Kvadratická rovnice - Quadratic equation

	${\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b^{2} -4ac}}}} {2a}}}$
Kvadratická rovnice pro kořeny obecného kvadratické rovnice

V algebře je kvadratická rovnice (z latinského quadratus pro „ čtverec “) jakákoli rovnice, kterou lze přeskupit ve standardní formě jako

${\ Displaystyle ax^{2}+bx+c = 0}$

kde x představuje neznámé a a , b , a c představují známá čísla, kde a ≠ 0 . Pokud a = 0 , pak je rovnice lineární , ne kvadratická, protože neexistuje žádný výraz. Čísla a , b , a c jsou koeficienty rovnice a lze je rozlišit tak, že je nazýváme kvadratický koeficient , lineární koeficient a konstantní nebo volný člen . ${\ Displaystyle sekera^{2}}$

Hodnoty x , které vyhovují rovnici se nazývají řešení této rovnice, a kořeny nebo nul z výrazu na jeho levé straně. Kvadratická rovnice má nejvýše dvě řešení. Pokud existuje pouze jedno řešení, říká se, že jde o dvojitý root . Pokud jsou všechny koeficienty reálná čísla , existují buď dvě reálná řešení, nebo jeden skutečný dvojitý kořen, nebo dvě komplexní řešení. Kvadratická rovnice má vždy dva kořeny, pokud jsou zahrnuty komplexní kořeny a pro dva se započítává dvojitý kořen. Kvadratickou rovnici lze zapracovat do ekvivalentní rovnice

${\ Displaystyle ax^{2}+bx+c = a (xr) (xs) = 0}$

kde r a s jsou řešení pro x . Dokončení čtverce na kvadratické rovnici ve standardní formě má za následek kvadratický vzorec , který vyjadřuje řešení pomocí a , b a c . Řešení problémů, které lze vyjádřit pomocí kvadratických rovnic, byla známá již v roce 2000 př. N. L.

Protože kvadratická rovnice zahrnuje pouze jednu neznámou, nazývá se „ univariate “. Kvadratické rovnice obsahuje pouze síly z x , které jsou nezáporná celá čísla, a proto je polynomická rovnice . Zejména se jedná o polynomiální rovnici druhého stupně , protože největší mocninou jsou dvě.

Řešení kvadratické rovnice

Obrázek 1. Grafy kvadratické funkce y = osa ² + bx + c , měnící se každý koeficient samostatně, zatímco ostatní koeficienty jsou pevné (při hodnotách a  = 1, b  = 0, c  = 0)

Kvadratická rovnice se skutečnými nebo komplexními koeficienty má dvě řešení, nazývaná kořeny . Tato dvě řešení mohou, ale nemusí být odlišná a mohou, ale nemusí být skutečná.

Faktorování kontrolou

Může být možné vyjádřit kvadratickou rovnici ax ² + bx + c = 0 jako součin ( px + q ) ( rx + s ) = 0 . V některých případech je možné jednoduchou kontrolou určit hodnoty p , q , r a s , díky nimž jsou tyto dvě formy navzájem ekvivalentní. Pokud je kvadratická rovnice zapsána ve druhé formě, pak "Vlastnost nulového faktoru" uvádí, že kvadratická rovnice je splněna, pokud px + q = 0 nebo rx + s = 0 . Řešení těchto dvou lineárních rovnic poskytuje kořeny kvadratické rovnice.

Pro většinu studentů je faktoring inspekcí první metodou řešení kvadratických rovnic, kterým jsou vystaveni. Je -li jedné dána kvadratická rovnice ve tvaru x ² + bx + c = 0 , hledaná faktorizace má tvar ( x + q ) ( x + s ) a je třeba najít dvě čísla q a s, která se sčítají b a jehož součinem je c (toto se někdy nazývá „Vietovo pravidlo“ a souvisí s Vietovými vzorci ). Například x ² + 5 x + 6 faktorů jako ( x + 3) ( x + 2) . Obecnější případ, kdy a se nerovná 1, může vyžadovat značné úsilí při pokusech a omylech uhodnutí a kontroly, za předpokladu, že je lze vůbec zohlednit kontrolou.

S výjimkou zvláštních případů, jako je b = 0 nebo c = 0 , funguje faktoring inspekcí pouze pro kvadratické rovnice, které mají racionální kořeny. To znamená, že velkou většinu kvadratických rovnic, které vznikají v praktických aplikacích, nelze vyřešit faktorizací kontrolou.

Dokončení náměstí

Obrázek 2. Pro kvadratické funkce y = x ² - x - 2 , v místech, kde graf protíná x v ose, x = -1 a x = 2 , jsou řešení kvadratické rovnice x ² - x - 2 = 0 .

Proces dokončení čtverce využívá algebraickou identitu

${\ Displaystyle x^{2}+2hx+h^{2} = (x+h)^{2},}$

což představuje dobře definovaný algoritmus, který lze použít k řešení jakékoli kvadratické rovnice. Počínaje kvadratickou rovnicí ve standardní formě, osa ² + bx + c = 0

1. Vydělte každou stranu a , koeficientem čtvercového výrazu.
2. Odečtěte konstantní člen c / a z obou stran.
3. Přidejte na obě strany druhou polovinu b / a , koeficient x . Tím se „dokončí čtverec“ a levá strana se převede na dokonalý čtverec.
4. Napište levou stranu jako čtverec a v případě potřeby pravou stranu zjednodušte.
5. Vytvořte dvě lineární rovnice porovnáním druhé odmocniny levé strany s kladnou a zápornou druhou odmocninou na pravé straně.
6. Vyřešte každou ze dvou lineárních rovnic.

Použití tohoto algoritmu ilustrujeme řešením 2 x ² + 4 x - 4 = 0

${\ Displaystyle 1) \ x^{2}+2x-2 = 0}$

${\ Displaystyle 2) \ x^{2}+2x = 2}$

${\ Displaystyle 3) \ x^{2}+2x+1 = 2+1}$

${\ Displaystyle 4) \ \ left (x+1 \ right)^{2} = 3}$

${\ Displaystyle 5) \ x+1 = \ pm {\ sqrt {3}}}$

${\ Displaystyle 6) \ x = -1 \ pm {\ sqrt {3}}}$

Symbol plus – minus „±“ znamená, že x = −1 + √ 3 a x = −1 - √ 3 jsou řešení kvadratické rovnice.

Kvadratický vzorec a jeho odvození

Dokončení čtverce lze použít k odvození obecného vzorce pro řešení kvadratických rovnic, který se nazývá kvadratický vzorec. Matematický důkaz bude nyní stručně shrnout. Polynomiální expanzí lze snadno vidět, že následující rovnice je ekvivalentní kvadratické rovnici:

${\ Displaystyle \ left (x+{\ frac {b} {2a}} \ right)^{2} = {\ frac {b^{2} -4ac} {4a^{2}}}.}$

Když vezmeme druhou odmocninu na obou stranách a izolujeme x , dostaneme:

${\ Displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}.}$

Některé zdroje, zvláště ty starší, používají alternativní parametrizace kvadratické rovnice, jako je ax ² + 2 bx + c = 0 nebo ax ² - 2 bx + c = 0  , kde b má velikost o polovinu běžnější, příp. s opačným znaménkem. Výsledkem jsou mírně odlišné formy řešení, ale jinak jsou ekvivalentní.

V literatuře lze nalézt řadu alternativních derivací . Tyto důkazy jsou jednodušší než standard doplňující čtvercovou metodu, představují zajímavé aplikace dalších často používaných technik v algebře nebo nabízejí pohled do jiných oblastí matematiky.

Méně známý kvadratický vzorec, použitý v Mullerově metodě, poskytuje stejné kořeny prostřednictvím rovnice

${\ Displaystyle x = {\ frac {2c} {-b \ pm {\ sqrt {b^{2} -4ac}}}}}.}$

To lze odvodit ze standardního kvadratického vzorce podle Vietových vzorců , které tvrdí, že součin kořenů je c / a .

Jednou vlastností této formy je, že získá jeden platný kořen, když a = 0 , zatímco druhý kořen obsahuje dělení nulou, protože když a = 0 , z kvadratické rovnice se stane lineární rovnice, která má jeden kořen. Naopak v tomto případě má běžnější vzorec dělení nulou pro jeden kořen a neurčitou formu 0/0 pro druhý kořen. Na druhou stranu, když c = 0 , běžnější vzorec poskytne dva správné kořeny, zatímco tato forma získá nulový kořen a neurčitou formu 0/0 .

Redukovaná kvadratická rovnice

Někdy je vhodné snížit kvadratickou rovnici tak, aby její počáteční koeficient byl jedna. To se provádí vydělením obou stran a , což je vždy možné, protože a je nenulové. Výsledkem je redukovaná kvadratická rovnice :

${\ Displaystyle x^{2}+px+q = 0,}$

kde p = b / a a q = c / a . Tato monická polynomická rovnice má stejná řešení jako originál.

Kvadratický vzorec pro řešení redukované kvadratické rovnice, zapsaný pomocí jejích koeficientů, je:

${\ Displaystyle x = {\ frac {1} {2}} \ left (-p \ pm {\ sqrt {p^{2} -4q}} \ right),}$

nebo ekvivalentně:

${\ Displaystyle x =-{\ frac {p} {2}} \ pm {\ sqrt {\ left ({\ frac {p} {2}} \ right)^{2} -q}}.}$

Diskriminační

Obrázek 3. Diskriminační znaky

V kvadratickém vzorci se výraz pod odmocninou označuje jako diskriminant kvadratické rovnice a často je reprezentován pomocí velkých písmen D nebo velkých řeckých delta :

${\ Displaystyle \ Delta = b^{2} -4ac.}$

Kvadratická rovnice se skutečnými koeficienty může mít jeden nebo dva odlišné skutečné kořeny nebo dva odlišné komplexní kořeny. V tomto případě diskriminátor určí počet a povahu kořenů. Existují tři případy:

• Pokud je diskriminant kladný, pak existují dva odlišné kořeny

${\ Displaystyle {\ frac {-b+{\ sqrt {\ Delta}}} {2a}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ frac {-b-{\ sqrt {\ Delta}}} { 2a}},}$

obě jsou reálná čísla. U kvadratických rovnic s racionálními koeficienty platí, že pokud je diskriminantem druhé číslo , pak kořeny jsou racionální - v ostatních případech to mohou být kvadratické iracionály .

• Pokud je diskriminant nulový, pak existuje přesně jeden skutečný kořen

${\ displaystyle -{\ frac {b} {2a}},}$

někdy se nazývá opakovaný nebo dvojitý kořen .

• Pokud je diskriminant negativní, pak neexistují žádné skutečné kořeny. Spíše existují dva odlišné (nereálné) komplexní kořeny

${\ Displaystyle -{\ frac {b} {2a}}+i {\ frac {\ sqrt { -\ Delta}} {2a}} \ quad {\ text {and}} \ quad -{\ frac {b} {2a}}-i {\ frac {\ sqrt {-\ Delta}} {2a}},}$

které jsou navzájem komplexními konjugáty . V těchto výrazech i je fiktivní jednotka .

Kořeny jsou tedy odlišné tehdy a jen tehdy, je-li diskriminační prvek nenulový, a kořeny jsou skutečné tehdy a jen tehdy, pokud diskriminační prvek není záporný.

Geometrická interpretace

Graf y = ax ² + bx + c , kde a a diskriminační b ² - 4 ac jsou kladné, s

• Kořeny a y -intercept v červené barvě
• Vrchol a osa symetrie v modré barvě
• Focus a directrix v růžové barvě

Vizualizace složitých kořenů y = ax ² + bx + c : parabola je otočena o 180 ° kolem svého vrcholu ( oranžová ). Jeho interintercepty x jsou otočeny o 90 ° kolem svého středového bodu a karteziánská rovina je interpretována jako komplexní rovina ( zelená ).

Funkce f ( x ) = ax ² + bx + c je kvadratická funkce . Graf jakékoli kvadratické funkce má stejný obecný tvar, který se nazývá parabola . Umístění a velikost paraboly a způsob jejího otevření závisí na hodnotách a , b a c . Jak ukazuje obrázek 1, pokud a > 0 , parabola má minimální bod a otevírá se nahoru. Pokud a <0 , parabola má maximální bod a otevírá se směrem dolů. Extrémní bod paraboly, ať už minimální nebo maximální, odpovídá jeho vrcholu . X -coordinate z vrcholu se nachází v , a y -coordinate na vrcholu lze nalézt nahrazením tohoto x -hodnota do funkce. Y -intercept se nachází v bodě (0, c ) . ${\ displaystyle \ scriptstyle x = {\ tfrac {-b} {2a}}}$

Řešení kvadratické rovnice ax ² + bx + c = 0 odpovídají kořenům funkce f ( x ) = ax ² + bx + c , protože jsou to hodnoty x, pro které f ( x ) = 0 . Jak je znázorněno na obrázku 2, je-li A , b , a c jsou reálná čísla a doména z F je množina reálných čísel, pak kořeny f jsou přesně x - poloha bodů, kde graf se dotýká x v ose . Jak je znázorněno na obrázku 3, pokud je diskriminant kladný, graf se dotkne osy x ve dvou bodech; pokud je nula, graf se dotkne v jednom bodě; a pokud je záporný, graf se nedotkne osy x .

Kvadratická faktorizace

Termín

${\ displaystyle xr}$

je faktor polynomu

${\ Displaystyle ax^{2}+bx+c}$

právě tehdy, když r je kořenem kvadratické rovnice

${\ Displaystyle ax^{2}+bx+c = 0.}$

Z kvadratického vzorce to vyplývá

${\ Displaystyle ax^{2}+bx+c = a \ left (x-{\ frac {-b+{\ sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}} \ right) \ left (x -{\ frac {-b-{\ sqrt {b^{2} -4ac}}}} {2a}} \ right).}$

Ve zvláštním případě b ² = 4 ac, kde má kvadratický pouze jeden odlišný kořen ( tj. Diskriminant je nula), lze kvadratický polynom započítat jako

${\ Displaystyle ax^{2}+bx+c = a \ left (x+{\ frac {b} {2a}} \ right)^{2}.}$

Grafické řešení

Obrázek 4. Výpočet grafové kalkulačky jednoho ze dvou kořenů kvadratické rovnice 2 x ² + 4 x - 4 = 0 . Přestože displej zobrazuje pouze pět platných čísel přesnosti, získaná hodnota xc je 0,732050807569 s přesností na dvanáct platných čísel.

Kvadratická funkce bez skutečného kořene: y = ( x - 5) ² + 9 . "3" je imaginární část x -interceptu. Skutečnou částí je x -souřadnice vrcholu. Kořeny jsou tedy 5 ± 3 i .

Řešení kvadratické rovnice

${\ Displaystyle ax^{2}+bx+c = 0}$

může být odvozen z grafu z kvadratické funkce

${\ Displaystyle y = ax^{2}+bx+c,}$

což je parabola .

Pokud paraboly protíná x v ose ve dvou bodech, jsou tam dva skutečné kořeny , které jsou x -coordinates těchto dvou bodů (nazývané také x -intercept).

Pokud je parabola tečná k ose x , existuje dvojitý kořen, který je souřadnicí x bodu kontaktního bodu mezi grafem a parabolou.

Pokud parabola neprotíná osu x , existují dva složité kořeny konjugátu . Přestože tyto kořeny nelze na grafu zobrazit, jejich skutečné a imaginární části ano .

Nechť h a k jsou příslušně souřadnicí x a souřadnicí y vrcholu paraboly (to je bod s maximální nebo minimální souřadnicí y . Kvadratickou funkci lze přepsat

${\ Displaystyle y = a (xh)^{2}+k.}$

Nechť d je vzdálenost mezi bodem y -souřadnice 2 k na ose paraboly a bodem na parabole se stejnou y -souřadnicí (viz obrázek; existují dva takové body, které dávají stejnou vzdálenost, kvůli symetrii paraboly). Potom je skutečná část kořenů h a jejich imaginární část je ± d . To znamená, že kořeny jsou

${\ displaystyle h+id \ quad {\ text {and}} \ quad x-id,}$

nebo v případě příkladu obrázku

${\ displaystyle 5+3i \ quad {\ text {and}} \ quad 5-3i.}$

Vyhnutí se ztrátě významu

Přestože kvadratický vzorec poskytuje přesné řešení, výsledek není přesný, pokud jsou reálná čísla aproximována během výpočtu, jak je obvyklé v numerické analýze , kde jsou reálná čísla aproximována čísly s plovoucí desetinnou čárkou (v mnoha programovacích jazycích se jim říká „reálná“ ). V této souvislosti není kvadratický vzorec zcela stabilní .

K tomu dochází, když kořeny mají různé řádové velikosti , nebo, ekvivalentně, když jsou b ² a b ² - 4 ac blízké velikosti. V tomto případě odečtení dvou téměř stejných čísel způsobí ztrátu významu nebo katastrofické zrušení v menším kořenu. Aby se tomu zabránilo, kořen, který má menší velikost, r , lze vypočítat jako kde R je kořen, který má větší velikost. ${\ Displaystyle (c/a)/R}$

Druhá forma zrušení může nastat mezi pojmy b ² a 4 ac diskriminátora, to je, když jsou dva kořeny velmi blízko. To může vést ke ztrátě až poloviny správných významných čísel v kořenech.

Příklady a aplikace

Dráha skokového můstku je parabolická, protože horizontální posun je lineární funkcí času , zatímco vertikální posun je kvadratickou funkcí času . Výsledkem je, že dráha sleduje kvadratickou rovnici , kde a jsou horizontální a vertikální složky původní rychlosti, a je gravitační zrychlení a h je původní výška. Hodnota a by zde měla být považována za zápornou, protože její směr (dolů) je opačný k měření výšky (nahoru).${\ displaystyle x = v_ {x} t}$${\ displaystyle y = {\ tfrac {1} {2}} v^{2}+v_ {y} t+h}$${\ Displaystyle y = {\ tfrac {a} {2v_ {x}^{2}}} x^{2}+{\ tfrac {v_ {y}} {v_ {x}}} x+h}$${\ displaystyle v_ {x}}$${\ displaystyle v_ {y}}$

Zlatý poměr je nalezen jako pozitivní řešení kvadratické rovnice${\ Displaystyle x^{2} -x-1 = 0.}$

Rovnice kružnice a ostatních kuželoseček - elipsy , paraboly a hyperboly - jsou kvadratické rovnice ve dvou proměnných.

Vzhledem k kosinu nebo sinusu úhlu, nalezení kosinu nebo sinusu úhlu, který je o polovinu menší, vyžaduje řešení kvadratické rovnice.

Proces zjednodušení výrazů zahrnujících druhou odmocninu výrazu zahrnujícího odmocninu jiného výrazu zahrnuje nalezení dvou řešení kvadratické rovnice.

Descartova věta uvádí, že pro každé čtyři líbající se (vzájemně tečné) kruhy jejich poloměry splňují konkrétní kvadratickou rovnici.

Rovnice dána Fuss teorému , takže vztah mezi poloměru bicentric čtyřúhelníku ‚s vepsané kružnice , poloměr jeho opsané kružnice , a vzdálenost mezi středy těchto kruhů může být vyjádřena jako kvadratické rovnice, pro které je vzdálenost mezi středy obou kruhů z hlediska jejich poloměrů je jedním z řešení. Druhý roztok stejné rovnice, pokud jde o příslušných poloměrů udává vzdálenost mezi centrem opsané kružnice a střed excircle části s ex-tangenciální čtyřúhelníkové .

Kritické body z několika kubických funkce a zlomových bodů jednoho quartic funkce lze nalézt tím, že řeší kvadratické rovnice.

Dějiny

Babylonští matematici již v roce 2000 př. N. L. (Zobrazeni na starobabylonských hliněných tabulkách ) mohli řešit problémy týkající se ploch a stran obdélníků. Existují důkazy datující tento algoritmus již od třetí urovské dynastie . V moderní notaci problémy obvykle zahrnovaly řešení dvojice simultánních rovnic tvaru:

${\ Displaystyle x+y = p, \ \ xy = q,}$

což je ekvivalentní tvrzení, že x a y jsou kořeny rovnice:

${\ Displaystyle z^{2}+q = pz.}$

Kroky uvedené babylonskými scribes pro vyřešení výše uvedeného problému, obdélníku, pokud jde o x a y , byly následující:

1. Vypočítejte polovinu p .
2. Vyrovnejte výsledek.
3. Odečíst q .
4. Najděte (kladnou) odmocninu pomocí tabulky čtverců.
5. Sečtěte výsledky kroků (1) a (4), abyste získali x .

V moderní notaci to znamená počítat , což je ekvivalent moderní kvadratické formule pro větší reálný kořen (pokud existuje) s a = 1 , b = - p , a c = q . ${\ Displaystyle x = \ left ({\ frac {p} {2}} \ right)+{\ sqrt {\ left ({\ frac {p} {2}} \ right)^{2} -q}} }$${\ displaystyle x = {\ frac {-b+{\ sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}$

K řešení kvadratických rovnic v Babylonii, Egyptě, Řecku, Číně a Indii byly použity geometrické metody. Egyptský berlínský papyrus , sahající až do Říše středu (2050 př. N. L. Až 1650 př. N. L.), Obsahuje řešení dvoustupňové kvadratické rovnice. Babylonští matematici z doby kolem roku 400 př. N. L. A čínští matematici z doby kolem roku 200 př. N. L. Použili geometrické metody pitvy k řešení kvadratických rovnic s kladnými kořeny. Pravidla pro kvadratické rovnice byla dána v devíti kapitolách o matematickém umění , čínském pojednání o matematice. Zdá se, že tyto rané geometrické metody neměly obecný vzorec. Euclid je řecký matematik , produkoval abstraktnější geometrickou metodu kolem 300 před naším letopočtem. S čistě geometrickým přístupem vytvořili Pythagoras a Euclid obecný postup pro hledání řešení kvadratické rovnice. Ve svém díle Arithmetica řecký matematik Diophantus vyřešil kvadratickou rovnici, ale dal pouze jeden kořen, i když byly oba kořeny kladné.

V 628 nl, Brahmagupta , An indický matematik , dal první řešení explicitní (i když stále ještě není zcela obecné) kvadratické rovnice ax ² + bx = c takto: „do absolutní číslo násobené čtyřnásobek [koeficientu] čtverec, sečtěte druhou mocninu [koeficientu] středního termínu; druhá odmocnina téhož, snížená o [koeficient] středního členu, vydělená dvojnásobkem [koeficientu] čtverce je hodnota. “ ( Brahmasphutasiddhanta , překlad Colebrook, 1817, strana 346) To odpovídá

${\ displaystyle x = {\ frac {{\ sqrt {4ac+b^{2}}}-b} {2a}}.}$

Bakhshaliho rukopis napsaný v Indii v 7. století n . L. Obsahoval algebraický vzorec pro řešení kvadratických rovnic a také kvadratických neurčitých rovnic (původně typu ax / c = y ). Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi ( Persie , 9. století), inspirovaný Brahmaguptou, vytvořil soubor vzorců, které pracovaly pro pozitivní řešení. Al-Khwarizmi jde dále v poskytování úplného řešení obecné kvadratické rovnice, akceptuje jednu nebo dvě číselné odpovědi pro každou kvadratickou rovnici a zároveň poskytuje geometrické důkazy v tomto procesu. Popsal také způsob dokončení náměstí a uznal, že diskriminátor musí být pozitivní, což dokázal jeho současník „Abd al-Hamīd ibn Turk (Střední Asie, 9. století), který poskytl geometrické obrazce, aby dokázal, že pokud je diskriminant negativní , kvadratická rovnice nemá řešení. Zatímco sám al-Khwarizmi neakceptoval negativní řešení, později islámští matematici, kteří ho nahradili, přijímali jako řešení negativní řešení, stejně jako iracionální čísla . Zejména Abū Kāmil Shujā ibn Aslam (Egypt, 10. století) jako první přijal iracionální čísla (často ve formě odmocniny , odmocniny nebo čtvrtého kořene ) jako řešení kvadratických rovnic nebo jako koeficienty v rovnici. Indický matematik 9. století Sridhara sepsal pravidla pro řešení kvadratických rovnic.

Židovský matematik Abraham bar Hiyya Ha-Nasi (12. století, Španělsko) je autorem první evropské knihy, která obsahuje úplné řešení obecné kvadratické rovnice. Jeho řešení bylo z velké části založeno na práci Al-Khwarizmiho. Psaní čínského matematika Yang Hui (1238–1298 n. L.) Je první známou, ve které se objevují kvadratické rovnice se zápornými koeficienty „x“, ačkoli to připisuje dřívější Liu Yi . V roce 1545 sestavil Gerolamo Cardano práce související s kvadratickými rovnicemi. Kvadratický vzorec pokrývající všechny případy poprvé získal Simon Stevin v roce 1594. V roce 1637 vydal René Descartes knihu La Géométrie obsahující kvadratický vzorec v podobě, v jaké ji známe dnes.

Pokročilá témata

Alternativní metody kořenového výpočtu

Vietiny vzorce

Graf rozdílu mezi Vietinou aproximací pro nejmenší kořen kvadratické rovnice x ² + bx + c = 0 ve srovnání s hodnotou vypočítanou pomocí kvadratického vzorce

Vztahy jsou Vietiny vzorce (pojmenované po François Viète )

${\ displaystyle x_ {1}+x_ {2} =-{\ frac {b} {a}}, \ quad x_ {1} x_ {2} = {\ frac {c} {a}}}$

mezi kořeny kvadratického polynomu a jeho koeficienty.

Tyto vzorce vyplývají bezprostředně ze vztahu:

${\ Displaystyle \ left (x-x_ {1} \ right) \ left (x-x_ {2} \ right) = x^{2}-\ left (x_ {1}+x_ {2} \ right) x +x_ {1} x_ {2} = 0,}$

které lze porovnávat termín po termínu s

${\ Displaystyle x^{2}+(b/a) x+c/a = 0.}$

První Vietův vzorec je užitečný pro vykreslení kvadratické funkce. Vzhledem k tomu, že graf je symetrický s ohledem na svislou čáru vrcholem , x -souřadnice souřadnic vrcholu se nachází v průměru kořenů (nebo zachycuje). Tak x -coordinate z vrcholu je

${\ displaystyle x_ {V} = {\ frac {x_ {1}+x_ {2}} {2}} =-{\ frac {b} {2a}}.}$

Y -coordinate lze získat substitucí výše uvedený výsledek do dané kvadratické rovnice, přičemž

${\ Displaystyle y_ {V} =-{\ frac {b^{2}} {4a}}+c =-{\ frac {b^{2} -4ac} {4a}}.}$

Tyto vzorce pro vrchol lze také odvodit přímo ze vzorce (viz Dokončení čtverce )

${\ Displaystyle ax^{2}+bx+c = a \ left (\ left (x-{\ frac {b} {2a}} \ right)^{2}-{\ frac {b^{2}- 4ac} {4a}} \ vpravo).}$

Pro numerické výpočty poskytují Vietovy vzorce užitečnou metodu pro nalezení kořenů kvadratické rovnice v případě, kdy je jeden kořen mnohem menší než druhý. Pokud | x ₂ | << | x ₁ | , pak x ₁ + x ₂ ≈ x ₁ a máme odhad:

${\ Displaystyle x_ {1} \ cca -{\ frac {b} {a}}.}$

Vzorec druhé Viety pak poskytuje:

${\ displaystyle x_ {2} = {\ frac {c} {ax_ {1}}} \ cca -{\ frac {c} {b}}.}$

Tyto vzorce lze mnohem snáze vyhodnotit než kvadratický vzorec za podmínky jednoho velkého a jednoho malého kořene, protože kvadratický vzorec vyhodnotí malý kořen jako rozdíl dvou velmi téměř stejných čísel (případ velkého b ), což způsobí zaokrouhlení -off chyba v numerickém hodnocení. Obrázek ukazuje rozdíl mezi (i) přímým hodnocením pomocí kvadratického vzorce (přesného, ​​když jsou kořeny blízko sebe v hodnotě) a (ii) hodnocením založeným na výše uvedené aproximaci Vietových vzorců (přesné, když jsou kořeny široce rozmístěny) ). Jak se lineární koeficient b zvyšuje, zpočátku je kvadratický vzorec přesný a přibližný vzorec zvyšuje přesnost, což vede k menšímu rozdílu mezi metodami, jak se b zvyšuje. V určitém okamžiku však kvadratický vzorec začíná ztrácet přesnost kvůli chybě zaokrouhlení, zatímco přibližná metoda se stále zlepšuje. V důsledku toho se rozdíl mezi metodami začíná zvyšovat, jak se kvadratický vzorec zhoršuje.

Tato situace nastává běžně v konstrukci zesilovače, kde jsou požadovány široce oddělené kořeny, aby byl zajištěn stabilní provoz (viz kroková odezva ).

Trigonometrické řešení

V dobách před kalkulačkami používali lidé ke zjednodušení a zrychlení výpočtu matematické tabulky - seznamy čísel ukazující výsledky výpočtu s různými argumenty. Tabulky logaritmů a goniometrických funkcí byly běžné v učebnicích matematiky a přírodních věd. Byly publikovány specializované tabulky pro aplikace jako astronomie, nebeská navigace a statistika. Existovaly metody numerické aproximace, nazývané prothaphaeresis , které nabízely zkratky pro časově náročné operace, jako je násobení a přebírání sil a kořenů. Zejména astronomové se zabývali metodami, které by mohly urychlit dlouhou řadu výpočtů zahrnutých do výpočtů nebeské mechaniky .

V tomto kontextu můžeme chápat vývoj prostředků pro řešení kvadratických rovnic pomocí goniometrické substituce . Uvažujme následující alternativní formu kvadratické rovnice,

[1]   ${\ Displaystyle sekera^{2}+bx \ pm c = 0,}$

kde je znaménko symbolu ± vybráno tak, že a a c mohou být kladné. Nahrazením

[2]   ${\ Displaystyle x = {\ sqrt {c/a}} \ tan \ theta}$

a poté vynásobením cos ² θ získáme

[3]   ${\ Displaystyle \ sin ^{2} \ theta +{\ frac {b} {\ sqrt {ac}}} \ sin \ theta \ cos \ theta \ pm \ cos ^{2} \ theta = 0.}$

Zavedením funkcí 2 θ a přeskupením získáme

[4]   ${\ Displaystyle \ tan 2 \ theta _ {n} =+2 {\ frac {\ sqrt {ac}} {b}},}$

[5]   ${\ Displaystyle \ sin 2 \ theta _ {p} =-2 {\ frac {\ sqrt {ac}} {b}},}$

kde dolní indexy n a p odpovídají použití záporného nebo kladného znaménka v rovnici [1] . Dosazením dvou hodnot θ _n nebo θ _p nalezených z rovnic [4] nebo [5] do [2] získáme požadované kořeny [1] . Komplexní kořeny se v řešení vyskytují na základě rovnice [5], pokud absolutní hodnota sin 2 θ _p převyšuje jednotu. Množství úsilí vynaloženého na řešení kvadratických rovnic pomocí této smíšené goniometrické a logaritmické strategie vyhledávání tabulek činilo dvě třetiny úsilí pomocí samotných logaritmických tabulek. Výpočet složitých kořenů by vyžadoval použití jiné trigonometrické formy.

Pro ilustraci předpokládejme, že jsme měli k dispozici sedmimístné logaritmické a trigonometrické tabulky, a přáli jsme si vyřešit následující přesnost šestimístných čísel:

${\ Displaystyle 4.16130x^{2}+9.15933x-11.4207 = 0}$

1. Sedmimístná vyhledávací tabulka může mít pouze 100 000 záznamů a výpočet mezivýsledků na sedm míst by obecně vyžadoval interpolaci mezi sousedními položkami.
2. ${\ Displaystyle \ log a = 0,6192290, \ log b = 0,9618637, \ log c = 1,0576927}$
3. ${\ Displaystyle 2 {\ sqrt {ac}}/b = 2 \ times 10^{(0.6192290+1.0576927) /2-0.9618637} = 1.505314}$
4. ${\ Displaystyle \ theta = (\ tan^{-1} 1,505314) /2=28.20169^{\ circ} {\ text {or}}-61,79831^{\ circ}}$
5. ${\ Displaystyle \ log | \ tan \ theta | = -0,2706462 {\ text {nebo}} 0,2706462}$
6. ${\ Displaystyle \ log {\ sqrt {c/a}} = (1.0576927-0.6192290) /2=0.2192318}$
7. ${\ displaystyle x_ {1} = 10^{0.2192318-0.2706462} = 0,888353}$ (zaokrouhleno na šest platných čísel)

${\ Displaystyle x_ {2} =-10^{0,2192318+0,2706462} =-3,08943}$

Řešení pro komplexní kořeny v polárních souřadnicích

V případě, že kvadratická rovnice s reálnými koeficienty má dva komplexní kořeny-případ, kdy vyžadují a c mít stejné znaménko jako navzájem, pak řešení pro kořeny může být vyjádřena v polárních formě jako ${\ Displaystyle ax^{2}+bx+c = 0}$${\ Displaystyle b^{2} -4ac <0,}$

${\ Displaystyle x_ {1}, \, x_ {2} = r (\ cos \ theta \ pm i \ sin \ theta),}$

kde a${\ displaystyle r = {\ sqrt {\ tfrac {c} {a}}}}$${\ Displaystyle \ theta = \ cos ^{-1} \ left ({\ tfrac {-b} {2 {\ sqrt {ac}}}} \ right).}$

Geometrické řešení

Obrázek 6. Geometrické řešení osy ² + bx + c = 0 pomocí Lillovy metody. Řešení jsou −AX1/SA, −AX2/SA

Kvadratickou rovnici lze řešit geometricky několika způsoby. Jedním ze způsobů je Lillina metoda . Tři koeficienty a , b , c jsou nakresleny pravými úhly mezi nimi jako v SA, AB a BC na obrázku 6. Nakreslí se kruh s počátečním a koncovým bodem SC jako průměrem. Pokud to zkrátí střední přímku AB ze tří, pak má rovnice řešení a řešení jsou dána záporem vzdálenosti podél této přímky od A děleno prvním koeficientem a nebo SA. Pokud je 1 koeficienty lze odečítat přímo. Řešení v diagramu jsou tedy −AX1/SA a −AX2/SA.

Carlyleho kruh kvadratické rovnice x ²  -  sx  +  p  = 0.

Carlyle kruh , pojmenoval Thomas Carlyle , má tu vlastnost, že řešení kvadratické rovnice jsou horizontální souřadnice průsečíky kruhu s vodorovnou osou . Carlyle kruhy byly použity k vývoji pravítko-a-kompas konstrukce z pravidelné mnohoúhelníky .

Zobecnění kvadratické rovnice

Vzorec a jeho odvození zůstává správné, pokud se koeficienty , b a c jsou komplexní čísla , nebo obecněji členy žádné pole , jehož charakteristika není 2 . (V poli charakteristiky 2 je prvek 2 a nulový a není možné jej dělit.)

Symbol

${\ displaystyle \ pm {\ sqrt {b^{2} -4ac}}}}$

ve vzorci by měl být chápán jako „jeden ze dvou prvků, jejichž čtverec je b ² - 4 ac , pokud takové prvky existují“. V některých oblastech některé prvky nemají odmocniny a některé mají dva; pouze nula má pouze jednu odmocninu, s výjimkou polí charakteristiky 2 . I když pole neobsahuje druhou odmocninu nějakého čísla, vždy existuje kvadratické pole rozšíření, které ano, takže kvadratický vzorec bude vždy dávat smysl jako vzorec v tomto poli rozšíření.

Charakteristika 2

V poli charakteristiky 2 kvadratický vzorec, který se spoléhá na to, že 2 je jednotka , neplatí. Zvažte monický kvadratický polynom

${\ Displaystyle x^{2}+bx+c}$

nad charakteristickým polem 2 . Pokud b = 0 , pak se řešení redukuje na extrahování odmocniny, takže řešení je

${\ displaystyle x = {\ sqrt {c}}}$

a od té doby existuje pouze jeden kořen

${\ Displaystyle -{\ sqrt {c}} = -{\ sqrt {c}}+2 {\ sqrt {c}} = {\ sqrt {c}}.}$

Celkem,

${\ displaystyle \ displaystyle x^{2}+c = (x+{\ sqrt {c}})^{2}.}$

Další informace o extrakci odmocnin v konečných polích najdete v kvadratickém zbytku .

V případě, že b ≠ 0 , existují dva různé kořeny, ale pokud je polynom neredukovatelný , nelze je vyjádřit pomocí odmocnin čísel v poli koeficientu. Místo toho definujte 2-root R ( c ) z c jako kořen polynomu x ² + x + c , prvek dělícího pole tohoto polynomu. Jeden ověří, že R ( c ) + 1 je také root. Pokud jde o operaci se 2 kořeny, dva kořeny (nemonické) kvadratické osy ² + bx + c jsou

${\ displaystyle {\ frac {b} {a}} R \ left ({\ frac {ac} {b^{2}}} \ right)}$

a

${\ Displaystyle {\ frac {b} {a}} \ left (R \ left ({\ frac {ac} {b^{2}}} \ right) +1 \ right).}$

Předpokládejme například, označují multiplikativní generátor skupiny jednotek F ₄ , v oblasti Galois objednávky čtyři (tak a + 1 jsou kořeny x ² + x + 1 nad F ₄ . Vzhledem k tomu, ( + 1) ² = a , a + 1 je jedinečné řešení kvadratické rovnice x ² + a = 0. Na druhé straně je polynom x ² + ax + 1 neredukovatelný nad F ₄ , ale rozděluje se nad F ₁₆ , kde má dva kořeny ab a ab + a , kde b je kořen x ² + x + a v F ₁₆ .

Toto je zvláštní případ Artin -Schreierovy teorie .

Viz také

• Řešení kvadratických rovnic s pokračujícími zlomky
• Lineární rovnice
• Kubická funkce
• Kvartická rovnice
• Kvintická rovnice
• Základní věta algebry

Reference

externí odkazy

• „Kvadratická rovnice“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Kvadratické rovnice“ . MathWorld .
• 101 použití kvadratické rovnice
• 101 použití kvadratické rovnice: Část II