Tensorový produkt algeber - Tensor product of algebras

Algebraická struktura → Teorie prstenů Teorie prstenů
Základní pojmy Prsteny • Podřetězce • Ideální • Kvocient kvocientu • Frakční ideál • Celkový kvocient prstence • Prsten produktu • Zdarma produkt asociativních algeber • Tenzorový součin prstenů Prstencové homomorfismy • Jádro • Vnitřní automorfismus • Frobeniusův endomorfismus Algebraické struktury • Modul • Asociativní algebra • Klasifikovaný prsten • Obratný prsten • Kategorie prstenů • Počáteční zazvonění ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Svorkovnice ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Související struktury • Pole • Konečné pole • Neasociativní prsten • Kroužek na lež • Jordanův prsten • Semiring • Semifield
Komutativní algebra Komutativní prsteny • Integrovaná doména • Integrálně uzavřená doména • GCD doména • Unikátní faktorizační doména • Hlavní ideální doména • Euklidovská doména • Pole • Konečné pole • Složení prstenu • Polynomiální prstenec • Kruh řady formálního výkonu Algebraická teorie čísel • Pole algebraických čísel • Kruh celých čísel • Algebraická nezávislost • Transcendentální teorie čísel • Stupeň transcendence p -adická teorie čísel a desetinná místa • Přímý limit / Inverzní limit • Nulový kroužek ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Celá čísla modulo p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /p^{n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -kroužek ${\ displaystyle \ mathbb {Z} (p^{\ infty})}$ • Základní - p kruh kruh ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • Base - p celá čísla ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -adické racionály ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1/p]}$ • Základna - p reálná čísla ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adická celá čísla ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -adická čísla ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • solenoid p -adic ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Algebraická geometrie • Afinní odrůda
Nekomutativní algebra Nekomutativní prsteny • Divizní prsten • Semiprimitivní prsten • Jednoduchý prsten • Komutátor Nekomutativní algebraická geometrie Zdarma algebra Cliffordova algebra • Geometrická algebra Operátorská algebra
proti t E

V matematice je tenzorový součin dvou algeber nad komutativním prstencem R také R -algebra. To dává tenzorový produkt algeber . Když je prsten pole , nejběžnější aplikací takových produktů je popsat součin reprezentací algebry .

Definice

Nechť R je komutativní kruh a A a B jsou R -algebry . Protože A a B mohou být oba považovány za R -moduly , jejich tenzorový produkt

${\ Displaystyle A \ otimes _ {R} B}$

je také R -modul. Tenzorovému součinu lze dát strukturu prstence definováním součinu na prvcích formy a  ⊗  b podle

${\ Displaystyle (a_ {1} \ otimes b_ {1}) (a_ {2} \ otimes b_ {2}) = a_ {1} a_ {2} \ otimes b_ {1} b_ {2}}$

a pak se rozšiřuje od linearity ke všem ⊗ _R B . Tento kroužek je R algebra, asociativní a unital s elementem identity dané 1  ⊗ 1 _B . kde 1 a 1 _B jsou identifikační prvky A a B . Pokud A a B jsou komutativní, pak tenzorový produkt je komutativní také.

Tensor produkt otočí kategorii z R -algebras do symetrické monoidal kategorie .

Další vlastnosti

Existují přirozené homomorfismy od A a B do A  ⊗ _R  B dané

${\ Displaystyle a \ mapsto a \ otimes 1_ {B}}$

${\ Displaystyle b \ mapsto 1_ {A} \ otimes b}$

Tyto mapy dělají z tenzorového produktu koprodukt v kategorii komutativních R -algeber . Tenzorový výrobek není koproduktem v kategorii všech R -algeber. Tam je koprodukt dán obecnějším volným produktem algeber . Nicméně tenzorový produkt nekomutativních algeber lze popsat univerzální vlastností podobnou koproduktu:

${\ Displaystyle {\ text {Hom}} (A \ otimes B, X) \ cong \ lbrace (f, g) \ in {\ text {Hom}} (A, X) \ times {\ text {Hom}} (B, X) \ mid \ pro všechny a \ v A, b \ v B: [f (a), g (b)] = 0 \ rbrace,}$

kde [ -, -] označuje komutátor . Přírodní izomorfismus je dána identifikací morfizmus na levé straně s dvojicí morfizmö na pravé straně, kde a podobně . ${\ Displaystyle \ phi: A \ otimes B \ to X}$${\ displaystyle (f, g)}$${\ Displaystyle f (a): = \ phi (a \ otimes 1)}$${\ Displaystyle g (b): = \ phi (1 \ otimes b)}$

Aplikace

Tenzorový produkt komutativních algeber je často používán v algebraické geometrii . Pro afinní schémata X , Y , Z s morfismy od X a Z do Y , takže X = Spec ( A ), Y = Spec ( B ) a Z = Spec ( C ) pro některé komutativní prstence A , B , C , vláknové produktové schéma je afinní schéma odpovídající tenzorovému produktu algeber:

${\ displaystyle X \ times _ {Y} Z = \ operatorname {Spec} (A \ otimes _ {B} C).}$

Obecněji je vláknitý produkt schémat definován slepením produktů z afinních vláken této formy.

Příklady

• Tenzorový součin lze použít jako prostředek pro přijímání průsečíků dvou podchemů ve schématu : uvažujme -algebry , pak jejich tenzorový součin je , který popisuje průsečík algebraických křivek f = 0 ag = 0 v afinní rovině přes C .${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y]}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y]/f}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y]/g}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y]/(f) \ otimes _ {\ mathbb {C} [x, y]} \ mathbb {C} [x, y]/(g) \ cong \ mathbb {C} [x, y]/(f, g)}$
• Obecněji řečeno, pokud je komutativní prsten a jsou ideály, pak s jedinečným izomorfismem odesílaným do .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle I, J \ subseteq A}$${\ displaystyle {\ frac {A} {I}} \ otimes _ {A} {\ frac {A} {J}} \ cong {\ frac {A} {I+J}}}$${\ Displaystyle (a+I) \ otimes (b+J)}$${\ displaystyle (ab+I+J)}$
• Produkty Tensor lze použít jako prostředek pro změnu koeficientů. Například a .${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x, y] /(x^{3}+5x^{2}+x-1) \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {Z} /5 \ cong \ mathbb {Z} /5 [x, y] /(x^{3}+x-1)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x, y]/(f) \ otimes _ {\ mathbb {Z}} \ mathbb {C} \ cong \ mathbb {C} [x, y]/(f)}$
• Tensorové produkty lze také použít k přebírání produktů afinních schémat přes pole. Například je izomorfní k algebře, která odpovídá afinnímu povrchu, pokud f a g nejsou nula.${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}, x_ {2}]/(f (x)) \ otimes _ {\ mathbb {C}} \ mathbb {C} [y_ {1}, y_ {2 }]/(g (y))}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}, x_ {2}, y_ {1}, y_ {2}]/(f (x), g (y))}$${\ displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}}^{4}}$

Viz také

• Rozšíření skalárů
• Tenzorový produkt modulů
• Tenzorový součin polí
• Lineárně disjunktní
• Učení víceřádkového subprostoru

Poznámky

Reference

• Kassel, Christian (1995), kvantové skupiny , absolventské texty z matematiky, 155 , Springer, ISBN 978-0-387-94370-1.
• Lang, Serge (2002) [první vydání v roce 1993]. Algebra . Absolventské texty z matematiky. 21 . Springer. ISBN 0-387-95385-X.