Vesmír (matematika) - Universe (mathematics)

Vztah mezi vesmírem a doplňkem.

V matematice , a to zejména v teorii množin , teorii kategorie , teorii typu , a základů matematiky , je vesmír je soubor, který obsahuje všechny subjekty si někdo přeje, aby zvážila v dané situaci.

V teorii množin jsou vesmíry často třídy, které obsahují (jako prvky ) všechny množiny, u nichž člověk doufá, že dokáže konkrétní větu . Tyto třídy mohou sloužit jako vnitřní modely pro různé axiomatické systémy, jako je ZFC nebo Morse -Kelleyova teorie množin . Vesmíry mají zásadní význam pro formalizaci konceptů v teorii kategorií uvnitř set-teoretických základů. Například kanonický motivující příklad kategorii je sada , kategorie všech souborů, které nemohou být formalizována v teorii množin bez nějaké představy o vesmíru.

V teorii typů je vesmír typem, jehož prvky jsou typy.

V konkrétním kontextu

Snad nejjednodušší verze je, že jakákoli množina může být vesmírem, pokud je předmět studia omezen na tuto konkrétní množinu. Pokud je předmět studia tvořen skutečnými čísly , pak skutečná přímka R , což je množina skutečných čísel, by mohl být uvažovaným vesmírem. Implicitně je to vesmír, který používal Georg Cantor, když v 70. a 80. letech 19. století poprvé vyvinul moderní naivní teorii množin a mohutnost v aplikacích na skutečnou analýzu . Jediné sady, které Cantor byl původně zájem byl podmnožiny z výzkumu .

Tento koncept vesmíru se odráží v používání Vennův diagramů . V Vennův diagram, akce se tradičně koná uvnitř velkého obdélníku, který reprezentuje vesmír U . Obecně se říká, že množiny jsou znázorněny kruhy; ale tyto soubory mohou být pouze podmnožiny U . Doplněk ze souboru A, je pak dána té části obdélníku vnější A‘ s kruhu. Přesně řečeno, toto je relativní doplněk U \ A z A vzhledem k U ; ale v kontextu, kde U je vesmíru, může být považována za absolutní doplněk ^C na A . Stejně tak existuje představa o nullary křižovatky , která je průnikem z nulových množin (znamenat žádné soubory, ne null sady ).

Bez vesmíru by nulová křižovatka byla množinou absolutně všeho, což je obecně považováno za nemožné; ale s vesmírem v mysli, nullary křižovatka může být považována za sadu všeho posuzovanou, což je prostě U . Tyto konvence jsou docela užitečné v algebraickém přístupu k základní teorii množin, založené na booleovských mřížkách . S výjimkou některých nestandardních forem axiomatické teorie množin (například Nové základy ) není třída všech množin booleovskou mřížkou (je to jen relativně komplementární mřížka ).

Naproti tomu, třída všech podmnožin U , která se nazývá elektrický soubor z U , je logická mříž. Výše popsaný absolutní komplement je operace komplementu v booleovské mřížce; a U jako nulová křižovatka slouží jako horní prvek (nebo nulové setkání ) v booleovské mřížce. Poté platí De Morganovy zákony , které se zabývají komplementy střetnutí a spojení (což jsou odbory v teorii množin), a platí dokonce pro nulové setkávání a nulové spojování (což je prázdná množina ).

V běžné matematice

Nicméně, jakmile podmnožiny daného souboru X (v případě Cantorově, X = R jsou považovány), vesmír může být nutné množina podmnožin X . (Například topologie na X je množina podmnožin X ). Různé sady podmnožin X, se samy o sobě být podmnožiny X, ale je namísto toho podmnožiny P X , na napájecí sady z X . To může pokračovat; předmět studia může dále sestávat z takových sad podmnožin X atd. V takovém případě bude vesmír P ( P X ). V jiném směru, binární relace na X (podmnožiny kartézského součinu X x X ) může být považována za, nebo funkce z X k sobě, což vyžaduje vesmíry jako P ( X x X ) nebo X ^X .

Proto i v případě, že primárním zájmem je X , vesmír muset být podstatně větší než X. . Podle výše uvedených myšlenek by člověk mohl chtít nadstavbu nad X jako vesmír. To lze definovat strukturální rekurzí následovně:

Nechť S ₀X je samotné X.
Nechť S ₁X je union of X a P X .
Nechť S ₂X je spojením S ₁X a P ( S ₁X ).
Obecně nechť S _{n +1}X je spojení S _nX a P ( S _n X ).

Pak je nadstavba nad X , napsaná S X , spojením S ₀X , S ₁X , S ₂X atd.; nebo

{\ Displaystyle \ mathbf {S} X: = \ bigcup _ {i = 0}^{\ infty} \ mathbf {S} _ {i} X {\ mbox {.}} \!}

Bez ohledu na to, jaké nastavení X je výchozím bodem je prázdná množina {} bude patřit S ₁X . Prázdná množina je von Neumannovým pořadovým číslem [0]. Potom {[0]}, množina, jejíž jediným prvkem je prázdná množina, bude patřit do S ₂X ; toto je von Neumannův ordinál [1]. Podobně {[1]} bude patřit do S ₃X , a tak bude patřit {[0], [1]}, jako spojení {[0]} a {[1]}; toto je von Neumannův ordinál [2]. Pokračováním tohoto procesu je každé přirozené číslo v nadstavbě reprezentováno jeho von Neumannovým pořadovým číslem . Dále, pokud x a y patří do nadstavby, pak také {{ x }, { x , y }}, což představuje uspořádanou dvojici ( x , y ). Nástavba tedy bude obsahovat různé požadované karteziánské produkty. Nadstavba pak také obsahuje funkce a vztahy , protože ty mohou být reprezentovány jako podmnožiny karteziánských produktů. Tento proces také dává seřazené n -tuple, reprezentované jako funkce, jejichž doménou je von Neumannův řadový [ n ] atd.

Pokud je tedy počátečním bodem pouze X = {}, velká část sad potřebných pro matematiku se jeví jako prvky nadstavby nad {}. Ale každý z prvků S {} bude konečná množina . Každý z přirozených čísel k němu patří, ale množina N ze všech přirozených čísel, (i když to je podmnožina z S {}). Ve skutečnosti se nadstavba nad {} skládá ze všech dědičně konečných množin . Jako takový může být považován za vesmír finitistické matematiky . Když mluvíme anachronicky, dalo by se naznačit, že v tomto vesmíru pracoval finitista 19. století Leopold Kronecker ; věřil, že každé přirozené číslo existuje, ale množina N („ dokončené nekonečno “) neexistuje.

Nicméně, S {} je nevyhovující pro obyčejné matematiky (kteří nejsou finitists), protože i když N mohou být k dispozici jako podmnožina S {}, stále elektrický soubor N není. Zejména nejsou k dispozici libovolné sady reálných čísel. Může tedy být nutné začít celý proces znovu a vytvořit S ( S {}). Nicméně, aby to jednoduché, jeden může mít nastavenou N přirozených čísel, jak je uvedeno a tvoří SN , nadstavbu nad N . Toto je často považováno za vesmír běžné matematiky . Myšlenka je, že veškerá matematika, která je běžně studována, se týká prvků tohoto vesmíru. Například jakákoli z obvyklých konstrukcí reálných čísel (řekněme Dedekindovými škrty ) patří do SN . V nadstavbě lze provést i nestandardní analýzu nad nestandardním modelem přirozených čísel.

Tam je mírný posun ve filozofii od předchozí části, kdy byl vesmír jakýkoliv soubor U zájmu. Studované soubory byly podmnožinami vesmíru; nyní jsou členy vesmíru. Přestože tedy P ( S X ) je booleovská mříž, relevantní je, že samotný S X není. V důsledku toho je zřídkakdy aplikovat představy booleovských mřížek a Vennův diagramů přímo na vesmír nadstavby, jako tomu bylo ve vesmírech nastavených v předchozí části. Místo toho lze pracovat s jednotlivými booleovskými mřížkami P A , kde A je jakákoli relevantní množina patřící do S X ; pak P A je podmnožinou S X (a ve skutečnosti patří do S X ). Zejména v případě Cantora X = R nejsou k dispozici libovolné sady reálných čísel, takže tam může být skutečně nutné začít celý proces znovu.

V teorii množin

Je možné dát přesný význam tvrzení, že SN je vesmírem běžné matematiky; jedná se o model, z teorie množin Zermelo je axiomatická teorie množin byl původně vyvinut firmou Ernst Zermelo v roce 1908. Zermelo teorie množin byla úspěšná právě proto, že byl schopen axiomatising „obyčejných“ matematiky, naplňování programu započaté Cantor více než 30 lety. Teorie množin Zermelo se však ukázala jako nedostatečná pro další rozvoj axiomatické teorie množin a další práce v základech matematiky , zejména teorie modelů .

Pro dramatický příklad nelze výše popsaný proces nadstavby sám provést v teorii množin Zermelo. Poslední krok, který tvoří S jako infinitární unii, vyžaduje axiom nahrazení , který byl přidán k teorii množin Zermelo v roce 1922, aby vytvořil teorii množin Zermelo – Fraenkel , soubor dnes nejvíce přijímaných axiomů. Takže zatímco běžnou matematiku lze provádět v SN , diskuse o SN přesahuje „obyčejnou“, do metamatematiky .

Pokud je ale zavedena teorie množin s vysokým výkonem, výše uvedený proces nadstavby se ukáže být pouhým začátkem transfinitní rekurze . Vrátíme -li se zpět k X = {}, prázdné množině, a zavedeme (standardní) notaci V _i pro S _i {}, V ₀ = {}, V ₁ = P {} atd. Jako dříve. Ale tomu, čemu se dříve říkalo „nadstavba“, je nyní jen další položka v seznamu: V _ω , kde ω je první nekonečné pořadové číslo . To lze rozšířit na libovolná pořadová čísla :

{\ Displaystyle V_ {i}: = \ bigcup _ {j <i} \ mathbf {P} V_ {j} \!}

definuje V _i pro libovolné pořadové číslo i . Spojení všech V _i je von Neumannův vesmír V :

{\ Displaystyle V: = \ bigcup _ {i} V_ {i} \!}

.

Každý jednotlivý V _i je množina, ale jejich sjednocení V je vlastní třída . Axiom založení , který byl přidán do ZF teorie množin u kolem stejného času jako axiom výměny, říká, že každá sada patří do V. .

Kurt Gödel ‚s constructible vesmír L a axiom konstruovatelnosti

Nepřístupní kardinálové dávají modely ZF a někdy i další axiomy a jsou ekvivalentní existenci Grothendieckovy vesmírné sady

V predikátovém počtu

V interpretaci z logiky prvního řádu , vesmír (nebo doména projevu) je množina jedinců (jednotlivé konstanty), během kterého quantifiers pohybovat. Tvrzení jako $\forall x (x 2 \neq 2)$ je nejednoznačné, pokud nebyla identifikována žádná doména diskurzu. V jedné interpretaci by doménou diskurzu mohla být množina reálných čísel ; v jiné interpretaci by to mohla být množina přirozených čísel . Pokud je doménou diskurzu množina reálných čísel, je tvrzení nepravdivé, přičemž $x = \sqrt 2$ je protipříkladem; je -li doména množinou přirozených, je tvrzení pravdivé, protože 2 není druhou mocninou žádného přirozeného čísla.

V teorii kategorií

Existuje další přístup k vesmírům, který je historicky spojen s teorií kategorií . To je myšlenka Grothendieckova vesmíru . Zhruba řečeno, Grothendieckův vesmír je množina, ve které lze provádět všechny obvyklé operace teorie množin. Tato verze vesmíru je definována jako jakákoli sada, pro kterou platí následující axiomy:

${\ Displaystyle x \ v u \ v U}$ implikuje ${\ displaystyle x \ v U}$
${\ displaystyle u \ v U}$ a znamenají { u , v }, ( u , v ) a . ${\ displaystyle v \ v U}$ ${\ displaystyle u \ times v \ in U}$
${\ displaystyle x \ v U}$ implikuje a ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} x \ v U}$ ${\ Displaystyle \ cup x \ v U}$
${\ displaystyle \ omega \ v U}$ (zde je sada všech konečných pořadových čísel .) ${\ displaystyle \ omega = \ {0,1,2, ... \}}$
if je surjektivní funkce pomocí a , pak . ${\ displaystyle f: a \ to b}$ ${\ displaystyle a \ v U}$ ${\ Displaystyle b \ podmnožina U}$ ${\ displaystyle b \ v U}$

Výhodou Grothendieckova vesmíru je, že je to vlastně soubor a nikdy ne pořádná třída. Nevýhodou je, že pokud se člověk dostatečně snaží, může opustit vesmír Grothendieck.

Nejběžnějším použitím Grothendieckova vesmíru U je brát U jako náhradu za kategorii všech sad. Jeden říká, že množina S je U - malá, pokud S ∈ U , a U - velká, jinak. V kategorii U - sada všech Ü sad -Malé má jak objekty všechny Ü -Malé sady a jako morphisms všechny funkce mezi těmito sadami. Sada objektů i sada morfismu jsou sady, takže je možné diskutovat o kategorii „všech“ sad, aniž bychom vyvolávali správné třídy. Pak je možné definovat další kategorie z hlediska této nové kategorie. Například, kategorie všech U -Malé kategorií je kategorie všech kategorií, jejichž cílem set a jejichž morfismus sady jsou v U . Pak jsou obvyklé argumenty teorie množin použitelné pro kategorii všech kategorií a člověk se nemusí obávat, že by náhodou mluvil o správných třídách. Protože jsou vesmíry Grothendieck extrémně velké, stačí to téměř ve všech aplikacích.

Matematici často při práci s Grothendieckovými vesmíry předpokládají Axiom vesmírů : „Pro jakýkoli soubor x existuje vesmír U takový, že x ∈ U. “ Pointa tohoto axiomu je, že jakákoli množina, se kterou se setkáte, je pak U -malá pro nějaké U , takže lze použít jakýkoli argument provedený v obecném Grothendieckově vesmíru. Tento axiom úzce souvisí s existencí silně nepřístupných kardinálů .

V teorii typů

V některých typových teoriích, zejména v systémech se závislými typy , lze za termíny považovat samotné typy . Existuje typ nazývaný vesmír (často označovaný ), který má jako své prvky typy. Aby se zabránilo paradoxům, jako je Girardův paradox (analogie Russellova paradoxu pro teorii typů), jsou teorie typů často vybaveny spočítatelně nekonečnou hierarchií takových vesmírů, přičemž každý vesmír je termínem dalšího. ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}}$

V teorii typů existují přinejmenším dva druhy vesmírů: vesmíry ve stylu Russella (pojmenované po Bertrandu Russellovi ) a vesmíry ve stylu Tarski (pojmenované podle Alfreda Tarskiho ). Vesmír ve stylu Russella je typ, jehož pojmy jsou typy. Vesmír ve stylu Tarski je typ spolu s operací interpretace, která nám umožňuje považovat jeho termíny za typy.

Viz také

Poznámky

Reference

Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro pracujícího matematika . Springer-Verlag New York, Inc.

externí odkazy

„Vesmír“ , encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. „Univerzální sada“ . MathWorld .

Languages

In other projects