Begriffsschrift -Begriffsschrift

Begriffsschrift (zhruba německy „koncept-skript“) je kniha o logice od Gottloba Fregeho , vydaná v roce 1879, a formálním systému , který je v této knize stanoven.

Begriffsschrift se obvykle překládá jako koncepční psaní nebo koncepční zápis ; úplný název knihy jej identifikuje jako „ formulovaný jazyk podle vzoru aritmetiky pro čisté myšlení “. Fregeova motivace pro rozvíjení jeho formálního přístupu k logice se podobala Leibnizově motivaci pro jeho poměrného poměrného kalkulátora (navzdory tomu Frege v předmluvě jasně popírá, že tohoto cíle dosáhl, a také, že jeho hlavním cílem by byla konstrukce ideálního jazyka, jako je Leibnizův Frege prohlašuje, že je to docela tvrdý a idealistický - i když ne nemožný - úkol). Frege pokračoval ve využití svého logického počtu ve svém výzkumu základů matematiky , který probíhal v průběhu příštího čtvrtstoletí. Toto je první práce v analytické filozofii , oboru, který budoucí britští a anglo filozofové jako Bertrand Russell dále rozvíjeli.

Zápis a systém

Kalkul obsahuje první výskyt kvantifikovaných proměnných a je v podstatě klasickou bivalentní logikou druhého řádu s identitou. Je dvojsmyslné v tom, že věty nebo vzorce označují buď True nebo False; druhého řádu, protože kromě objektových proměnných obsahuje také relační proměnné a umožňuje kvantifikaci obou. Modifikátor „s identitou“ určuje, že jazyk zahrnuje vztah identity, =. Frege uvedl, že jeho kniha byla jeho verzí characteristica universalis , leibnizovského konceptu, který by byl aplikován v matematice.

Frege představuje svůj kalkul pomocí výstředních dvojrozměrných zápisů : spojky a kvantifikátory jsou psány pomocí čar spojujících vzorce, spíše než dnes používané symboly ¬, ∧ a ∀. Například, že rozsudek B významně implikuje rozsudek A , tj. Je napsán jako . ${\ Displaystyle B \ rightarrow A}$

V první kapitole Frege definuje základní myšlenky a notaci, jako je tvrzení („úsudek“), univerzální kvantifikátor („obecnost“), podmíněnost , negace a „znak identity obsahu“ (který používal k označení obou materiální ekvivalence a vlastní identita); ve druhé kapitole prohlašuje devět formalizovaných tvrzení za axiomy. ${\ displaystyle \ equiv}$

Základní koncept	Fregeův zápis	Moderní notace
Soudě	${\ Displaystyle \ vdash A, \ Vdash A}$	${\ displaystyle p (A) = 1,}$ ${\ Displaystyle p (A) = i}$ ${\ Displaystyle \ vdash A, \ Vdash A}$
Negace		${\ Displaystyle \ neg A}$ ${\ displaystyle {\ sim} A}$
Podmíněné (implikace)		${\ Displaystyle B \ rightarrow A}$ ${\ displaystyle B \ supset A}$
Univerzální kvantifikace		${\ displaystyle \ forall x \, F (x)}$
Existenciální kvantifikace		${\ displaystyle \ existuje x \, F (x)}$
Identita obsahu (ekvivalence/identita)	${\ Displaystyle A \ equiv B}$	${\ Displaystyle A \ leftrightarrow B}$ ${\ Displaystyle A \ equiv B}$ ${\ displaystyle A = B}$

V kapitole 1, §5, Frege definuje podmíněné takto:

„Nechť A a B odkazují na hodnotný obsah, pak jsou čtyři možnosti:

1. A se tvrdí, B se tvrdí;
2. A se tvrdí, B se neguje;
3. A je negováno, B je uplatněno;
4. A je negováno, B je negováno.

Nechat

znamená, že třetí z těchto možností nedostane, ale jedna ze tří ostatních ano. Pokud tedy negujeme , znamená to, že platí třetí možnost, tj. Negujeme A a tvrdíme B. “

Kalkul ve Fregeově díle

Frege prohlásil devět svých propozic za axiomy a zdůvodnil je neformální argumentací, že vzhledem k jejich zamýšlenému významu vyjadřují samozřejmé pravdy. Tyto axiomy, vyjádřené v současné notaci, jsou:

1. ${\ Displaystyle \ vdash \ \ A \ rightarrow \ left (B \ rightarrow A \ right)}$
2. ${\ Displaystyle \ vdash \ \ \ left [\ A \ rightarrow \ left (B \ rightarrow C \ right) \ \ right] \ \ rightarrow \ \ left [\ \ left (A \ rightarrow B \ right) \ rightarrow \ left (A \ rightarrow C \ right) \ \ right]}$
3. ${\ Displaystyle \ vdash \ \ \ left [\ D \ rightarrow \ left (B \ rightarrow A \ right) \ \ right] \ \ rightarrow \ \ left [\ B \ rightarrow \ left (D \ rightarrow A \ right) \ \že jo]}$
4. ${\ Displaystyle \ vdash \ \ \ left (B \ rightarrow A \ right) \ \ rightarrow \ \ left (\ lnot A \ rightarrow \ lnot B \ right)}$
5. ${\ Displaystyle \ vdash \ \ \ lnot \ lnot A \ rightarrow A}$
6. ${\ Displaystyle \ vdash \ \ A \ rightarrow \ lnot \ lnot A}$
7. ${\ Displaystyle \ vdash \ \ \ left (c = d \ right) \ rightarrow \ left (f (c) = f (d) \ right)}$
8. ${\ Displaystyle \ vdash \ \ c = c}$
9. ${\ Displaystyle \ vdash \ \ \ forall a \ f (a) \ rightarrow \ f (c)}$

Toto jsou věty 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54 a 58 v Begriffschrifft . (1) - (3) upravují materiální implikace , (4) - (6) negace , (7) a (8) identita a (9) univerzální kvantifikátor . (7) vyjadřuje Leibniz je indiscernibility z identicals , a (8), uvádí, že identita je reflexivní relace .

Všechna ostatní tvrzení jsou odvozena z (1) - (9) vyvoláním některého z následujících odvozovacích pravidel :

• Modus ponens nám umožňuje odvodit z a ;${\ displaystyle \ vdash B}$${\ displaystyle \ vdash A \ to B}$${\ displaystyle \ vdash A}$
• Pravidlem generalizace nám umožňuje odvodit ze pokud x nedochází v P ;${\ Displaystyle \ vdash P \ to \ forall xA (x)}$${\ displaystyle \ vdash P \ to A (x)}$
• Pravidlo substituce , které Frege výslovně neuvádí. Toto pravidlo je mnohem těžší formulovat přesněji než dvě předchozí pravidla a Frege ho vyvolává způsoby, které nejsou zjevně legitimní.

Hlavními výsledky třetí kapitole s názvem „Části z obecné řady teorii,“ se týkají toho, co se nyní nazývá předcích ze vztahu R . „ a je R -předchůdce b “ se zapisuje „ aR * b “.

Výsledky z Begriffsschrifft , včetně těch o původu vztahu, použil Frege ve svém pozdějším díle Základy aritmetiky . Pokud tedy vezmeme xRy jako vztah y = x + 1, pak 0 R * y je predikát „ y je přirozené číslo“. (133) říká, že pokud x , y a z jsou přirozená čísla , pak musí platit jedno z následujících: x < y , x = y nebo y < x . Jedná se o takzvaný „zákon trichotomie “.

Filozofie

„Pokud je úkolem filozofie prolomit nadvládu slov nad lidskou myslí [...], pak můj konceptový zápis, vyvíjený pro tyto účely, může být užitečným nástrojem pro filozofy [...] Věřím, že příčina logiky bylo zdokonaleno již vynálezem této koncepční notace. "

-  Předmluva k Begriffsschrift

Vliv na další díla

Pečlivou nedávnou studii o tom, jak byl Begriffsschrift přezkoumán v německé matematické literatuře, viz Vilko (1998). Někteří recenzenti, zejména Ernst Schröder , byli celkově přízniví. Veškerá práce ve formální logice navazující na Begriffsschrift je jí vděčná, protože logika druhého řádu byla první formální logikou schopnou reprezentovat značnou část matematiky a přirozeného jazyka.

Některé pozůstatky Fregeovy notace přežívají v symbolu „ turniketu “ odvozeného z jeho „Urteilsstrich“ ( soudě/usuzování na mrtvici ) │ a „Inhaltsstrich“ (tj. Obsahová mrtvice ) ──. Frege použil tyto symboly v Begriffsschriftu v jednotné podobě ├─ pro prohlášení, že tvrzení je pravdivé. Ve svém pozdějším „Grundgesetze“ mírně reviduje svou interpretaci symbolu ├─. ${\ displaystyle \ vdash}$

V „Begriffsschrift“ „Definitionsdoppelstrich“ (tj. Definice dvojitého tahu ) │├─ naznačuje, že propozice je definicí. Znak negace lze dále číst jako kombinaci horizontálního Inhaltsstrichu s vertikálním negačním tahem. Tento symbol negace byl znovu zaveden Arendem Heytingem v roce 1930, aby se odlišilo intuicionistické od klasické negace. Objevuje se také v doktorské disertační práci Gerharda Gentzena . ${\ Displaystyle \ neg}$

V Tractatus Logico Philosophicus , Ludwig Wittgenstein vzdává hold Frege použitím termínu Begriffsschrift jako synonymum pro logické formalismu.

Fregeova esej z roku 1892 „ O smyslu a odkazu “ odvolává některé závěry Begriffsschrifft o identitě (v matematice označované znaménkem „=“). Odmítá zejména názor „Begriffsschrift“, že predikát identity vyjadřuje vztah mezi jmény, ve prospěch závěru, že vyjadřuje vztah mezi objekty, které jsou těmito jmény označeny .

Edice

• Gottlob Frege . Začněte s tím, že budete mít k dispozici všechny denní formuláře . Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879.

Překlady:

• Bynum, Terrell Ward , přel. a ed., 1972. Pojmový zápis a související články , s biografií a úvodem. Oxford Uni. Lis.
• Bauer-Mengelberg, Stefan, 1967, „Concept Script“ v Jean van Heijenoort , ed., From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 . Harvard Uni. Lis.
• Beaney, Michael, 1997, „Begriffsschrift: Selections (Předmluva a část I)“ v The Frege Reader . Oxford: Blackwell.

Viz také

• Rodový vztah
• Počet ekvivalentních tvrzení
• Fregeův propoziční kalkul
• Předchozí analytika
• Zákony myšlení
• Principia Mathematica

Reference

Bibliografie

externí odkazy

• Zalta, Edward N. „Fregeova logika, věta a základy pro aritmetiku“ . V Zalta, Edward N. (ed.). Stanfordská encyklopedie filozofie .
• Begriffsschrift jako fax ke stažení (2,5 MB)