BRST kvantizace - BRST quantization

V teoretické fyzice , v BRST formalismu , nebo BRST kvantizaci (kde BRST se vztahuje k poslednímu jmény Carlo Becchi , Alain Rouet  [ de ] , Raymond Stora a Igor Tyutin ) označuje relativně přísný matematický přístup ke kvantování na teorii pole s rozchodem symetrie . Kvantizační pravidla v dřívějších rámcích teorie kvantové pole (QFT) se více než důkazy podobaly „předpisům“ nebo „heuristice“, zejména v neabelovských QFT, kde je použití „ polí duchů “ s povrchně bizarními vlastnostmi z technických důvodů souvisejících s renormalizace a zrušení anomálií .

Globální supersymetrie BRST zavedená v polovině 70. let byla rychle pochopena pro racionalizaci zavedení těchto duchů Faddeev – Popov a jejich vyloučení z „fyzických“ asymptotických stavů při provádění výpočtů QFT. Podstatné je, že tato symetrie integrálu dráhy je zachována v pořadí smyček, a tak brání zavedení protikladů, které by mohly zkazit renormalizovatelnost měřicích teorií. Práce dalších autorů o několik let později spojila operátora BRST s existencí přísné alternativy k integrálům cest při kvantování teorie měřidla.

Teprve na konci 80. let, kdy byl QFT přeformulován do jazyka svazku vláken pro aplikaci na problémy v topologii nízkodimenzionálních variet ( topologická kvantová teorie pole ), vyšlo najevo, že BRST „transformace“ má zásadně geometrický charakter. V tomto světle se „kvantizace BRST“ stává více než alternativním způsobem, jak dosáhnout duchů s anomálií. Jde o jiný pohled na to, co představují pole duchů, proč funguje metoda Faddeev – Popov a jak souvisí s použitím hamiltonovské mechaniky ke konstrukci poruchového rámce. Vztah mezi invariancí měřidla a „BRST invariancí“ nutí volbu Hamiltonovského systému, jehož stavy jsou složeny z „částic“ podle pravidel známých z kanonického kvantizačního formalismu. Tato podmínka esoterické konzistence se tedy blíží vysvětlení toho, jak ve fyzice začínají kvantá a fermiony .

V určitých případech, zejména gravitaci a supergravitaci , musí být BRST nahrazen obecnějším formalismem, formálností Batalin – Vilkovisky .

Technické shrnutí

BRST kvantování je rozdíl geometrický přístup k provádění konzistentní a anomálie -Bezplatné poruchových výpočtů v non-abelian kalibrační teorie . Analytickou formu BRST „transformace“ a její význam pro renormalizaci a zrušení anomálií popsali Carlo Maria Becchi , Alain Rouet a Raymond Stora v sérii článků, které vyvrcholily v roce 1976 „Renormalizací teorií měřidla“. Ekvivalentní transformace a mnoho jejích vlastností byly nezávisle objeveny Igorem Viktorovichem Tyutinem . Jeho význam pro důsledné kanonické kvantování části teorie Yang-Mills a jeho správnou aplikaci na Fock prostoru okamžitých konfiguracích pole byly objasněny Taichiro Kugo a Izumi Ojima. Pozdější práce mnoha autorů, zejména Thomase Schückera a Edwarda Wittena , objasnila geometrický význam operátoru BRST a souvisejících oborů a zdůraznila jeho význam pro topologickou kvantovou teorii pole a teorii strun .

V přístupu BRST jeden vybírá perturbace příjemný upevňovací měřidlo postup pro princip akce o teorie měřidla pomocí diferenciální geometrie na měřidla svazku , na kterém teorie pole životy. Jeden pak kvantuje teorii, aby získal Hamiltonovský systém v interakčním obrazu takovým způsobem, že „nefyzikální“ pole zavedená procedurou fixace měřidla vyřeší anomálie měřidla, aniž by se objevily v asymptotických stavech teorie. Výsledkem je soubor Feynmanem pravidla pro použití v Dyson série poruchové rozšíření na S-matice , která je zárukou, že jednotný a renormalizable na každém , aby smyčky -V krátké, koherentní aproximační techniky pro provedení fyzických předpovědi o výsledcích rozptylu experimenty .

Klasický BRST

To souvisí s supersymplektickým varietou, kde jsou čisté operátory odstupňovány podle celkových čísel duchů a máme BRST cohomologii .

Gauge transformace v QFT

Z praktického hlediska se kvantová teorie pole skládá z akčního principu a sady postupů pro provádění poruchových výpočtů . Existují i ​​jiné druhy „kontrol rozumu“, které lze provést na základě kvantové teorie pole, aby se zjistilo, zda vyhovuje kvalitativním jevům, jako je uzavření kvarku a asymptotická svoboda . Většina prediktivních úspěchů teorie kvantového pole, od kvantové elektrodynamiky až po současnost, však byla kvantifikována porovnáním výpočtů S-matice s výsledky rozptylových experimentů.

V počátcích QFT by člověk musel říci, že kvantizační a renormalizační předpisy byly stejně součástí modelu jako Lagrangeova hustota , zvláště když se spoléhaly na silný, ale matematicky špatně definovaný integrální formalismus cesty . Rychle vyšlo najevo, že QED je ve své relativní přitažlivosti téměř „magický“ a že většina způsobů, jak by si člověk mohl představit jeho rozšíření, nepřinese racionální výpočty. Jedna třída teorií pole však zůstala slibná: teorie měřidel , ve kterých objekty v teorii představují třídy ekvivalence fyzikálně nerozeznatelných konfigurací pole, z nichž jakékoli dvě souvisejí transformací měřidla . Tím se zobecňuje myšlenka QED lokální změny fáze na komplikovanější Lieovu skupinu .

Samotný QED je teorie měřidel, stejně jako obecná teorie relativity , ačkoli ta se zatím ukázala jako odolná vůči kvantování z důvodů souvisejících s renormalizací. Další třída teorií měřidel s neabelovskou skupinou měřidel, počínaje teorií Yang – Mills , se stala přístupnou ke kvantování na konci 60. a na začátku 70. let, a to především díky práci Ludwiga D. Faddeeva , Victora Popova , Bryce DeWitta a Gerardus 't Hooft . Pracovat s nimi však bylo až do zavedení metody BRST velmi obtížné. Metoda BRST poskytla výpočtové techniky a důkazy renormalizovatelnosti potřebné k získání přesných výsledků jak z „nepřerušených“ teorií Yang – Mills, tak z těch, ve kterých Higgsův mechanismus vede k spontánnímu porušení symetrie . Zástupci těchto dvou typů Yang-Mills systémy- kvantová chromodynamika a elektroslabá teorie -appear ve standardním modelu z částicové fyziky .

Ukázalo se, že je mnohem obtížnější prokázat existenci neabelovské kvantové teorie pole v pečlivém smyslu, než získávat přesné předpovědi pomocí semi-heuristických výpočtových schémat. Je to proto, že analýza teorie kvantového pole vyžaduje dva matematicky propojené pohledy: Lagrangeův systém založený na akčním funkcionálu , složený z polí s odlišnými hodnotami v každém bodě časoprostoru a místních operátorů, kteří na ně působí, a Hamiltonovský systém na Diracově obrázku , složený ze států, které charakterizují celý systém v daném čase, a operátorů v terénu, kteří na ně působí. To, co je v teorii měřidla tak obtížné, je to, že objekty teorie nejsou ve skutečnosti lokální pole v časoprostoru; jsou to pravá invariantní místní pole na svazku hlavních rozchodů a různé místní úseky přes část svazku rozchodů, spojené pasivními transformacemi, vytvářejí různé Dirac obrázky.

Popis systému jako celku ve formě sady polí navíc obsahuje mnoho nadbytečných stupňů volnosti; zřetelné konfigurace teorie jsou ekvivalenční třídy polních konfigurací, takže dva popisy, které spolu souvisejí pomocí transformace měřidla, jsou také ve skutečnosti stejnou fyzickou konfigurací. „Řešení“ kvantované teorie měřidel neexistují v přímém prostoru polí s hodnotami v každém bodě časoprostoru, ale v kvocientovém prostoru (nebo kohomologii ), jehož prvky jsou třídami ekvivalence konfigurací polí. Ve formalitě BRST se skrývá systém pro parametrizaci variací spojených se všemi možnými aktivními transformacemi měřidel a správné zohlednění jejich fyzické irelevance během převodu Lagrangeova systému na Hamiltonovský systém.

Teorie kalibrace a poruchy

Princip invariance měřidel je nezbytný pro konstrukci proveditelné kvantové teorie pole. Obecně však není možné provést poruchový výpočet v teorii měřidla, aniž bychom nejprve „stanovili měřidlo“ - přidáním podmínek k Lagrangeově hustotě akčního principu, který „rozbíjí symetrii měřidla“, aby tyto „nefyzické“ stupně svobody potlačil. Myšlenka upevnění měřidla se vrací k Lorenzovu měřidlu, které přibližuje elektromagnetismus, který potlačuje většinu nadměrných stupňů volnosti ve čtyřech potenciálech při zachování zjevné Lorentzovy invariance . Lorenzův rozchod je velkým zjednodušením v porovnání s Maxwellovým polním přístupem ke klasické elektrodynamice a ilustruje, proč je užitečné zabývat se nadměrnými stupni volnosti v reprezentaci objektů v teorii v Lagrangeově fázi, než přejdeme na Hamiltonian mechaniky prostřednictvím transformace Legendre .

Hamiltoniánská hustota souvisí s Lieovým derivátem Lagrangeovy hustoty vzhledem k jednotkovému horizontálnímu vektorovému poli na svazku měřidel. V kvantově mechanickém kontextu je obvykle škálován faktorem . Jeho integrace po částech přes vesmírný průřez obnoví podobu integrantu známého z kanonické kvantizace . Protože definice Hamiltonian zahrnuje jednotkové časové pole vektoru v základním prostoru, vodorovný výtah do prostoru svazku a prostorový povrch „normální“ (v metrice Minkowski ) do jednotkového časového vektorového pole v každém bodě základny potrubí, závisí jak na připojení, tak na volbě Lorentzova rámce a zdaleka není globálně definován. Je to však základní složka v rušivém rámci teorie kvantového pole, do kterého vstupuje kvantizovaný Hamiltonian prostřednictvím Dysonovy řady . ${\ displaystyle i \ hbar}$

Pro perturbativní účely shromáždíme konfiguraci všech polí naší teorie na celém trojrozměrném vodorovném prostorovém průřezu P do jednoho objektu ( stav Fock ) a poté pomocí „ interakční obrázek . Fockův prostor se kalibruje pomocí multi-částic eigenstates v „unperturbed“ nebo „non-interakce“ část z hamiltoniánu . Okamžitý popis libovolného Fockova stavu je tedy souhrnem vlastních amplitudově vážených součtů . Na obrázku interakce dáváme do souvislosti Fockovy stavy v různých časech tím, že předepisujeme, že každý vlastní stav neporušeného Hamiltoniana zažívá konstantní rychlost fázové rotace úměrnou jeho energii (odpovídající vlastní hodnota neporušeného Hamiltonian). ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0}}$

Proto se v aproximaci nultého řádu sada vah charakterizujících Fockův stav v průběhu času nemění, ale odpovídající konfigurace pole ano. Při vyšších aproximacích se také mění váhy; Colliderovy experimenty ve fyzice vysokých energií znamenají měření rychlosti změny těchto vah (nebo spíše jejich integrálů přes distribuce představující nejistotu v počátečních a konečných podmínkách události rozptylu). Řada Dyson zachycuje účinek nesrovnalosti mezi skutečným hamiltoniánem ve formě výkonové řady ve vazebné konstantě g ; je to hlavní nástroj pro vytváření kvantitativních předpovědí z kvantové teorie pole. ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

K použití řady Dyson k výpočtu čehokoli je potřeba více než Lagrangeova hustota invariantní k měřidlu; jeden také potřebuje kvantizační a kalibrační předpisy, které vstupují do Feynmanových pravidel teorie. Série Dyson produkuje nekonečné integrály různých druhů, když jsou aplikovány na hamiltonián konkrétního QFT. Je to částečně proto, že všechny dosud použitelné kvantové teorie polí musí být považovány za efektivní teorie polí , které popisují pouze interakce na určitém rozsahu energetických stupnic, které můžeme experimentálně zkoumat, a proto jsou citlivé na ultrafialové divergence . Ty jsou tolerovatelné, pokud je lze zvládnout pomocí standardních technik renormalizace ; nejsou tak tolerovatelné, když vedou k nekonečné sérii nekonečných renormalizací nebo, hůře, k zjevně nefyzické předpovědi, jako je anomálie nezrušeného měřidla . Mezi renormalizovatelností a invariancí měřidla existuje hluboký vztah, který se během pokusů o získání přijatelných Feynmanových pravidel stanovením měřidla snadno ztratí.

Před BRST přístupy k upevnění měřidla

Tradiční předpisy pro upevnění měřidla elektrodynamiky kontinua vybírají jedinečného zástupce z každé třídy ekvivalence související s transformací měřidla pomocí omezující rovnice , jako je Lorenzův měřidlo . Tento druh předpisu lze aplikovat na Abelianovu teorii měřidla, jako je QED , ačkoli má za následek určité potíže s vysvětlením, proč Wardovy identity klasické teorie přecházejí do kvantové teorie - jinými slovy, proč Feynmanovy diagramy obsahující vnitřní podélně polarizované virtuální fotony nepřispívají k výpočtům S-matice . Tento přístup také dobře nezobecňuje neabelovské měřicí skupiny , jako je SU (2) Yang-Mills a teorie elektroslabých a SU (3) kvantové chromodynamiky . Trpí Gribovovými nejasnostmi a obtížností definovat omezení upevnění měřidla, které je v určitém smyslu „kolmé“ na fyzicky významné změny v konfiguraci pole. ${\ displaystyle \ částečné ^ {\ mu} A _ {\ mu} = 0}$

Sofistikovanější přístupy se nepokoušejí aplikovat omezení funkce delta na stupně volnosti transformace měřidla. Namísto „upevnění“ měřidla na konkrétní „omezující povrch“ v konfiguračním prostoru je možné prolomit svobodu měřidla dalším, nemagneticky neměnným termínem přidaným k Lagrangeově hustotě. Aby se reprodukovaly úspěchy upevnění měřidla, je tento pojem zvolen jako minimální pro výběr měřidla, které odpovídá požadovanému omezení, a kvadraticky závisí na odchylce měřidla od omezujícího povrchu. Aproximací stacionární fáze, na které je založen integrál Feynmanovy cesty , bude dominantní příspěvek k poruchovým výpočtům pocházet z konfigurací polí v sousedství omezujícího povrchu.

Poruchová expanze spojená s tímto Lagrangeovým, používající metodu funkční kvantizace , se obecně označuje jako R _ξ měřidlo. Snižuje to v případě Abelianova měřidla U (1) na stejnou sadu Feynmanových pravidel, která se získá v metodě kanonické kvantizace . Existuje však důležitý rozdíl: svoboda zlomeného rozchodu se ve funkčním integrálu objevuje jako další faktor v celkové normalizaci. Tento faktor lze vytáhnout z perturbativní expanze (a ignorovat), když příspěvek k Lagrangeově poruchám podél měřicích stupňů volnosti je nezávislý na konkrétní konfiguraci „fyzického“ pole. Toto je podmínka, která neplatí pro neabelovské skupiny měřidel. Pokud někdo ignoruje problém a pokusí se použít Feynmanova pravidla získaná z „naivní“ funkční kvantizace, zjistí, že jeho výpočty obsahují neodstranitelné anomálie.

Problém poruchových výpočtů v QCD byl vyřešen zavedením dalších polí známých jako duchové Faddeev – Popov , jejichž příspěvek k Lagrangeovým pevným měřidlům kompenzuje anomálii zavedenou spojením „fyzických“ a „nefyzikálních“ poruch neabelského měřidla pole. Z hlediska funkční kvantizace tvoří „nefyzické“ poruchy konfigurace pole (transformace měřidla) podprostor prostoru všech (nekonečně malých) poruch; v neabelovském případě závisí vložení tohoto podprostoru do většího prostoru na konfiguraci, kolem které dochází k narušení. Duch termín v lagrangiánu představuje funkční determinant z Jacobian tohoto zabudování, a vlastnosti pole duchů jsou diktovány exponentem požadované na determinant za účelem opravy funkční opatření na zbývajících „fyzické“ perturbace os.

Matematický přístup k BRST

BRST konstrukce se vztahuje k situaci, kdy se hamiltonovské působení kompaktního, připojené Lie skupina G na fázový prostor M . Nechť je Lieova algebra G a běžná hodnota momentové mapy . Pojďme . Předpokládejme, že G -action na M ₀ je volný a správné, a považují prostor z G -orbits na M ₀ , který je také známý jako symplektické redukční kvocientu . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle 0 \ v {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ Phi: M \ až {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$${\ displaystyle M_ {0} = \ Phi ^ {- 1} (0)}$${\ displaystyle {\ widetilde {M}} = M_ {0} / G}$${\ displaystyle {\ widetilde {M}} = M // G}$

Za prvé, použití běžného posloupnost funkcí definujících M ₀ uvnitř M , vytvořit komplex Koszul

${\ displaystyle \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} \ další C ^ {\ infty} (M).}$

Diferenciální, δ, v tomto komplexu je liché C ^∞ ( M ) -lineární odvození odstupňované C ^∞ ( M ) algebra . Tento zvláštní odvození je definována rozšířením Lež algebry homomorphim o hamiltonovské akce . Výsledný Koszulův komplex je Koszulův komplex -modulu C ^∞ ( M ), kde je symetrická algebra , a struktura modulu pochází z kruhového homomorfismu vyvolaného hamiltonovskou akcí . ${\ displaystyle \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} \ další C ^ {\ infty} (M)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ do C ^ {\ infty} (M)}$${\ displaystyle S ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle S ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle S ({\ mathfrak {g}}) \ do C ^ {\ infty} (M)}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ do C ^ {\ infty} (M)}$

Tento komplex Koszul je rozlišením -modulu , tj. ${\ displaystyle S ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle C ^ {\ infty} (M_ {0})}$

${\ displaystyle H ^ {j} (\ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} \ otimes C ^ {\ infty} (M), \ delta) = {\ start {případů} C ^ {\ infty } (M_ {0}) & j = 0 \\ 0 & j \ neq 0 \ end {případy}}}$

Zvažte komplex řetězců Chevalley-Eilenberg pro komplex Koszul považovaný za dg modul nad Lieovou algebrou : ${\ displaystyle \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} \ další C ^ {\ infty} (M)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle K ^ {\ cdot, \ cdot} = C ^ {\ cdot} \ vlevo ({\ mathfrak {g}}, \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} \ otimes C ^ {\ infty} (M) \ right) = \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} ^ {*} \ otimes \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} \ otimes C ^ {\ infty } (M).}$

"Horizontální" rozdíl je definován na koeficientech ${\ displaystyle d: K ^ {i, \ cdot} \ do K ^ {i + 1, \ cdot}}$

${\ displaystyle \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} \ další C ^ {\ infty} (M)}$

působením a dále jako vnější derivace pravo-invariantních diferenciálních forem na Lieovu skupinu G , jejíž Lieova algebra je . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ Lambda ^ {\ cdot} {\ mathfrak {g}} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Nechť Tot ( K ) je takový komplex

${\ displaystyle \ operatorname {Tot} (K) ^ {n} = \ bigoplus \ nolimits _ {ij = n} K ^ {i, j}}$

s rozdílem D  =  d  + δ. Skupiny kohomologie (Tot ( K ),  D ) se počítají pomocí spektrální sekvence spojené s dvojitým komplexem . ${\ displaystyle (K ^ {\ cdot, \ cdot}, d, \ delta)}$

První člen spektrální sekvence počítá cohomologii "vertikálního" diferenciálu δ:

${\ displaystyle E_ {1} ^ {i, j} = H ^ {j} (K ^ {i, \ cdot}, \ delta) = \ Lambda ^ {i} {\ mathfrak {g}} ^ {*} \ otimes C ^ {\ infty} (M_ {0})}$, pokud j = 0 a jinak nula.

První člen spektrální sekvence lze interpretovat jako komplex vertikálních diferenciálních forem

${\ displaystyle (\ Omega _ {\ operatorname {vert}} ^ {\ cdot} (M_ {0}), d _ {\ operatorname {vert}})}$

pro svazek vláken . ${\ displaystyle M_ {0} \ to {\ widetilde {M}}}$

Druhý člen spektrální sekvence vypočítává kohomologii „horizontálního“ rozdílu d na : ${\ displaystyle E_ {1} ^ {\ cdot, \ cdot}}$

${\ displaystyle E_ {2} ^ {i, j} \ cong H ^ {i} (E_ {1} ^ {\ cdot, j}, d) = C ^ {\ infty} (M_ {0}) ^ { g} = C ^ {\ infty} ({\ widetilde {M}})}$, pokud a jinak nula.${\ displaystyle i = j = 0}$

Spektrální sekvence se zhroutí na druhém členu, takže se koncentruje v nulovém stupni. ${\ displaystyle E _ {\ infty} ^ {i, j} = E_ {2} ^ {i, j}}$

Proto,

${\ displaystyle H ^ {p} (\ operatorname {Tot} (K), D) = C ^ {\ infty} (M_ {0}) ^ {g} = C ^ {\ infty} ({\ widetilde {M }})}$, pokud p = 0 a 0 jinak.

Operátor BRST a asymptotický Fockův prostor

Jsou třeba dvě důležité poznámky o operátorovi BRST. Nejprve místo práce se skupinou měřidel G lze použít pouze působení algebry měřidla na pole (funkce ve fázovém prostoru). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Za druhé, změna jakéhokoliv „BRST přesné formě “ s _B X, s ohledem na místní rozchod transformace d λ je

${\ displaystyle \ left [i _ {\ delta \ lambda}, s_ {B} \ right] s_ {B} X = i _ {\ delta \ lambda} (s_ {B} s_ {B} X) + s_ {B} \ left (i _ {\ delta \ lambda} (s_ {B} X) \ right) = s_ {B} \ left (i _ {\ delta \ lambda} (s_ {B} X) \ right),}$

což je samo o sobě přesná forma.

Ještě důležitější pro hamiltonovský perturbativní formalismus (který se neprovádí na svazku vláken, ale na místní části), přidání BRST přesného termínu k invariantní Lagrangeově hustotě měřidla zachovává vztah s _B X  = 0. Jak uvidíme, toto znamená, že existuje související operátor Q _B na stavovém prostoru, pro který -ie, operátor BRST na Fock stavů je konzervovaným náboj na Hamiltonian systému . To znamená, že operátor evoluce času ve výpočtu řady Dyson nebude vyvíjet konfiguraci pole, která bude poslouchat do pozdější konfigurace s (nebo naopak). ${\ displaystyle [Q_ {B}, {\ mathcal {H}}] = 0}$${\ displaystyle Q_ {B} | \ Psi _ {i} \ rangle = 0}$${\ displaystyle Q_ {B} | \ Psi _ {f} \ rangle \ neq 0}$

Dalším způsobem, jak nahlížet na nilpotenci operátora BRST, je říci, že jeho obraz (prostor přesných forem BRST ) leží zcela v jeho jádře (prostor uzavřených forem BRST ). („Pravý“ Lagrangian, o kterém se předpokládá, že je invariantní při transformacích místního rozchodu, je v jádře operátoru BRST, ale ne v jeho obrazu.) Předchozí argument říká, že můžeme omezit náš vesmír počátečních a konečných podmínek na asymptotické „stavy“ „- polní konfigurace v časově blízkém nekonečnu, kde je Lagrangeova interakce„ vypnuta “- leží v jádře Q _B a stále získávají jednotnou rozptylovou matici. (BRST uzavřené a přesné stavy jsou definovány podobně jako BRST uzavřená a přesná pole; uzavřené stavy jsou zničeny Q _B , zatímco přesné stavy jsou ty, které lze získat aplikací Q _B na libovolnou konfiguraci libovolného pole.)

Můžeme také potlačit stavy, které leží uvnitř obrazu Q _B, když definujeme asymptotické stavy naší teorie - ale uvažování je trochu jemnější. Jelikož jsme předpokládali, že „skutečný“ Lagrangian naší teorie je invariant měřidla, jsou skutečné „stavy“ našeho Hamiltonovského systému třídami ekvivalence v rámci transformace místního měřidla; jinými slovy, dva počáteční nebo konečné stavy v hamiltonovském obrázku, které se liší pouze přesným stavem BRST, jsou fyzicky ekvivalentní. Použití předpisu pro překonání přesného rozchodu BRST však nezaručuje, že interakce Hamiltonian zachová jakýkoli konkrétní podprostor konfigurací uzavřeného pole, který můžeme nazvat „ortogonální“ do prostoru přesných konfigurací. (Toto je zásadní bod, který se v učebnicích QFT často špatně zpracovává. Neexistuje žádný apriorní vnitřní produkt na polních konfiguracích zabudovaných do principu akce; takový vnitřní produkt konstruujeme jako součást našeho hamiltonovského poruchového aparátu.)

Zaměřujeme se proto na vektorový prostor uzavřených konfigurací BRST v konkrétním čase se záměrem převést jej do Fockova prostoru mezilehlých stavů vhodných pro hamiltonovskou poruchu. Za tímto účelem jej vybavíme operátory žebříku pro eigenkonfigurace (částice) energie-hybnosti každého pole, doplněné příslušnými (anti) komutačními pravidly a také pozitivním semi-definitivním vnitřním součinem . Požadujeme, aby vnitřní produkt byl pozoruhodný pouze ve směrech, které odpovídají BRST přesné eigenstates na unperturbed hamiltoniánu. Tím je zajištěno, že si člověk může ze dvou tříd ekvivalence konfigurací asymptotického pole, které odpovídají konkrétním počátečním a konečným vlastním stavům (nepřerušeného) Hamiltonianova pole s volným polem, svobodně vybrat jakoukoli dvojici uzavřených FST stavů, které se nám líbí.

Požadované kvantizační recepty také poskytnou kvocient Fockova prostoru izomorfní s BRST cohomologií , ve kterém je každá uzavřená třída ekvivalence BRST přechodných stavů (lišící se pouze přesným stavem) reprezentována právě jedním státem, který neobsahuje žádné kvantity přesných polí BRST . Toto je Fockův prostor, který chceme pro asymptotické stavy teorie; i když obecně nebudeme úspěšní při výběru konkrétní konfigurace konečného pole, na kterou by Lagrangeova dynamika fixovaná měřidlem vyvinula tuto počáteční konfiguraci, singularita vnitřního produktu podél BRST přesných stupňů volnosti zajišťuje, že dostaneme správné vstupy pro matice fyzického rozptylu.

(Ve skutečnosti bychom pravděpodobně měli budovat Kerinův prostor pro BRST-uzavřené přechodné stavy Fock, přičemž operátor obrácení času hraje roli „základní symetrie“ vztahující se k Lorentzově invariantním a pozitivním semi-definitivním vnitřním produktům. Asymptotický stav prostor je pravděpodobně Hilbertův prostor získaný kvocicí BRST přesných stavů z tohoto prostoru Kerin.)

Stručně řečeno, žádné pole zavedené jako součást postupu upevnění měřidla BRST se neobjeví v asymptotických stavech teorie měřidla. To však neznamená, že bychom se mohli obejít bez těchto „nefyzikálních“ polí v přechodných stavech poruchového výpočtu! Je to proto, že v interakčním obrázku se provádějí rušivé výpočty . Implicitně zahrnují počáteční a konečný stav neinterakčního hamiltoniánu , který se postupně transformuje na stavy úplného hamiltoniánu v souladu s adiabatickou větou „zapnutím“ interakčního hamiltoniánu (vazba měřidla). Expanze Dyson série z hlediska Feynman diagramy bude obsahovat vrcholy, které spojují „fyzické“ částic (ty, které se mohou objevit v asymptotických státech volným hamiltoniánu) do polohy „unphysical“ částic (stavy polí, že žít mimo jádro z y _B nebo uvnitř obrazu z y _B ) a vrcholy že pár „unphysical“ částic k sobě. ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {0}}$

Kugo – Ojima odpovídá na otázky unitarity

T. Kugo a I. Ojima jsou obecně připočítáni s objevem hlavního kritéria QCD pro omezení barev . Méně oceňována je jejich role při získávání správné verze BRST formalismu v Lagrangeově rámci. Je poučné zkontrolovat jejich variantu transformace BRST , která zdůrazňuje hermitovské vlastnosti nově zavedených polí, než bude pokračovat ze zcela geometrického úhlu. Pevná Lagrangeova hustota měřidla je níže; dva termíny v závorkách tvoří spojku mezi sektory měřidla a duch a poslední termín stává Gaussian vážení pro funkční opatření na pomocné pole B .

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} _ {\ textrm {matter}} (\ psi, \, A _ {\ mu} ^ {a}) - {\ tfrac {1} { 4}} F _ {\ mu \ nu} ^ {a} F ^ {a, \, \ mu \ nu} - (i (\ částečné ^ {\ mu} {\ bar {c}} ^ {a}) D_ {\ mu} ^ {ab} c ^ {b} + (\ částečné ^ {\ mu} B ^ {a}) A _ {\ mu} ^ {a}) + {\ tfrac {1} {2}} \ alpha _ {0} B ^ {a} B ^ {a}}$

Faddeev-Popov duch pole c je jedinečný mezi novými oblastech našeho rozchodu fixované teorie v tom, že geometrický význam nad rámec formálních požadavků týkajících se postupu BRST. Jedná se o verzi formy Maurer-Cartan na , která se týká každé vertikální vektorové pole, pravý invariantní jeho zastoupení (až do fáze), jako cenil pole. Toto pole musí vstoupit do vzorců pro nekonečně malé transformace měřidla na objektech (jako jsou fermiony ψ, bosony měřidla A _μ a samotný duch c ), které nesou netriviální zastoupení skupiny měřidel. Transformace BRST vzhledem k δλ je tedy: ${\ displaystyle V {\ mathfrak {E}}}$${\ displaystyle \ delta \ lambda \ ve V {\ mathfrak {E}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ delta \ psi _ {i} & = \ delta \ lambda D_ {i} c \\\ delta A _ {\ mu} & = \ delta \ lambda D _ {\ mu} c \ \\ delta c & = - \ delta \ lambda {\ tfrac {g} {2}} [c, c] \\\ delta {\ bar {c}} & = i \ delta \ lambda B \\\ delta B & = 0 \ end {zarovnáno}}}$

Zde jsme vynechali podrobnosti sektoru hmoty ψ a ponechali jsme na něm formu Wardova operátoru nespecifikovanou; ty jsou nedůležité, pokud je zastoupení algebry měřidla na polích hmoty v souladu s jejich vazbou na δ A _μ . Vlastnosti ostatních polí, která jsme přidali, jsou v zásadě analytické než geometrické. Předpětí, které jsme zavedli ke spojům, je závislé na rozchodu a nemá žádný zvláštní geometrický význam. Anti-duch není nic jiného než Lagrangeův multiplikátor pro člen upevňující měřidlo a vlastnosti skalárního pole B jsou zcela diktovány vztahem . (Všechna nová pole jsou v kongresech Kugo – Ojima hermitská, ale parametr δλ je antihermitský „anti-dojíždějící c- číslo “. To má za následek nějakou zbytečnou trapnost s ohledem na fáze a předávání nekonečně malých parametrů operátory; to bude být vyřešen změnou konvencí v geometrickém zpracování níže.) ${\ displaystyle \ částečné ^ {\ mu} A _ {\ mu} = 0}$${\ displaystyle {\ bar {c}}}$${\ displaystyle \ delta {\ bar {c}} = i \ delta \ lambda B}$

Ze vztahu operátora BRST k externímu derivátu a ducha Faddeev – Popov k formě Maurer – Cartan již víme, že duch c odpovídá (až do fáze) 1-hodnotné hodnotě . Aby integrace termínu mohla mít smysl, musí anti-duch nést reprezentace těchto dvou Lieových algeber - vertikální ideál a algebra měřidla - v porovnání s těmi, které nese duch. V geometrických termínech, musí být fiberwise dvojí k a o jeden stupeň krátké bytí top formu na . Podobně pomocné pole B musí nést stejné zastoupení (až do fáze) jako , stejně jako zastoupení dvojího a jeho triviálního zastoupení na A _μ —ie, B je vlákno- duální horní forma na . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V {\ mathfrak {E}}}$${\ displaystyle -i (\ částečné ^ {\ mu} {\ bar {c}}) D _ {\ mu} c}$${\ displaystyle {\ bar {c}}}$${\ displaystyle V {\ mathfrak {E}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ bar {c}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V {\ mathfrak {E}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ bar {c}}}$${\ displaystyle V {\ mathfrak {E}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V {\ mathfrak {E}}}$

Zaměřme se krátce na jednočásticové stavy teorie, v adiabaticky oddělené mezní hodnotě g  → 0. Ve Fockově prostoru měřidla fixovaného Hamiltonianu existují dva druhy kvant, o kterých se domníváme, že budou ležet zcela mimo jádro Operátor BRST: ti anti-duch Faddeev – Popov a boson předního polarizovaného měřidla. Je to proto, že žádná kombinace polí, která obsahuje, není zničena s _B a přidali jsme k Lagrangeově členu zlomový člen měřidla, který se rovná divergenci k ${\ displaystyle {\ bar {c}}}$${\ displaystyle {\ bar {c}}}$

${\ displaystyle s_ {B} \ left ({\ bar {c}} \ left (i \ částečné ^ {\ mu} A _ {\ mu} - {\ tfrac {1} {2}} \ alpha _ {0} s_ {B} {\ bar {c}} \ vpravo) \ vpravo).}$

Stejně tak existují dva druhy kvant, které budou ležet zcela v obrazu operátora BRST: ty z Faddeev – Popovova ducha c a skalární pole B , které se „pojí“ doplněním čtverce ve funkčním integrálu, aby se stal dozadu polarizovaný boson měřidla. Jedná se o čtyři typy „nefyzických“ kvant, které se neobjeví v asymptotických stavech poruchového výpočtu - pokud si správně nastavíme pravidla kvantizace.

Anti-duch je považován za Lorentzův skalár kvůli Poincarého invariance v . Jeho (anti-) komutační zákon ve vztahu k c --ie, jeho kvantizační předpis, který ignoruje teorém o statistice spinů tím, že dává Fermi – Dirac statistiku částice spin-0 - bude dán požadavkem, aby vnitřní produkt na náš Fockův prostor asymptotických stavů je singulární ve směrech odpovídajících operátorům zvedání a spouštění nějaké kombinace ne-BRST-uzavřených a BRST-přesných polí. Toto poslední tvrzení je klíčem k „BRST kvantizaci“, na rozdíl od pouhé „BRST symetrie“ nebo „BRST transformace“. ${\ displaystyle -i (\ částečné ^ {\ mu} {\ bar {c}}) D _ {\ mu} c}$

(Je třeba vyplnit v jazyce BRST cohomology s odkazem na léčbu asymptotickým Fockovým prostorem pomocí Kugo-Ojima.)

Měřicí svazky a vertikální ideál

Abychom dosáhli spravedlnosti metodou BRST, musíme přejít z obrazu „algebry s hodnotou pole v Minkowského prostoru“, který je typický pro texty kvantové teorie pole (a pro výše uvedenou expozici), na jazyk svazků vláken , ve kterém jsou dva zcela různé způsoby, jak se podívat na transformaci manometru: jako změna lokální části (také známý v obecné relativity jako pasivní transformace ) nebo jako stáhnout zpět konfigurace pole podél vertikální difeomorfismus z hlavního svazku . Je to druhý druh transformace měřidla, který vstupuje do metody BRST. Na rozdíl od pasivní transformace je globálně dobře definovaná na hlavním svazku s jakoukoli strukturní skupinou přes libovolné potrubí. (Kvůli konkrétnosti a důležitosti pro konvenční QFT se však tento článek bude zabývat případem svazku hlavních měřidel s kompaktním vláknem přes 4rozměrný Minkowského prostor.)

Hlavní tlakoměr svazek P přes 4-potrubí M je lokálně isomorfní U  x  F , kde U  ⊂  R ⁴ a vlákna F je izomorfní s Lie skupiny G je skupina měřidla teorie pole (je to izomorfismus potrubí struktury, nikoli skupinové struktury; v P neexistuje žádný speciální povrch odpovídající 1 v G , takže je vhodnější říci, že vlákno F je G - torzor ). Tedy svazek (fyzického) hlavního rozchodu souvisí s (matematickým) hlavním G-svazkem, ale má více struktury. Jeho nejzákladnější vlastností jako svazku vláken je „projekce do základního prostoru“ π:  P  →  M , která definuje „vertikální“ směry na P (ty, které leží uvnitř vlákna π ⁻¹ ( p ) přes každý bod p v M ). Jako měřidlo svazek Má levé působení z G na P , který respektuje vláknitou strukturu, a jako hlavní svazek , že má také správnou činnost z G na P , který také respektuje strukturu vláken a dojíždí s levou akce.

Levá akce skupiny struktur G na P odpovídá pouhé změně souřadného systému na jednotlivém vlákně. (Globální) správná akce R _g  :  P  →  P pro fixní g v G odpovídá skutečnému automorfismu každého vlákna, a tedy i mapě P pro sebe. Aby se P kvalifikoval jako hlavní G- svazek, musí být globální pravá akce každého g v G automorfismem s ohledem na rozmanitou strukturu P s hladkou závislostí na g —ie, difeomorfismus P  ×  G  →  P .

Existence globálního pravé působení struktury skupiny vybírá speciální třídy pravých invariantních geometrických objektů na P -those které se nemění, když se zdvihne podél R _g pro všechny hodnoty g v G . Nejvýznamnějším hned neměnné objekty na hlavním svazku jsou správné neměnný vektorová pole , které tvoří ideální na lži algebry z nekonečně difeomorfismus na P . Tato vektorová pole na P , která jsou přímo neměnný a vertikální forma ideální z , který má vztah k celému svazku P analogickým ke způsobu v algebry lži na měřidla skupiny G na individuální G -torsor vláken F . ${\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}$${\ displaystyle V {\ mathfrak {E}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {E}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Dále jen „teorie pole“ zájmu je definována v podmínkách sady „pole“ (hladký mapy do různých vektorových prostorů) definované na hlavní měřidla svazku P . Různá pole nesou různá znázornění skupiny měřidel G a možná i dalších skupin symetrie potrubí, jako je skupina Poincaré . Jeden může definovat prostor Pl z místních polynomy v těchto oblastech a jejich deriváty. Předpokládá se, že základní Lagrangeova hustota vlastní teorie spočívá v podprostoru Pl ₀ polynomů, které jsou reálné a neměnné pod libovolnými nepřerušenými skupinami symetrie jiných rozměrů. Rovněž se předpokládá, že je invariantní nejen pod levou akcí (transformace pasivních souřadnic) a globální pravou akcí skupiny měřidel, ale také pod lokálními transformacemi měřidel - zpětný chod podél nekonečně malého difeomorfismu spojeného s libovolnou volbou pravého invariantního vertikálního vektorového pole . ${\ displaystyle \ epsilon \ ve V {\ mathfrak {E}}}$

Identifikace transformací lokálního rozchodu s konkrétním podprostorem vektorových polí na potrubí P nám poskytuje lepší rámec pro řešení nekonečně-dimenzionálních nekonečných čísel: diferenciální geometrie a vnější počet . Změna ve skalárním poli při zpětném tažení podél nekonečně malého automorfismu je zachycena v Lieově derivaci a představa zachování pouze termínu lineárního v měřítku vektorového pole je implementována jeho oddělením na vnitřní derivaci a vnější derivaci . (V této souvislosti se „formy“ a vnější počet vztahují výlučně na stupně volnosti, které jsou duální vůči vektorovým polím na svazku měřidel , nikoli na stupně volnosti vyjádřené v (řeckých) tenzorových indexech na základním potrubí nebo (římské) matici indexy na algebře měřidla.)

Lieova derivace na potrubí je globálně přesně definovaná operace takovým způsobem, že částečná derivace není. Správné zobecnění Clairaut věty na netriviální rozdělovači struktury P je dán lži držáku vektorových polí a nilpotence na vnější derivátu . A získáváme základní nástroj pro výpočet: zobecněnou Stokesovu větu , která nám umožňuje integrovat se po částech a upustit povrchový člen, pokud integrand dostatečně rychle odpadne ve směrech, kde existuje otevřená hranice. (To není triviální předpoklad, ale lze s ním zacházet renormalizačními technikami, jako je dimenzionální regularizace , pokud lze povrchový člen změnit na invariant měřidla.)

BRST formalismus

V teoretické fyzice je BRST formalismus metodou implementace omezení první třídy . Písmena BRST stát Becchi , Rouet, Stora a (samostatně) Tyutin kdo objevil tento formalismus. Jedná se o sofistikovanou metodu řešení kvantových fyzikálních teorií s invariance měřidel . Například metody BRST se často používají pro teorii měřidel a kvantovanou obecnou relativitu .

Kvantová verze

Prostor států není Hilbertovým prostorem (viz níže). Tento vektorový prostor je jak Z ₂ -graded a R -graded . Pokud chcete, můžete si myslet, že to jako Z ₂  ×  R - klasifikovaného vektorového prostoru . První známkou je parita, která může být sudá nebo lichá. Druhá známka je číslo duchů . Všimněte si, že je to R a ne Z, protože na rozdíl od klasického případu můžeme mít neintegrovaná čísla duchů. Operátoři působící na tomto prostoru jsou rovněž Z ₂ x R - odstupňovány v zřejmým způsobem. Zejména Q je liché a má duchové číslo 1.

Nechť H _n je podprostor všech států s přízračným číslem n . Poté, Q omezena na H _n mapy H _n až H _{n +1} . Protože Q ²  = 0, máme komplex řetězců popisující kohomologii .

Fyzické stavy jsou identifikovány jako prvky kohomologie operátoru Q , tj. Jako vektory v Ker ( Q _{n +1} ) / Im ( Q _n ). Teorie BRST je ve skutečnosti spojena se standardním rozlišením v cohomologii Lie algebry .

Připomeňme, že prostor států je klasifikován Z ₂ . Pokud je A operátor čistého stupně, pak transformace BRST mapuje A na [ Q ,  A ), kde [,) je superkomutátor . BRST-invariantní operátory jsou operátory, pro které [ Q ,  A ) = 0. Jelikož operátory jsou také odstupňovány podle čísel duchů, tvoří tato transformace BRST také cohomologii pro operátory od [ Q , [ Q ,  A )) = 0.

Ačkoli je formálnost BRST obecnější než Faddeev-Popovův rozchod , ve zvláštním případě, kde je z něj odvozen, je operátor BRST také užitečný pro získání správného Jacobova jazyka spojeného s omezeními, která měří a opravují symetrii.

Operátor BRST je supersymetrie . Generuje Lie superalgebra s nulovým rozměrové i části a jednorozměrné liché části trvaného Q . [ Q ,  Q ) = { Q ,  Q } = 0, kde [,) je ležácká superpásma (tj. Q ²  = 0). To znamená, že Q funguje jako primitivní funkce .

Protože Q je Hermitian a jeho čtverec je nula, ale Q sám je nenulový, znamená to, že vektorový prostor všech stavů před cohomologickou redukcí má neurčitou normu ! To znamená, že to není Hilbertův prostor .

Více obecných toků, které nelze popsat omezeními první třídy, viz Batalin – Vilkovisky formalismus .

Příklad

Pro speciální případ kalibračních teorií (obvyklého druhu, popsané úseky jednoho hlavního svazku G ) s kvantové spojení formy A, náboj BRST (někdy také BRS poplatek) je operátor obvykle označován Q .

Nechť jsou podmínky upevnění měřidla s hodnotou where kladné číslo určující měřidlo. Existuje mnoho dalších možných upevnění měřidla, ale zde nebudou zahrnuty. Pole jsou hodnotovým spojením formy A , hodnotným skalárním polem s fermionovou statistikou, bac a hodnotným skalárním polem s bosonickou statistikou B. c se zabývá transformacemi měřidel, zatímco b a B se zabývají upevněním měřidel. Ve skutečnosti existují některé jemnosti spojené s upevněním měřidla kvůli Gribovovým nejasnostem, ale nebudou zde zahrnuty. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G = \ xi \ částečné ^ {\ mu} A _ {\ mu}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle QA = Dc}$

kde D je kovarianční derivace .

${\ displaystyle Qc = {\ tfrac {i} {2}} [c, c] _ {L}}$

kde [,] _L je Lieova závorka .

${\ displaystyle QB = 0}$

${\ displaystyle Qb = B}$

Q je primitivní .

BRST Lagrangeova hustota

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = - {\ frac {1} {4g ^ {2}}} \ operatorname {Tr} [F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu}] + { 1 \ nad 2g ^ {2}} \ operatorname {Tr} [BB] - {1 \ nad g ^ {2}} \ operatorname {Tr} [BG] - {\ xi \ nad g ^ {2}} \ operatorname {Tr} [\ částečné ^ {\ mu} bD _ {\ mu} c]}$

Zatímco Lagrangeova hustota není BRST neměnná, její integrál v celém časoprostoru, akce, je.

Operátor Q je definován jako

${\ displaystyle Q = c ^ {i} \ left (L_ {i} - {\ frac {1} {2}} {{f_ {i}} ^ {j}} _ {k} b_ {j} c ^ {k} \ vpravo)}$

kde jsou duchové Faddeev-Popov a antighosts (pole se záporným číslem duchů ), v tomto pořadí, L _i jsou nekonečně generátory ze skupiny Lie , a jsou jeho struktura konstanty. ${\ displaystyle c ^ {i}, b_ {i}}$${\ displaystyle f_ {ij} {} ^ {k}}$

Viz také

• Batalin – Vilkovisky formalismus
• Kvantová chromodynamika

Reference

Citace

Učebnice ošetření

• Kapitola 16 Peskin & Schroeder ( ISBN  0-201-50397-2 nebo ISBN  0-201-50934-2 ) aplikuje „BRST symetrii“ na důvod zrušení anomálií v lagrangštině Faddeev – Popov. To je dobrý začátek pro neodborníky QFT, ačkoli spojení s geometrií jsou vynechána a léčba asymptotického Fockova prostoru je pouze náčrtek.
• Kapitola 12 M. Göckelera a T. Schückera ( ISBN  0-521-37821-4 nebo ISBN  0-521-32960-4 ) pojednává o vztahu mezi formálností BRST a geometrií svazků měřidel. Je to v zásadě podobné papíru Schückera z roku 1987 .

Matematické zpracování

• Figueroa-O'Farrill, JM; Kimura, T. (1991). "Geometrická BRST kvantizace I. Prekvantizace" . Commun. Matematika. Phys . Springer-Verlag . 136 (2): 209–229. Bibcode : 1991CMaPh.136..209F . doi : 10,1007 / BF02100022 . ISSN  0010-3616 . MR  1096113 . S2CID  120119621 .
• Kostant, B .; Sternberg, S. (1987). „Symplektická redukce, cohomologie BRS a nekonečně dimenzionální Cliffordovy algebry“. Ann. Phys . Elsevier . 176 (1): 49–113. Bibcode : 1987AnPhy.176 ... 49K . doi : 10,1016 / 0003-4916 (87) 90178-3 .

Primární literatura

Originální papíry BRST:

• Brandt, Friedemann; Barnich, Glenn; Henneaux, Marc (2000), „Local BRST cohomology in gauge theory“, Physics Reports. Revizní sekce Physics Letters , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th / 0002245 , Bibcode : 2000PhR ... 338..439B , doi : 10.1016 / S0370-1573 (00) 00049-1 , ISSN  0370-1573 , MR  1792979 , S2CID  119420167
• Becchi, C .; Rouet, A .; Stora, R. (1974). „Abelianův model Higgs Kibble, jednotnost operátora S“. Physics Letters B . Elsevier BV. 52 (3): 344–346. doi : 10.1016 / 0370-2693 (74) 90058-6 . ISSN  0370-2693 .
• Becchi, C .; Rouet, A .; Stora, R. (1975). "Renormalizace modelu abelian Higgs-Kibble" . Komunikace v matematické fyzice . Springer Science and Business Media LLC. 42 (2): 127–162. doi : 10,1007 / bf01614158 . ISSN  0010-3616 . S2CID  120552882 .
• Becchi, C; Rouet, A; Stora, R (1976). "Renormalizace teorií rozchodů" . Annals of Physics . Elsevier BV. 98 (2): 287–321. doi : 10,1016 / 0003-4916 (76) 90156-1 . ISSN  0003-4916 .
• IV Tyutin, „Gauge Invariance in Field Theory and Statistical Physics in Operator Formalism“ , Leprintev Physics Institute preprint 39 (1975), arXiv: 0812.0580.
• Kugo, Taichiro; Ojima, Izumi (1979). „Formalizmus lokálního operátora operátora non-abelianských teorií měřidla a problém kvarkového omezení“ . Pokrok v doplňku teoretické fyziky . Oxford University Press (OUP). 66 : 1–130. doi : 10,1143 / ptps.66.1 . ISSN  0375-9687 .
• Přístupnější verze Kugo – Ojima je k dispozici online v řadě příspěvků, počínaje: Kugo, T .; Ojima, I. (1978-12-01). „Manifestly Covariant Canonical Formulation of the Yang-Mills Field Theories. I: - General Formalism -“ . Pokrok teoretické fyziky . Oxford University Press (OUP). 60 (6): 1869–1889. doi : 10,1143 / ptp.60,1869 . ISSN  0033-068X . Toto je pravděpodobně jediná nejlepší reference pro BRST kvantování v kvantově mechanickém (na rozdíl od geometrického) jazyka.
• Mnoho informací o vztahu mezi topologickými invarianty a operátorem BRST lze najít v: E. Witten, „Topologická kvantová teorie pole“ , Commun. Matematika. Phys. 117, 3 (1988), str. 353–386

Alternativní perspektivy

• Systémy BRST jsou stručně analyzovány z pohledu teorie operátorů v: SS Horuzhy a AV Voronin, „Remarks on Mathematical Structure of BRST Theories“ , Comm. Matematika. Phys. 123, 4 (1989), str. 677–685
• Míra-teoretický pohled na metodu BRST lze najít v přednáškách Carla Becchiho z roku 1996 .

externí odkazy

• Brst cohomology na arxiv.org