Objemový integrál - Volume integral

Část série článků o
Počet
Základní věta Leibnizovo integrální pravidlo Limity funkcí Kontinuita Věta o střední hodnotě Rolleova věta
Rozdíl Definice Derivace  ( zevšeobecnění ) Rozdíl infinitezimální funkce celkový Koncepty Diferenciační notace Druhá derivace Implicitní diferenciace Logaritmická diferenciace Související sazby Taylorova věta Pravidla a totožnost Součet Produkt Řetěz Napájení Kvocient Pravidlo L'Hôpital Inverzní Generál Leibniz Vzorec Faà di Bruno
Integrální Seznamy integrálů Integrální transformace Definice Antiderivativní Integrální  ( nesprávná ) Riemannův integrál Lebesgueova integrace Integrace kontury Integrace inverzních funkcí Integrace Díly Disky Válcové skořápky Střídání  ( trigonometrické , Weierstrass , Euler ) Eulerův vzorec Dílčí zlomky Změna pořadí Redukční vzorce Diferenciace pod integrálním znaménkem Rischův algoritmus
Série Geometrický  ( aritmeticko-geometrický ) Harmonický Střídavě Napájení Binomický Taylor Konvergenční testy Summand limit (semestrální test) Poměr Vykořenit Integrální Přímé srovnání Porovnání limitů Střídavá řada Cauchyova kondenzace Dirichlet Abel
Vektor Spád Divergence Kučera Laplacian Směrový derivát Totožnosti Věty Spád Zelenina Stokes ' Divergence zobecněný Stokes
Více proměnných Formalismy Matice Tenzor Vnější Geometrický Definice Parciální derivace Vícenásobný integrál Čára integrální Plošný integrál Objemový integrál Jacobian Hesián
Specializované Frakční Malliavin Stochastický Variace
Smíšený Precalculus Dějiny Glosář Seznam témat Integrace Bee Analýza
proti t E

V matematice (zejména vícerozměrném počtu ) se objemový integrál (∰) vztahuje na integrál přes trojrozměrnou doménu; to znamená, že se jedná o speciální případ více integrálů . Objemové integrály jsou zvláště důležité ve fyzice pro mnoho aplikací, například pro výpočet hustoty toku .

V souřadnicích

To může také znamenat trojnásobný integrál v rámci regionu části funkce a je obvykle psán jak: ${\ displaystyle D \ podmnožina \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle f (x, y, z),}$

${\ displaystyle \ iiint _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz.}$

Objemový integrál ve válcových souřadnicích je

${\ displaystyle \ iiint _ {D} f (\ rho, \ varphi, z) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz,}$

a objemový integrál ve sférických souřadnicích (používající konvenci ISO pro úhly s jako azimutem a měřený od polární osy (viz více o konvencích )) má tvar ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ iiint _ {D} f (r, \ theta, \ varphi) r ^ {2} \ sin \ theta \, dr \, d \ theta \, d \ varphi.}$

Příklad

Integrace rovnice přes jednotkovou kostku přináší následující výsledek: ${\ displaystyle f (x, y, z) = 1}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} 1 \, dx \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} (1-0) \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} \ left (1-0 \ right) dz = 1-0 = 1}$

Takže objem jednotkové kostky je podle očekávání 1. To je však poměrně triviální a objemový integrál je mnohem silnější. Například pokud máme na jednotkové krychli funkci skalární hustoty, pak objemový integrál dá celkovou hmotnost krychle. Například pro funkci hustoty:

${\ displaystyle {\ begin {cases} f: \ mathbb {R} ^ {3} \ to \ mathbb {R} \\ f: (x, y, z) \ mapsto x + y + z \ end {cases} }}$

celková hmotnost krychle je:

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} (x + y + z) \, dx \, dy \, dz = \ int _ {0} ^ {1} \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {1} {2}} + y + z \ right) dy \, dz = \ int _ {0 } ^ {1} (1 + z) \, dz = {\ frac {3} {2}}}$

Viz také

• Věta o divergenci
• Plošný integrál
• Prvek hlasitosti

externí odkazy

• „Vícenásobný integrál“ , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Volume integrál“ . MathWorld .