Vícenásobný integrál - Multiple integral

Část série článků o
Počet
Základní věta Leibnizovo integrální pravidlo Limity funkcí Kontinuita Věta o střední hodnotě Rollova věta
Rozdíl Definice Derivace  ( zobecnění ) Rozdíl infinitezimální funkce celkový Pojmy Diferenciační notace Druhá derivace Implicitní diferenciace Logaritmická diferenciace Související ceny Taylorova věta Pravidla a identity Součet Produkt Řetěz Napájení Kvocient Pravidlo L'Hôpital Inverzní Generál Leibniz Vzorec Faà di Bruna Reynolds
Integrální Seznamy integrálů Integrální transformace Definice Antiderivativní Integrální  ( nevhodné ) Riemannův integrál Integrace Lebesgue Integrace obrysů Integrace inverzních funkcí Integrace od Díly Disky Válcové skořepiny Substituce  ( trigonometrická , Weierstrassova , Eulerova ) Eulerův vzorec Částečné zlomky Změna pořadí Redukční vzorce Rozlišování podle integrálního znaku Rischův algoritmus
Série Geometrický  ( aritmeticko-geometrický ) Harmonický Střídavě Napájení Binomický Taylor Konvergenční testy Limit součtu (termínový test) Poměr Vykořenit Integrální Přímé srovnání Porovnání limitů Střídající se série Cauchyho kondenzace Dirichlet Abel
Vektor Spád Divergence Kučera Laplacián Směrový derivát Identity Věty Spád Zelenina Stokes ' Divergence generalizované Stokes
Více proměnných Formalismy Matice Tensor Vnější Geometrický Definice Parciální derivace Vícenásobný integrál Liniový integrál Povrchový integrál Objemový integrál Jakobijský Hesián
Specializované Frakční Malliavin Stochastický Variace
Smíšený Precalculus Dějiny Glosář Seznam témat Integrace Bee Analýza
proti t E

V matematiky (konkrétně multivariable ), což je násobek integrál je určitý integrál z funkce více proměnných , například, f ( x , y ) nebo f ( x , y , z ) . Integrály funkce dvou proměnných nad oblastí v ( rovině reálných čísel ) se nazývají dvojité integrály a integrály funkce tří proměnných v oblasti v (3D prostoru reálného čísla) se nazývají trojné integrály . Více integrálů funkce s jednou proměnnou najdete v Cauchyově vzorci pro opakovanou integraci . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

Úvod

Stejně jako určitý integrál kladné funkce jedné proměnné představuje oblast oblasti mezi grafem funkce a osou x , představuje dvojitý integrál kladné funkce dvou proměnných objem oblasti mezi povrchem definovaným funkcí (na trojrozměrné karteziánské rovině, kde z = f ( x , y ) ) a rovinou, která obsahuje její doménu . Pokud existuje více proměnných, vícenásobný integrál přinese hypervolumes vícerozměrných funkcí.

Vícenásobná integrace funkce v n proměnných: f ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) přes doménu D je nejčastěji reprezentována vnořenými integrálními znaky v obráceném pořadí provádění (integrální znak úplně vlevo je počítán jako poslední ), za kterým následují argumenty funkce a integrand ve správném pořadí (integrál s ohledem na argument zcela vpravo se počítá jako poslední). Oblast integrace je buď reprezentována symbolicky pro každý argument nad každým integrálním znaménkem, nebo je zkrácena proměnnou v nejzazším integrálním znaku:

${\ Displaystyle \ int \ cdots \ int _ {\ mathbf {D}} \, f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \, dx_ {1} \! \ cdots dx_ {n}}$

Protože je pojem antiderivativa definován pouze pro funkce jediné reálné proměnné, obvyklá definice neurčitého integrálu se nevztahuje bezprostředně na násobný integrál.

Matematická definice

Pro n > 1 zvažte takzvanou „napůl otevřenou“ n- dimenzionální hyperrektangulární doménu T definovanou jako:

${\ Displaystyle T = [a_ {1}, b_ {1}) \ times [a_ {2}, b_ {2}) \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}) \ subseteq \ mathbb {R} ^{n}.}$

Rozdělte každý interval [ a _j , b _j ) na konečnou rodinu I _j nepřekrývajících se podintervalů i _{j α} , přičemž každý subinterval je uzavřen na levém konci a otevřen na pravém konci.

Potom konečná rodina pod obdélníků C daná

${\ Displaystyle C = I_ {1} \ times I_ {2} \ times \ cdots \ times I_ {n}}$

je přepážka z T ; to znamená, že subrectangles C _K nepřekrývají a jejich odbor je T .

Nechť f  : T → R je funkce definovaná na T . Uvažujme oddíl C z T, jak je definován výše, tak, že C je rodina m sub obdélníků C _m a

${\ Displaystyle T = C_ {1} \ cup C_ {2} \ cup \ cdots \ cup C_ {m}}$

Můžeme aproximovat celkový ( n + 1) objemový objem ohraničený níže n -dimenzionálním hyperrektanglem T a výše n -dimenzionálním grafem f s následujícím Riemannovým součtem :

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1}^{m} f (P_ {k}) \, \ operatorname {m} (C_ {k})}$

kde P _k je bod v C _k a m ( C _k ) je součin délek intervalů, jejichž karteziánský součin je C _k , také známý jako míra C _k .

Průměr z subrectangle C _k je největší délek intervalů, jejichž kartézský součin je C _k . Průměr dané přepážky T je definován jako největší z průměrů sub obdélníků v přepážce. Intuitivně, jak je průměr přepážky C omezován stále menší, počet pod obdélníků m se zvětšuje a míra m ( C _k ) každého pod obdélníku se zmenšuje. Funkce f se říká, že je Riemann integrovatelná, pokud je limit

${\ Displaystyle S = \ lim _ {\ delta \ to 0} \ sum _ {k = 1}^{m} f (P_ {k}) \, \ operatorname {m} (C_ {k})}$

existuje, kde je limit převzat všechny možné oddíly T průměru nejvýše δ .

Pokud f je Riemann integrovatelný, S se nazývá Riemann integrál z f přes T a je označován

${\ Displaystyle \ int \ cdots \ int _ {T} \, f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}) \, dx_ {1} \! \ cdots dx_ {n}}$

Tento zápis je často zkrácen jako

${\ Displaystyle \ int _ {T} \! f (\ mathbf {x}) \, d^{n} \ mathbf {x}.}$

kde x představuje n -tuple ( x ₁ , ..., x _n ) a d ⁿ x je n -dimenzionální objemový diferenciál .

Riemannův integrál funkce definované přes libovolně ohraničenou n -dimenzionální množinu lze definovat rozšířením této funkce na funkci definovanou přes napůl otevřený obdélník, jehož hodnoty jsou mimo doménu původní funkce nulové. Pak je integrál původní funkce nad původní doménou definován jako integrál rozšířené funkce přes její obdélníkovou doménu, pokud existuje.

V následujícím bude Riemannův integrál v n rozměrech nazýván vícenásobný integrál .

Vlastnosti

Vícenásobné integrály mají mnoho vlastností společných vlastnostem integrálů funkcí jedné proměnné (linearita, komutativita, monotonie atd.). Jednou důležitou vlastností více integrálů je, že hodnota integrálu je za určitých podmínek nezávislá na pořadí integrands. Tato vlastnost je známá jako Fubiniho věta .

Zvláštní případy

V případě , integrálu ${\ Displaystyle T \ subseteq \ mathbb {R} ^{2}}$

${\ Displaystyle l = \ iint _ {T} f (x, y) \, dx \, dy}$

je dvojitý integrál z f o T , a je-li integrálu ${\ Displaystyle T \ subseteq \ mathbb {R} ^{3}}$

${\ Displaystyle l = \ iiint _ {T} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz}$

je trojnásobný integrál z f o T .

Všimněte si, že podle konvence má dvojitý integrál dvě integrální znaménka a trojná integrál má tři; toto je notační konvence, která je vhodná při výpočtu vícenásobného integrálu jako iterovaného integrálu, jak je ukázáno dále v tomto článku.

Metody integrace

Řešení problémů s více integrály spočívá ve většině případů v nalezení způsobu, jak redukovat vícenásobný integrál na iterovaný integrál , řadu integrálů jedné proměnné, z nichž každá je přímo řešitelná. U spojitých funkcí je to odůvodněno Fubiniho větou . Někdy je možné získat výsledek integrace přímým vyšetřením bez jakýchkoli výpočtů.

Následuje několik jednoduchých způsobů integrace:

Integrace konstantních funkcí

Když je integrand konstantní funkcí c , integrál se rovná součinu c a mírou oblasti integrace. Pokud c = 1 a doména je podoblastí R ² , integrál udává oblast oblasti, zatímco pokud je doménou podoblast R ³ , integrál udává objem oblasti.

Příklad. Nechť f ( x , y ) = 2 a

${\ Displaystyle D = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R} ^{2} \: \ 2 \ leq x \ leq 4 \; \ 3 \ leq y \ leq 6 \ right \}}$

v jakém případě

${\ Displaystyle \ int _ {3}^{6} \ int _ {2}^{4} \ 2 \ dx \, dy = 2 \ int _ {3}^{6} \ int _ {2}^{ 4} \ 1 \ dx \, dy = 2 \ cdot \ operatorname {area} (D) = 2 \ cdot (2 \ cdot 3) = 12,}$

protože podle definice máme:

${\ Displaystyle \ int _ {3}^{6} \ int _ {2}^{4} \ 1 \ dx \, dy = \ operatorname {area} (D).}$

Použití symetrie

Je -li doména integrace symetrická k původu s ohledem na alespoň jednu z integračních proměnných a integrand je s ohledem na tuto proměnnou lichý , integrál je roven nule, protože integrály přes obě poloviny domény mají stejnou absolutní hodnotu, ale opačná znamení. Když je integrand vzhledem k této proměnné sudý , integrál se rovná dvojnásobku integrálu na jedné polovině domény, protože integrály na obou polovinách domény jsou stejné.

Příklad 1. Uvažujme funkci f ( x , y ) = 2 sin ( x ) - 3 y ³ + 5 integrovanou přes doménu

${\ Displaystyle T = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbb {R}^{2} \: \ x^{2}+y^{2} \ leq 1 \ right \},}$

disk o poloměru  1 se středem na počátku se zahrnutou hranicí.

Pomocí vlastnosti linearity lze integrál rozložit na tři části:

${\ Displaystyle \ iint _ {T} \ left (2 \ sin x-3y^{3} +5 \ right) \, dx \, dy = \ iint _ {T} 2 \ sin x \, dx \, dy -\ iint _ {T} 3 roky^{3} \, dx \, dy+\ iint _ {T} 5 \, dx \, dy}$

Funkce 2 sin ( x ) je lichá funkce v proměnné x a disk T je symetrický vzhledem k ose y , takže hodnota prvního integrálu je 0. Podobně funkce 3 y ³ je lichá funkce z Y a T je symetrický vzhledem k x v ose, a tak jediný přínos ke konečným výsledkem je to, že třetí integrálu. Původní integrál je tedy roven oblasti disku krát 5 nebo 5 π .

Příklad 2. Uvažujme funkci f ( x , y , z ) = x exp ( y ² + z ² ) a jako integrační oblast je koule o poloměru 2 vystředěna na počátku,

${\ Displaystyle T = \ left \ {(x, y, z) \ in \ mathbb {R}^{3} \: \ x^{2}+y^{2}+z^{2} \ leq 4 \že jo\}.}$

"Koule" je symetrická kolem všech tří os, ale stačí ji integrovat s ohledem na osu x, aby se ukázalo, že integrál je 0, protože funkce je zvláštní funkcí této proměnné.

Normální domény na R ²

Tato metoda je použitelná pro jakoukoli doménu D, pro kterou:

• projekce z D na buď x aretačním kroužkem nebo y v ose je ohraničen dvěma hodnotami, a b
• jakákoli přímka kolmá k této ose, která prochází mezi těmito dvěma hodnotami, protíná doménu v intervalu, jehož koncové body jsou dány grafy dvou funkcí, α a β .

Taková doména se zde bude nazývat normální doména . Jinde v literatuře se normálním doménám někdy říká domény typu I nebo typu II, podle toho, na které ose je doména vláknitá. Ve všech případech musí být funkce, která má být integrována, Riemann integrovatelná v doméně, což platí (například), pokud je funkce spojitá.

x -osa

Pokud je doména D vzhledem k ose x normální a f  : D → R je spojitá funkce ; pak α ( x ) a β ( x ), (z nichž oba jsou definovány v intervalu [ , b ] ), jsou tyto dvě funkce, které určují D . Potom podle Fubiniho věty:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} f (x, y) \, dx \, dy = \ int _ {a}^{b} dx \ int _ {\ alpha (x)}^{\ beta (x) } f (x, y) \, dy.}$

y -osa

Pokud D je normální vzhledem k ose y a f  : D → R je spojitá funkce; pak α ( y ) a β ( y ), (z nichž oba jsou definovány v intervalu [ , b ] ), jsou tyto dvě funkce, které určují D . Opět podle Fubiniho věty:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} f (x, y) \, dx \, dy = \ int _ {a}^{b} dy \ int _ {\ alpha (y)}^{\ beta (y) } f (x, y) \, dx.}$

Normální domény na R ³

Pokud T je doména, která je normální vzhledem k rovině xy a je určena funkcemi α ( x , y ) a β ( x , y ) , pak

${\ Displaystyle \ iiint _ {T} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iint _ {D} \ int _ {\ alpha (x, y)}^{\ beta ( x, y)} f (x, y, z) \, dz \, dx \, dy}$

Tato definice je stejná pro dalších pět případů normality na R ³ . Lze to zobecnit přímočaře na domény v R ⁿ .

Změna proměnných

Hranice integrace často nejsou snadno zaměnitelné (bez normality nebo s integrovanými složitými vzorci). Člověk provede změnu proměnných, aby přepsal integrál v „pohodlnější“ oblasti, což lze popsat jednoduššími vzorci. K tomu musí být funkce přizpůsobena novým souřadnicím.

Příklad 1a. Funkce je f ( x , y ) = ( x - 1) ² + √ y ; pokud člověk přijme substituci u = x - 1 , v = y, tedy x = u + 1 , y = v, získá novou funkci f ₂ ( u , v ) = ( u ) ² + √ v .

• Podobně pro doménu, protože je ohraničena původními proměnnými, které byly transformovány dříve ( v příkladu x a y ).
• diferenciály dx a dy transformují přes absolutní hodnotu determinantu jakobijské matice obsahující parciální derivace transformací týkajících se nové proměnné (uvažujme jako příklad diferenciální transformaci v polárních souřadnicích).

Existují tři hlavní „druhy“ změn veličiny (jeden v R ² , dva v R ³ ); obecnější substituce však lze provést na stejném principu.

Polární souřadnice

V případě R ^2, pokud má doména kruhovou symetrii a funkce má určité specifické vlastnosti, lze transformaci použít na polární souřadnice (viz příklad na obrázku), což znamená, že obecné body P ( x , y ) v karteziánských souřadnicích se přepnou na jejich příslušné body v polárních souřadnicích. To umožňuje změnit tvar domény a zjednodušit operace.

Základní vztah k provedení transformace je následující:

${\ Displaystyle f (x, y) \ rightarrow f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi).}$

Příklad 2a. Funkce je f ( x , y ) = x + y a použitím transformace se získá

${\ Displaystyle f (\ rho, \ varphi) = \ rho \ cos \ varphi +\ rho \ sin \ varphi = \ rho (\ cos \ varphi +\ sin \ varphi).}$

Příklad 2b. Funkce je f ( x , y ) = x ² + y ² , v tomto případě má:

${\ Displaystyle f (\ rho, \ varphi) = \ rho ^{2} \ left (\ cos ^{2} \ varphi +\ sin ^{2} \ varphi \ right) = \ rho ^{2}}$

pomocí Pythagorovy trigonometrické identity (velmi užitečné pro zjednodušení této operace).

Transformace domény se provádí definováním délky koruny poloměru a amplitudy popsaného úhlu k definování intervalů ρ , φ počínaje x , y .

Příklad 2c. Doména je D = { x ² + y ² ≤ 4} , což je obvod poloměru 2; je zřejmé, že zakrytý úhel je kruhový úhel, takže φ se pohybuje od 0 do 2 π , zatímco poloměr koruny se pohybuje od 0 do 2 (koruna s nulovým vnitřním poloměrem je pouze kruh).

Příklad 2d. Doména je D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, y ≥ 0} , to je kruhová korunka v kladné y polorovině (viz obrázek na příkladu); φ popisuje úhel roviny, zatímco ρ se pohybuje od 2 do 3. Transformovanou doménou tedy bude následující obdélník :

${\ Displaystyle T = \ {2 \ leq \ rho \ leq 3, \ 0 \ leq \ varphi \ leq \ pi \}.}$

Jakobián faktorem této transformace je následující:

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné (x, y)} {\ částečné (\ rho, \ varphi)}}} = {\ begin {vmatrix} \ cos \ varphi &-\ rho \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi & \ rho \ cos \ varphi \ end {vmatrix}} = \ rho}$

který byl získán vložením parciálních derivací x = ρ cos ( φ ) , y = ρ sin ( φ ) do prvního sloupce vzhledem k ρ a ve druhém vztahu k φ , takže diferenciály dx dy v této transformaci se stanou ρ dρ dφ .

Jakmile je funkce transformována a doména vyhodnocena, je možné definovat vzorec pro změnu proměnných v polárních souřadnicích:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} f (x, y) \, dx \, dy = \ iint _ {T} f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi.}$

φ platí v intervalu [0, 2π], zatímco ρ , což je míra délky, může mít pouze kladné hodnoty.

Příklad 2e. Funkce je f ( x , y ) = x a doména je stejná jako v příkladu 2d. Z předchozí analýzy D známe intervaly ρ (od 2 do 3) a φ (od 0 do π ). Nyní změníme funkci:

${\ Displaystyle f (x, y) = x \ longrightarrow f (\ rho, \ varphi) = \ rho \ cos \ varphi.}$

nakonec použijme integrační vzorec:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} x \, dx \, dy = \ iint _ {T} \ rho \ cos \ varphi \ rho \, d \ rho \, d \ varphi.}$

Jakmile jsou intervaly známy, máte

${\ Displaystyle \ int _ {0}^{\ pi} \ int _ {2}^{3} \ rho^{2} \ cos \ varphi \, d \ rho \, d \ varphi = \ int _ {0 }^{\ pi} \ cos \ varphi \ d \ varphi \ left [{\ frac {\ rho^{3}} {3}} \ right] _ {2}^{3} = {\ Big [} \ sin \ varphi {\ Big]} _ {0}^{\ pi} \ \ left (9-{\ frac {8} {3}} \ right) = 0.}$

Válcové souřadnice

V R ³ lze integraci na domény s kruhovou základnou provést přechodem do válcových souřadnic ; transformace funkce se provádí následujícím vztahem:

${\ Displaystyle f (x, y, z) \ rightarrow f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi, z)}$

Transformace domény může být dosaženo graficky, protože se mění pouze tvar základny, zatímco výška odpovídá tvaru počáteční oblasti.

Příklad 3a. Oblast je D = { x ² + y ² ≤ 9, x ² + y ² ≥ 4, 0 ≤ z ≤ 5} (to je „trubice“, jejíž základnou je kruhová korunka z příkladu 2d a jejíž výška je 5) ; pokud se použije transformace, získá se tato oblast:

${\ Displaystyle T = \ {2 \ leq \ rho \ leq 3, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, \ 0 \ leq z \ leq 5 \}}$

(to znamená rovnoběžnostěn, jehož základna je podobná obdélníku v příkladu 2d a jehož výška je 5).

Protože složka z je během transformace neměnná, diferenciály dx dy dz se mění jako při průchodu k polárním souřadnicím: proto se stanou ρ dρ dφ dz .

Nakonec je možné použít konečný vzorec na válcové souřadnice:

${\ Displaystyle \ iiint _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi, z ) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz.}$

Tato metoda je vhodná v případě válcových nebo kuželových domén nebo v oblastech, kde je snadné individualizovat interval z a dokonce transformovat kruhovou základnu a funkci.

Příklad 3b. Funkce je f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z a jako integrační doména tento válec : D = { x ² + y ² ≤ 9, −5 ≤ z ≤ 5} . Transformace D ve válcových souřadnicích je následující:

${\ Displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 3, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, \ -5 \ leq z \ leq 5 \}.}$

zatímco funkce se stane

${\ Displaystyle f (\ rho \ cos \ varphi, \ rho \ sin \ varphi, z) = \ rho ^{2}+z}$

Nakonec lze použít integrační vzorec:

${\ Displaystyle \ iiint _ {D} \ left (x^{2}+y^{2}+z \ right) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} \ left (\ rho^ {2}+z \ right) \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz;}$

vývoj vzorce, který máte

${\ Displaystyle \ int _ {-5}^{5} dz \ int _ {0}^{2 \ pi} d \ varphi \ int _ {0}^{3} \ left (\ rho^{3}+ \ rho z \ right) \, d \ rho = 2 \ pi \ int _ {-5} ^{5} \ left [{\ frac {\ rho ^{4}} {4}}+{\ frac {\ rho^{2} z} {2}} \ right] _ {0}^{3} \, dz = 2 \ pi \ int _ {-5}^{5} \ left ({\ frac {81} { 4}}+{\ frac {9} {2}} z \ right) \, dz = \ cdots = 405 \ pi.}$

Sférické souřadnice

V R ^{3 mají} některé domény sférickou symetrii, takže je možné určit souřadnice každého bodu integrační oblasti dvěma úhly a jednou vzdáleností. Je tedy možné použít přechod na sférické souřadnice ; funkce je transformována tímto vztahem:

${\ Displaystyle f (x, y, z) \ longrightarrow f (\ rho \ cos \ theta \ sin \ varphi, \ rho \ sin \ theta \ sin \ varphi, \ rho \ cos \ varphi)}$

Body na osách z nemají přesnou charakteristiku v sférických souřadnicích, takže θ se může pohybovat mezi 0 a 2 π .

Lepší integrační doménou pro tuto pasáž je koule.

Příklad 4a. Doména je D = x ² + y ² + z ² ≤ 16 (koule s poloměrem 4 a středem na počátku); transformací získáte region

${\ Displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 4, \ 0 \ leq \ varphi \ leq \ pi, \ 0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi \}.}$

Jakobijský determinant této transformace je následující:

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné (x, y, z)} {\ částečné (\ rho, \ theta, \ varphi)}}} = {\ begin {vmatrix} \ cos \ theta \ sin \ varphi &-\ rho \ sin \ theta \ sin \ varphi & \ rho \ cos \ theta \ cos \ varphi \\\ sin \ theta \ sin \ varphi & \ rho \ cos \ theta \ sin \ varphi & \ rho \ sin \ theta \ cos \ varphi \\\ cos \ varphi & 0 &-\ rho \ sin \ varphi \ end {vmatrix}} = \ rho ^{2} \ sin \ varphi}$

Dx dy dz diferenciály proto jsou transformovány do p ² sin ( cp ) dρ dθ dφ .

Tím se získá konečný integrační vzorec:

${\ Displaystyle \ iiint _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} f (\ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta, \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta, \ rho \ cos \ varphi) \ rho ^{2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi.}$

Tuto metodu je lepší použít v případě sférických domén a v případě funkcí, které lze snadno zjednodušit prvním základním vztahem trigonometrie rozšířeným na R ³ (viz příklad 4b); v ostatních případech může být lepší použít válcové souřadnice (viz příklad 4c).

${\ Displaystyle \ iiint _ {T} f (a, b, c) \ rho ^{2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi.}$

Extra ρ ² a sin φ pocházejí od jakobiánů.

V následujících příkladech byly role φ a θ obráceny.

Příklad 4b. D je stejná oblast jako v příkladu 4a a f ( x , y , z ) = x ² + y ² + z ² je funkce pro integraci. Jeho transformace je velmi snadná:

${\ Displaystyle f (\ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta, \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta, \ rho \ cos \ varphi) = \ rho ^{2},}$

zatímco známe intervaly transformované oblasti T z D :

${\ Displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 4, \ 0 \ leq \ varphi \ leq \ pi, \ 0 \ leq \ theta \ leq 2 \ pi \}.}$

Proto používáme integrační vzorec:

${\ Displaystyle \ iiint _ {D} \ left (x^{2}+y^{2}+z^{2} \ right) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {T} \ rho ^{2} \, \ rho ^{2} \ sin \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi,}$

a rozvíjíme se

${\ Displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^{4} \ sin \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = \ int _ {0} ^{\ pi} \ sin \ varphi \, d \ varphi \ int _ {0}^{4} \ rho^{4} d \ rho \ int _ {0}^{2 \ pi} d \ theta = 2 \ pi \ int _ {0}^ {\ pi} \ sin \ varphi \ left [{\ frac {\ rho ^{5}} {5}} \ right] _ {0} ^{4} \, d \ varphi = 2 \ pi \ left [{ \ frac {\ rho^{5}} {5}} \ right] _ {0}^{4} {\ Big [}-\ cos \ varphi {\ Big]} _ {0}^{\ pi} = {\ frac {4096 \ pi} {5}}.}$

Příklad 4c. Doména D je míč se středem na počátku a poloměrem 3 a ,

${\ Displaystyle D = \ left \ {x^{2}+y^{2}+z^{2} \ leq 9a^{2} \ right \}}$

a f ( x , y , z ) = x ² + y ² je funkce pro integraci.

Při pohledu na doménu se zdá vhodné přejít na sférické souřadnice, ve skutečnosti intervaly proměnných, které vymezují novou oblast T, jsou zjevně:

${\ Displaystyle T = \ {0 \ leq \ rho \ leq 3a, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, \ 0 \ leq \ theta \ leq \ pi \}.}$

Při použití transformace však dostaneme

${\ Displaystyle f (x, y, z) = x ^{2} +y ^{2} \ longrightarrow \ rho ^{2} \ sin ^{2} \ theta \ cos ^{2} \ varphi +\ rho ^{2} \ sin ^{2} \ theta \ sin ^{2} \ varphi = \ rho ^{2} \ sin ^{2} \ theta.}$

Aplikací vzorce pro integraci získáme:

${\ Displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^{2} \ sin ^{2} \ theta \ rho ^{2} \ sin \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = \ iiint _ {T} \ rho ^{4} \ sin ^{3} \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi}$

což lze vyřešit převedením na iterovaný integrál.

${\ Displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^{4} \ sin ^{3} \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = \ underbrace {\ int _ {0} ^{ 3a} \ rho ^{4} d \ rho} _ {I} \, \ underbrace {\ int _ {0} ^{\ pi} \ sin ^{3} \ theta \, d \ theta} _ {II} \, \ underbrace {\ int _ {0}^{2 \ pi} d \ varphi} _ {III}}$.

${\ Displaystyle I = \ left. \ int _ {0} ^{3a} \ rho ^{4} d \ rho = {\ frac {\ rho ^{5}} {5}} \ right \ vert _ {0 }^{3a} = {\ frac {243} {5}} a^{5}}$,

${\ Displaystyle II = \ int _ {0} ^{\ pi} \ sin ^{3} \ theta \, d \ theta =-\ int _ {0} ^{\ pi} \ sin ^{2} \ theta \, d (\ cos \ theta) = \ int _ {0} ^{\ pi} (\ cos ^{2} \ theta -1) \, d (\ cos \ theta) = \ vlevo. {\ frac { \ cos^{3} \ theta} {3}} \ right | _ {0}^{\ pi}-\ left. \ cos \ theta \ right | _ {0}^{\ pi} = {\ frac { 4} {3}}}$,

${\ Displaystyle III = \ int _ {0}^{2 \ pi} d \ varphi = 2 \ pi}$.

Shromažďování všech částí,

${\ Displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^{4} \ sin ^{3} \ theta \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi = I \ cdot II \ cdot III = {\ frac {243} {5}} a^{5} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot 2 \ pi = {\ frac {648} {5}} \ pi a^{5}}$.

Alternativně lze tento problém vyřešit pomocí průchodu do válcových souřadnic. Nové T intervaly jsou

${\ Displaystyle T = \ left \ {0 \ leq \ rho \ leq 3a, \ 0 \ leq \ varphi \ leq 2 \ pi, \ -{\ sqrt {9a ^{2} -\ rho ^{2}}} \ leq z \ leq {\ sqrt {9a ^{2}-\ rho ^{2}}} \ right \};}$

z intervalu byl získán tak, že se míč do dvou polokoulí jednoduše tím, že řeší nerovnosti z vzorci D (a poté přímo transformuje x ² + y ² do pM ² ). Nová funkce je jednoduše ρ ² . Použití integračního vzorce

${\ Displaystyle \ iiint _ {T} \ rho ^{2} \ rho \, d \ rho \, d \ varphi \, dz.}$

Pak dostaneme

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ int _ {0}^{2 \ pi} d \ varphi \ int _ {0}^{3a} \ rho^{3} d \ rho \ int _ {-{\ sqrt {9a^{2}-\ rho^{2}}}}^{\ sqrt {9a^{2}-\ rho^{2}}} \, dz & = 2 \ pi \ int _ {0}^ {3a} 2 \ rho ^{3} {\ sqrt {9a ^{2}-\ rho ^{2}}} \, d \ rho \\ & =-2 \ pi \ int _ {9a ^{2} }^{0} (9a^{2} -t) {\ sqrt {t}} \, dt && t = 9a^{2}-\ rho^{2} \\ & = 2 \ pi \ int _ {0} ^{9a^{2}} \ left (9a^{2} {\ sqrt {t}}-t {\ sqrt {t}} \ right) \, dt \\ & = 2 \ pi \ left (\ int _ {0}^{9a^{2}} 9a^{2} {\ sqrt {t}} \, dt- \ int _ {0}^{9a^{2}} t {\ sqrt {t}} \, dt \ right) \\ & = 2 \ pi \ left [9a^{2} {\ frac {2} {3}} t^{\ frac {3} {2}}-{\ frac {2} {5}} t^{\ frac {5} {2}} \ right] _ {0}^{9a^{2}} \\ & = 2 \ cdot 27 \ pi a^{5} \ left (6 -{\ frac {18} {5}} \ right) \\ & = {\ frac {648 \ pi} {5}} a^{5}. \ end {aligned}}}$

Díky přechodu do válcových souřadnic bylo možné redukovat trojitý integrál na snazší integrál s jednou proměnnou.

Viz také zadání rozdílového objemu v nabla ve válcových a sférických souřadnicích .

Příklady

Dvojitý integrál přes obdélník

Předpokládejme, že chceme integrovat více proměnnou funkci f přes oblast A :

${\ Displaystyle A = \ left \ {(x, y) \ in \ mathbf {R} ^{2} \: \ 11 \ leq x \ leq 14 \; \ 7 \ leq y \ leq 10 \ right \} { \ mbox {a}} f (x, y) = x^{2}+4 roky \,}$

Z toho formulujeme iterovaný integrál

${\ Displaystyle \ int _ {7}^{10} \ int _ {11}^{14} (x^{2}+4y) \, dx \, dy}$

Nejprve se provede vnitřní integrál, který se integruje s ohledem na x a bere y jako konstantu, protože to není proměnná integrace . Výsledek tohoto integrálu, který je funkcí závislou pouze na y , je pak integrován s ohledem na y .

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ int _ {11}^{14} \ left (x^{2}+4y \ right) \, dx & = \ left [{\ frac {1} {3}} x ^{3}+4yx \ right] _ {x = 11}^{x = 14} \\ & = {\ frac {1} {3}} (14)^{3}+4y (14)-{\ frac {1} {3}} (11)^{3} -4y (11) \\ & = 471+12y \ end {zarovnáno}}}$

Výsledek pak integrujeme s ohledem na y .

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ int _ {7}^{10} (471+12y) \ dy & = {\ Big [} 471y+6y^{2} {\ Big]} _ {y = 7} ^{y = 10} \\ & = 471 (10) +6 (10)^{2} -471 (7) -6 (7)^{2} \\ & = 1719 \ end {zarovnáno}}}$

V případech, kdy je dvojitý integrál absolutní hodnoty funkce konečný, je pořadí integrace zaměnitelné, to znamená, že integrace s ohledem na první x a integrace s ohledem na y nejprve vytvoří stejný výsledek. To je Fubiniho věta . Například provedením předchozího výpočtu s obráceným pořadím získáte stejný výsledek:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ int _ {11}^{14} \ int _ {7}^{10} \, \ left (x^{2}+4y \ right) \, dy \, dx & = \ int _ {11}^{14} {\ Big [} x^{2} y+2y^{2} {\ Big]} _ {y = 7}^{y = 10} \, dx \\ & = \ int _ {11}^{14} \, (3x^{2} +102) \, dx \\ & = {\ Big [} x^{3}+102x {\ Big]} _ {x = 11}^{x = 14} \\ & = 1719. \ end {aligned}}}$

Dvojitý integrál přes normální doménu

Zvažte region (viz obrázek v příkladu):

${\ Displaystyle D = \ {(x, y) \ in \ mathbf {R} ^{2} \: \ x \ geq 0, y \ leq 1, y \ geq x ^{2} \}}$

Vypočítat

${\ Displaystyle \ iint _ {D} (x+y) \, dx \, dy.}$

Tato doména je normální s ohledem na osy x - i y . Chcete -li použít vzorce, je nutné najít funkce, které určují D a intervaly, ve kterých jsou tyto funkce definovány. V tomto případě jsou tyto dvě funkce:

${\ Displaystyle \ alpha (x) = x^{2} {\ text {and}} \ beta (x) = 1}$

zatímco interval je dán průsečíky funkcí s x  = 0, tak interval je [ a ,  b ] = [0, 1] (normalita byla zvolena s ohledem na osu x pro lepší vizuální porozumění).

Nyní je možné použít vzorec:

${\ Displaystyle \ iint _ {D} (x+y) \, dx \, dy = \ int _ {0}^{1} dx \ int _ {x^{2}}^{1} (x+y ) \, dy = \ int _ {0}^{1} dx \ \ left [xy+{\ frac {y^{2}} {2}} \ right] _ {x^{2}}^{1} }$

(nejprve se vypočítá druhý integrál s ohledem na x jako konstantu). Zbývající operace spočívají v aplikaci základních technik integrace:

${\ Displaystyle \ int _ {0}^{1} \ left [xy+{\ frac {y^{2}} {2}} \ right] _ {x^{2}}^{1} \, dx = \ int _ {0}^{1} \ left (x+{\ frac {1} {2}}-x^{3}-{\ frac {x^{4}} {2}} \ right) dx = \ cdots = {\ frac {13} {20}}.}$

Pokud zvolíme normálnost vzhledem k osě y, můžeme vypočítat

${\ Displaystyle \ int _ {0}^{1} dy \ int _ {0}^{\ sqrt {y}} (x+y) \, dx.}$

a získat stejnou hodnotu.

Výpočet objemu

Pomocí dříve popsaných metod je možné vypočítat objemy některých běžných pevných látek.

• Válec : Objem válce s výškou h a kruhovou základnou o poloměru R lze vypočítat integrací konstantní funkce h přes kruhovou základnu pomocí polárních souřadnic.

${\ Displaystyle \ mathrm {Volume} = \ int _ {0}^{2 \ pi} d \ varphi \, \ int _ {0}^{R} h \ rho \, d \ rho = 2 \ pi h \ vlevo [{\ frac {\ rho^{2}} {2}} \ right] _ {0}^{R} = \ pi R^{2} h}$

To je v souladu se vzorcem pro objem hranolu

${\ displaystyle \ mathrm {Volume} = {\ text {base area}} \ times {\ text {height}}.}$

• Koule : Objem koule o poloměru R lze vypočítat integrací konstantní funkce 1 na kouli pomocí sférických souřadnic.

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ text {Volume}} & = \ iiint _ {D} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz \\ & = \ iiint _ {D } 1 \, dV \\ & = \ iiint _ {S} \ rho ^{2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ theta \, d \ varphi \\ & = \ int _ {0} ^{2 \ pi} \, d \ theta \ int _ {0}^{\ pi} \ sin \ varphi \, d \ varphi \ int _ {0}^{R} \ rho^{2} \, d \ rho \\ & = 2 \ pi \ int _ {0}^{\ pi} \ sin \ varphi \, d \ varphi \ int _ {0}^{R} \ rho^{2} \, d \ rho \\ & = 2 \ pi \ int _ {0}^{\ pi} \ sin \ varphi {\ frac {R^{3}} {3}} \, d \ varphi \\ & = {\ frac {2 } {3}} \ pi R^{3} {\ Big [}-\ cos \ varphi {\ Big]} _ {0}^{\ pi} = {\ frac {4} {3}} \ pi R ^{3}. \ End {aligned}}}$

• Tetrahedron (trojúhelníkový pyramida nebo 3- simplex ): Objem čtyřstěnu s vrcholem v počátku a okraje délky pásmy podél x -, y - a z -axes lze vypočítat integrací konstantní funkce 1 přes čtyřstěnu.

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ text {Volume}} & = \ int _ {0}^{\ ell} dx \ int _ {0}^{\ ell -x} \, dy \ int _ { 0}^{\ ell -xy} \, dz \\ & = \ int _ {0}^{\ ell} dx \ int _ {0}^{\ ell -x} (\ ell -xy) \, dy \\ & = \ int _ {0}^{\ ell} \ vlevo (l^{2} -2 \ ell x+x^{2}-{\ frac {(\ ell -x)^{2}} {2}} \ right) \, dx \\ & = \ ell ^{3}-\ ell \ ell ^{2}+{\ frac {\ ell ^{3}} {3}}-\ left [{ \ frac {\ ell^{2} x} {2}}-{\ frac {\ ell x^{2}} {2}}+{\ frac {x^{3}} {6}} \ right] _ {0} ^{\ ell} \\ & = {\ frac {\ ell ^{3}} {3}}-{\ frac {\ ell ^{3}} {6}} = {\ frac {\ ell ^{3}} {6}} \ end {aligned}}}$

To je v souladu se vzorcem pro objem pyramidy

${\ Displaystyle \ mathrm {Volume} = {\ frac {1} {3}} \ times {\ text {base area}} \ times {\ text {height}} = {\ frac {1} {3}} \ krát {\ frac {\ ell ^{2}} {2}} \ times \ ell = {\ frac {\ ell ^{3}} {6}}.}$

Několik nevhodných integrálů

V případě neomezených domén nebo funkcí, které nejsou ohraničeny blízko hranice domény, musíme zavést dvojitý nevhodný integrál nebo trojitý nevhodný integrál .

Vícenásobné integrály a iterované integrály

Fubiniho věta říká, že pokud

${\ Displaystyle \ iint _ {A \ times B} \ left | f (x, y) \ right | \, d (x, y) <\ infty,}$

to znamená, že pokud je integrál absolutně konvergentní, pak vícenásobný integrál poskytne stejný výsledek jako kterýkoli ze dvou iterovaných integrálů:

${\ Displaystyle \ iint _ {A \ times B} f (x, y) \, d (x, y) = \ int _ {A} \ left (\ int _ {B} f (x, y) \, dy \ right) \, dx = \ int _ {B} \ left (\ int _ {A} f (x, y) \, dx \ right) \, dy.}$

Zejména k tomu dojde, pokud | f ( x , y ) | je ohraničená funkce a A a B jsou ohraničené množiny .

Pokud integrál není absolutně konvergentní, je třeba dbát na to, aby nedošlo k záměně konceptů vícenásobného integrálu a iterovaného integrálu , zejména proto, že pro každý koncept se často používá stejný zápis. Zápis

${\ Displaystyle \ int _ {0}^{1} \ int _ {0}^{1} f (x, y) \, dy \, dx}$

znamená v některých případech spíše iterovaný integrál než skutečný dvojitý integrál. V iterovaném integrálu, vnější integrál

${\ displaystyle \ int _ {0}^{1} \ cdots \, dx}$

je integrál s ohledem na x následující funkce x :

${\ Displaystyle g (x) = \ int _ {0}^{1} f (x, y) \, dy.}$

Dvojitý integrál je naproti tomu definován s ohledem na plochu v rovině xy . Pokud existuje dvojitý integrál, pak je roven každému ze dvou iterovaných integrálů (buď „ dy dx “ nebo „ dx dy “) a jeden jej často vypočítá výpočtem některého z iterovaných integrálů. Někdy však dva iterované integrály existují, když dvojitý integrál neexistuje, a v některých takových případech jsou dvě iterované integrály různá čísla, tj.

${\ Displaystyle \ int _ {0}^{1} \ int _ {0}^{1} f (x, y) \, dy \, dx \ neq \ int _ {0}^{1} \ int _ {0}^{1} f (x, y) \, dx \, dy.}$

Toto je příklad přeskupení podmíněně konvergentního integrálu.

Na druhé straně některé podmínky zajišťují, že jsou obě iterované integrály stejné, i když dvojitý integrál nemusí existovat. U Fichtenholz - Lichtenstein teorém, pokud f je omezená na [0, 1] x [0, 1], a to jak iterován integrály existují, pak jsou stejné. Existence vnitřních integrálů navíc zajišťuje existenci vnějších integrálů. Dvojitý základní nemusí existovat v tomto případě i jako Lebesgueova integrálu , podle Sierpiński .

Zápis

${\ Displaystyle \ int _ {[0,1] \ times [0,1]} f (x, y) \, dx \, dy}$

lze použít, pokud si někdo přeje být důrazný ohledně zamýšlení dvojitého integrálu spíše než iterovaného integrálu.

Některé praktické aplikace

Zcela obecně, stejně jako v jedné proměnné, lze použít násobek integrálu k nalezení průměru funkce v dané sadě. Vzhledem k množině D ⊆ R ⁿ a integrovatelné funkci f nad D je průměrná hodnota f nad její doménou dána vztahem

${\ displaystyle {\ bar {f}} = {\ frac {1} {m (D)}} \ int _ {D} f (x) \, dx,}$

kde m ( D ) je měřítkem z D .

V mnoha aplikacích ve fyzice se navíc používá více integrálů . Níže uvedené příklady také ukazují některé varianty zápisu.

V mechanice je moment setrvačnosti vypočítán jako objemový integrál (trojitý integrál) hustoty vážený se čtvercem vzdálenosti od osy:

${\ Displaystyle I_ {z} = \ iiint _ {V} \ rho r^{2} \, dV.}$

Gravitační potenciální spojená s hmotnostní distribuce vydané hmotnost opatření dm na trojrozměrném euklidovském prostoru R ³ je

${\ Displaystyle V (\ mathbf {x}) = -\ iiint _ {\ mathbf {R} ^{3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} -\ mathbf {y} |}} \ , dm (\ mathbf {y}).}$

Pokud existuje spojitá funkce ρ ( x ) představující hustotu rozdělení v x , takže dm ( x ) = ρ ( x ) d ³ x , kde d ³ x je euklidovský objemový prvek , pak je gravitační potenciál

${\ Displaystyle V (\ mathbf {x}) = -\ iiint _ {\ mathbf {R} ^{3}} {\ frac {G} {| \ mathbf {x} -\ mathbf {y} |}} \ , \ rho (\ mathbf {y}) \, d^{3} \ mathbf {y}.}$

V elektromagnetismu lze Maxwellovy rovnice zapsat pomocí více integrálů pro výpočet celkového magnetického a elektrického pole. V následujícím příkladu je elektrické pole vytvořené distribucí nábojů dané hustotou objemového náboje ρ ( r → ) získáno trojitým integrálem vektorové funkce:

${\ displaystyle {\ vec {E}} = {\ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _ {0}}} \ iiint {\ frac {{\ vec {r}}-{\ vec {r}} '} {\ left \ | {\ vec {r}}-{\ vec {r}}' \ right \ |^{3}}} \ rho ({\ vec {r}} ') \, d^{ 3} r '.}$

To lze také zapsat jako integrál s ohledem na podepsané opatření představující rozložení náboje.

Viz také

• Hlavní analytické věty, které se týkají více integrálů:
  • Divergenční věta
  • Stokesova věta
  • Greenova věta

Reference

Další čtení

• Adams, Robert A. (2003). Kalkulus: Kompletní kurz (5. vyd.). ISBN 0-201-79131-5.
• Jain, RK; Iyengar, SRK (2009). Advanced Engineering Mathematics (3. vyd.). Nakladatelství Narosa. ISBN 978-81-7319-730-7.
• Herman, Edwin „Jed“ & Strang, Gilbert (2016): Calculus: Volume 3  : OpenStax, Rice University, Houston, Texas, USA. ISBN  978-1-50669-805-2 . ( PDF )

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Multiple Integral“ . MathWorld .
• LD Kudryavtsev (2001) [1994], „Vícenásobný integrál“ , Encyklopedie matematiky , EMS Press
• Matematický asistent na webu online hodnocení dvojných integrálů v kartézských souřadnicích a polárních souřadnicích (zahrnuje mezikroky v řešení, poháněno Maxima (software) )