Přístup k hledání řešení nehomogenních obyčejných diferenciálních rovnic
V matematice je metodou neurčitých koeficientů přístup k nalezení konkrétního řešení určitých nehomogenních obyčejných diferenciálních rovnic a relací rekurence . Je to úzce spjato s annihilatorovou metodou , ale namísto použití konkrétního druhu diferenciálního operátoru (annihilator) za účelem nalezení nejlepší možné formy konkrétního řešení se provede „odhad“ vhodné formy, což je poté testován diferenciací výsledné rovnice. U složitých rovnic je anihilační metoda nebo variace parametrů méně časově náročná.
Neurčené koeficienty nejsou tak obecnou metodou jako variace parametrů , protože fungují pouze pro diferenciální rovnice, které sledují určité formy.
Popis metody
Uvažujme lineární nehomogenní obyčejnou diferenciální rovnici formy
- kde označuje i-tou derivaci a a označuje funkci .
Metoda neurčených koeficientů poskytuje přímou metodu získání řešení této ODR, pokud jsou splněna dvě kritéria:
-
jsou konstanty.
-
g ( x ) je konstantní, je polynom funkce, exponenciální funkce , sinusové nebo kosinus funkce nebo , nebo konečné součty a výrobky z těchto funkcí ( , konstant).
Metoda spočívá v nalezení obecného homogenního řešení pro komplementární lineární homogenní diferenciální rovnici
a konkrétní integrál lineární nehomogenní obyčejné diferenciální rovnice založené na . Pak by bylo obecné řešení lineární nehomogenní obyčejné diferenciální rovnice
If se skládá ze součtu dvou funkcí a říkáme, že je to řešení založené na a řešení založené na . Potom pomocí principu superpozice můžeme říci, že konkrétní integrál je
Typické formy konkrétního integrálu
Abychom našli konkrétní integrál, musíme „uhodnout“ jeho formu, přičemž některé proměnné zůstanou jako proměnné, které se mají vyřešit. To má podobu první derivace doplňkové funkce. Níže je uvedena tabulka některých typických funkcí a řešení pro jejich odhad.
Pokud se v homogenním řešení objeví člen ve výše uvedeném konkrétním integrálu pro y , je nutné znásobit dostatečně velkou mocninu x , aby bylo řešení nezávislé. Pokud je funkcí x součet členů ve výše uvedené tabulce, lze daný integrál uhodnout pomocí součtu odpovídajících členů pro y .
Příklady
Příklad 1
Najděte konkrétní integrál rovnice
Pravá strana t cos t má tvar
s n = 2, α = 0 a β = 1.
Protože α + iβ = i je jednoduchý kořen charakteristické rovnice
měli bychom zkusit konkrétní integrál formy
Dosazením y p do diferenciální rovnice máme identitu
Při srovnání obou stran máme
který má řešení
Pak máme konkrétní integrál
Příklad 2
Zvažte následující lineární nehomogenní diferenciální rovnici:
Je to jako první příklad výše, až na to, že nehomogenní část ( ) není lineárně nezávislá na obecném řešení homogenní části ( ); ve výsledku musíme vynásobit náš odhad dostatečně velkou mocí x, aby byl lineárně nezávislý.
Zde se náš odhad stává:
Nahrazením této funkce a její derivace do diferenciální rovnice lze vyřešit pro A :
Obecné řešení této diferenciální rovnice tedy je:
Příklad 3
Najděte obecné řešení rovnice:
je polynom stupně 2, takže hledáme řešení ve stejné formě,
Zapojením této konkrétní funkce do původních rovnic se získá,
který dává:
Řešení pro konstanty dostaneme:
Chcete-li vyřešit obecné řešení,
kde je homogenní řešení , tedy obecné řešení je:
Reference