak bylo uvedeno výše), pak tento součet krát $n$ -tý člen je dokonalým číslem . Například součet prvních 5 členů řady 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, což je prvočíslo. Součet 31 vynásobený 16 (5. termín v řadě) se rovná 496, což je dokonalé číslo.

Kniha IX, Proposition 35, dokazuje, že pokud je v geometrické řadě odečten první člen od druhého a posledního členu v pořadí, pak jako přebytek druhého je k prvnímu - tak je přebytek posledního pro všechny ty před tím. (Toto je přepracování našeho vzorce pro geometrické řady shora.) Použití na geometrický průběh 31, 62, 124, 248, 496 (což vyplývá z 1, 2, 4, 8, 16 vynásobením všech výrazů číslem 31) , vidíme, že 62 minus 31 je 31, protože 496 minus 31 je součet 31, 62, 124, 248. Čísla 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 a 248 se tedy sčítají na 496 a dále to jsou všechna čísla, která dělí 496. Předpokládejme, že $p$ dělí 496 a není mezi těmito čísly. Předpokládejme, že $p q$ se rovná $16 \times 31$ , nebo 31 je $q,$ jako $p$ je 16. Nyní $p$ nemůže dělit 16 nebo by bylo mezi čísly 1, 2, 4, 8 nebo 16. 31 tedy nemůže dělit $q$ . A protože 31 nerozděluje $q$ a $q$ měří 496, základní aritmetická věta znamená, že $q$ musí dělit 16 a být mezi čísly 1, 2, 4, 8 nebo 16. Nechť $q$ je 4, pak $p$ musí být 124, což je nemožné, protože podle hypotézy $p$ není mezi čísly 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 nebo 248.

Tabulka hodnot

(sekvence A000079 v OEIS )

2 ⁰	=	1	2 ¹⁶	=	65 536	2 ³²	=	4,294,967,296	2 ⁴⁸	=	281 474 976 710 656	2 ⁶⁴	=	18 446 744 073 709 551 616	2 ⁸⁰	=	1 208 925 819 614 629 174 706 176
2 ¹	=	2	2 ¹⁷	=	131,072	2 ³³	=	8 589 934 592	2 ⁴⁹	=	562,949,953,421,312	2 ⁶⁵	=	36,893,488,147,419,103,232	2 ⁸¹	=	2,417,851,639,229,258,349,412,352
2 ²	=	4	2 ¹⁸	=	262 144	2 ³⁴	=	17,179,869,184	2 ⁵⁰	=	1 125 899 906 842 624	2 ⁶⁶	=	73 786 976 294 838 206 464	2 ⁸²	=	4,835,703,278,458,516,698,824,704
2 ³	=	8	2 ¹⁹	=	524 288	2 ³⁵	=	34 359 738 368	2 ⁵¹	=	2 251 799 813 685 248	2 ⁶⁷	=	147 573 952 589 676 412 928	2 ⁸³	=	9 671 406 556 917 033 397 649 408
2 ⁴	=	16	2 ²⁰	=	1 048 576	2 ³⁶	=	68,719,476,736	2 ⁵²	=	4,503,599,627,370,496	2 ⁶⁸	=	295,147,905,179,352,825,856	2 ⁸⁴	=	19 342 813 113 113 34666 795 298 816
2 ⁵	=	32	2 ²¹	=	2,097,152	2 ³⁷	=	137 438 953 472	2 ⁵³	=	9,007,199,254,740,992	2 ⁶⁹	=	590,295,810,358,705,651,712	2 ⁸⁵	=	38 685 626 227 668 133 590 597 632
2 ⁶	=	64	2 ²²	=	4,194,304	2 ³⁸	=	274 877 906 944	2 ⁵⁴	=	18 014 398 509 481 984	2 ⁷⁰	=	1 180 591 620 717 411 303 424	2 ⁸⁶	=	77,371,252,455,336,267,181,195,264
2 ⁷	=	128	2 ²³	=	8 388 608	2 ³⁹	=	549 755 813 888	2 ⁵⁵	=	36 028 797 018 963 968	2 ⁷¹	=	2 361 183 241 434 822 606 848	2 ⁸⁷	=	154 742 504 910 672 534 362 390 528
2 ⁸	=	256	2 ²⁴	=	16 777 216	2 ⁴⁰	=	1 099 511 627 776	2 ⁵⁶	=	72 057 594 037 927 936	2 ⁷²	=	4,722,366,482,869,645,213,696	2 ⁸⁸	=	309 485 009 821 345 068 724 781 056
2 ⁹	=	512	2 ²⁵	=	33 554 432	2 ⁴¹	=	2 199 023 255 552	2 ⁵⁷	=	144,115,188,075,855,872	2 ⁷³	=	9 444 732 965 739 290 427 392	2 ⁸⁹	=	618 970 019 642 690 137 449 562 112
2 ¹⁰	=	1024	2 ²⁶	=	67 108 884	2 ⁴²	=	4,398,046,511,104	2 ⁵⁸	=	288,230,376,151,711,744	2 ⁷⁴	=	18 889 465 931 478 588 854 784	2 ⁹⁰	=	1,237,940,039,285,380,274,899,124,224
2 ¹¹	=	2048	2 ²⁷	=	134 217 728	2 ⁴³	=	8,796,093,022,208	2 ⁵⁹	=	576 460 752 303 423 488	2 ⁷⁵	=	37 778 931 862 957 161 709 568	2 ⁹¹	=	2,475,880,078,570,760,549,798,248,448
2 ¹²	=	4,096	2 ²⁸	=	268 435 456	2 ⁴⁴	=	17,592,186,044,416	2 ⁶⁰	=	1,152,921,504,606,846,976	2 ⁷⁶	=	75,557,863,725,914,323,419,136	2 ⁹²	=	4,951,760,157,141,521,099,596,496,896
2 ¹³	=	8,192	2 ²⁹	=	536 870 912	2 ⁴⁵	=	35,184,372,088,832	2 ⁶¹	=	2 305 843 009 213 693 952	2 ⁷⁷	=	151,115,727,451,828,646,838,272	2 ⁹³	=	9,903,520,314,283,042,199,192,993,792
2 ¹⁴	=	16,384	2 ³⁰	=	1 073 741 824	2 ⁴⁶	=	70,368,744,177,664	2 ⁶²	=	4,611,686,018,427,387,904	2 ⁷⁸	=	302 231 454 903 657 293 676 544	2 ⁹⁴	=	19 807 040 628 566 084 398 385 987 584
2 ¹⁵	=	32 768	2 ³¹	=	2 147 483 648	2 ⁴⁷	=	140,737,488,355,328	2 ⁶³	=	9,223,372,036,854,775,808	2 ⁷⁹	=	604 462 909 807 314 587 353 088	2 ⁹⁵	=	39,614,081,257,132,168,796,771,975,168

Počínaje 2 je poslední číslice periodická s periodou 4, s cyklem 2–4–8–6– a počínaje 4 jsou poslední dvě číslice periodické s periodou 20. Tyto vzorce obecně platí pro jakoukoli mocninu, pokud jde o jakákoli základna . Vzorec pokračuje tam, kde každý vzor má počáteční bod $2 k$ , a perioda je multiplikativní pořadí 2 modulo $5 k$ , což je $φ (5 k) = 4 \times 5 k -1$ (viz Multiplikativní skupina celých čísel modulo n ).

Síly 1024

(sekvence A140300 v OEIS )

Prvních několik mocnin 2, ¹⁰ jsou o něco větší než tytéž pravomoci 1000 (10 ³ ):

2 ⁰	=	1	= 1000 ⁰	(0% odchylka)
2 ¹⁰	=	1024	≈ 1000 ¹	(2,4% odchylka)
2 ²⁰	=	1 048 576	≈ 1000 ²	(Odchylka 4,9%)
2 ³⁰	=	1 073 741 824	≈ 1000 ³	(7,4% odchylka)
2 ⁴⁰	=	1 099 511 627 776	≈ 1000 ⁴	(10,0% odchylka)
2 ⁵⁰	=	1 125 899 906 842 624	≈ 1000 ⁵	(12,6% odchylka)
2 ⁶⁰	=	1 152 921 504 606 846 976	≈ 1000 ⁶	(15,3% odchylka)
2 ⁷⁰	=	1 180 591 620 717 411 303 424	≈ 1000 ⁷	(18,1% odchylka)
2 ⁸⁰	=	1 208 925 819 614 629 174 706 176	≈ 1000 ⁸	(20,9% odchylka)
2 ⁹⁰	=	1 237 940 039 285 380 274 899 124 224	≈ 1000 ⁹	(23,8% odchylka)
2 ¹⁰⁰	=	1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376	≈ 1000 ¹⁰	(26,8% odchylka)
2 ¹¹⁰	=	1 298 074 214 633 706 907 132 624 082 305 024	≈ 1000 ¹¹	(29,8% odchylka)
2 ¹²⁰	=	1 329 227 995 784 915 872 903 807 060 280 344 576	≈ 1000 ¹²	(32,9% odchylka)
2 ¹³⁰	=	1 361 129 467 683 753 853 853 498 429 727 072 845 824	≈ 1000 ¹³	(36,1% odchylka)
2 ¹⁴⁰	=	1 393 796 574 908 163 946 345 982 392 040 522 594 123 776	≈ 1000 ¹⁴	(Odchylka 39,4%)
2 ¹⁵⁰	=	1427247 692 705 959 881058 285 969 449 495 136 382 746 624	≈ 1000 ¹⁵	(42,7% odchylka)

Pravomoci dvou, jejichž exponenty jsou mocninami dvou

Protože data (konkrétně celá čísla) a adresy dat jsou uloženy pomocí stejného hardwaru a data jsou uložena v jednom nebo více oktetech ( $23$ ), jsou běžné dvojité exponenciály dvou. Například,

$n$	$2 n$	$2 2 n$ (sekvence A001146 v OEIS )
0	1	2
1	2	4
2	4	16
3	8	256
4	16	65 536
5	32	4,294,967,296
6	64	18, 446, 744, 073, 709, 551, 616 (20 číslic)
7	128	340, 282, 366, 920, 938, 463, 463, 374, 607, 431, 768, 211, 456 (39 číslic)
8	256	115, 792, 089, 237, 316, 195, 423, 570, 985, 008, 687, 907, 853, 269, 984, 665, 640, 564, 039, 457, 584, 007, 913, 129, 639, 936 (78 číslic)
9	512	13, 407, 807, 929, 942, 597, 099, 574, 024, 998, 205, 846, 127, 479, 365, 820, 592, 393, 377, 723, 561, 443, 721, 764, 030, 073, 546, 976, 801, 874, 298, 166, 903, 427 , 690, 031, 858, 186, 486, 050, 853, 753, 882, 811, 946, 569, 946, 433, 649, 006, 084, 096 (155 číslic)
10	1024	179, 769, 313, 486, 231, 590, 772, 930, ..., 304, 835, 356, 329, 624, 224, 137, 216 (309 číslic)
11	2048	32, 317, 006, 071, 311, 007, 300, 714, 8 ..., 193, 555, 853, 611, 059, 596, 230, 656 (617 číslic)
12	4,096	1, 044, 388, 881, 413, 152, 506, 691, 75 ..., 243, 804, 708, 340, 403, 154, 190, 336 (1234 číslic)
13	8,192	1, 090, 748, 135, 619, 415, 929, 462, 98 ..., 997, 186, 505, 665, 475, 715, 792, 896 (2467 číslic)
14	16,384	1, 189, 731, 495, 357, 231, 765, 085, 75 ..., 460, 447, 027, 290, 669, 964, 066, 816 (4933 číslic)
15	32 768	1, 415, 461, 031, 044, 954, 789, 001, 55 ..., 541, 122, 668, 104, 633, 712, 377, 856 (9865 číslic)
16	65 536	2, 003, 529, 930, 406, 846, 464, 979, 07 ..., 339, 445, 587, 895, 905, 719, 156, 736 (19 729 číslic)
17	131,072	4, 014, 132, 182, 036, 063, 039, 166, 06 ..., 850, 665, 812, 318, 570, 934, 173, 696 (39 457 číslic)
18	262 144	16, 113, 257, 174, 857, 604, 736, 195, 7 ..., 753, 862, 605, 349, 934, 298, 300, 416 (78 914 číslic)

Několik z těchto čísel představuje počet hodnot reprezentovatelných pomocí běžných počítačových datových typů . Například, 32-bitové slovo se skládá ze 4 bytů může představovat $232$ odlišné hodnoty, které mohou být buď považovat za pouhé bitových vzorů, nebo častěji interpretovány jako bez znaménka čísla od 0 do $2, 32 - 1$ , nebo jako rozsah znaménkem mezi $-2 31$ a $231 - 1$ . Viz také tetrace a nižší hyperoperace . Další informace o zastupování podepsaných čísel naleznete v jejich doplňcích .

Ve spojení s nimbers se těmto číslům často říká Fermat 2-pravomoci .

Čísla tvoří sled iracionalita : pro každý sekvence z přirozených čísel je série ${\ displaystyle 2^{2^{n}}}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{\ infty} {\ frac {1} {2^{2^{i}} x_ {i}}} = {\ frac {1} {2x_ {0} }}+{\ frac {1} {4x_ {1}}}+{\ frac {1} {16x_ {2}}}+\ cdots}

konverguje k iracionálnímu číslu . Navzdory rychlému růstu této sekvence jde o nejpomaleji známou známou sekvenci iracionality.

Vybrané mocniny dvou

2 ⁸ = 256: Počet hodnot reprezentovaných 8 bity v bajtu , konkrétněji označovaných jako oktet . (Termín byte je často definován spíše jako soubor bitů než přísná definice 8bitového množství, jak ukazuje termín kilobyte .)
2 ¹⁰ = 1 024: Binární aproximace násobitele kilo- nebo 1 000, což způsobí změnu předpony. Například: 1024 bajtů = 1 kilobajt (nebo kibibyte ).
2 ¹² = 4096: Hardware strana velikost jako Intel x86 -kompatibilní procesor.
2 ¹⁵ = 32 768: Počet nezáporné hodnoty pro podepsal 16-bitové celé číslo.
2 ¹⁶ = 65 536: Počet odlišných hodnot reprezentovatelných v jednom slově na 16bitovém procesoru, jako jsou původní procesory x86 .; Maximální rozsah krátké celočíselné proměnné v programovacích jazycích C# a Java . Maximální rozsah proměnné Word nebo Smallint v programovacím jazyce Pascal .; Počet binárních relací na 4prvkové sadě.
2 ²⁰ = 1 048 576: Binární aproximace mega- nebo 1 000 000 multiplikátoru, která způsobí změnu předpony. Například: 1 048 576 bajtů = 1 megabajt (nebo megabajt ).
2 ²⁴ = 16 777 216: Počet jedinečných barev, které lze zobrazit ve formátu truecolor , který používají běžné počítačové monitory .; Toto číslo je výsledkem použití tříkanálového systému RGB s 8 bity pro každý kanál nebo celkem 24 bitů.; Velikost největšího čísla nebo adresy bez znaménka v počítačích s 24bitovými registry nebo datovými sběrnicemi.
2 ²⁹ = 536 870 912: Největší mocnina dvou s odlišnými číslicemi v desítce.
2 ³⁰ = 1 073 741 824: Binární aproximace giga- neboli 1 000 000 000 multiplikátoru, která způsobí změnu předpony. Například 1 073 741 824 bajtů = 1 gigabajt (nebo gibibyte ).
2 ³¹ = 2 147 483 648: Počet nezáporných hodnot pro podepsané 32bitové celé číslo. Protože se unixový čas od 1. ledna 1970 měří v sekundách, dojde mu v úterý 19. ledna 2038 na 2 147 483 647 sekund nebo 03:14:07 UTC na 32bitových počítačích se systémem Unix, což je problém známý jako problém roku 2038 .
2 ³² = 4 294 967 296: Počet odlišných hodnot reprezentovatelných v jednom slově na 32bitovém procesoru. Nebo počet hodnot reprezentovatelných dvojitým slovem na 16bitovém procesoru, jako jsou původní procesory x86 .; Rozsah intproměnné v programovacích jazycích Java a C# .; Rozsah a Cardinalnebo Integerproměnné v programovacím jazyce Pascal .; Minimální rozsah dlouhé celočíselné proměnné v programovacích jazycích C a C ++ .; Celkový počet IP adres v rámci IPv4 . Přestože se jedná o zdánlivě velké číslo, vyčerpání adresy IPv4 je na spadnutí.; Počet binárních operací s doménou se rovná jakékoli 4prvkové sadě, například GF (4).
2 ⁴⁰ = 1 099 511 627 776: Binární aproximace tera- neboli 1 000 000 000 000 multiplikátoru, která způsobí změnu předpony. Například 1 099 511 627 776 bajtů = 1 terabajt (nebo tebibyte ).
2 ⁵⁰ = 1 125 899 906 842 624: Binární aproximace multiplikátoru peta- nebo 1 000 000 000 000 000. 1 125 899 906 842 624 bytů = 1 petabajt (nebo pebibyte ).
2 ⁵³ = 9,007,199,254,740,992: Číslo, do kterého lze přesně reprezentovat všechny celočíselné hodnoty ve formátu IEEE s plovoucí desetinnou čárkou s dvojitou přesností . Také první mocnina 2 začínající číslicí 9 v desítkové soustavě.
2 ⁵⁶ = 72 057 594 037 927 936: Počet různých možných klíčů v zastaralé 56bitové symetrické šifře DES .
2 ⁶⁰ = 1 152 921 504 606 846 976: Binární aproximace multiplikátoru ex- nebo 1 000 000 000 000 000 000 000. 1 152 921 504 606 846 976 bajtů = 1 exabajt (nebo exbibyte ).
2 ⁶³ = 9 223 372 036 854 475 808: Počet nezáporných hodnot pro podepsané 64bitové celé číslo.
2 ⁶⁴ = 18 446 744 073 709 551 616: Počet odlišných hodnot reprezentovatelných v jednom slově na 64bitovém procesoru. Nebo počet hodnot reprezentovatelných ve dvojslově na 32bitovém procesoru. Nebo počet hodnot reprezentovatelných v kvadwordu na 16bitovém procesoru, jako jsou původní x86 procesory.; Rozsah dlouhé proměnné v programovacích jazycích Java a C# .; Rozsah proměnné Int64 nebo QWord v programovacím jazyce Pascal .; Celkový počet adres IPv6 obecně přidělovaných jedné LAN nebo podsíti.; O jeden více než počet zrn rýže na šachovnici, podle starého příběhu , kde první políčko obsahuje jedno zrnko rýže a každé následující pole dvakrát tolik než předchozí pole. Z tohoto důvodu je číslo 2 ⁶⁴ - 1 známé jako „šachové číslo“.; 2 ^64-1 je také počet tahů nutných k dokončení legendární 64diskové verze Hanojské věže .
2 ⁶⁸ = 295 147 905 179 352 825 856: První mocnina 2 obsahující všechny desetinné číslice. (sekvence A137214 v OEIS )
2 ⁷⁰ = 1 180 591 620 717 411 303 424: Binární aproximace multiplikátoru zetta- nebo 1 000 000 000 000 000 000 000 000. 1 180 591 620 717 411 303 424 bajtů = 1 zettabyte (nebo zebibyte ).
2 ⁸⁰ = 1 208 925 819 614 629 174 706 176: Binární aproximace multiplikátoru yotta- nebo 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000. 1,208,925,819,614,629,174,706,176 bajty = 1 yottabyte (nebo yobibyte ).
2 ⁸⁶ = 77,371,252,455,336,267,181,195,264: 2 ⁸⁶ se předpokládá, že je největší mocninou dvou, neobsahujících nulu v desítkové soustavě.
2 ⁹⁶ = 79 228 162 514 264 337 593 543 950 336: Celkový počet adres IPv6 obecně přidělovaných místnímu internetovému registru . V zápisu CIDR mají poskytovatelé internetových služeb a / 32 , což znamená, že pro adresy je k dispozici 128-32 = 96 bitů (na rozdíl od označení sítě). Tedy 2 ⁹⁶ adres.
2 ¹⁰⁸ = 324 518 553 658 426 726 783 156 020 576 256: Největší známá mocnina 2 neobsahující 9 v desítkové soustavě. (sekvence A035064 v OEIS )
2 ¹²⁶ = 85 070 591 730 234 615 865 843 651 857 942 052 864: Největší známá mocnina 2 neobsahující dvojici po sobě jdoucích stejných číslic. (sekvence A050723 v OEIS )
2 ¹²⁸ = 340,282,366,920,938,463,463,374,607,431,768,211,456: Celkový počet IP adres dostupných pod IPv6 . Také počet odlišných univerzálně jedinečných identifikátorů (UUID) .
2 ¹⁶⁸ = 374,144,419,156,711,147,060,143,317,175,368,453,031,918,731,001,856: Největší známá mocnina 2 neobsahující všechny desetinné číslice (číslice 2 v tomto případě chybí). (sekvence A137214 v OEIS )
2 ¹⁹² = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896: Celkový počet různých možných klíčů v 192bitovém prostoru klíčů AES (symetrická šifra).
2 ²²⁹ = 862,718,293,348,820,473,429,344,482,784,628,181,556,388,621,521,298,319,395,315,527,974,912: 2 ²²⁹ je největší známá mocnina ze dvou obsahující nejmenší počet nul vzhledem k její síle. Metin Sariyar se domnívá, že každá číslice 0 až 9 je nakloněna, aby se při zvyšování výkonu objevovala stejný počet opakování v desítkové expanzi síly dvou. (sekvence A330024 v OEIS )
2 ²⁵⁶ = 115 792 089 237 316 195 195 423 570 985 008 687 907 853 269 984 665 640 564 039 457 584 007 913 129 639 936: Celkový počet různých možných klíčů v 256bitovém prostoru klíčů AES (symetrická šifra).
2 ³³³ = 17,498,005,798,264,095,394,980,017,816,940,970,922,825,355,447,145,699,491,406,164,851,279,623,993,595,007,385,788,105,416,184,430,592: Nejmenší výkon 2 větší než googol (10 ¹⁰⁰ ).
2 ¹⁰²⁴ = 179 769 313 4886 231 590 772 931, ..., 304 835 356 329 624 224 137 216: Maximální počet, který se vejde do formátu IEEE s plovoucí desetinnou čárkou s dvojitou přesností , a tedy maximální počet, který může být reprezentován mnoha programy, například Microsoft Excel .
2 ⁸²589 ⁹³³ = 148 ⁸⁹⁴445 ⁷⁴²041, ..., 210 325 217 902 592: O jedno více než největší známé prvočíslo z prosince 2018. Má více než 24 milionů číslic.

Další vlastnosti

Protože každé zvýšení dimenze zdvojnásobuje počet tvarů, součet koeficientů na každé řadě Pascalova trojúhelníku je mocninou dvou

Součet mocnin dvou od nuly k dané síle včetně je o 1 menší než další mocnina dvou, zatímco součet sil dvou od mínus nekonečna k dané síle včetně zahrnuje další mocninu dvou

Součet všech $n$ -vyberte binomické koeficienty se rovná $2 n$ . Zvažte množinu všech $n$ -číselných binárních celých čísel. Jeho mohutnost je $2 n$ . Je to také součet kardinalit určitých určitých podmnožin: podmnožina celých čísel bez 1 s (skládající se z jednoho čísla, zapsaná jako $n$ 0 s), podmnožina s jedinou 1, podmnožina se dvěma 1 s atd. Až do podmnožina s $n$ 1 s (skládající se z čísla zapsaného jako $n$ 1 s). Každý z nich se zase rovná binomickému koeficientu indexovanému $n$ a uvažuje se počet 1 s (například existuje 10 binárních čísel 10 výběrů-3 s deseti číslicemi, která obsahují přesně tři 1 s).

V současné době jsou mocniny dvou jediným známým téměř dokonalým číslem .

Počet vrcholů z o $n$ rozměrné hyperkrychli je $2 n$ . Podobně je počet $(n -1)$ povrchů $n$ -rozměrného křížového polytopu také $2 n$ a vzorec pro počet $x$ -povrchů, který má $n$ -rozměrný křížový mnohostěn, je ${\ Displaystyle 2^{x} {\ tbinom {n} {x}}.}$

Součet reciprocals pravomocí dvou je 1 . Součet převrácených čtverců síly dva je 1/3.

Nejmenší přirozená mocnina ze dvou, jejichž desetinná reprezentace začíná 7, je

{\ Displaystyle 2^{46} = 70 \ 368 \ 744 \ 177 \ 664.}

Každá mocnina 2 (kromě 1) může být zapsána jako součet čtyř čtvercových čísel 24 způsoby . Mocniny 2 jsou přirozená čísla větší než 1, která lze zapsat jako součet čtyř čtvercových čísel nejméně způsoby.

Languages

In other projects