Wronskian - Wronskian
Diferenciální rovnice |
---|
Klasifikace |
Řešení |
V matematice je Wronskian (nebo Wrońskian ) determinant zavedený Józefem Hoene-Wroński ( 1812 ) a pojmenovaný Thomasem Muirem ( 1882 , kapitola XVIII). Používá se při studiu diferenciálních rovnic , kde někdy může vykazovat lineární nezávislost v sadě řešení.
Definice
Wronskian dvou diferencovatelných funkcí f a g je W ( f , g ) = f g ′ - g f ′ .
Obecněji, v případě n reálné - nebo komplexní cenil funkce f 1 ,. . . , F n , které jsou n - 1 krát diferencovatelná na intervalu I , v wronskián W ( f 1 .,.,, F n ) jako funkce na I je definována
To znamená, že je determinant z matrice konstruována umístěním funkce v první řadě, první derivace jednotlivé funkce v druhém řádku a tak dále až k ( n - 1) th derivát, a tak vytvořit čtvercovou matici .
Jsou -li funkce f i řešením lineární diferenciální rovnice , lze wronskianskou výslovně nalézt pomocí Abelovy identity , i když funkce f i nejsou výslovně známy.
Wronská a lineární nezávislost
Pokud jsou funkce f i lineárně závislé, pak jsou sloupce Wronskian, protože diferenciace je lineární operace, takže Wronskian zmizí. Wronskian lze tedy použít k ukázce, že sada diferencovatelných funkcí je lineárně nezávislá na intervalu tím, že ukazuje, že nezmizí identicky. V izolovaných bodech však může zmizet.
Běžná mylná představa je, že W = 0 všude znamená lineární závislost, ale Peano (1889) poukázal na to, že funkce x 2 a | x | · X má spojité deriváty a jejich wronskianské zmizí všude, přesto nejsou lineárně závislé v žádném sousedství 0 . Existuje několik dalších podmínek, které zajišťují, že mizení Wronskian v intervalu znamená lineární závislost. Maxime Bôcher poznamenal, že pokud jsou funkce analytické , pak mizení Wronskian v intervalu znamená, že jsou lineárně závislé. Bôcher (1901) poskytl několik dalších podmínek pro vymizení Wronskianů, což znamenalo lineární závislost; například pokud je wronskian n funkcí identicky nulový a n wronskianů z n - 1 z nich v žádném bodě nezmizí, pak jsou funkce lineárně závislé. Wolsson (1989a) dal obecnější podmínku, která spolu s mizením Wronskian implikuje lineární závislost.
Přes pole pozitivní charakteristiky p Wronskian může zmizet dokonce pro lineárně nezávislé polynomy; například wronskian z x p a 1 je identicky 0.
Aplikace na lineární diferenciální rovnice
Obecně platí, že pro lineární diferenciální rovnici tého řádu, pokud jsou známa řešení, poslední lze určit pomocí Wronskian.
Zvažte diferenciální rovnici druhého řádu v Lagrangeově notaci
kde jsou známy. Nazvěme tato dvě řešení rovnice a vytvořme jejich wronské
To potom ukazuje diferenciace a použití skutečnosti, která se řídí výše uvedenou diferenciální rovnicí
Wronskian se proto řídí jednoduchou diferenciální rovnicí prvního řádu a lze jej přesně vyřešit:
kde a je konstanta.
Předpokládejme nyní, že známe jedno z řešení, řekněme . Potom se podle definice Wronskiana řídí diferenciální rovnicí prvního řádu:
a dá se přesně vyřešit (alespoň teoreticky).
Metodu lze snadno zobecnit na rovnice vyššího řádu.
Generalizovaní Wronští
Pro n funkcí několika proměnných je generalizovaný wronskian determinant matice n o n s položkami D i ( f j ) (s 0 ≤ i < n ), kde každé D i je nějaký lineární parciální diferenciální operátor řádu s konstantním koeficientem já . Pokud jsou funkce lineárně závislé, pak všechny generalizované wronské zmizí. Stejně jako v případě jediné proměnné platí, že converse není obecně pravdivé: pokud všechny generalizované Wronskiany zmizí, neznamená to, že funkce jsou lineárně závislé. V mnoha zvláštních případech však platí opak. Pokud jsou například funkce polynomy a všechny generalizované Wronské zmizí, pak jsou funkce lineárně závislé. Roth použil tento výsledek o zobecněných Wronských ve svém důkazu Rothovy věty . Obecnější podmínky, za kterých je platná konverzace, viz Wolsson (1989b) .
Viz také
- Variace parametrů
- Mooreova matice , analogická Wronskianům s diferenciací nahrazenou Frobeniusovým endomorfismem přes konečné pole.
- Alternativní matice
- Vandermondova matice
Poznámky
Citace
Reference
- Bôcher, Maxime (1900–1901). „Teorie lineární závislosti“ . Annals of Mathematics . Princetonská univerzita . 2 (1/4): 81–96. doi : 10,2307/2007186 . ISSN 0003-486X . JSTOR 2007186 .
- Bôcher, Maxime (1901), „Některé případy, ve kterých je zmizení Wronskiana dostatečnou podmínkou lineární závislosti“ (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , Providence, RI: American Mathematical Society , 2 (2): 139 –149, doi : 10,2307/1986214 , ISSN 0002-9947 , JFM 32.0313.02 , JSTOR 1986214
- Bostan, Alin; Dumas, Philippe (2010). „Wronskiani a lineární nezávislost“. American Mathematical Monthly . Taylor & Francis . 117 (8): 722–727. arXiv : 1301,6598 . doi : 10,4169/000298910x515785 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 10,4169/000298910x515785 .
- Hartman, Philip (1964), Obyčejné diferenciální rovnice , New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-89871-510-1, MR 0171038 , Zbl 0125.32102
- Hoene-Wronski, J. (1812), Réfutation de la théorie des fonctions analytiques de Lagrange , Paris
- Muir, Thomas (1882), Pojednání o teorii determinantů. , Macmillan, JFM 15.0118.05
- Peano, Giuseppe (1889), „Sur le déterminant wronskien“. , Mathesis (ve francouzštině), IX : 75–76, 110–112, JFM 21.0153.01
- Rozov, N. Kh. (2001) [1994], „Wronskian“ , encyklopedie matematiky , EMS Press
- Wolsson, Kenneth (1989a), „Podmínka ekvivalentní lineární závislosti pro funkce s mizejícím Wronskianem“, Lineární algebra a její aplikace , 116 : 1–8, doi : 10,1016/0024-3795 (89) 90393-5 , ISSN 0024- 3795 , MR 0989712 , Zbl 0671.15005
- Wolsson, Kenneth (1989b), „Lineární závislost funkční sady m proměnných s mizícími generalizovanými Wronskiany“, Lineární algebra a její aplikace , 117 : 73–80, doi : 10,1016/0024-3795 (89) 90548-X , ISSN 0024-3795 , MR 0993032 , Zbl 0724.15004