Cauchyho kondenzační test - Cauchy condensation test

V matematice je Cauchyův kondenzační test , pojmenovaný podle Augustina-Louise Cauchyho , standardním konvergenčním testem pro nekonečné řady . Pro nerostoucí posloupnost nezáporných reálných čísel řada konverguje právě tehdy, když konverguje „kondenzovaná“ řada . Navíc, pokud se sbíhají, součet kondenzované řady není více než dvakrát tak velký jako součet originálu. ${\ displaystyle f (n)}$${\ displaystyle \ displaystyle \ suma \ limity _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$${\ displaystyle \ displaystyle \ sum \ limity _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$

Odhad

Cauchyův kondenzační test vyplývá ze silnějšího odhadu,

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) \ leq \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n}) \ leq \ 2 \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n),}$

což by mělo být chápáno jako nerovnost rozšířených reálných čísel . Následuje základní tah důkazu, jehož vzorem je Oresmeův důkaz divergence harmonických řad .

Chcete-li vidět první nerovnost, jsou podmínky původní série přehodnoceny do běhů, jejichž délky jsou mocniny dvou, a poté je každý běh výše ohraničen nahrazením každého členu největším členem v daném běhu. Tento termín je vždy první, protože termíny mají být nerostoucí.

${\ displaystyle {\ begin {pole} {rcccccccl} \ displaystyle \ sum \ limity _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) & = & f (1) & + & f (2) + f (3) & + & f (4) + f (5) + f (6) + f (7) & + & \ cdots \\ & = & f (1) & + & {\ Big (} f (2) + f (3) ) {\ Big)} & + & {\ Big (} f (4) + f (5) + f (6) + f (7) {\ Big)} & + & \ cdots \\ & \ leq & f ( 1) & + & {\ Big (} f (2) + f (2) {\ Big)} & + & {\ Big (} f (4) + f (4) + f (4) + f (4) ) {\ Big)} & + & \ cdots \\ & = & f (1) & + & 2f (2) & + & 4f (4) & + & \ cdots = \ sum \ limits _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n}) \ end {pole}}}$

Pro zobrazení druhé nerovnost, tyto dvě řady jsou opět rebracketed do běhů mocnina dvou délky, ale „posun“, jak je uvedeno níže, tak, že běh , který začíná s v zákrytu s konci běhu které konců s , takže že první zůstává vždy „před“ druhým. ${\ displaystyle \ textstyle 2 \ součet _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$${\ displaystyle \ textstyle f (2 ^ {n})}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$${\ displaystyle \ textstyle f (2 ^ {n})}$

${\ displaystyle {\ begin {pole} {rcl} \ sum \ limity _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n}) & = & f (1) + {\ Big (} f (2) + f (2) {\ Big)} + {\ Big (} f (4) + f (4) + f (4) + f (4) {\ Big)} + \ cdots \ \ & = & {\ Big (} f (1) + f (2) {\ Big)} + {\ Big (} f (2) + f (4) + f (4) + f (4) {\ Big)} + \ cdots \\ & \ leq & {\ Big (} f (1) + f (1) {\ Big)} + {\ Big (} f (2) + f (2) + f (3 ) + f (3) {\ Big)} + \ cdots = 2 \ sum \ limity _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) \ end {pole}}}$

Vizualizace výše uvedeného argumentu. Částečné součty řady , a jsou zobrazeny překryté zleva doprava. ${\ displaystyle \ textstyle \ součet f (n)}$${\ displaystyle \ součet 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$${\ displaystyle 2 \ součet f (n)}$

Integrální srovnání

„Kondenzační“ transformace připomíná výtěžek integrální proměnné substituce . ${\ displaystyle \ textstyle f (n) \ rightarrow 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$${\ displaystyle \ textstyle x \ rightarrow e ^ {x}}$${\ displaystyle \ textstyle f (x) \, \ mathrm {d} x \ rightarrow e ^ {x} f (e ^ {x}) \, \ mathrm {d} x}$

Na základě této myšlenky nám integrální test konvergence dává, v případě monotónního , který konverguje právě tehdy, když konverguje. Substitucí se získá integrál . Pak si všimneme, že < , kde pravá strana pochází z aplikace integrálního testu na kondenzovanou řadu . Proto konverguje právě tehdy, když konverguje. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ sum \ limity _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$${\ displaystyle \ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} f (x) \, \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ textstyle x \ rightarrow 2 ^ {x}}$${\ displaystyle \ displaystyle \ log 2 \ \ int _ {2} ^ {\ infty} \! 2 ^ {x} f (2 ^ {x}) \, \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ displaystyle \ log 2 \ \ int _ {2} ^ {\ infty} \! 2 ^ {x} f (2 ^ {x}) \, \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ displaystyle \ log 2 \ \ int _ {0} ^ {\ infty} \! 2 ^ {x} f (2 ^ {x}) \, \ mathrm {d} x}$${\ displaystyle \ displaystyle \ sum \ limity _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$${\ displaystyle \ sum \ limity _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$${\ displaystyle \ displaystyle \ sum \ limity _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} f (2 ^ {n})}$

Příklady

Test může být užitečný pro řady, kde n se objevuje jako ve jmenovateli ve f . Pro nejzákladnější příklad tohoto druhu je harmonická řada transformována do řady , která se jasně rozchází. ${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 1 / n}$${\ displaystyle \ textstyle \ součet 1}$

Jako komplexnější příklad si vezměte

${\ displaystyle f (n): = n ^ {- a} (\ log n) ^ {- b} (\ log \ log n) ^ {- c}}$ .

Zde řada rozhodně konverguje pro a > 1 a rozchází se pro a <1. Když a = 1, kondenzační transformace dává řadě

${\ displaystyle \ sum n ^ {- b} (\ log n) ^ {- c}}$ .

Logaritmy „se posunou doleva“. Takže když a = 1, máme konvergenci pro b > 1, divergenci pro b <1. Když b = 1 vstupuje hodnota c .

Tento výsledek lze snadno zobecnit: opakovaně aplikovaný kondenzační test lze použít k prokázání, že pro zobecněnou Bertrandovu řadu ${\ displaystyle k = 1,2,3, \ ldots}$

${\ displaystyle \ sum _ {n \ geq N} {\ frac {1} {n \ cdot \ log n \ cdot \ log \ log n \ cdots \ log ^ {\ circ (k-1)} n \ cdot ( \ log ^ {\ circ k} n) ^ {\ alpha}}} \ quad \ quad (N = \ lfloor \ exp ^ {\ circ k} (0) \ rfloor +1)}$

konverguje pro a rozchází se pro . Zde označuje m th kompoziční iterate z funkce , takže ${\ displaystyle \ alpha> 1}$${\ displaystyle 0 <\ alpha \ leq 1}$${\ displaystyle f ^ {\ circ m}}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle f ^ {\ circ m} (x): = {\ begin {cases} f (f ^ {\ circ (m-1)} (x)), & m = 1,2,3, \ ldots; \\ x, & m = 0. \ end {cases}}}$

Dolní hranice součtu, byla zvolena tak, aby všechny podmínky řady byly kladné. Zejména tyto řady poskytují příklady nekonečných součtů, které se sbíhají nebo rozcházejí libovolně pomalu. Například v případě a částečný součet přesahuje 10 pouze za ( googolplex ) výrazy; série se přesto rozcházejí. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle k = 2}$${\ displaystyle \ alpha = 1}$${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {100}}}$

Schlömilchova zobecnění

Nechť u ( n ) je přísně rostoucí posloupnost kladných celých čísel tak, že poměr po sobě jdoucích rozdílů je omezený: existuje kladné reálné číslo N , pro které:

${\ displaystyle {\ Delta u (n) \ nad \ Delta u (n {-} 1)} \ = \ {u (n {+} 1) -u (n) \ nad u (n) -u (n {-} 1)} \ <\ N \ \ {\ text {pro všechny}} n.}$

Pak, za předpokladu, že splňuje stejné předpoklady jako v Cauchyově testu, je konvergence řady ekvivalentní konvergenci: ${\ displaystyle f (n)}$${\ displaystyle \ textstyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n)}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Delta u (n)} \, f (u (n)) \ = \ \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} { \ Big (} u (n {+} 1) -u (n) {\ Big)} f (u (n)).}$

Z tohoto důvodu se Cauchyův kondenzační test jeví jako zvláštní případ. ${\ displaystyle \ textstyle u (n) = 2 ^ {n}}$${\ displaystyle \ textstyle \ Delta u (n) = u (n {+} 1) -u (n) = 2 ^ {n}}$

Reference

• Bonar, Khoury (2006). Skutečná nekonečná série . Mathematical Association of America. ISBN   0-88385-745-6 .

externí odkazy

• Cauchyova zkouška kondenzace