Integrální test konvergence - Integral test for convergence

Integrální test aplikovaný na harmonickou řadu . Protože plocha pod křivkou

y = 1 / x

pro

x \in [1, \infty)

je nekonečná, musí být nekonečná také celková plocha obdélníků.

V matematiky je integrální test pro konvergenci je metoda používaná k testování nekonečnou řadu o monotónní podmínek pro konvergenci . Byl vyvinut Colinem Maclaurinem a Augustinem-Louisem Cauchyem a je někdy znám jako Maclaurin – Cauchyův test .

Prohlášení o testu

Uvažujme celé číslo $N$ a funkci $f$ definovanou na neomezeném intervalu $[N, \infty)$ , na kterém se monotónně snižuje . Pak nekonečná řada

{\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} f (n)}

konverguje na reálné číslo právě tehdy, když je to nesprávný integrál

{\ displaystyle \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx}

je konečný. Zejména v případě, že se integrál rozchází, pak se také rozchází řada .

Poznámka

Pokud je nesprávný integrál konečný, pak důkaz také dává dolní a horní mez

{\ displaystyle \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx \ leq \ součet _ {n = N} ^ {\ infty} f (n) \ leq f (N) + \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx}

( 1 )

pro nekonečnou sérii.

Všimněte si, že pokud se funkce zvyšuje, pak se funkce snižuje a platí výše uvedená věta. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle -f}$

Důkaz

Důkaz v zásadě používá srovnávací test porovnávající pojem $f (n)$ s integrálem $f$ v intervalech $[n - 1, n)$ a $[n, n + 1]$ .

Monotónní funkce je spojitá téměř všude . Chcete-li to ukázat, dovolte . Za každý , existuje podle hustoty ze se tak, že . Všimněte si, že tato sada obsahuje otevřený neprázdný interval právě tehdy, když je přerušovaný v . Můžeme jednoznačně identifikovat jako racionální číslo, které má ve výčtu nejmenší index a splňuje výše uvedenou vlastnost. Vzhledem k tomu, že je monotónní , definuje injektivní mapování a je tedy počítatelné . Z toho vyplývá, že je nepřetržitý téměř všude . To je dostatečné pro Riemannovu integrovatelnost . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle D = \ {x \ v [N, \ infty) \ mid f {\ text {je nespojitý v}} x \}}$ ${\ displaystyle x \ v D}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle c (x) \ v \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle c (x) \ in \ left [\ lim _ {y \ downarrow x} f (y), \ lim _ {y \ uparrow x} f (y) \ right]}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c (x)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ až \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle c: D \ až \ mathbb {Q}, x \ mapsto c (x)}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle f}$

Protože $f$ je monotónní klesající funkce, víme to

{\ displaystyle f (x) \ leq f (n) \ quad {\ text {pro všechny}} x \ v [n, \ infty)}

a

{\ displaystyle f (n) \ leq f (x) \ quad {\ text {pro všechny}} x \ v [N, n].}

Proto pro každé celé číslo $n \geq N$ ,

{\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) \, dx \ leq \ int _ {n} ^ {n + 1} f (n) \, dx = f (n)}

( 2 )

a pro každé celé číslo $n \geq N + 1$ ,

{\ displaystyle f (n) = \ int _ {n-1} ^ {n} f (n) \, dx \ leq \ int _ {n-1} ^ {n} f (x) \, dx.}

( 3 )

Součtem všech $n$ z $N$ na nějaké větší celé číslo $M$ dostaneme z ( 2 )

{\ displaystyle \ int _ {N} ^ {M + 1} f (x) \, dx = \ součet _ {n = N} ^ {M} \ podprsenka {\ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) \, dx} _ {\ leq \, f (n)} \ leq \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n)}

a od ( 3 )

{\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n) \ leq f (N) + \ sum _ {n = N + 1} ^ {M} \ podprsenka {\ int _ {n-1 } ^ {n} f (x) \, dx} _ {\ geq \, f (n)} = f (N) + \ int _ {N} ^ {M} f (x) \, dx.}

Kombinace těchto dvou odhadů přináší výnosy

{\ displaystyle \ int _ {N} ^ {M + 1} f (x) \, dx \ leq \ součet _ {n = N} ^ {M} f (n) \ leq f (N) + \ int _ {N} ^ {M} f (x) \, dx.}

Necháme-li $M$ inklinovat k nekonečnu, následují hranice v ( 1 ) a výsledek.

Aplikace

Harmonická řada

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}}}

diverguje, protože pomocí přirozeného logaritmu , jeho primitivní funkce a základní věty o počtu dostaneme

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {M} {\ frac {1} {n}} \, dn = \ ln n {\ Bigr |} _ {1} ^ {M} = \ ln M \ to \ infty \ quad {\ text {for}} M \ to \ infty.}

Naopak série

{\ displaystyle \ zeta (1+ \ varepsilon) = \ součet _ {x = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {1+ \ varepsilon}}}}

(srov. Riemannova funkce zeta ) konverguje pro každé $ε > 0$ , protože pravidlem moci

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {M} {\ frac {1} {x ^ {1+ \ varepsilon}}} \, dx = \ left .- {\ frac {1} {\ varepsilon x ^ { \ varepsilon}}} \ right | _ {1} ^ {M} = {\ frac {1} {\ varepsilon}} \ left (1 - {\ frac {1} {M ^ {\ varepsilon}}} \ right ) \ leq {\ frac {1} {\ varepsilon}} <\ infty \ quad {\ text {pro všechny}} M \ geq 1.}

Od ( 1 ) dostaneme horní odhad

{\ displaystyle \ zeta (1+ \ varepsilon) = \ součet _ {x = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {1+ \ varepsilon}}} \ leq {\ frac {1+ \ varepsilon} {\ varepsilon}},}

které lze porovnat s některými konkrétními hodnotami funkce Riemann zeta .

Hranice mezi divergencí a konvergencí

Výše uvedené příklady zahrnující harmonickou řadu vyvolávají otázku, zda existují monotónní sekvence, takže $f (n)$ klesá na 0 rychleji než $1 / n,$ ale pomaleji než $1 / n 1+ ε$ v tom smyslu, že

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {f (n)} {1 / n}} = 0 \ quad {\ text {a}} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty } {\ frac {f (n)} {1 / n ^ {1+ \ varepsilon}}} = \ infty}

pro každé $ε > 0$ a zda se odpovídající řada $f (n)$ stále liší. Jakmile je taková posloupnost nalezena, lze položit podobnou otázku s tím, že $f (n)$ převezme roli $1 / n$ atd. Tímto způsobem je možné zkoumat hranici mezi divergencí a konvergencí nekonečných řad.

Pomocí integrálního testu konvergence lze ukázat (viz níže), že pro každé přirozené číslo $k$ je řada

{\ displaystyle \ sum _ {n = N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ ln (n) \ ln _ {2} (n) \ cdots \ ln _ {k-1 } (n) \ ln _ {k} (n)}}}

( 4 )

stále se odchyluje (srov. důkaz, že součet převrácených hodnot prvočísel se rozchází pro $k = 1$ ), ale

{\ displaystyle \ sum _ {n = N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ ln (n) \ ln _ {2} (n) \ cdots \ ln _ {k-1 } (n) (\ ln _ {k} (n)) ^ {1+ \ varepsilon}}}}

( 5 )

konverguje pro každé $ε > 0$ . Zde $ln k$ označuje $k$ násobně složení přirozeného logaritmu definována rekurzivně o

{\ displaystyle \ ln _ {k} (x) = {\ začátek {případů} \ ln (x) & {\ text {pro}} k = 1, \\\ ln (\ ln _ {k-1} ( x)) & {\ text {for}} k \ geq 2. \ end {případy}}}

Dále, $N k$ označuje nejmenší přirozené číslo takové, že $k$ násobně kompozice je dobře definovaná a $ln k (N k) \geq 1$ , tj

{\ displaystyle N_ {k} \ geq \ underbrace {e ^ {e ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {e}}}}} _ {k \ e '{\ text {s}}} = e \ uparrow \ uparrow k}

pomocí tetrace nebo Knuthovy notace se šipkou nahoru .

Chcete-li vidět divergenci řady ( 4 ) pomocí integrálního testu, nezapomeňte, že opakovanou aplikací pravidla řetězu

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln _ {k + 1} (x) = {\ frac {d} {dx}} \ ln (\ ln _ {k} (x)) = { \ frac {1} {\ ln _ {k} (x)}} {\ frac {d} {dx}} \ ln _ {k} (x) = \ cdots = {\ frac {1} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k} (x)}},}

proto

{\ displaystyle \ int _ {N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k} (x)}} = \ ln _ {k + 1} (x) {\ bigr |} _ {N_ {k}} ^ {\ infty} = \ infty.}

Chcete-li vidět konvergenci řady ( 5 ), všimněte si, že podle pravidla napájení bude výsledkem pravidlo řetězu a výše uvedené

{\ displaystyle - {\ frac {d} {dx}} {\ frac {1} {\ varepsilon (\ ln _ {k} (x)) ^ {\ varepsilon}}} = {\ frac {1} {( \ ln _ {k} (x)) ^ {1+ \ varepsilon}}} {\ frac {d} {dx}} \ ln _ {k} (x) = \ cdots = {\ frac {1} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k-1} (x) (\ ln _ {k} (x)) ^ {1+ \ varepsilon}}},}

proto

{\ displaystyle \ int _ {N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k-1} (x) (\ ln _ {k} (x)) ^ {1+ \ varepsilon}}} = - {\ frac {1} {\ varepsilon (\ ln _ {k} (x)) ^ {\ varepsilon}}} {\ biggr |} _ {N_ {k}} ^ {\ infty} <\ infty}

a ( 1 ) udává hranice nekonečné řady v ( 5 ).

Viz také

Reference

Knopp, Konrad , „Infinite Sequences and Series“, Dover Publications , Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6
Whittaker, ET a Watson, GN, Kurz moderní analýzy , čtvrté vydání, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3
Ferreira, Jaime Campos, Ed Calouste Gulbenkian, 1987, ISBN 972-31-0179-3

^ Brown, AB (září 1936). „Důkaz Lebesgueovy podmínky pro integrovatelnost Riemanna“. Americký matematický měsíčník . 43 (7): 396–398. doi : 10,2307 / 2301737 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2301737 .

[1] Brown, AB (září 1936). „Důkaz Lebesgueovy podmínky pro integrovatelnost Riemanna“. Americký matematický měsíčník . 43 (7): 396–398. doi : 10,2307 / 2301737 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2301737 .

Languages

In other projects