Neskutečné číslo - Surreal number

Vizualizace surrealistického číselného stromu.

V matematice je surrealistický číselný systém zcela uspořádanou vlastní třídou obsahující skutečná čísla , stejně jako nekonečná a nekonečně malá čísla , respektive větší nebo menší v absolutní hodnotě než jakékoli kladné reálné číslo. Surrealy sdílejí s realitami mnoho vlastností, včetně obvyklých aritmetických operací (sčítání, odčítání, násobení a dělení); jako takové tvoří uspořádané pole . Jsou-li formulovány v teorii množin von Neumann – Bernays – Gödel , jsou surrealistická čísla univerzálním uspořádaným polem v tom smyslu, že všechna ostatní uspořádaná pole, jako jsou racionály, reality, racionální funkce , pole Levi-Civita , superreálná čísla , a hyperreálná čísla , lze realizovat jako podoblasti surrealů. Surrealy také obsahují všechna transfinitní pořadová čísla ; aritmetika na nich je dána přirozenými operacemi . Bylo také ukázáno (ve von Neumann – Bernays – Gödel teorii množin), že hyperrealistické pole maximální třídy je izomorfní k surrealistickému poli maximální třídy.

Historie konceptu

Výzkum na Go koncovce strany John Horton Conway vedlo k původní definici a konstrukci surrealistických čísel. Conwayova konstrukce byla představena v knize Donalda Knutha z roku 1974 Neskutečná čísla: Jak se dva bývalí studenti obrátili k čisté matematice a našli úplné štěstí . Ve své knize, která má formu dialogu, Knuth razil termín surrealistická čísla pro to, co Conway nazýval jednoduše čísla . Conway později přijal Knuthův termín a použil surrealy k analýze her ve své knize O číslech a hrách z roku 1976 .

Samostatná cesta k definování surrealů začala v roce 1907, kdy Hans Hahn představil Hahnovu řadu jako zobecnění formálních mocninných řad a Hausdorff představil určité uspořádané množiny zvané η α -sety pro pořadové číslice α a zeptal se, zda je možné najít kompatibilní uspořádanou skupinová nebo polní struktura. V roce 1962 Alling použil upravenou formu Hahnovy řady ke konstrukci takto uspořádaných polí spojených s určitými pořadovými čísly α a v roce 1987 ukázal, že když α bude třídou všech řadových řad v jeho konstrukci, získá třídu, která je uspořádaným polem izomorfním k neskutečná čísla.

Pokud jsou surrealy považovány za `` jen '' skutečné uzavřené pole velikosti správné třídy, Allingův dokument z roku 1962 zpracovává případ silně nepřístupných kardinálů, které lze přirozeně považovat za správné třídy tím, že odřízne kumulativní hierarchii vesmíru o jednu úroveň nad kardinálem, a podle toho si Alling zaslouží velkou zásluhu na objevu/vynálezu surrealů v tomto smyslu. Na surrealech existuje ještě jedna důležitá další struktura pole, která není přes tento objektiv viditelná, jmenovitě pojem `` narozeniny`` a odpovídající přirozený popis surrealů jako výsledek procesu vyplňování střihů podél jejich narozenin daných Conway. Tato dodatečná struktura se stala základem moderního chápání surrealistických čísel, a Conwayovi se tak připisuje zásluha za objevování surrealů, jak je známe dnes - sám Alling dává Conwayovi úplný kredit v dokumentu z roku 1985, který předcházel jeho knize na toto téma.

Přehled

V konstrukci Conway, surrealistické čísla jsou konstruovány postupně, spolu s uspořádáním ≤ tak, že pro nějaké dva surreálních čísla dobu a b , a ≤ b nebo b ≤ . (Oba mohou platit, v takovém případě a a b jsou ekvivalentní a označují stejné číslo.) Každé číslo je vytvořeno z uspořádané dvojice podmnožin již vytvořených čísel: dané podmnožiny L a R čísel tak, že všechny členy L jsou přísně méně než všichni členové R , pak dvojice { L | R } představuje číslo střední hodnoty mezi všemi členy L a všechny členy R .

Různé podmnožiny mohou nakonec definovat stejné číslo: { L | R } a { L ' | R ′ } může definovat stejné číslo, i když L ≠ L ′ a R ≠ R ′ . (K podobnému jevu dochází, když jsou racionální čísla definována jako kvocienty celých čísel: 1/2 a 2/4 jsou různé reprezentace stejného racionálního čísla.) Přesně řečeno, surreálná čísla jsou třídy ekvivalence reprezentací formy { L | R }, které označují stejné číslo.

V první fázi výstavby neexistují žádná dříve existující čísla, takže jediná reprezentace musí použít prázdnou množinu: {| } . Tato reprezentace, kde L i R jsou prázdné, se nazývá 0. Následné etapy dávají formy jako

{0 | } = 1
{1 | } = 2
{2 | } = 3

a

{| 0} = −1
{| −1} = −2
{| −2} = −3

Celá čísla jsou tedy obsažena v surrealistických číslech. (Výše uvedené identity jsou definice v tom smyslu, že pravá strana je název pro levou stranu. Že jsou jména skutečně vhodná, bude zřejmé, až budou definovány aritmetické operace nad surrealistickými čísly, jako v níže uvedené části ). Podobně reprezentace jako

{0 | 1} = 1/2
{0 | 1/2} = 1/4
{1/2 | 1} = 3/4

vznikají tak, že dyadické racionály (racionální čísla, jejichž jmenovateli jsou mocniny 2) jsou obsaženy v surrealistických číslech.

Po nekonečném počtu fází se zpřístupní nekonečné podmnožiny, takže jakékoli skutečné číslo a lze reprezentovat pomocí { L a | R }, kde L je množina všech dyadických rationals méně než a R je množina všech dyadických rationals větší než (připomínající Dedekind řezu ). Skutečná čísla jsou tedy také vložena do surrealů.

Existují také zastoupení jako

{0, 1, 2, 3, ... | } = ω
{0 | 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...} = ε

kde ω je transfinitní číslo větší než všechna celá čísla a ε je nekonečně malé větší než 0, ale menší než jakékoli kladné reálné číslo. Standardní aritmetické operace (sčítání, odčítání, násobení a dělení) lze navíc rozšířit na tato nereálná čísla způsobem, který změní kolekci surrealistických čísel na uspořádané pole, takže lze hovořit o 2ω nebo ω- 1 a tak dále.

Konstrukce

Surreal čísla jsou konstruovány indukčně jako ekvivalence tříd z párů množin z surreálních čísel, omezeno za předpokladu, že každý prvek z první sady je menší než každý prvek druhé sady. Konstrukce se skládá ze tří vzájemně závislých částí: konstrukčního pravidla, srovnávacího pravidla a pravidla ekvivalence.

formuláře

Forma je dvojice sad surrealistické čísla, nazvaný jeho levý set a jeho pravý set . Formulář s levým set L a pravou set R je napsáno { L | R } . Když jsou L a R uvedeny jako seznamy prvků, závorky kolem nich jsou vynechány.

Prázdná množina může být jedna nebo obě levé a pravé sady formuláře. Formulář {{} | {}} s prázdnou a levou sadou je také zapsáno {| } .

Numerické tvary a jejich třídy ekvivalence

Pravidlo stavby

Formulář { L | R } je číselné, pokud průsečík L a R je prázdná množina a každý prvek R je větší než každý prvek L , podle vztahu pořadí ≤ daného níže uvedeným srovnávacím pravidlem.

Číselné tvary jsou zařazeny do tříd ekvivalence; každá taková třída ekvivalence je neskutečné číslo . Prvky levé a pravé množiny formuláře jsou čerpány z vesmíru surrealistických čísel (nikoli forem , ale jejich tříd ekvivalence ).

Pravidlo ekvivalence

Dvě číselné formy x a y jsou tvary stejného čísla (leží ve stejné třídě ekvivalence) právě tehdy, když x ≤ y a y ≤ x .

Vztah uspořádání musí být antisymetrická , tedy musí mít tu vlastnost, že x = y (tj x ≤ y a y ≤ x jsou oba pravdivý) pouze tehdy, když x a y jsou stejné objekt. To není případ surrealistických číselných forem , ale platí to konstrukcí pro surrealistická čísla (třídy ekvivalence).

Třída ekvivalence obsahující {| } je označen 0; jinými slovy, {| } je forma neskutečného čísla 0.

Objednat

Rekurzivní definice surrealistických čísel je dokončena definováním srovnání:

Dané číselné tvary x = { X L | X R } a y = { Y L | Y R }, x ≤ y právě tehdy, když:

  • Neexistuje žádné x L ∈ X L takové, že y ≤ x L (každý prvek v levé části x je menší než y ), a
  • Neexistuje žádné y R ∈ Y R takové, že y R ≤ x (každý prvek v pravé části y je větší než x ).

Porovnání y ≤ c mezi formou y a nadreálným číslem c se provede výběrem formy z z třídy ekvivalence c a vyhodnocením y ≤ z ; a podobně pro c ≤ x a pro srovnání b ≤ c mezi dvěma surrealistickými čísly.

Indukce

Tato skupina definic je rekurzivní a vyžaduje určitou formu matematické indukce k definování vesmíru objektů (forem a čísel), které se v nich vyskytují. Jediná neskutečná čísla dosažitelná konečnou indukcí jsou dyadické zlomky ; širší vesmír je dosažitelný s nějakou formou transfinitní indukce .

Indukční pravidlo

  • Existuje generace S 0 = {0}, ve které 0 sestává z jediného formuláře {| }.
  • Vzhledem k libovolnému pořadovému číslu n je generace S n množinou všech nadreálných čísel, která jsou generována konstrukčním pravidlem z podmnožin .

Základní případ je ve skutečnosti speciální případ indukčního pravidla, přičemž 0 je označeno jako „nejmenší pořadové číslo“. Protože neexistuje žádné S i s i <0, výraz je prázdná množina; jedinou podmnožinou prázdné množiny je prázdná množina, a proto S 0 sestává z jediné surrealistické formy {| } ležící v jediné třídě ekvivalence 0.

Pro každý konečný pořadovým číslem n , S n je dobře-objednal od objednání vyvolaného pravidlem srovnání o surrealistických čísel.

První iterace indukčního pravidla vytvoří tři číselné tvary {| 0} <{| } <{0 | } (formulář {0 | 0} není číselný, protože 0≤0). Třída ekvivalence obsahující {0 | } je označen 1 a třída ekvivalence obsahuje {| 0} je označeno −1. Tyto tři štítky mají zvláštní význam v axiomech, které definují prsten ; jsou to aditivní identita (0), multiplikativní identita (1) a aditivní inverze 1 (−1). Níže uvedené aritmetické operace jsou v souladu s těmito popisky.

Pro každé i < n , protože každá platná forma v S i je také platnou formou v S n , se všechna čísla v S i objevují také v S n (jako nadmnožiny jejich reprezentace v S i ). (Nastavený sjednocující výraz se objevuje v našem konstrukčním pravidle, spíše než v jednodušším tvaru S n -1 , takže definice dává smysl také tehdy, když n je limitní řadovka .) Čísla v S n, která jsou nadmnožinou nějakého čísla v S i jsou prý zdědil z generace i . Nejmenší hodnota α, pro kterou se dané surrealistické číslo objeví v S α, se nazývá její narozeniny . Například narozeniny 0 jsou 0 a narozeniny −1 jsou 1.

Druhá iterace pravidla konstrukce poskytuje následující řazení tříd ekvivalence:

{| −1} = {| −1, 0} = {| −1, 1} = {| −1, 0, 1}
<{| 0} = {| 0, 1}
<{−1 | 0} = {−1 | 0, 1}
<{| } = {−1 | } = {| 1} = {−1 | 1}
<{0 | 1} = {−1, 0 | 1}
<{0 | } = {−1, 0 | }
<{1 | } = {0, 1 | } = {−1, 1 | } = {−1, 0, 1 | }

Porovnání těchto tříd ekvivalence je konzistentní, bez ohledu na výběr formy. Následují tři pozorování:

  1. S 2 obsahuje čtyři nová surrealistická čísla. Dva obsahují extrémní formy: {| −1, 0, 1} obsahuje všechna čísla z předchozích generací v pravé sadě a {−1, 0, 1 | } obsahuje ve své levé sadě všechna čísla předchozích generací. Ostatní mají formu, která rozděluje všechna čísla z předchozích generací na dvě neprázdné množiny.
  2. Každé surrealistické číslo x, které existovalo v předchozí „generaci“, existuje také v této generaci a zahrnuje alespoň jeden nový tvar: rozdělení všech čísel jiných než x z předchozích generací do levé sady (všechna čísla menší než x ) a pravá množina (všechna čísla větší než x ).
  3. Třída ekvivalence čísla závisí pouze na maximálním prvku jeho levé množiny a minimálním prvku na pravé sadě.

Neformální interpretace {1 | } a {| −1} jsou „číslo těsně za 1“ a „číslo těsně před −1“; jejich třídy ekvivalence jsou označeny 2 a −2. Neformální interpretace webu {0 | 1} a {−1 | 0} jsou „číslo uprostřed mezi 0 a 1“ a „číslo uprostřed mezi –1 a 0“; jejich třídy ekvivalence jsou označeny 1 / 2 a - 1 / 2 . Tyto štítky budou také odůvodněny níže uvedenými pravidly pro surrealistické sčítání a násobení.

Třídy ekvivalence v každé fázi n indukce mohou být charakterizovány jejich n - úplnými formami (každá obsahuje co nejvíce prvků předchozích generací ve své levé a pravé sadě). Buď tento úplný formulář obsahuje každé číslo z předchozích generací ve své levé nebo pravé sadě, v takovém případě se jedná o první generaci, ve které se toto číslo vyskytuje; nebo obsahuje všechna čísla z předchozích generací kromě jedné, v takovém případě se jedná o novou formu tohoto jednoho čísla. U těchto „starých“ čísel uchováváme štítky z předchozí generace a výše uvedené řazení zapisujeme pomocí starých a nových štítků:

−2 <−1 < - 1 / 2 <0 < 1 / 2 <1 <2.

Třetí pozorování se vztahuje na všechna surrealistická čísla s konečnými levými a pravými množinami. (Pro nekonečné levé nebo pravé množiny to platí v pozměněné podobě, protože nekonečné množiny nemusí obsahovat maximální nebo minimální prvek.) Číslo {1, 2 | 5, 8} je tedy ekvivalentem {2 | 5}; lze zjistit, že se jedná o formy 3, pomocí vlastnosti narozeniny , což je důsledkem výše uvedených pravidel.

Majetek k narozeninám

Formulář x = { L | R } vyskytující se při výrobě n představuje číslo zděděné z předchozí generace i < n tehdy a jen tehdy, pokud je nějaké číslo v S i , která je větší než všechny prvky L a menší než všechny prvky R . (Jinými slovy, pokud jsou L a R již odděleny číslem vytvořeným v dřívější fázi, pak x nepředstavuje nové číslo, ale již vytvořené.) Pokud x představuje číslo z jakékoli generace starší než n , existuje a nejméně taková generace i a přesně jedno číslo c s tímto nejmenším i, protože její narozeniny leží mezi L a R ; x je forma tohoto c . Jinými slovy, leží ve třídě ekvivalence v S n, která je nadmnožinou reprezentace c v generaci i .

Aritmetický

Sčítání, negace (aditivní inverze) a násobení surrealistických číselných tvarů x = { X L | X R } a y = { Y L | Y R } jsou definovány třemi rekurzivními vzorci.

Negace

Negace daného čísla x = { X L | X R } je definováno pomocí

,

kde negace množiny S čísel je dána množinou negovaných prvků S :

.

Tento vzorec zahrnuje negaci surrealistických čísel, která se objevují v levé a pravé sadě x , což je třeba chápat jako výsledek výběru formy čísla, vyhodnocení negace této formy a převzetí třídy ekvivalence výsledné formulář. To dává smysl, pouze pokud je výsledek stejný, bez ohledu na volbu formy operandu. To lze dokázat induktivně pomocí skutečnosti, že čísla vyskytující se v X L a X R jsou čerpána z generací dřívějších, než ve kterých se poprvé vyskytuje tvar x , a pozorováním zvláštního případu:

.

Přidání

Definice sčítání je také rekurzivní vzorec:

,

kde

.

Tento vzorec zahrnuje součty jednoho z původních operandů a surreálné číslo čerpané z levé nebo pravé sady druhého. Ty je třeba chápat jako výsledek výběru formy numerického operandu, provedení součtu obou forem a převzetí třídy ekvivalence výsledné formy. To má smysl pouze tehdy, pokud je výsledek stejný, bez ohledu na volbu tvaru numerického operandu. To lze také induktivně prokázat ve speciálních případech:

0 + 0 = {| } + {| } = {| } = 0
x + 0 = x + {| } = { X L + 0 | X R + 0} = { X L | X R } = x
0 + y = {| } + y = {0 + Y L | 0 + Y R } = { Y L | Y R } = y

Poslední dva případy jsou samy dokázány indukčně.

Násobení

Rekurzivní vzorec pro násobení obsahuje aritmetické výrazy zahrnující operandy a jejich levý a pravý sady, jako je výraz , který se objeví v levém souboru produktu z x a y . To je třeba chápat jako množinu surrealistických čísel vyplývajících z výběru jednoho čísla z každé sady, která se objeví ve výrazu, a vyhodnocení výrazu na těchto číslech. (Při každém individuálním hodnocení výrazu je z každé sady vybráno pouze jedno číslo a je nahrazeno na každém místě, kde se tato sada ve výrazu objeví.)

To zase závisí na schopnosti (a) znásobit páry surrealistických čísel čerpaných z levé a pravé sady x a y, abychom získali surrealistické číslo, a negovat výsledek; (b) vynásobte tvar surrealistického čísla x nebo y a surreálné číslo vytažené z levé nebo pravé sady druhého operandu, abyste získali surrealistické číslo; a (c) sečíst výsledná neskutečná čísla. To opět zahrnuje speciální případy, tentokrát obsahující 0 = {| }, multiplikativní identita 1 = {0 | } a jeho aditivní inverzní hodnota -1 = {| 0}.

Divize

Definice dělení se provádí na základě vzájemnosti a násobení:

kde

pro pozitivní . Ve vzorci jsou povoleny pouze kladné hodnoty, přičemž všechny nepozitivní výrazy jsou ignorovány (a jsou vždy kladné). Tento vzorec zahrnuje nejen rekurzi, pokud jde o schopnost dělit čísly z levé a pravé sady , ale také rekurzi v tom, že členové levé a pravé sady sebe. je vždy členem levého souboru a lze jej použít k rekurzivnímu vyhledání dalších výrazů. Například pokud , pak víme, že levý termín bude . To zase znamená, že je to správný termín. To znamená, že je to levý termín. To znamená, že to bude správný termín. Pokračování, to dává .

Pro negativní , je dán . Pokud , pak není definováno.

Konzistence

Je možné ukázat, že definice negace, sčítání a násobení jsou konzistentní v tom smyslu, že:

  • Sčítání a negace jsou definovány rekurzivně z hlediska „jednodušších“ kroků sčítání a negace, takže operace s čísly s narozeninami n budou nakonec vyjádřeny zcela z hlediska operací s čísly s narozeninami menšími než n ;
  • Násobení je definováno rekurzivně z hlediska sčítání, negací a „jednodušších“ kroků násobení, takže součin čísel s narozeninami n bude nakonec vyjádřen zcela v součtech a rozdílech součinů čísel s narozeninami menšími než n ;
  • Dokud jsou operandy dobře definované surrealistické číselné formy (každý prvek levé množiny je menší než každý prvek pravé množiny), výsledky jsou opět dobře definované surrealistické číselné formy;
  • Operace lze rozšířit na čísla (třídy ekvivalence forem): výsledek negace x nebo sčítání nebo násobení x a y bude představovat stejné číslo bez ohledu na volbu formy x a y ; a
  • Tyto operace dodržují axiomy asociativity, komutativity, aditivní inverze a distribuce v definici pole s aditivní identitou 0 = {| } a multiplikativní identita 1 = {0 | }.

Pomocí těchto pravidel lze nyní ověřit, že čísla nalezená v prvních generacích byla řádně označena. Pravidlo konstrukce se opakuje, aby se získaly další generace surrealů:

S 0 = {0}
S 1 = {−1 <0 <1}
S 2 = {−2 <−1 < - 1 / 2 <0 < 1 / 2 <1 <2}
S 3 = {−3 <−2 < - 3 / 2 <−1 < - 3 / 4 < - 1 / 2 < - 1 / 4 <0 < 1 / 4 < 1 / 2 < 3 / 4 <1 < 3 / 2 <2 <3}
S 4 = {-4 <-3 <... <- 1 / 8 <0 < 1 / 8 < 1 / 4 < 3 / 8 < 1 / 2 < 5 / 8 < 3 / 4 < 7 / 8 <1 < 5 / 4 < 3 / 2 < 7 / 4 <2 < 5 / 2 <3 <4}

Aritmetický uzávěr

Pro každé přirozené číslo (konečná pořadové) n , všechna čísla generovaná v S n jsou dvojčlenné frakce , tj, může být zapsán jako nedělitelný zlomek kde a b jsou celá čísla a 0 ≤ b < n .

Množinu všech surrealistických čísel, která jsou generována v nějakém S n pro konečné n, můžeme označit jako S * = . Lze vytvořit tři třídy S 0 = {0}, S + = a S - = , z nichž S * je sjednocení. Žádný jednotlivý S n není uzavřen při sčítání a násobení (kromě S 0 ), ale S * je; je to podřetězec racionálů skládající se ze všech dyadických frakcí.

Existuje nekonečné pořadové číslo β, pro které je množina surrealistických čísel s narozeninami menšími než β uzavřena pod různými aritmetickými operacemi. Pro libovolné pořadové číslo α je množina surrealistických čísel s narozeninami menšími než β = ω α (pomocí mocnin ω ) uzavřena pod sčítáním a tvoří skupinu; k narozeninám méně než ω ω α je uzavřen při násobení a tvoří prsten; a k narozeninám menší než (pořadové) epsilonové číslo ε α je uzavřeno pod multiplikativní inverzí a tvoří pole. Poslední sady jsou také uzavřeny pod exponenciální funkcí, jak ji definovali Kruskal a Gonshor.

Vždy je však možné sestrojit surrealistické číslo, které je větší než kterýkoli člen sady surrealů (zahrnutím sady na levé straně konstruktoru), a proto je kolekce surrealistických čísel vlastní třídou . Svým uspořádáním a algebraickými operacemi tvoří uspořádané pole s upozorněním, že netvoří množinu . Ve skutečnosti je to velmi zvláštní uspořádané pole: největší. Každé další seřazené pole lze vložit do surrealů. Třída všech surrealistických čísel je označena symbolem .

Nekonečno

Definujte S ω jako množinu všech surrealistických čísel generovaných konstrukčním pravidlem z podmnožin S * . (Jedná se o stejný indukční krok jako dříve, protože pořadové číslo ω je nejmenší pořadové číslo, které je větší než všechna přirozená čísla; množinové spojení objevující se v indukčním kroku je však nyní nekonečným spojením konečných množin, a tak tento krok lze provést pouze v teorii množin, která takové sjednocení umožňuje.) V S ω se vyskytuje jedinečné nekonečně velké kladné číslo :

S ω také obsahuje objekty, které lze identifikovat jako racionální čísla . Například ω-kompletní forma frakce 1 / 3 je dán vztahem:

.

Součin této formy 1 / 3 s jakoukoli formou 3 je forma, jejíž levá sada obsahuje pouze čísla menší než 1 a jejíž pravá sada obsahuje pouze čísla větší než 1; vlastnost narozeniny naznačuje, že tento produkt je formou 1.

Nejenže se všechna ostatní racionální čísla objevují v S ω ; zbývající konečná reálná čísla také. Například,

.

Jediné nekonečnosti v S ω jsou ω a −ω; ale mezi reálnými jsou i jiná nereálná čísla v S ω . Zvažte nejmenší kladné číslo v S ω :

.

Toto číslo je větší než nula, ale menší než všechny pozitivní dyadické frakce. Jedná se tedy o nekonečně malé číslo, často označované ε. Ω-úplná forma ε (respektive -ε) je stejná jako ω-úplná forma 0, kromě toho, že 0 je zahrnuto v levé (respektive pravé) sadě. Jedinými „čistými“ infinitesimály v S ω jsou ε a jeho aditivní inverzní -ε; jejich přičtením k jakékoli dyadické frakci y vznikne čísla y ± ε, která také leží v S ω .

Vztah mezi ω a ε lze určit vynásobením jejich konkrétních forem, abychom získali:

ω · ε = {ε · S + | ω · S + + S * + ε · S * }.

Tento výraz je dobře definován pouze v teorii množin, která umožňuje transfinitní indukci až . V takovém systému lze prokázat, že všechny prvky levé množiny ω · ε jsou pozitivní nekonečna a všechny prvky pravé sady jsou kladné nekonečnosti, a proto ω · ε je nejstarší kladné konečné číslo, tj. 1 . Tudíž,

1 / ε = ω.

Někteří autoři systematicky používají místo symbolu ε ω −1 .

Obsah S ω

Vzhledem k libovolnému x = { L | R } v S ω platí přesně jedna z následujících:

  • L a R jsou prázdné, v takovém případě x = 0;
  • R je prázdné a některé celé číslo n ≥0 je větší než každý prvek L , přičemž v tomto případě se x rovná nejmenšímu takovému celému číslu n ;
  • R je prázdné a žádné celé číslo n není větší než každý prvek L , v tomto případě x se rovná +ω;
  • L je prázdné a některé celé číslo n ≤0 je menší než každý prvek R , v tomto případě x se rovná největšímu takovému celému číslu n ;
  • L je prázdné a žádné celé číslo n není menší než každý prvek R , v takovém případě se x rovná -ω;
  • L a R nejsou prázdné a:
    • Některá dyadická frakce y je „striktně mezi“ L a R (větší než všechny prvky L a menší než všechny prvky R ), v takovém případě se x rovná nejstarší takové dyadické frakci y ;
    • Žádná dyadická frakce y neleží striktně mezi L a R , ale nějaká dyadická frakce je větší nebo rovna všem prvkům L a menší než všem prvkům R , v takovém případě x se rovná y +ε;
    • Žádná dyadická frakce y neleží striktně mezi L a R , ale nějaká dyadická frakce je větší než všechny prvky L a menší nebo rovna všem prvkům R , v takovém případě x se rovná y -ε;
    • Každá dyadická frakce je buď větší než některý prvek R, nebo menší než některý prvek L , v takovém případě x je nějaké skutečné číslo, které nemá žádnou reprezentaci jako dyadická frakce.

S ω není algebraické pole, protože při aritmetických operacích není uzavřeno; uvažujme ω+1, jehož forma neleží v žádném čísle v S ω . Maximální podmnožina S ω, která je uzavřena pod (konečnou řadou) aritmetických operací, je pole reálných čísel, získané vynecháním nekonečností ± ω, nekonečných čísel ± ε a nekonečně malých sousedů y ± ε každé nenulové dyadické frakce y .

Tato konstrukce reálných čísel se liší od Dedekindovy řezů ze standardní analýzy se tím, že vychází z dyadických frakcí spíše než obecné rationals a přirozeně se identifikuje každý Dyadická frakce v S Q se jeho forem v předchozí generace. (Ω-úplné formy reálných prvků S ω jsou v osobní korespondenci s reálnými hodnotami získanými Dedekindovými škrty, za předpokladu, že Dedekindovy reality odpovídající racionálním číslům jsou reprezentovány formou, ve které je vynechán řezný bod z levé i pravé množiny.) Racionály nejsou identifikovatelnou fází surrealistické stavby; jsou to pouze podmnožina Q o S ω obsahující všechny prvky x tak, že x b = pro některé A a některé nenulovou B , a to jak z tažené S * . Demonstrací, že Q je uzavřena při jednotlivých opakováních surrealistických aritmetických operací, lze ukázat, že je to pole; a ukázáním, že každý prvek Q je dosažitelný ze S * konečnou řadou (ve skutečnosti ne delší než dvě) aritmetických operací včetně multiplikativní inverze , lze ukázat, že Q je přísně menší než podmnožina S ω identifikovaná s reálnými .

Množina S ω má stejnou mohutnost jako reálná čísla R . To může být prokázáno tím, že vykazují surjektivní mapování z S w do uzavřené jednotky interval I o R a naopak. Mapování S ω na I je rutina; mapovat čísla menší nebo rovna ε (včetně -ω) až 0, čísla větší nebo rovna 1-ε (včetně ω) až 1 a čísla mezi ε a 1-ε na jejich ekvivalent v I (mapování nekonečně malých sousedů y ± ε každé dyadické frakce y , spolu s y samotným, až y ). Chcete -li namapovat I na S ω , namapujte (otevřenou) centrální třetinu (1/3, 2/3) I na {| } = 0; střední třetina (7/9, 8/9) horní třetiny na {0 | } = 1; a tak dále. To monotónně mapuje neprázdný otevřený interval I na každý prvek S * . Zbytek I se skládá z Cantorovy množiny 2 ω , jejíž každý bod je jednoznačně identifikován rozdělením středo-třetinových intervalů na levou a pravou množinu, což přesně odpovídá tvaru { L | R } v S ω . Tím se sada Cantor umístí do individuální korespondence se sadou surrealistických čísel s narozeninami ω.

Transfinitní indukce

Pokračování v provádění transfinitní indukce za S ω produkuje více pořadových čísel α, z nichž každé je představováno jako největší surrealistické číslo s narozeninami α. (Toto je v podstatě definice pořadových čísel vyplývajících z transfinitní indukce.) První taková řadovka je ω+1 = {ω | }. V generaci ω+1 existuje další kladné nekonečné číslo:

ω − 1 = {1, 2, 3, 4, ... | ω}.

Neskutečné číslo ω − 1 není pořadové číslo; pořadové číslo ω není nástupcem žádného pořadového čísla. Toto je neskutečné číslo s narozeninami ω+1, které je označeno ω − 1 na základě toho, že se shoduje se součtem ω = {1, 2, 3, 4, ... | } a −1 = {| 0}. Podobně existují dvě nová nekonečně malá čísla v generaci ω+1:

2ε = ε + ε = {ε | 1 +ε, 1 / 2 +ε, 1 / 4 +ε, 1 / 8 +ε, ...} a
ε / 2 = ε · 1 / 2 = {0 | ε}.

V pozdější fázi transfinite indukce, je číslo větší než omega + K pro všechny přirozená čísla k :

2ω = ω+ω = {ω+1, ω+2, ω+3, ω+4, ... | }

Toto číslo může být označeno ω + ω jednak proto, že jeho datum narození je ω + ω (první pořadové číslo není možné dosáhnout z ω následnou operací), a protože se shoduje s neskutečným součtem ω a ω; může být také označeno 2ω, protože se shoduje s produktem ω = {1, 2, 3, 4, ... | } a 2 = {1 | }. Je to druhá mezní řadová hodnota; jeho dosažení z ω prostřednictvím stavebního kroku vyžaduje zapnutou transfinitní indukci . To zahrnuje nekonečné spojení nekonečných množin, což je „silnější“ teoretická operace množiny, než vyžadovala předchozí transfinitní indukce.

Všimněte si, že konvenční sčítání a násobení pořadových čísel nemusí vždy odpovídat těmto operacím na jejich surrealistických reprezentacích. Součet pořadových čísel 1 + ω se rovná ω, ale surreálný součet je komutativní a vytváří 1 + ω = ω + 1> ω. Sčítání a násobení nadreálných čísel spojených s pořadovými čísly se shoduje s přirozeným součtem a přirozeným součinem řadových čísel .

Stejně jako 2ω je větší než ω + n pro jakékoli přirozené číslo n , existuje surrealistické číslo ω/2, které je nekonečné, ale menší než ω - n pro jakékoli přirozené číslo n . To znamená, že ω/2 je definováno pomocí

ω/2 = { S * | ω - S * }

kde na pravé straně značení x - Y znamená { x - y  : y v Y }. Lze jej identifikovat jako součin ω a tvaru {0 | 1} z 1 / 2 . Narozeniny ω / 2 je mezní pořadová hodnota ω2.

Síly ω a Conwayovy normální formy

Ke klasifikaci „řádů“ nekonečných a nekonečně malých surrealistických čísel, známých také jako archimedovské třídy, Conway přidružil každé surrealistické číslo x surrealistické číslo

  • ω x = {0, r ω x L | s ω x R },

kde r a s se pohybují nad kladnými reálnými čísly. Pokud x < y, pak ω y je "nekonečně větší" než ω x , v tom případě je větší než r ω x pro všechna reálná čísla r . Mocnosti ω také splňují podmínky

  • ω x ω y = ω x+y ,
  • ω - x = 1/ω x ,

takže se chovají tak, jak by se dalo očekávat, že se budou chovat mocnosti.

Každá mocnina ω má také vykupitelskou vlastnost, že je nejjednodušším surrealistickým číslem ve své archimédské třídě; naopak každá archimédská třída v surrealistických číslech obsahuje jedinečný nejjednodušší člen. Pro každé kladné surrealistické číslo x tedy vždy bude existovat nějaké kladné reálné číslo r a nějaké surrealistické číslo y, takže x - r ω y je „nekonečně menší“ než x . Exponent y je „základní ω logaritmus“ x definovaný na kladných surrealech; lze demonstrovat, že log ω mapuje pozitivní surrealy na surrealy a že log ω ( xy ) = log ω ( x ) + log ω ( y ).

Toto je rozšířeno transfinitní indukcí, takže každé surrealistické číslo má „normální formu“ analogickou s Cantorovou normální formou pro pořadová čísla. Toto je běžná forma Conway: Každé surrealistické číslo x může být jedinečně zapsáno jako

  • x = r 0 ω y 0 + r 1 ω y 1 + ...,

kde každé r α je nenulové reálné číslo a y α s tvoří přísně klesající posloupnost surrealistických čísel. Tento „součet“ však může mít nekonečně mnoho výrazů a obecně má délku libovolného pořadového čísla. (Nula samozřejmě odpovídá případu prázdné sekvence a je jediným surrealistickým číslem bez předního exponentu.)

Když se podíváme tímto způsobem, neskutečná čísla připomínají pole mocninných řad , kromě toho, že klesající sekvence exponentů musí být na délku ohraničeny pořadovou číslicí a nesmí být tak dlouhé jako třída řadových řad. To je základem pro formulaci nadreálných čísel jako Hahnovy řady .

Mezery a kontinuita

Na rozdíl od skutečných čísel nemá (vlastní) podmnožina surrealistických čísel nejmenší horní (nebo dolní) hranici, pokud nemá maximální (minimální) prvek. Conway definuje mezeru jako { L | R }, L < R , L ∪ R = 𝐍𝐨; toto není číslo, protože alespoň jedna ze stran je správná třída. Ačkoli jsou mezery úplně stejné jako sekce Dedekind , ale stále můžeme hovořit o dokončení 𝐍𝐨 𝕯 surrealistických čísel s přirozeným uspořádáním, které je lineárním kontinuem (správné třídy) .

Například neexistuje nejméně pozitivní nekonečno surrealistické, ale mezera ∞ = { x : ∃ n ∈ : x < n | x : ∀ n ∈ : x > n } je větší než všechna reálná čísla a menší než všechny kladné nekonečné surrealy, a je tedy nejmenší horní hranicí reálů v 𝐍𝐨 𝕯 . Podobně mezera 𝐎𝐧 = {𝐍𝐨 | } je větší než všechna neskutečná čísla. (Toto je esoterická slovní hříčka : V obecné konstrukci řadových čísel je α „množina řadových čísel menší než α a tuto ekvivalenci můžeme použít k zápisu α = {α |} do surrealů; 𝐎𝐧 označuje třídu řadových čísel , a proto, že je 𝐎𝐧 cofinal v 𝐍𝐨 máme {𝐍𝐨 |} = {𝐎𝐧 |} = 𝐎𝐧 rozšířením).

S trochou set-teoretické péče 𝐍𝐨 může být vybaven topologií, kde otevřené sady jsou svazky otevřených intervalů (indexovány správnými sadami) a lze definovat spojité funkce. Rovněž lze definovat ekvivalent Cauchyových sekvencí, i když musí být indexovány třídou ordinálů; Tyto vždy sbíhají, ale limit může být buď číslo nebo mezera, která může být vyjádřena jako Σ α∈𝐍𝐨 r α omega α s α klesající a má nižší není vázán v 𝐍𝐨. (Všechny takové mezery lze chápat jako samotné Cauchyho sekvence, ale existují i ​​jiné typy mezer, které nejsou omezeny, například ∞ a 𝐎𝐧).

Exponenciální funkce

Na nepublikované práci základě Kruskal , konstrukce (o transfinitní indukce), která se rozprostírá v reálném exponenciální funkce exp ( x ) (s podstavcem e ) k surreals byla prováděna prostřednictvím Gonshor.

Další exponenciály

Tyto síly omega funkce je také exponenciální funkce, ale nemá vlastnosti požadované pro rozšíření funkce na reálných čísel. Bude však být potřeba ve vývoji z bází e exponenciální, a je to právě tato funkce, který je určen vždy, když se zápis ω x se používá v následujícím textu.

Když y je dyadický zlomek, mocninová funkce x ∈ ne , x ↦ x y může být složena z násobení, multiplikativní inverze a odmocniny, z nichž všechny lze definovat induktivně. Jeho hodnoty jsou zcela určeny základním vztahem x y+z = x y · x z a tam , kde je definován, nutně souhlasí s jakýmkoli dalším umocněním, které může existovat.

Základní indukce

Indukční kroky pro surreal exponenciální vycházejí z řady rozšíření pro skutečný exponenciály, exp x = Σ n ≥0 x n / n !, konkrétněji ty dílčí částky, které mohou být zobrazeny pomocí základní algebry být pozitivní, ale méně než všechny pozdější. Pro x pozitivní jsou označeny [ x ] n a zahrnují všechny dílčí součty; pro x negativní, ale konečný, [ x ] 2 n +1 označuje liché kroky v sérii začínající od prvního s kladnou skutečnou částí (která vždy existuje). Pro x negativní nekonečno se liché dílčí součty přísně snižují a zápis [ x ] 2 n +1 označuje prázdnou množinu, ale ukazuje se, že odpovídající prvky nejsou v indukci potřeba.

Vztahy, které platí pro skutečné x < y, jsou pak exp x · [ y – x ] n <exp y a exp y · [ x – y ] 2 n +1 <exp x , a to lze rozšířit na surrealy pomocí definice exp z = {0, exp z L · [ z – z L ] n , exp z R · [ z – z R ] 2 n +1 | exp z R / [ z R –z ] n , exp z L / [ z L –z ] 2 n +1 }. To je dobře definováno pro všechny surrealistické argumenty (hodnota existuje a nezávisí na volbě z L a z R ).

Výsledek

Při použití této definice platí následující:

  • exp je přísně rostoucí pozitivní funkce, x < y ⇒ 0 <exp x <exp y
  • exp splňuje exp ( x + y ) = exp x · exp y
  • exp je surjekce (na No + ) a má dobře definovanou inverzi, log = exp –1
  • exp se shoduje s obvyklou exponenciální funkcí na reálných hodnotách (a tedy exp 0 = 1, exp 1 = e )
  • Pro x nekonečně malá hodnota formální mocniny Σ n ≥0 x n / n ! je dobře definován a shoduje se s indukční definicí
    • Když je x uvedeno v Conwayově normální formě, množina exponentů ve výsledku je dobře uspořádaná a koeficienty jsou konečné částky, což přímo dává normální formu výsledku (který má úvodní 1)
    • Podobně pro x nekonečně blízké 1 je log x dán rozšířením výkonové řady o x –1
  • Pro pozitivní nekonečno x je exp x také nekonečno
    • Pokud x má tvar ω α (α> 0), exp x má tvar ω ω β, kde β je přísně rostoucí funkce α. Ve skutečnosti existuje indukčně definovaná bijekce g : No + → No : α ↦ β, jejíž inverzní lze také definovat induktivně
    • Pokud x je „čistý nekonečno“ s normální formou x = Σ α <β r α ω a α, kde všechny a α > 0 , pak exp x = ω Σ α <β r α ω g ( a α )
    • Podobně pro x = ω Σ α <β r α ω b α je inverzní hodnota dána log x = Σ α <β r α ω g –1 (b α )
  • Jakékoli surrealistické číslo lze zapsat jako součet čistého nekonečna, skutečné a nekonečně malé části a exponenciál je součinem dílčích výsledků uvedených výše
    • Normální formu lze zapsat vynásobením nekonečné části (jedna mocnina ω) a skutečné exponenciály do mocninové řady vyplývající z nekonečně malé
    • Naopak rozdělením úvodního členu normální formy přinese jakékoli surreálné číslo do tvaru (ω Σ γ <δ t γ ω b γ ) · r · (1 + Σ α <β s α ω a α ) , pro a α <0 , kde každý faktor má formu, pro kterou byl výše uveden způsob výpočtu logaritmu; součet je pak obecný logaritmus
      • I když neexistuje žádná obecná indukční definice logu (na rozdíl od exp), dílčí výsledky jsou uvedeny ve smyslu těchto definic. Tímto způsobem lze logaritmus vypočítat explicitně, bez odkazu na skutečnost, že je to inverzní exponenciál.
  • Exponenciální funkce je mnohem větší než jakákoli konečná moc
    • Pro jakékoli kladné nekonečno x a jakékoli konečné n je exp ( x )/ x n nekonečné
    • Pro libovolné celé číslo n a surrealistické x > n 2 , exp ( x )> x n . Toto silnější omezení je jedním z Ressayrových axiomů pro skutečné exponenciální pole
  • exp splňuje všechny Ressayreovy axiomy pro skutečné exponenciální pole
    • Surrealy s exponenciálem jsou elementárním rozšířením reálného exponenciálního pole
    • Pro ε β řadové epsilon číslo představuje množina surrealistických čísel s narozeninami menšími než ε β pole, které je uzavřeno pod exponenciály a je rovněž elementárním rozšířením skutečného exponenciálního pole

Příklady

Surrealistický exponenciál je v zásadě dán jeho chováním na kladných silách ω, tj. Funkcí g (a) , v kombinaci se známým chováním na konečných číslech. Budou uvedeny pouze příklady prvního z nich. Navíc g (a) = a platí pro velkou část jeho rozsahu, například pro jakékoli konečné číslo s kladnou skutečnou částí a jakékoli nekonečné číslo, které je menší než nějaká iterovaná mocnina ω ( ω ω · · ω pro nějaké číslo úrovní).

  • exp ω = ω ω
  • exp ω 1/ω = ω a log ω = ω 1/ω
  • exp (ω · log ω) = exp (ω · ω 1/ω ) = ω ω (1 + 1/ω)
    • To ukazuje, že funkce „síla Q“ není kompatibilní s oček, protože kompatibilita by vyžadoval hodnotu omega omega zde
  • exp ε 0 = ω ω ε 0 + 1
  • log ε 0 = ε 0 / ω

Umocňování

Obecnou umocnění lze definovat jako x y = exp ( y · log x ) , což dává výklad výrazům jako 2 ω = exp (ω · log 2) = ω log 2 · ω . Opět je nezbytné odlišit tuto definici od funkce „mocností ω“, zvláště pokud se jako základ může vyskytovat ω.

Surcomplexní čísla

Surcomplex číslo je číslo formy + b i , kde a b jsou čísla surreal a i je druhá odmocnina z -1 . Tyto surcomplex čísla tvoří algebraicky uzavřené pole (s výjimkou, že je správný třída), izomorfní k algebraické uzavření pole vytvářeného rozšířením racionální čísla o správné třídy z algebraicky nezávislé transcendentálních prvků. Až do pole izomorfismu tato skutečnost charakterizuje pole surcomplexních čísel v rámci jakékoli teorie pevných množin.

Hry

Hlavní článek: teorie kombinatorických her

Definice surrealistických čísel obsahovala jedno omezení: každý prvek L musí být přísně menší než každý prvek R. Pokud toto omezení vynecháme, můžeme vygenerovat obecnější třídu známou jako hry . Všechny hry jsou konstruovány podle tohoto pravidla:

Pravidlo konstrukce
Pokud L a R jsou dvě sady her, pak { L | R } je hra.

Sčítání, negace a porovnávání jsou definovány stejným způsobem pro surrealistická čísla i hry.

Každé surrealistické číslo je hra, ale ne všechny hry jsou surreálnými čísly, např. Hra { 0 | 0 } není surreálné číslo. Třída her je obecnější než surrealy a má jednodušší definici, ale postrádá některé hezčí vlastnosti surrealistických čísel. Třída surrealistických čísel tvoří pole , ale třída her nikoli. Surrealy mají celkový řád : vzhledem k jakýmkoli dvěma surrealům jsou buď rovnocenné, nebo je jeden větší než druhý. Hry mají pouze částečné pořadí : existují dvojice her, které nejsou ani stejné, ani větší, ani menší než navzájem. Každé surrealistické číslo je buď kladné, záporné nebo nulové. Každá hra je buď pozitivní, negativní, nulová nebo fuzzy (nesrovnatelná s nulou, například {1 | −1}).

Tah ve hře zahrnuje hráče, jehož tahem je výběr hry z dostupných v L (pro levého hráče) nebo R (pro pravého hráče) a poté předání této vybrané hry druhému hráči. Hráč, který se nemůže hýbat, protože výběr je z prázdné sady, prohrál. Pozitivní hra představuje výhru pro levého hráče, negativní pro pravého hráče, nulová hra pro druhého hráče, který se pohybuje, a fuzzy hru pro prvního hráče, který se pohybuje.

Pokud x , y a z jsou surrealy a x = y , pak x z = y z . Pokud však x , y a z jsou hry a x = y , pak ne vždy platí, že x z = y z . Všimněte si, že „=“ zde znamená rovnost, nikoli identitu.

Aplikace na kombinatorickou teorii her

Surrealistická čísla byla původně motivována studiemi hry Go a mezi populárními hrami a surrealy existuje mnoho spojení. V této části použijeme hru s velkými písmeny pro matematický objekt {L | R} a hru s malými písmeny pro rekreační hry jako Šachy nebo Jdi .

Zvažujeme hry s těmito vlastnostmi:

  • Dva hráči (pojmenovaní vlevo a vpravo )
  • Deterministické (hra v každém kroku bude zcela záviset na volbách, které hráči učiní, spíše než na náhodném faktoru)
  • Žádné skryté informace (například karty nebo dlaždice, které hráč skrývá)
  • Hráči se střídají ve střídání (hra může, ale nemusí umožňovat více tahů v tahu)
  • Každá hra musí končit konečným počtem tahů
  • Jakmile hráči nezůstanou žádné legální tahy, hra končí a tento hráč prohrává

U většiny her počáteční pozice na palubě nedává velkou výhodu ani jednomu z hráčů. Jak hra postupuje a jeden hráč začíná vyhrávat, nastávají pozice na palubě, ve kterých má tento hráč jasnou výhodu. Pro analýzu her je užitečné přiřadit hru ke každé pozici na desce. Hodnota dané pozice bude hra {L | R}, kde L je množina hodnot všech pozic, kterých lze dosáhnout jedním tahem Left. Podobně R je sada hodnot všech pozic, kterých lze dosáhnout jedním pohybem doprava.

Nulová hra (nazývaná 0) je hra, kde L i R jsou prázdné, takže hráč, který se pohne jako další (L nebo R), okamžitě prohrává. Součet dvou her G = {L1 | R1} a H = {L2 | R2} je definována jako hra G + H = {L1 + H, G + L2 | R1 + H, G + R2}, kde si hráč, který se má přesunout, vybere, ve kterých hrách bude hrát v každé fázi, a poraženým je stále hráč, který skončí bez legálního tahu. Lze si představit dvě šachovnice mezi dvěma hráči, přičemž hráči dělají tahy střídavě, ale s naprostou svobodou, na které desce se bude hrát. Pokud G je hra {L | R}, -G je hra {-R | -L}, tj. S rolí obou hráčů obrácenou. Je snadné ukázat G - G = 0 pro všechny hry G (kde G - H je definováno jako G + (-H)).

Tento jednoduchý způsob, jak spojit hry s hrami, přináší velmi zajímavý výsledek. Předpokládejme, že dva dokonalí hráči hrají hru začínající na dané pozici, jejíž přidružená hra je x . Všechny hry můžeme zařadit do čtyř tříd následujícím způsobem:

  • Pokud x> 0, pak vyhraje Left, bez ohledu na to, kdo hraje jako první.
  • Pokud x <0, pak vyhraje Right, bez ohledu na to, kdo hraje jako první.
  • Pokud x = 0, pak vyhraje hráč, který půjde jako druhý.
  • Pokud x || 0, pak vyhraje hráč, který půjde jako první.

Obecněji můžeme definovat G> H jako G - H> 0 a podobně pro <, = a ||.

Zápis G || H znamená, že G a H jsou nesrovnatelné. G || H je ekvivalentní G − H || 0, tj. Že G> H, G <H a G = H jsou všechny falešné. O nesrovnatelných hrách se někdy říká, že jsou navzájem zaměňovány , protože jednu nebo druhou může hráč upřednostňovat podle toho, co je do ní přidáno. Hra zaměněná s nulou je údajně fuzzy , na rozdíl od pozitivní, negativní nebo nulové . Příkladem fuzzy hry je hvězda (*) .

Někdy, když se hra blíží ke konci, rozloží se na několik menších her, které spolu neinteragují, kromě toho, že tah každého hráče umožňuje pohyb pouze v jedné z nich. Například v Go se deska pomalu zaplní figurkami, dokud nezůstane jen pár malých ostrůvků prázdného prostoru, kde se hráč může pohybovat. Každý ostrov je jako samostatná hra Go, která se hraje na velmi malé desce. Bylo by užitečné, kdyby každou podhru bylo možné analyzovat samostatně a poté výsledky spojit a poskytnout analýzu celé hry. Zdá se, že to není snadné. Mohou například existovat dvě podhry, kde kdo se pohne jako první, vyhrává, ale když jsou spojeny do jedné velké hry, již to není první hráč, který vyhrává. Naštěstí existuje způsob, jak tuto analýzu provést. Lze použít následující větu:

Pokud se velká hra rozloží na dvě menší hry a k malým hrám jsou přiřazeny Hry x a y , pak k velké hře bude přidružená Hra x + y .

Hra složená z menších her se nazývá disjunktivní součet těchto menších her a věta uvádí, že způsob sčítání, který jsme definovali, je ekvivalentní odebrání disjunktivního součtu závislostí.

Historicky Conway vyvinul teorii nadreálných čísel v opačném pořadí, než jak byla zde prezentována. Analyzoval koncové hry Go a uvědomil si, že by bylo užitečné mít nějaký způsob, jak kombinovat analýzy neinteragujících podher do analýzy jejich disjunktivního součtu . Z toho vymyslel koncept hry a operátor sčítání. Odtud přešel k vývoji definice negace a srovnání. Pak si všiml, že určitá třída her má zajímavé vlastnosti; tato třída se stala neskutečnými čísly. Nakonec vyvinul multiplikační operátor a dokázal, že surrealy jsou ve skutečnosti pole a že zahrnuje jak reals, tak ordinals.

Alternativní realizace

Alternativní přístupy k surrealistickým číslům doplňují Conwayovu expozici z hlediska her.

Podepište rozšíření

Definice

V tom, co je nyní nazýván přihlášení expanze nebo znamení-sekvence z neskutečný čísla, surreal číslo je funkce jehož doména je pořadové číslo a jehož codomain je {-1, 1}. To je ekvivalentní Conwayovým sekvencím LR.

Definovat binární predikát "jednodušší než" na čísel x je jednodušší než y , pokud x je vlastní podmnožina z y , tedy v případě, dom ( x ) <dom ( y ) a x (α) = y (α) pro všechny alfa < dom ( x ).

Pro surrealistická čísla definujte binární vztah <jako lexikografický řád (s konvencí, že „nedefinované hodnoty“ jsou větší než −1 a menší než 1). Takže x < y, pokud platí jedna z následujících:

  • x je jednodušší než y a y (dom ( x )) = + 1;
  • y je jednodušší než x a x (dom ( y )) = - 1;
  • existuje číslo z takové, že z je jednodušší než x , z je jednodušší než y , x (dom ( z )) = - 1 a y (dom ( z )) = + 1.

Ekvivalentně nechť δ ( x , y ) = min ({dom ( x ), dom ( y )} ∪ {α: α <dom ( x ) ∧ α <dom ( y ) ∧ x (α) ≠ y (α) }), takže x = y právě tehdy, když δ ( x , y ) = dom ( x ) = dom ( y ). Potom čísla x a y , x < y právě tehdy, když jeden z následujících platí:

  • δ ( x , y ) = dom ( x ) ∧ δ ( x , y ) <dom ( y ) ∧ y (δ ( x , y )) = + 1;
  • δ ( x , y ) <dom ( x ) ∧ δ ( x , y ) = dom ( y ) ∧ x (δ ( x , y )) = - 1;
  • δ ( x , y ) <dom ( x ) ∧ δ ( x , y ) <dom ( y ) ∧ x (δ ( x , y )) = - 1 ∧ y (δ ( x , y )) = + 1.

Pro čísla x a y , x ≤ y právě tehdy, když x < y ∨ x = y a x > y , pokud a pouze v případě, y < x . Také x ≥ y právě tehdy, když y ≤ x .

Vztah <je tranzitivní , a pro všechna čísla x a y , přesně jeden z x < y , x = y , x > y , má (zákon trichotomii ). To znamená, že <je lineární pořadí (kromě toho, že <je správná třída).

Pro množiny čísel, L a R takové, že ∀ x ∈ L ∀ y ∈ R ( x < y ), existuje jedinečné číslo z takové, že

  • ∀ x ∈ L ( x < z ) ∧ ∀ y ∈ R ( z < y ),
  • Pro jakékoli číslo w takové, že ∀ x ∈ L ( x < w ) ∧ ∀ y ∈ R ( w < y ), w = z nebo z je jednodušší než w .

Dále je z konstruovatelné z L a R transfinitní indukcí. z je nejjednodušší číslo mezi L a R . Nechť jedinečné číslo z označíme σ ( L , R ).

Pro číslo x definujte jeho levou množinu L ( x ) a pravou množinu R ( x ) podle

  • L ( x ) = { x | α  : α <dom ( x ) ∧ x (α) = + 1};
  • R ( x ) = { x | α  : α <dom ( x ) ∧ x (α) = - 1},

pak σ ( L ( x ), R ( x )) = x .

Jednou výhodou této alternativní realizace je, že rovnost je identita, nikoli induktivně definovaný vztah. Na rozdíl od Conwayovy realizace surrealistických čísel však expanze znaménka vyžaduje předchozí konstrukci řadových řad, zatímco při Conwayově realizaci jsou pořadové číslice konstruovány jako konkrétní případy surrealů.

Lze však provést podobné definice, které eliminují potřebu předchozí konstrukce ordinálů. Mohli bychom například nechat surrealy (rekurzivně definovanou) třídou funkcí, jejichž doména je podmnožinou surrealů splňujících pravidlo tranzitivity ∀ g ∈ dom f (∀ h ∈ dom g ( h ∈ dom f )) a jejichž rozsah je { -, +}. „Jednodušší než“ je nyní velmi jednoduše definováno - x je jednodušší než y, pokud x ∈ dom y . Celkové uspořádání je definováno uvažováním x a y jako sad uspořádaných párů (protože funkce je normálně definována): Buď x = y , nebo jinak surreálné číslo z = x ∩ y je v oblasti x nebo oblasti y (nebo obojí, ale v tomto případě musí značky nesouhlasit). Pak máme x < y, pokud x ( z ) = - nebo y ( z ) = + (nebo obojí). Převod těchto funkcí na znakové sekvence je přímočarý úkol; uspořádejte prvky dom f podle jednoduchosti (tj. zahrnutí) a poté si zapište znaménka, která f přiřadí každému z těchto prvků v pořadí. Řadovky se pak přirozeně vyskytují jako ta neskutečná čísla, jejichž rozsah je { +}.

Sčítání a násobení

Součet x + y dvou čísel, x a y , je definován indukcí na dom ( x ) a dom ( y ) x + y = σ ( L , R ), kde

  • L = { u + y  : u ∈ L ( x )} ∪ { x + v  : v ∈ L ( y )},
  • R = { u + y  : u ∈ R ( x )} ∪ { x + v  : v ∈ R ( y )}

Aditivní identita je dána číslem 0 = {}, tj. Číslo 0 je jedinečnou funkcí, jejíž doménou je pořadové číslo 0, a aditivní aditivní hodnota čísla x je číslo - x , dané dom ( - x ) = dom ( x ), a pro α <dom ( x ), ( - x ) (α) = - 1, pokud x (α) = + 1, a ( - x ) (α) = + 1, pokud x (α) = - 1.

Z toho vyplývá, že číslo x je kladné právě tehdy, když 0 <dom ( x ) a x (0) = + 1, a x je záporné právě tehdy, když 0 <dom ( x ) a x (0) = - 1.

Součin xy dvou čísel, x a y , je definován indukcí na dom ( x ) a dom ( y ) xy = σ ( L , R ), kde

  • L = { uy + xv - uv  : u ∈ L ( x ), v ∈ L ( y )} ∪ { uy + xv - uv  : u ∈ R ( x ), v ∈ R ( y )},
  • R = { uy + xv - uv  : u ∈ L ( x ), v ∈ R ( y )} ∪ { uy + xv - uv  : u ∈ R ( x ), v ∈ L ( y )}

Multiplikativní identita je dána číslem 1 = {(0, + 1)}, tj. Číslo 1 má doménu rovnou řadové 1 a 1 (0) = + 1.

Korespondence s Conwayovou realizací

Mapa od Conwayovy realizace k podepsání expanzí je dána f ({ L | R }) = σ ( M , S ), kde M = { f ( x ): x ∈ L } a S = { f ( x ): x ∈ R }.

Inverzní mapa od alternativní realizace ke Conwayově realizaci je dána g ( x ) = { L | R }, kde L = { g ( y ): y ∈ L ( x )} a R = { g ( y ): y ∈ R ( x )}.

Axiomatický přístup

V jiném přístupu k surrealům, daném Allingem, je explicitní konstrukce zcela obcházena. Místo toho je dána sada axiomů, které musí splňovat jakýkoli konkrétní přístup k surrealům. Podobně jako axiomatický přístup k realitám, tyto axiomy zaručují jedinečnost až do izomorfismu.

Trojka je surrealistický číselný systém právě tehdy, pokud platí následující:

  • <je celková objednávka nad č
  • b je funkce od Ne do třídy všech pořadových čísel ( b se nazývá „funkce narozenin“ u Ne ).
  • Nechť A a B jsou podmnožinami Ne tak, že pro všechna x ∈ A a y ∈ B , x < y (pomocí Allingovy terminologie 〈A , B〉 je „Conwayův řez“ z No ). Pak existuje jedinečné z ∈ Ne takové, že b (z) je minimální a pro všechna x ∈ A a všechna y ∈ B , x < z < y . (Tento axiom je často označován jako „Conwayova věta o jednoduchosti“.)
  • Kromě toho, pokud je pořadová hodnota α větší než b (x) pro všechna x ∈ A , B , pak b (z) ≤ α . (Alling nazývá systém, který splňuje tento axiom, „systém plný surrealistických čísel“.)

Tyto axiomy splňuje jak původní Conwayova konstrukce, tak konstrukce surrealů se znakovou expanzí.

Vzhledem k těmto axiómům Alling odvozuje Conwayovu původní definici ≤ a rozvíjí surrealistickou aritmetiku.

Hierarchie jednoduchosti

Konstrukce surrealistických čísel jako maximálního binárního pseudo stromu s jednoduchostí (předchůdce) a uspořádáním vztahů je dána Philipem Ehrlichem. Rozdíl od obvyklé definice stromu spočívá v tom, že množina předchůdců vrcholu je dobře uspořádaná, ale nemusí mít maximální prvek (bezprostřední předchůdce); jinými slovy, typ objednávky této sady je obecné pořadové číslo, nejen přirozené číslo. Tato konstrukce také splňuje Allingovy axiomy a lze ji snadno mapovat na reprezentaci znakové sekvence.

Série Hahn

Alling také dokazuje, že pole surrealistických čísel je izomorfní (jako uspořádané pole) s polem Hahnovy řady se skutečnými koeficienty na samotné hodnotové skupině surrealistických čísel (reprezentace řady odpovídající normální formě surrealistického čísla, jak je definována výše). To poskytuje spojení mezi surrealistickými čísly a konvenčnějšími matematickými přístupy k uspořádané teorii pole.

Tento izomorfismus dělá ze surrealistických čísel hodnotné pole, kde je ocenění aditivní inverzí exponentu vedoucího členu v Conwayově normální formě, např. Ν (ω) = -1. Oceňovací prstenec se pak skládá z konečných surrealistických čísel (čísla se skutečnou a/nebo nekonečně malou částí). Důvod inverze znaménka je ten, že exponenty v Conwayově normální formě představují obráceně uspořádanou množinu, zatímco Hahnovy řady jsou formulovány jako (nereverzní) dobře uspořádané podmnožiny skupiny hodnot.

Vztah k hyperrealům

Philip Ehrlich zkonstruoval izomorfismus mezi Conwayovým maximálním surrealistickým číselným polem a maximálním hyperrealem v teorii množin von Neumann – Bernays – Gödel .

Viz také

Poznámky

Reference

Další čtení

externí odkazy