Použití komplexních čísel k vyhodnocení integrálů
V integrálním počtu lze Eulerův vzorec pro komplexní čísla použít k vyhodnocení integrálů zahrnujících trigonometrické funkce . Pomocí Eulerova vzorce lze libovolnou trigonometrickou funkci zapsat z hlediska komplexních exponenciálních funkcí, a to a poté ji integrovat. Tato technika je často jednodušší a rychlejší než použití trigonometrických identit nebo integrace po částech a je dostatečně výkonná, aby integrovala jakýkoli racionální výraz zahrnující trigonometrické funkce.
E
i
X
{\ displaystyle e ^ {ix}}
E
-
i
X
{\ displaystyle e ^ {- ix}}
Eulerův vzorec
Eulerův vzorec to říká
E
i
X
=
cos
X
+
i
hřích
X
.
{\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \, \ sin x.}
Dosazením za získáte rovnici
-
X
{\ displaystyle -x}
X
{\ displaystyle x}
E
-
i
X
=
cos
X
-
i
hřích
X
{\ displaystyle e ^ {- ix} = \ cos xi \, \ sin x}
protože kosinus je sudá funkce a sinus je lichý. Tyto dvě rovnice mohou být vyřešeny pro sinus a kosinus
cos
X
=
E
i
X
+
E
-
i
X
2
a
hřích
X
=
E
i
X
-
E
-
i
X
2
i
.
{\ displaystyle \ cos x = {\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {2}} \ quad {\ text {a}} \ quad \ sin x = {\ frac {e ^ { ix} -e ^ {- ix}} {2i}}.}
Příklady První příklad Zvažte integrál
∫
cos
2
X
d
X
.
{\ displaystyle \ int \ cos ^ {2} x \, dx.}
Standardní přístup k tomuto integrálu je použít vzorec polovičního úhlu ke zjednodušení integrand. Místo toho můžeme použít Eulerovu identitu:
∫
cos
2
X
d
X
=
∫
(
E
i
X
+
E
-
i
X
2
)
2
d
X
=
1
4
∫
(
E
2
i
X
+
2
+
E
-
2
i
X
)
d
X
{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ int \ cos ^ {2} x \, dx \, & = \, \ int \ left ({\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} { 2}} \ vpravo) ^ {2} dx \\ [6pt] & = \, {\ frac {1} {4}} \ int \ left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} \ vpravo) dx \ end {zarovnáno}}}
V tomto okamžiku by bylo možné přepnout zpět na reálná čísla pomocí vzorce e 2 ix + e −2 ix = 2 cos 2 x
1
4
∫
(
E
2
i
X
+
2
+
E
-
2
i
X
)
d
X
=
1
4
(
E
2
i
X
2
i
+
2
X
-
E
-
2
i
X
2
i
)
+
C
=
1
4
(
2
X
+
hřích
2
X
)
+
C
.
{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {1} {4}} \ int \ left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} \ right) dx & = {\ frac {1} { 4}} \ left ({\ frac {e ^ {2ix}} {2i}} + 2x - {\ frac {e ^ {- 2ix}} {2i}} \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {1} {4}} \ vlevo (2x + \ sin 2x \ vpravo) + C. \ end {zarovnáno}}}
Druhý příklad Zvažte integrál
∫
hřích
2
X
cos
4
X
d
X
.
{\ displaystyle \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \, dx.}
Tento integrál by bylo extrémně zdlouhavé vyřešit pomocí trigonometrických identit, ale použití Eulerovy identity je relativně bezbolestné:
∫
hřích
2
X
cos
4
X
d
X
=
∫
(
E
i
X
-
E
-
i
X
2
i
)
2
(
E
4
i
X
+
E
-
4
i
X
2
)
d
X
=
-
1
8
∫
(
E
2
i
X
-
2
+
E
-
2
i
X
)
(
E
4
i
X
+
E
-
4
i
X
)
d
X
=
-
1
8
∫
(
E
6
i
X
-
2
E
4
i
X
+
E
2
i
X
+
E
-
2
i
X
-
2
E
-
4
i
X
+
E
-
6
i
X
)
d
X
.
{\ displaystyle {\ begin {seřazeno} \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \, dx & = \ int \ left ({\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} } \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix}} {2}} \ right) dx \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {8}} \ int \ left (e ^ {2ix} -2 + e ^ {- 2ix} \ right) \ left (e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix} \ right) dx \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {8}} \ int \ left (e ^ {6ix} -2e ^ {4ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2e ^ {- 4ix} + e ^ {- 6ix} \ vpravo) dx. \ end {zarovnáno}}}
V tomto okamžiku můžeme buď integrovat přímo, nebo můžeme nejprve změnit integrand na 2 cos 6 x - 4 cos 4 x + 2 cos 2 x a pokračovat odtud. Každá metoda dává
∫
hřích
2
X
cos
4
X
d
X
=
-
1
24
hřích
6
X
+
1
8
hřích
4
X
-
1
8
hřích
2
X
+
C
.
{\ displaystyle \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \, dx = - {\ frac {1} {24}} \ sin 6x + {\ frac {1} {8}} \ sin 4x - {\ frac {1} {8}} \ sin 2x + C.}
Používání skutečných dílů Kromě Eulerovy identity může být užitečné rozumně využívat skutečné části složitých výrazů. Zvažte například integrál
∫
E
X
cos
X
d
X
.
{\ displaystyle \ int e ^ {x} \ cos x \, dx.}
Protože cos x je skutečnou součástí e ix
∫
E
X
cos
X
d
X
=
Re
∫
E
X
E
i
X
d
X
.
{\ displaystyle \ int e ^ {x} \ cos x \, dx = \ operatorname {Re} \ int e ^ {x} e ^ {ix} \, dx.}
Integrál vpravo lze snadno vyhodnotit:
∫
E
X
E
i
X
d
X
=
∫
E
(
1
+
i
)
X
d
X
=
E
(
1
+
i
)
X
1
+
i
+
C
.
{\ displaystyle \ int e ^ {x} e ^ {ix} \, dx = \ int e ^ {(1 + i) x} \, dx = {\ frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i}} + C.}
Tím pádem:
∫
E
X
cos
X
d
X
=
Re
(
E
(
1
+
i
)
X
1
+
i
)
+
C
=
E
X
Re
(
E
i
X
1
+
i
)
+
C
=
E
X
Re
(
E
i
X
(
1
-
i
)
2
)
+
C
=
E
X
cos
X
+
hřích
X
2
+
C
.
{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ int e ^ {x} \ cos x \, dx & = \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i }} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {ix}} {1 + i}} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {ix} (1-i)} {2}} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} {\ frac {\ cos x + \ sin x} {2}} + C. \ end {zarovnáno}}}
Zlomky Obecně lze tuto techniku použít k vyhodnocení jakýchkoli zlomků zahrnujících trigonometrické funkce. Zvažte například integrál
∫
1
+
cos
2
X
cos
X
+
cos
3
X
d
X
.
{\ displaystyle \ int {\ frac {1+ \ cos ^ {2} x} {\ cos x + \ cos 3x}} \, dx.}
Použitím Eulerovy identity se tento integrál stává
1
2
∫
6
+
E
2
i
X
+
E
-
2
i
X
E
i
X
+
E
-
i
X
+
E
3
i
X
+
E
-
3
i
X
d
X
.
{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int {\ frac {6 + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix}} {e ^ {ix} + e ^ {- ix} + e ^ {3ix} + e ^ {- 3ix}}} \, dx.}
Pokud nyní provedeme substituci , výsledkem je integrál racionální funkce :
u
=
E
i
X
{\ displaystyle u = e ^ {ix}}
-
i
2
∫
1
+
6
u
2
+
u
4
1
+
u
2
+
u
4
+
u
6
d
u
.
{\ displaystyle - {\ frac {i} {2}} \ int {\ frac {1 + 6u ^ {2} + u ^ {4}} {1 + u ^ {2} + u ^ {4} + u ^ {6}}} \, du.}
Jeden může pokračovat s použitím rozkladu částečné frakce .
Viz také Reference
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ int \ cos ^ {2} x \, dx \, & = \, \ int \ left ({\ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} { 2}} \ vpravo) ^ {2} dx \\ [6pt] & = \, {\ frac {1} {4}} \ int \ left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} \ vpravo) dx \ end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/477bcd8b7e0424bbab7594999c9a5157a119d1f4)
![{\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {1} {4}} \ int \ left (e ^ {2ix} + 2 + e ^ {- 2ix} \ right) dx & = {\ frac {1} { 4}} \ left ({\ frac {e ^ {2ix}} {2i}} + 2x - {\ frac {e ^ {- 2ix}} {2i}} \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {1} {4}} \ vlevo (2x + \ sin 2x \ vpravo) + C. \ end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/094b4102f3fcb40250e8417ebff895de2aed2b46)
![{\ displaystyle {\ begin {seřazeno} \ int \ sin ^ {2} x \ cos 4x \, dx & = \ int \ left ({\ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {2i} } \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix}} {2}} \ right) dx \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {8}} \ int \ left (e ^ {2ix} -2 + e ^ {- 2ix} \ right) \ left (e ^ {4ix} + e ^ {- 4ix} \ right) dx \\ [6pt] & = - {\ frac {1} {8}} \ int \ left (e ^ {6ix} -2e ^ {4ix} + e ^ {2ix} + e ^ {- 2ix} -2e ^ {- 4ix} + e ^ {- 6ix} \ vpravo) dx. \ end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803fea23145359a202cb5de0ea639ddbfbc77b0f)
![{\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} \ int e ^ {x} \ cos x \, dx & = \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {(1 + i) x}} {1 + i }} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {ix}} {1 + i}} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {e ^ {ix} (1-i)} {2}} \ right) + C \\ [6pt] & = e ^ {x} {\ frac {\ cos x + \ sin x} {2}} + C. \ end {zarovnáno}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e9c7fbcba2dfcd2ca6dab6894ec6bb9e21f128)
