Unikátní faktorizační doména - Unique factorization domain

V matematice je jedinečná faktorizační doména ( UFD ) (někdy také nazývaná faktoriálním prstencem podle Bourbakiho terminologie ) prsten, ve kterém platí výrok analogický základní teorému aritmetiky . Konkrétně UFD je integrální domény (a netriviální komutativní okruh , ve kterém je produkt nějakých dvou nenulových prvků je nenulový), ve kterém každý nenulový non- jednotka může být prvek zapsat jako součin z hlavních prvků (nebo neredukovatelné prvky ), jedinečně na objednávku a jednotky.

Důležitými příklady UFD jsou celá čísla a polynomiální prstence v jedné nebo více proměnných s koeficienty pocházejícími z celých čísel nebo z pole .

V následujícím řetězci inkluzí tříd se objevují jedinečné faktorizační domény :

rngs ⊃ kruhy ⊃ komutativní kruhy ⊃ integrální domény ⊃ integrálně uzavřené domény ⊃ GCD domény ⊃ jedinečné faktorizační domény ⊃ hlavní ideální domény ⊃ euklidovské domény ⊃ pole ⊃ algebraicky uzavřená pole

Definice

Formálně jedinečná faktorizace doména definována být obor integrity R , ve které každý nenulový prvek x z R může být psáno jako produkt (AN prázdný produkt , pokud x je jednotka) z neredukovatelné prvky p _i o R a jednotkou u :

x = u p ₁ p ₂ ⋅⋅⋅ p _n s n ≥ 0

a toto vyjádření je jedinečné v následujícím smyslu: Pokud q ₁ , ..., q _m jsou neredukovatelné prvky R a w je jednotka taková, že

x = w q ₁ q ₂ ⋅⋅⋅ q _m s m ≥ 0,

pak m = n , a existuje bijektivní mapa φ  : {1, ..., n } → {1, ..., m } taková, že p _i je spojeno s q _{φ ( i )} pro i ∈ {1, ..., n }.

Část jedinečnosti je obvykle těžké ověřit, a proto je užitečná následující ekvivalentní definice:

Unikátní faktorizace doména je obor integrity R , ve kterém může být každý nenulový prvek psaný jako součin jednotky a primárních elementů z R .

Příklady

Většina prstenů známých z elementární matematiky jsou UFD:

• Všechny hlavní ideální domény , tedy všechny euklidovské domény , jsou UFD. Zejména celá čísla (viz také základní věta o aritmetice ), Gaussova celá čísla a Eisensteinova celá čísla jsou UFD.
• Pokud R je UFD, pak tak je R [ X ] je kroužek polynomů s koeficienty v R . Pokud R není pole, R [ X ] není hlavní ideální doménou. Indukcí je polynomiální kruh v libovolném počtu proměnných přes libovolnou UFD (a zejména přes pole nebo přes celá čísla) UFD.
• Formální síla série kroužek K [[ X ₁ , ..., X _n ]] přes pole K (nebo obecněji v průběhu pravidelného UFD, jako je například PID) je UFD. Na druhou stranu, formální zvonění mocninných řad přes UFD nemusí být UFD, i když je UFD lokální. Například pokud R je lokalizace k [ x , y , z ] / ( x ²  +  y ³  +  z ⁷ ) v prvém ideálu ( x , y , z ), pak R je místní kruh, který je UFD, ale formální kruh mocninových řad R [[ X ]] nad R není UFD.
• Auslander-Buchsbaum teorém říká, že každá pravidelná místní prsten je UFD.
• ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [e ^ {\ frac {2 \ pi i} {n}}]}$ je UFD pro všechna celá čísla 1 ≤ n ≤ 22, ale ne pro n = 23.
• Mori ukázal, že pokud je dokončení Zariskiho prstenu , jako je například noetherský místní kruh , UFD, pak je prsten UFD. Opak není pravdivý: existují netherianské místní prsteny, které jsou UFD, ale jejichž dokončení nejsou. Otázka, kdy k tomu dojde, je poměrně subtilní: například pro lokalizaci z k [ x , y , z ] / ( x ²  +  y ³  +  z ⁵ ) na nultý ideálu ( x , y , z ), a to jak lokální kruh a jeho dokončení jsou UFD, ale ve zdánlivě podobném příkladu lokalizace k [ x , y , z ] / ( x ²  +  y ³  +  z ⁷ ) v hlavním ideálu ( x , y , z ) místní ring je UFD, ale jeho dokončení není.
• Dovolme být polem jakékoli jiné charakteristiky než 2. Klein a Nagata ukázali, že kruh R [ X ₁ , ..., X _n ] / Q je UFD, kdykoli Q je nesingulární kvadratická forma v X a n je alespoň 5. Když n = 4, prsten nemusí být UFD. Například není UFD, protože prvek se rovná prvku tak, že a jsou dvě různé faktorizace stejného prvku do neredukovatelných. ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R [X, Y, Z, W] / (XY-ZW)}$${\ displaystyle XY}$${\ displaystyle ZW}$${\ displaystyle XY}$${\ displaystyle ZW}$
• Kruh Q [ x , y ] / ( x ²  + 2 y ²  + 1) je UFD, ale kruh Q ( i ) [ x , y ] / ( x ²  + 2 y ²  + 1) není. Na druhé straně prsten Q [ x , y ] / ( x ²  +  y ²  - 1) není UFD, ale prsten Q ( i ) [ x , y ] / ( x ²  +  y ²  - 1) je ( Samuel 1964 , s. 35). Podobně je souřadnicový kruh R [ X , Y , Z ] / ( X ²  +  Y ²  +  Z ²  - 1) dvourozměrné reálné sféry UFD, ale souřadnicový kruh C [ X , Y , Z ] / ( X ²  +  Y ²  +  Z ²  - 1) komplexní sféry není.
• Předpokládejme, že proměnným X _i jsou dány váhy w _i a F ( X ₁ , ..., X _n ) je homogenní polynom hmotnosti w . Pak pokud c je coprime na w a R je UFD a buď každý konečně vygenerovaný projektivní modul nad R je volný nebo c je 1 mod w , kruh R [ X ₁ , ..., X _n , Z ] / ( Z ^c  -  F ( X ₁ , ..., X _n )) je UFD ( Samuel 1964 , s. 31).

Non-příklady

• Kvadratický číslo kruh všech komplexních čísel formuláře , kde a b jsou celá čísla, není UFD protože 6 faktory jako oba 2 x 3 a jako . Toto jsou opravdu různé faktorizace, protože jediné jednotky v tomto kruhu jsou 1 a -1; tedy nikdo z 2, 3 , a nejsou přidruženi . Není těžké ukázat, že všechny čtyři faktory jsou také neredukovatelné, i když to nemusí být zřejmé. Viz také algebraické celé číslo . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [{\ sqrt {-5}}]}$${\ displaystyle a + b {\ sqrt {-5}}}$${\ displaystyle \ left (1 + {\ sqrt {-5}} \ right) \ left (1 - {\ sqrt {-5}} \ right)}$${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {-5}}}$${\ displaystyle 1 - {\ sqrt {-5}}}$
• U čtverce bez kladného celého čísla d nebude kruh celých čísel z být UFD, pokud d není Heegnerovo číslo . ${\ displaystyle \ mathbb {Q} [{\ sqrt {-d}}}}$
• Kruh formální mocninové řady nad komplexními čísly je UFD, ale podřetězec těch, které se sbíhají všude, jinými slovy kruh celých funkcí v jedné komplexní proměnné, není UFD, protože existují celé funkce s nekonečnem nul, a tedy nekonečno neredukovatelných faktorů, zatímco faktorizace UFD musí být konečná, např .:

${\ displaystyle \ sin \ pi z = \ pi z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 - {{z ^ {2}} \ over {n ^ {2}}} \ right ).}$

Vlastnosti

Některé koncepty definované pro celá čísla lze zobecnit na UFD:

• V UFDs každý nesnížitelná element je prvočíslo . (V jakékoli integrální doméně je každý prvočíslo neredukovatelné, ale konverzace nemusí vždy platit. Například prvek je neredukovatelné, ale není prvočíslo.) Všimněte si, že to má částečnou konverzaci: doména splňující ACCP je UFD, pokud a pouze pokud je každý neredukovatelný prvek prvočíslo. ${\ displaystyle z \ v K [x, y, z] / (z ^ {2} -xy)}$
• Jakékoli dva prvky UFD mají největšího společného dělitele a nejméně společný násobek . Zde je největším společným dělitelem a a b prvek d, který rozděluje obě a a b , a tak, že každý další společný dělitel a a b rozděluje d . Jsou spojeny všechny největší společné dělitele a a b .
• Jakákoli UFD je integrálně uzavřena . Jinými slovy, v případě, že R znamená UFD s kvocient pole K, a je-li prvek K v K je kořen z monic polynomu s koeficienty v R, poté k je prvek R.
• Nechť S být násobně uzavřen podmnožina z UFD A . Pak je lokalizace UFD. Částečná konverzace k tomu také platí; viz. níže. ${\ displaystyle S ^ {- 1} A}$

Rovnocenné podmínky pro kruh, který má být UFD

Noetherovských obor integrity je UFD tehdy a jen tehdy, pokud každý výška 1 primární ideál je hlavní (důkaz je uveden na konci). Také, Dedekind doména je UFD tehdy a jen tehdy, pokud jeho ideální třída skupina je triviální. V tomto případě je to ve skutečnosti hlavní ideální doména .

Obecně platí, že pro integrální doménu A jsou ekvivalentní následující podmínky:

1. A je UFD.
2. Každý nenulový primární ideál of A obsahuje primární prvek . ( Kaplansky )
3. A splňuje vzestupně stav řetězu na hlavní ideál (ACCP) a lokalizace S ^-1 je UFD, kde S je násobně uzavřená podmnožina z A generované hlavních prvků. (Kritérium Nagata)
4. A vyhovuje ACCP a každý nesnížitelná je prvočíslo .
5. A je atomový a každý neredukovatelný je prime .
6. A je doména GCD (tj. Jakékoli dva prvky mají největšího společného dělitele) vyhovující (ACCP).
7. A je Schreierova doména a atomová .
8. A je pre-Schreierova doména a atomová .
9. A má teorii dělitele, ve které je každý dělitel hlavní.
10. A je Krull doména, ve které je každý dělicí ideál hlavní (ve skutečnosti se jedná o definici UFD v Bourbaki.)
11. A je doména Krull a každý primární ideál výšky 1 je principál.

V praxi jsou (2) a (3) nejužitečnější podmínky ke kontrole. Například z (2) okamžitě vyplývá, že PID je UFD, protože každý primární ideál je generován prvkem prvkem v PID.

Uvažujme například o noetherovské integrální doméně, ve které je každá výška jednoho hlavního ideálu hlavní. Protože každý primární ideál má konečnou výšku, obsahuje výšku jeden primární ideál (indukce na výšku), který je hlavní. Tím, (2), kruh je UFD.

Viz také

• Parafaktoriální místní prsten

Citace

Reference