Axiom omezení velikosti - Axiom of limitation of size

V teorii množin je axiom omezené velikosti navrhl John von Neumann ve svém 1925 axiomu systému pro sad a tříd . Formalizuje princip omezení velikosti , který se vyhýbá paradoxům, se kterými se setkáváme v dřívějších formulacích teorie množin, tím, že uznává, že některé třídy jsou příliš velké na to, aby mohly být množinami. Von Neumann si uvědomil, že paradoxy jsou způsobeny tím, že těmto velkým třídám bylo umožněno být členy třídy. Třída, která je členem třídy, je sada; třída, která není množina, je řádná třída . Každá třída je podtřída of V. , na třídě všech sad. Axiom omezení velikosti říká, že třída je soubor tehdy a jen tehdy, pokud je menší než V to jest, není funkce mapování jej na V. . Obvykle se tento axiom je uvedeno v ekvivalentním tvaru: Třída je pořádná třída tehdy a jen tehdy, pokud je funkce, která mapuje na V. .

Von Neumannův axiom implikuje axiomy nahrazení , oddělení , spojení a globální volby . Je ekvivalentní kombinaci náhrady, sjednocení a globální volby v teorii množin Von Neumann – Bernays – Gödel (NBG) a Morse – Kelley . Pozdější expozice třídních teorií - jako jsou Paul Bernays , Kurt Gödel a John L. Kelley - používají náhradu, sjednocení a axiom výběru ekvivalentní globální volbě spíše než von Neumannův axiom. V roce 1930 definoval Ernst Zermelo modely teorie množin splňující axiom omezení velikosti.

Abraham Fraenkel a Azriel Lévy uvedli, že axiom omezení velikosti nezachycuje všechny „doktríny omezení velikosti“, protože to neznamená axiom setu moci . Michael Hallett tvrdil, že omezení doktríny velikosti neospravedlňuje axiom množiny mocí a že „von Neumannův explicitní předpoklad [o malosti mocenských sad] se zdá být vhodnější než Zermelova, Fraenkelova a Lévyho temně skrytá implicitní domněnka o malosti energetické sady. "

Formální prohlášení

Obvyklá verze axiomu omezení velikosti - třída je vlastní třídou právě tehdy, pokud existuje funkce, která ji mapuje na V  - je ve formálním jazyce teorie množin vyjádřena jako:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ forall C {\ Bigl [} \ lnot \ neexistuje D \ left (C \ in D \ right) \ iff \ neexistuje F {\ bigl [} & \, \ forall y {\ bigl (} \ existuje D (y \ v D) \ implikuje \ existuje x [\, x \ v C \ land (x, y) \ v F \,] {\ bigr)} \\ & \, \ land \ , \ forall x \ forall y \ forall z {\ bigl (} \, [\, (x, y) \ in F \ land (x, z) \ in F \,] \ implikuje y = z {\ bigr) } \, {\ bigr]} \, {\ Bigr]} \ end {aligned}}}$

Gödel představil konvenci, že proměnné velkých písmen se pohybují ve všech třídách, zatímco proměnné malých písmen se pohybují ve všech sadách. Tato konvence nám umožňuje napsat:

S Gödelovou konvencí lze zapsat axiom omezení velikosti:

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ forall C {\ Bigl [} \ lnot \ neexistuje D \ left (C \ in D \ right) \ iff \ neexistuje F {\ bigl [} & \, \ forall y \ existuje x {\ bigl (} x \ in C \ land (x, y) \ in F {\ bigr)} \\ & \, \ land \, \ forall x \ forall y \ forall z {\ bigl (} \, [\, (x, y) \ in F \ land (x, z) \ in F \,] \ implikuje y = z {\ bigr)} \, {\ bigr]} \, {\ Bigr]} \ end {zarovnaný}}}$

Důsledky axiomu

Von Neumann dokázal, že axiom omezení velikosti implikuje axiom nahrazení , který lze vyjádřit jako: Pokud F je funkce a A je množina, pak F ( A ) je množina. To dokazuje rozpor . Nechť F je funkce a A je množina. Předpokládejme, že F ( A ) je správná třída. Dále je zde funkce G , která mapuje F ( A ) na V . Protože složená funkce G  ∘  F mapuje A na V , axiom omezení velikosti znamená, že A je vlastní třída, která odporuje tomu, že A je množina. Proto F ( A ) je množina. Protože axiom nahrazení znamená axiom separace , axiom omezení velikosti implikuje axiom separace .

Von Neumann také dokázal, že jeho axiom naznačuje, že V lze dobře uspořádat . Důkaz začíná prokazováním rozporů, že Ord , třída všech pořadových čísel , je řádná třída. Předpokládejme, že Ord je množina. Protože je to tranzitivní množina, která je dobře uspořádána podle ∈, je to ordinální. Takže Ord  ∈  Ord , což je v rozporu s tím, že je Ord dobře seřazený ∈. Proto je řád správná třída. Tak von Neumannova axiom znamená, že existuje funkce F , která mapuje Obj na V. . Abychom definovali dobře uspořádané V , nechť G je podtřída F sestávající z uspořádaných párů (α,  x ), kde α je nejmenší β takové, že (β,  x ) ∈  F ; tj. G  = {(α,  x ) ∈  F  : ∀β ((β,  x ) ∈  F  ⇒ α ≤ β)}. Funkce G je korespondence jedna-na-jednu mezi podmnožinu Obj a V . Z tohoto důvodu, x  <  y , pokud G ^-1 (x) <  G ^-1 (y) definuje dobře uspořádání V . Toto dobře uspořádané definuje funkci globální volby : Nechť Inf  ( x ) je nejmenším prvkem neprázdné množiny x . Protože Inf  ( x ) ∈  x , tato funkce volí prvek x pro každou neprázdnou množinu x . Proto Inf  ( x ) je globální volba funkce, takže Von Neumann je axiom znamená axiom úplného výběru .

V roce 1968 Azriel Lévy dokázal, že von Neumannův axiom implikuje axiom sjednocení . Nejprve dokázal bez použití axiomu sjednocení, že každá množina řadových slov má horní hranici. Poté použil funkci, která mapuje Ord na V, aby dokázal, že pokud A je množina, pak ∪  A je množina.

Axiomy nahrazení, globální volby a spojení (s ostatními axiomy NBG ) znamenají axiom omezení velikosti. Tento axiom je tedy ekvivalentem kombinace nahrazení, globální volby a spojení v teorii množin NBG nebo Morse -Kelley . Tyto teorie množin pouze nahradily axiom nahrazení a formu zvoleného axiomu pro axiom omezení velikosti, protože von Neumannův axiomový systém obsahuje axiom sjednocení. Lévyho důkaz, že tento axiom je nadbytečný, přišel o mnoho let později.

Axiomy NBG s axiomem globální volby nahrazeným obvyklým axiomem volby neimplementují axiom omezení velikosti. V roce 1964 William B. Easton použil nutkání vybudovat model NBG s globální volbou nahrazenou axiomem volby. V Eastonově modelu nelze V lineárně uspořádat , takže ani dobře uspořádat. Axiom omezení velikosti proto v tomto modelu selhává. Ord je příkladem správné třídy, kterou nelze namapovat na V, protože (jak je uvedeno výše), pokud existuje funkce mapující Ord na V , pak V lze dobře uspořádat.

Axiomy NBG s axiomem nahrazení nahrazeným slabším axiomem oddělení neimplementují axiom omezení velikosti. Definujte jako desátý nekonečný počáteční pořadový list , který je zároveň kardinálem ; číslování začíná na, takže v roce 1939 Gödel poukázal na to, že L _{ω ω} , podmnožina konstruovatelného vesmíru , je modelem ZFC s nahrazením nahrazeným separací. Chcete -li jej rozšířit na model NBG s nahrazením nahrazeným separací, nechejte jeho třídy být množinami L _{ω ω+1} , což jsou konstruovatelné podmnožiny L _{ω ω} . Tento model splňuje axiomy existence třídy NBG, protože omezení nastavených proměnných těchto axiomů na L _{ω ω} vytváří instance axiomu separace, který platí v L. Splňuje axiom globální volby, protože existuje funkce patřící do L _{ω ω+ 1,} který mapuje ω _ω na L _{ω ω} , což znamená, že L _{ω ω} je dobře uspořádané. Axiom omezení velikosti selhává, protože vlastní třída {ω _n  :  n  ∈ ω} má mohutnost , takže ji nelze mapovat na L _{ω ω} , která má mohutnost . ${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ alpha}$ ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ omega _ {0} = \ omega.}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ omega}}$

V dopise Zermelovi z roku 1923 von Neumann uvedl první verzi svého axiomu: Třída je vlastní třídou právě tehdy, existuje-li mezi ní a V korespondence jeden na jednoho . Axiom omezení velikosti implikuje von Neumannův axiom z roku 1923. Z tohoto důvodu, to také znamená, že všechny správné třídy jsou equinumerous s V. .

Zermelovy modely a axiom omezení velikosti

V roce 1930 publikoval Zermelo článek o modelech teorie množin, ve kterém dokázal, že některé jeho modely splňují axiom omezení velikosti. Tyto modely jsou postaveny v ZFC pomocí kumulativní hierarchie V _α , která je definována transfinitní rekurzí :

1. V ₀  =  ∅ .
2. V _α+1  =  V _α  ∪  P ( V _α ). To znamená, že odbory z V. _alfa a jeho elektrického souboru .
3. Pro limit β: V _β  = ∪ _{α <β}  V _α . To znamená, že V _β je spojením předchozího V _α .

Zermelo pracoval s modely tvaru V _κ, kde κ je kardinál . Třídy modelu jsou podmnožiny z V. _mítK , a model je ∈-vztah je standardní ∈-vztah. Sady modelu jsou třídy X takové, že X ∈ V _κ . Zermelo identifikoval kardinály κ tak, že V _κ splňuje:

Věta 1. Třída X je množina právě tehdy, když | X | <κ.

Věta 2. | V _κ | = κ.

Protože každá třída je podmnožinou V _κ , věta 2 naznačuje, že každá třída X má mohutnost  ≤ κ. Kombinace s větou 1 dokazuje: každá správná třída má mohutnost κ. Každá správná třída tedy může být zařazena do korespondence jeden s jedním s V _κ . Tato korespondence je podmnožinou V _κ , jde tedy o třídu modelu. Axiom omezení velikosti tedy platí pro model V _κ .

Větu o tom, že V _κ má dobře uspořádané, lze dokázat přímo . Protože κ je pořadovým číslem mohutnosti κ a | V _κ | = κ, mezi κ a V _κ existuje vzájemná korespondence . Tato korespondence vytváří dobře uspořádané V _κ . Von Neumannův důkaz je nepřímý . Využívá paradox Burali-Forti, aby rozporem dokázal, že třída všech pořadových čísel je řádná třída. Axiom omezení velikosti tedy znamená, že existuje funkce, která mapuje třídu všech pořadových čísel na třídu všech množin. Tato funkce vytváří dobře uspořádané V _κ .

Model V _ω

Abychom prokázali, že věty 1 a 2 platí pro některé V _κ , nejprve dokážeme, že pokud sada patří k V _α, pak patří ke všem následujícím V _β , nebo ekvivalentně: V _α  ⊆  V _β pro α ≤ β. To dokazuje transfinitní indukce na β:

1. β = 0: V ₀  ⊆  V ₀ .
2. Pro β+1: Indukční hypotézou V _α  ⊆  V _β . Z tohoto důvodu, V _alfa  ⊆  V _β  ⊆  V _β  ∪  P ( V _β ) =  V _{β + 1} .
3. Pro limit β: Pokud α <β, pak V _α  ⊆ ∪ _{ξ <β}  V _ξ  =  V _β . Pokud α = β, pak V _α  ⊆  V _β .

Sety vstupují do kumulativní hierarchie prostřednictvím sady výkonu P ( V _β ) v kroku β+1. Budou potřeba následující definice:

Je -li x množina, hodnost ( x ) je nejmenší pořadové číslo β takové, že x  ∈  V _β+1 .

Supremum sady řadové A, označený sup A, je nejméně pořadový β tak, že α ≤ β pro všechny alfa ∈ A.

Zermelův nejmenší model je V _ω . Matematická indukce dokazuje, že V _n je konečná pro všechna n  <ω:

1. | V ₀ | = 0.
2. | V _{n +1} | = | V _n  ∪  P ( V _n ) | ≤ | V _n | + 2  ^{| V _n |} , který je konečný, protože V _n je konečný podle indukční hypotézy.

Důkaz věty 1: Sada X zadává V _ω přes P ( V _n ) pro nějaké n  <ω, takže X  ⊆  V _n . Protože V _n je konečný, X je konečný. A naopak : Pokud je třída X konečná, nechť N  = sup {pořadí ( x ):  x  ∈  X }. Protože pozice ( x ) ≤  N pro všechna x  ∈  X , máme X  ⊆  V _{N +1} , takže X  ∈  V _{N +2}  ⊆  V _ω . Proto X  ∈  V _ω .

Důkaz věty 2: V _ω je spojení spočitatelně nekonečně mnoha konečných množin rostoucí velikosti. Má tedy mohutnost , která se rovná ω podle von Neumannova kardinálního přiřazení . ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Množiny a třídy V _ω splňují všechny axiomy NBG kromě axiomu nekonečna .

Modely V _κ, kde κ je silně nepřístupný kardinál

K prokázání vět 1 a 2 pro V _ω byly použity dvě vlastnosti konečnosti :

1. Pokud λ je konečný kardinál, pak 2 ^λ je konečný.
2. Pokud A je množina pořadových čísel taková, že | A | je konečný a α je konečný pro všechny α ∈  A , pak sup  A je konečný.

Chcete -li najít modely splňující axiom nekonečna, nahraďte „konečný“ výrazem „<κ“ a vytvořte vlastnosti, které definují silně nepřístupné kardinály . Kardinál κ je silně nepřístupný, pokud κ> ω a:

1. Pokud λ je kardinál takový, že λ <κ, pak 2 ^λ  <κ.
2. Pokud A je množina pořadových čísel taková, že | A | <κ, a α <κ pro všechny α ∈  A , pak sup  A  <κ.

Tyto vlastnosti tvrdí, že κ nelze dosáhnout zdola. První vlastnost říká, že κ nelze dosáhnout pomocí mocninných sad; druhý říká, že κ nelze dosáhnout axiomem nahrazení. Stejně jako je pro získání ω vyžadován axiom nekonečna, je zapotřebí axiom k získání silně nepřístupných kardinálů. Zermelo postuloval existenci neomezeného sledu silně nepřístupných kardinálů.

Pokud je κ silně nepřístupný kardinál, pak transfinitní indukce dokazuje | V _α | <κ pro všechny α <κ:

1. α = 0: | V ₀ | = 0.
2. Pro α+1: | V _α+1 | = | V _α  ∪  P ( V _α ) | ≤ | V _α | + 2  ^{| V _α |}  = 2  ^{| V _α |}  <κ. Poslední nerovnost používá induktivní hypotézu a κ je silně nepřístupná.
3. Pro limit α: | V _α | = | ∪ _{ξ <α}  V _ξ | ≤ sup {| V _ξ | : ξ <α} <κ. Poslední nerovnost používá induktivní hypotézu a κ je silně nepřístupná.

Důkaz věty 1: Sada X zadává V _κ přes P ( V _α ) pro některé α <κ, takže X  ⊆  V _α . Od | V _α | <κ, získáme | X | <κ. A naopak: Pokud má třída X | X | <κ, ať β = sup {pořadí ( x ):  x  ∈  X }. Protože κ je silně nepřístupný, | X | <κ a rank ( x ) <κ pro všechna x  ∈  X znamená β = sup {rank ( x ):  x  ∈  X } <κ. Protože pozice ( x ) ≤ β pro všechna x  ∈  X , máme X  ⊆  V _β+1 , takže X  ∈  V _β+2  ⊆  V _κ . Proto X  ∈  V _κ .

Důkaz věty 2: | V _κ | = | ∪ _{α <κ}  V _α | ≤ sup {| V _α | : α <κ}. Nechť β je toto supremum. Protože každý pořadový údaj v supremu je menší než κ, máme β ≤ κ. Předpokládejme β <κ. Pak existuje kardinální λ takové, že β <λ <κ; například nechme λ = 2 ^{| β |} . Protože λ ⊆ V _λ a | V _λ | je v supremu, máme λ ≤ | V _λ | ≤ β. To je v rozporu s β <λ. Proto | V _κ | = β = κ.

Sady a třídy V _κ splňují všechny axiomy NBG.

Nauka o omezení velikosti

Omezení doktríny velikosti je heuristický princip, který se používá k ospravedlnění axiomů teorie množin. Vyhýbá se nastaveným teoretickým paradoxům omezením schématu axiomu úplného (protichůdného) porozumění:

${\ Displaystyle \ forall w_ {1}, \ ldots, w_ {n} \, \ existuje x \, \ forall u \, (u \ in x \ iff \ varphi (u, w_ {1}, \ ldots, w_ {n}))}$

na instance „, které nedávají sady„ příliš velké “než ty, které používají.“

Pokud „větší“ znamená „větší v základní velikosti“, pak lze většinu axiomů ospravedlnit: Axiom oddělení vytváří podmnožinu x, která není větší než x . Axiom nahrazení vytváří sadu obrázků f ( x ), která není větší než x . Axiom sjednocení vytváří sjednocení, jehož velikost není větší než velikost největší sady v sjednocení krát počet sad v unii. Axiom volby vytváří výběrovou sadu, jejíž velikost není větší než velikost dané sady neprázdných množin.

Nauka o omezení velikosti neospravedlňuje axiom nekonečna:

${\ Displaystyle \ existuje y \, [\ emptyset \ in y \, \ land \, \ forall x (x \ in y \ implies x \ cup \ {x \} \ in y)],}$

který používá prázdnou množinu a sady získané z prázdné množiny iterací ordinální nástupnické operace . Protože tyto sady jsou konečné, jakákoli množina splňující tento axiom, například ω, je mnohem větší než tyto sady. Fraenkel a Lévy považují za výchozí bod pro generování množin prázdnou množinu a nekonečnou množinu přirozených čísel , jejichž existence je implikována axiomy nekonečna a separace.

Von Neumannův přístup k omezování velikosti používá axiom omezení velikosti. Jak je uvedeno v § Důsledky axiomu , von Neumannův axiom implikuje axiomy oddělení, nahrazení, spojení a volby. Stejně jako Fraenkel a Lévy musel von Neumann do svého systému přidat axiom nekonečna, protože to nelze prokázat z jeho dalších axiomů. Rozdíly mezi von Neumannovým přístupem k omezování velikosti a Fraenkelovým a Lévyho přístupem jsou:

• Von Neumannův axiom vkládá do systému axiomu omezení velikosti, což umožňuje dokázat většinu nastavených axiomů existence. Omezení doktríny velikosti ospravedlňuje axiomy pomocí neformálních argumentů, které jsou otevřenější nesouhlasu než důkaz.
• Von Neumann předpokládal axiom setu síly, protože to nelze prokázat z jeho ostatních axiomů. Fraenkel a Lévy uvádějí, že omezení doktríny velikosti ospravedlňuje axiom množiny mocí.

Existuje neshoda v tom, zda omezení doktríny velikosti ospravedlňuje axiom množiny mocí. Michael Hallett analyzoval argumenty Fraenkela a Lévyho. Některé z jejich argumentů měří velikost jinými kritérii než základní velikostí - například Fraenkel zavádí „komplexnost“ a „rozšiřitelnost“. Hallett poukazuje na to, co považuje za nedostatky v jejich argumentech.

Hallett poté tvrdí, že výsledky teorie množin zřejmě naznačují, že neexistuje souvislost mezi velikostí nekonečné množiny a velikostí její mocenské sady. To by znamenalo, že omezení doktríny velikosti není schopno ospravedlnit axiom množiny mocí, protože vyžaduje, aby mocnina x nebyla „příliš velká“ než x . Pro případ, kdy je velikost měřena světovou velikostí, Hallett zmiňuje práci Paula Cohena . Počínaje modelem ZFC a Cohen postavený model, ve kterém mohutnost elektrického souboru? Je -li kofinál of není ω; jinak je jeho mohutnost . Protože mohutnost mocenské sady ω nemá žádnou mez, neexistuje vazba mezi základní velikostí ω a základní velikostí P (ω). ${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {\ alpha +1}}$

Hallett také pojednává o případu, kdy je velikost měřena „komplexností“, která považuje sbírku za „příliš velkou“, pokud má „neomezené porozumění“ nebo „neomezený rozsah“. Poukazuje na to, že u nekonečné množiny si nemůžeme být jisti, že máme všechny její podmnožiny, aniž bychom prošli neomezeným rozsahem vesmíru. Cituje také Johna L. Bella a Moshé Machovera : „... mocenská množina P ( u ) dané [nekonečné] množiny u je úměrná nejen velikosti u, ale také„ bohatství “celého vesmíru. ... “Po provedení těchto pozorování Hallett uvádí:„ Člověk je veden k podezření, že prostě neexistuje souvislost mezi velikostí (komplexností) nekonečného a a velikostí P ( a ). “

Hallett považuje omezení doktríny velikosti za cenné pro ospravedlnění většiny axiomů teorie množin. Jeho argumenty pouze naznačují, že nemůže ospravedlnit axiomy nekonečna a množiny moci. Dochází k závěru, že „von Neumannův explicitní předpoklad [o malosti mocenských sad] se zdá být vhodnější než Zermelův, Fraenkelův a Lévyho temně skrytý implicitní předpoklad o malosti mocenských souborů.“

Dějiny

Von Neumann vyvinul axiom omezení velikosti jako novou metodu identifikace množin. ZFC identifikuje sady prostřednictvím svých nastavených stavebních axiomů. Jak však upozornil Abraham Fraenkel : „Docela libovolný charakter procesů, které jsou v základu zvoleny v axiomech Z [ZFC], je odůvodněn spíše historickým vývojem teorie množin než logickými argumenty. "

Historický vývoj axiomů ZFC začal v roce 1908, kdy si Zermelo vybral axiomy, aby odstranil paradoxy a podpořil svůj důkaz dobře uspořádané věty . V roce 1922 Abraham Fraenkel a Thoralf Skolem poukázali na to, že Zermelovy axiomy nemohou prokázat existenci množiny { Z ₀ ,  Z ₁ ,  Z ₂ , ...} kde Z ₀ je množina přirozených čísel a Z _{n +1} je výkonová sada Z _n . Zavedli také axiom nahrazení, který zaručuje existenci této sady. Přidání axiomů podle potřeby nezaručuje existenci všech rozumných množin ani nevyjasňuje rozdíl mezi množinami, které lze bezpečně používat, a kolekcemi, které vedou k rozporům.

V dopise Zermelovi z roku 1923 von Neumann nastínil přístup k teorii množin, který identifikuje množiny, které jsou „příliš velké“ a mohou vést k rozporům. Von Neumann identifikoval tyto sady pomocí kritéria: „Sada je‚ příliš velká ‘právě tehdy, je -li ekvivalentní množině všech věcí.“ Poté omezil, jak lze tyto sady použít: „... aby se předešlo paradoxům, ty [sady], které jsou„ příliš velké “, jsou prohlášeny za nepřípustné jako prvky .“ Tím, že kombinuje toto omezení se svým kritériem, von Neumann získal první verzi axiom omezené velikosti, což v jazyce tříd stavů: Třída je pořádná třída tehdy a jen tehdy, pokud je equinumerous s V. . V roce 1925 Von Neumann upravil svůj axiom změnou „je to ekvivalentní s V  “ na „může být mapováno na V  “, což vytváří axiom omezení velikosti. Tato úprava umožnila von Neumannovi poskytnout jednoduchý důkaz axiomu nahrazení. Von Neumann je axiom identifikuje soupravy jako tříd, které nelze přiřadit do V. . Von Neumann si uvědomil, že i s tímto axiomem jeho teorie množin plně necharakterizuje množiny.

Gödel shledal von Neumannův axiom jako „velmi zajímavý“:

„Zejména se domnívám, že jeho [von Neumannova] nezbytná a dostatečná podmínka, kterou musí vlastnost splňovat, aby definovala množinu, je velmi zajímavá, protože vyjasňuje vztah axiomatické teorie množin k paradoxům. Že tato podmínka skutečně pochopení podstaty věcí je patrné ze skutečnosti, že implikuje axiom volby, který dříve stál zcela stranou od jiných existenciálních principů. pro mě nejen velmi elegantní, ale také velmi zajímavé z logického hlediska.Navíc věřím, že pouze dál v tomto směru, tj. ve směru opačném ke konstruktivismu , budou vyřešeny základní problémy abstraktní teorie množin . "

Poznámky

Reference

Bibliografie

• Bell, John L .; Machover, Moshé (2007), Kurz matematické logiky , Elsevier Science Ltd, ISBN 978-0-7204-2844-5.
• Bernays, Paul (1937), „A System of Axiomatic Set Theory — Part I“, The Journal of Symbolic Logic , 2 (1): 65–77, doi : 10.2307/2268862 , JSTOR  2268862.
• Bernays, Paul (1941), „A System of Axiomatic Set Theory — Part II“, The Journal of Symbolic Logic , 6 (1): 1–17, doi : 10.2307/2267281 , JSTOR  2267281.
• Bernays, Paul (1991), Axiomatická teorie množin , Dover Publications, ISBN 0-486-66637-9.
• Cohen, Paul (1966), Teorie množin a hypotéza kontinua , WA Benjamin, ISBN 978-0-486-46921-8.
• Easton, William B. (1964), Powers of Regular Cardinals (Ph.D. práce), Princeton University.
• Ferreirós, José (2007), Labyrint myšlenky: Historie teorie množin a její role v matematickém myšlení (2. přepracované vydání.), Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7.
• Fraenkel, Abraham (1922), "Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre" , Mathematische Annalen , 86 (3–4): 230–237, doi : 10,1007/bf01457986 , S2CID  122212740.
• Fraenkel, Abraham; Bar-Hillel, Yehoshua; Levy, Azriel (1973), Foundations of Set Theory (2. revidované vydání.), Basilej, Švýcarsko: Elsevier, ISBN 0-7204-2270-1.
• Gödel, Kurt (1939), „Důkaz konzistence pro hypotézu generalizovaného kontinua“ (PDF) , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America , 25 (4): 220–224, doi : 10,1073/pnas.25.4 .220 , PMC  1077751 , PMID  16588293.
• Gödel, Kurt (1940), Konzistence hypotézy kontinua , Princeton University Press.
• Hallett, Michael (1984), kantorská teorie množin a omezení velikosti , Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-853179-6.
• Kanamori, Akihiro (2003), „Stanislaw Ulam“ (PDF) , Solomon Feferman a John W. Dawson, Jr. (ed.), Kurt Gödel Collected Works, Volume V: Correspondence HZ , Clarendon Press, pp. 280–300 , ISBN 0-19-850075-0.
• Kelley, John L. (1955), General Topology , Van Nostrand, ISBN 978-0-387-90125-1.
• Kunen, Kenneth (1980), Teorie množin: Úvod do důkazů nezávislosti , Severní Holandsko, ISBN 0-444-86839-9.
• Levy, Azriel (1968), „On Von Neumann's Axiom System for Set Theory“, American Mathematical Monthly , 75 (7): 762–763, doi : 10,2307/2315201 , JSTOR  2315201.
• Mirimanoff, Dmitry (1917), „Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problems fundamentální de la theorie des ensembles“, L'Enseignement Mathématique , 19 : 37–52.
• Moore, Gregory H. (1982), Zermelo's Axiom of Choice: its Origins, Development, and Influence , Springer, ISBN 0-387-90670-3.
• Sierpiński, Wacław; Tarski, Alfred (1930), „Sur une propriété caractéristique des nombres neprístupné“ (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 15 : 292–300, doi : 10,4064/fm-15-1-292-300 , ISSN  0016-2736.
• Skolem, Thoralf (1922), „Einige Bemerkungen zur axiomatischen Begründung der Mengenlehre“, Matematikerkongressen i Helsingfors den 4-7 Juli, 1922 , s. 217–232.
  • Anglický překlad: van Heijenoort, Jean (1967b), „Některé poznámky k axiomatizované teorii množin“, From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, s. 290–301, ISBN 978-0-674-32449-7.
• von Neumann, John (1925), „Eine Axiomatisierung der Mengenlehre“ , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 154 : 219–240.
  • Anglický překlad: van Heijenoort, Jean (1967c), „An axiomatization of set theory“, From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, s. 393–413, ISBN 978-0-674-32449-7.
• von Neumann, John (1928), „Die Axiomatisierung der Mengenlehre“ , Mathematische Zeitschrift , 27 : 669–752, doi : 10,1007/bf01171122 , S2CID  123492324.
• Zermelo, Ernst (1908), „Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre“ , Mathematische Annalen , 65 (2): 261–281, doi : 10.1007/bf01449999 , S2CID  120085563.
  • Anglický překlad: van Heijenoort, Jean (1967a), „Vyšetřování základů teorie množin“, From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press, s. 199–215, ISBN 978-0-674-32449-7.
• Zermelo, Ernst (1930), „Über Grenzzahlen und Mengenbereiche: neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre“ (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 16 : 29–47, doi : 10,4064/fm-16-1-29-47.
  • Anglický překlad: Ewald, William B. (1996), „O hraničních číslech a doménách množin: nová šetření v základech teorie množin“, Od Immanuela Kanta k Davidovi Hilbertovi: Kniha pramenů v základech matematiky , Oxford University Press , s. 1208–1233, ISBN 978-0-19-853271-2.