Diskontinuální lineární mapa - Discontinuous linear map

V matematiky , lineární mapy tvoří důležitou třídu „jednoduché“ funkce , které zachovávají algebraické struktury lineárních prostorech a jsou často používány jako aproximace do více obecné funkce (viz lineární aproximace ). Pokud jsou zapojené prostory také topologické prostory (tj. Topologické vektorové prostory ), má smysl se ptát, zda jsou všechny lineární mapy spojité . Ukazuje se, že pro mapy definované na nekonečně- rozměrných topologických vektorových prostorech (např. Nekonečně-rozměrné normované prostory ) je odpověď obecně ne: existují diskontinuální lineární mapy . Pokud je doména definice úplná , je to složitější; lze dokázat, že takové mapy existují, ale důkaz se opírá o axiom výběru a neposkytuje explicitní příklad.

Lineární mapa z konečného trojrozměrného prostoru je vždy spojitá

Nechť X a Y jsou dvě normované prostory a f lineární mapy od X do Y . Pokud X je konečný-rozměrné zvolte základ ( e ₁ , e ₂ , ..., e _n ) v X, která může být použita jako jednotkové vektory. Pak,

${\ displaystyle f (x) = \ součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} f (e_ {i}),}$

a tak nerovností trojúhelníku ,

${\ displaystyle \ | f (x) \ | = \ levý \ | \ součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} f (e_ {i}) \ pravý \ | \ leq \ součet _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | \ | f (e_ {i}) \ |.}$

Pronájem

${\ displaystyle M = \ sup _ {i} \ {\ | f (e_ {i}) \ | \},}$

a s využitím skutečnosti, že

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | \ leq C \ | x \ |}$

pro některé C > 0, které vyplývá ze skutečnosti, že jakékoli dvě normy v konečně-dimenzionálním prostoru jsou ekvivalentní , lze najít

${\ displaystyle \ | f (x) \ | \ leq \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | \ right) M \ leq CM \ | x \ |.}$

Tak, je ohraničený lineární operátor , a tak je kontinuální. Ve skutečnosti je to vidět, prostě na vědomí, že f je lineární, a proto se na nějakou univerzální konstantní K . Tedy pro kohokoli si můžeme vybrat tak, že ( a jsou normované koule kolem a ), což dává kontinuitu. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ | f (x) -f (x ') \ | = \ | f (x-x') \ | \ leq K \ | x-x '\ |}$${\ displaystyle \ epsilon> 0}$${\ displaystyle \ delta \ leq \ epsilon / K}$${\ displaystyle f (B (x, \ delta)) \ subseteq B (f (x), \ epsilon)}$${\ displaystyle B (x, \ delta)}$${\ displaystyle B (f (x), \ epsilon)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x)}$

Pokud je X nekonečně dimenzionální, tento důkaz selže, protože neexistuje záruka, že supremum M existuje. Pokud Y je nulový prostor {0}, jediná mapa mezi X a Y je nulová mapa, která je triviálně spojitá. Ve všech ostatních případech, kdy X je nekonečná-rozměrný a Y není nulový prostor, je možné najít nesouvislý mapu z X na Y .

Konkrétní příklad

Příklady nespojitých lineárních map lze snadno sestavit v prostorech, které nejsou úplné; na jakékoli Cauchyově posloupnosti lineárně nezávislých vektorů, která nemá limit, existuje lineární operátor takový, že množství roste bez vazby. V jistém smyslu nejsou lineární operátory spojité, protože prostor má „díry“. ${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ | T (e_ {i}) \ | / \ | e_ {i} \ |}$

Zvažte například prostor X hladkých funkcí se skutečnou hodnotou na intervalu [0, 1] s jednotnou normou , tj.

${\ displaystyle \ | f \ | = \ sup _ {x \ v [0,1]} | f (x) |.}$

Mapa derivace -at-a-point , daná vztahem

${\ displaystyle T (f) = f '(0) \,}$

definované na X a se skutečnými hodnotami, je lineární, ale ne spojité. Ve skutečnosti zvažte posloupnost

${\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ frac {\ sin (n ^ {2} x)} {n}}}$

pro n ≥1. Tato posloupnost konverguje rovnoměrně k funkci konstantně nulové, ale

${\ displaystyle T (f_ {n}) = {\ frac {n ^ {2} \ cos (n ^ {2} \ cdot 0)} {n}} = n \ do \ infty}$

jako n → ∞ místo toho by platilo pro spojitou mapu. Všimněte si, že T má skutečnou hodnotu, a proto je ve skutečnosti lineární funkcí na X (prvek algebraického duálního prostoru X ^* ). Lineární mapa X → X, která přiřazuje každé funkci její derivaci, je podobně diskontinuální. Všimněte si, že ačkoli derivační operátor není spojitý, je uzavřený . ${\ displaystyle T (f_ {n}) \ až T (0) = 0}$

Skutečnost, že doména zde není úplná, je důležitá. Diskontinuální operátoři v úplných prostorech vyžadují trochu více práce.

Nekonstruktivní příklad

Algebraický základ pro reálná čísla jako vektorový prostor nad racionálními je znám jako Hamelův základ (všimněte si, že někteří autoři používají tento termín v širším smyslu ve smyslu algebraického základu libovolného vektorového prostoru). Všimněte si, že libovolná dvě nezměřitelná čísla, řekněme 1 a π, jsou lineárně nezávislá. Jeden může najít Hamelův základ, který je obsahuje, a definovat mapu f od R do R tak, že f (π) = 0, f působí jako identita na zbytku Hamelova základu, a rozšíří se na všechny R podle linearity. Nechť { r _n } _n je libovolná posloupnost racionálů, která konverguje k π. Potom lim _n f ( r _n ) = π, ale f (π) = 0. Konstrukčně je f lineární nad Q (ne nad R ), ale ne spojité. Všimněte si, že f také není měřitelné ; přísada reálná funkce je lineární právě tehdy, je-li měřitelná, takže pro každou takovou funkci je Vitali set . Konstrukce f se opírá o axiom výběru.

Tento příklad lze rozšířit do obecné věty o existenci diskontinuálních lineárních map na jakémkoli nekonečně dimenzionálním normovaném prostoru (pokud není doména triviální).

Věta o obecné existenci

Je možné dokázat, že diskontinuální lineární mapy existují obecněji, i když je prostor kompletní. Nechť X a Y se normované prostory přes pole K , kde K = R nebo K = C . Předpokládejme, že X je nekonečně dimenzionální a Y není nulový prostor. Najdeme diskontinuální lineární mapu f od X do K , což bude znamenat existenci diskontinuální lineární mapy g od X do Y dané vzorcem g ( x ) = f ( x ) y _0, kde y ₀ je libovolná nenulová vektor Y .

Pokud je X nekonečně dimenzionální, ukázat existenci lineární funkce, která není spojitá, se rovná konstrukci f, která není omezená. K tomu, zvažte sekvenci ( e _n ) _n ( n ≥ 1) z lineárně nezávislých vektorů v X . Definovat

${\ displaystyle T (e_ {n}) = n \ | e_ {n} \ | \,}$

pro každé n = 1, 2, ... Dokončení této sekvenci lineárně nezávislých vektorů na vektorovém prostoru základě z X , a definují T na ostatní vektory v základě nulové. Takto definované T se rozšíří jedinečně na lineární mapu na X , a protože není jasně ohraničené, není spojité.

Všimněte si, že s využitím skutečnosti, že libovolnou sadu lineárně nezávislých vektorů lze dokončit na základě, jsme implicitně použili axiom výběru, který nebyl potřebný pro konkrétní příklad v předchozí části, ale jeden.

Úloha axiomu volby

Jak je uvedeno výše, axiom výběru (AC) se používá v teorému obecné existence diskontinuálních lineárních map. Ve skutečnosti neexistují žádné konstruktivní příklady diskontinuálních lineárních map s úplnou doménou (například Banachovy prostory ). V analýze, jak ji obvykle praktikují pracující matematici, se vždy používá axiom výběru (jedná se o axiom teorie teorie množin ZFC ); analytikovi tedy všechny nekonečně prostorové topologické vektorové prostory připouštějí nespojité lineární mapy.

Na druhou stranu, v roce 1970 Robert M. Solovay vykazoval modelu o teorii množin , ve kterém každý soubor reálných čísel je měřitelná. To znamená, že neexistují žádné diskontinuální lineární reálné funkce. Je zřejmé, že AC v modelu nedrží.

Výsledek Solovay ukazuje, že není nutné předpokládat, že všechny nekonečné trojrozměrné vektorové prostory připouštějí diskontinuální lineární mapy a existují školy analýzy, které přijímají konstruktivnější hledisko. Například HG Garnir byl při hledání takzvaných „snových prostorů“ (topologických vektorových prostorů, na nichž je každá lineární mapa do normovaného prostoru spojitá) veden k přijetí ZF + DC + BP (závislá volba je oslabená forma a vlastnost Baire je negací silné AC) as jeho axiomů ukázat se Garnir-Wright zavřel graf věta , která uvádí, mimo jiné, že jakýkoliv lineární mapa od F-prostor na TVS je kontinuální. Pokud jde o extrém konstruktivismu , existuje Ceitinova věta , která uvádí, že každá funkce je spojitá (to je třeba chápat v terminologii konstruktivismu, podle které se za funkce považují pouze reprezentativní funkce). Takové postoje zastává jen malá menšina pracujících matematiků.

Výsledkem je, že existence diskontinuálních lineárních map závisí na AC; je v souladu s teorií množin bez AC, že na celých prostorech neexistují žádné diskontinuální lineární mapy. Zejména žádná konkrétní konstrukce, jako je derivace, nemůže uspět při definování diskontinuální lineární mapy všude v úplném prostoru.

Uzavřené operátory

Mnoho přirozeně se vyskytujících lineárních diskontinuálních operátorů je uzavřeno , což je třída operátorů, kteří sdílejí některé funkce spojitých operátorů. Má smysl ptát se, které lineární operátory v daném prostoru jsou uzavřené. Uzavřeném grafu věta tvrdí, že všude definované uzavřené operátor na úplném oblasti je kontinuální, takže se získá diskontinuální uzavřený operátora, je třeba umožnit subjekty, které nejsou definovány všude.

Abychom byli konkrétnější, nechte být mapu od do s doménou , písemnou . Neztratíme moc, pokud X nahradíme uzavřením . To znamená, že při studiu operátorů, které nejsou definovány všude, lze omezit pozornost na hustě definované operátory, aniž by došlo ke ztrátě obecnosti. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle \ operatorname {Dom} (T)}$${\ displaystyle T: \ operatorname {Dom} (T) \ subseteq X \ až Y}$${\ displaystyle \ operatorname {Dom} (T)}$

V případě, že graf ze je uzavřena v X × Y , říkáme T zavřené . V opačném případě zváží jeho uzavření v X × Y . Pokud je sám graf nějakého operátora , se nazývá uzavíratelná , a je nazýván uzavření všech . ${\ displaystyle \ Gamma (T)}$${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Gamma (T)}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ Gamma (T)}}}$${\ displaystyle {\ overline {T}}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle {\ overline {T}}}$${\ displaystyle T}$

Přirozenou otázkou na lineární operátory, které nejsou definovány všude, je tedy to, zda jsou uzavíratelné. Odpověď zní „ne nutně“; opravdu každý nekonečně dimenzionální normovaný prostor připouští lineární operátory, které nelze uzavřít. Stejně jako v případě diskontinuálních operátorů uvažovaných výše vyžaduje důkaz axiom výběru a je tedy obecně nekonstruktivní, i když znovu, pokud X není úplný, existují konstruktivní příklady.

Ve skutečnosti, tam je i příklad lineárního operátoru, jehož graf má uzavření všichni z X × Y . Takový operátor nelze uzavřít. Nechť X je prostor polynomiálních funkcí z [0,1] na R a Y prostor polynomiálních funkcí z [2,3] na R . Jsou to podprostory C ([0,1]) a C ([2,3]), a tedy normované prostory. Definujte operátor T, který převezme polynomiální funkci x ↦ p ( x ) na [0,1] ke stejné funkci na [2,3]. V důsledku Stone-Weierstrassovy věty je graf tohoto operátoru hustý v X × Y , takže poskytuje jakousi maximálně diskontinuální lineární mapu ( nikde nepřidělujeme spojitou funkci ). Všimněte si, že X zde není kompletní, což musí být případ, když existuje taková konstruovatelná mapa.

Dopad pro dvojí prostory

Duální prostor z topologického vektorového prostoru je souborem na sebe navazujících lineárních map z prostoru do podkladové plochy. Selhání některých lineárních map pro spojitost nekonečných normovaných prostorů tedy znamená, že pro tyto prostory je třeba odlišit algebraický duální prostor od spojitého duálního prostoru, který je potom vlastní podmnožinou. Ilustruje skutečnost, že při provádění analýz v nekonečně dimenzionálních prostorech je nutná zvláštní dávka opatrnosti ve srovnání s konečnými dimenzionálními.

Mimo normované prostory

Argument pro existenci nespojitých lineárních map na normovaných prostorech lze zobecnit na všechny měřitelné topologické vektorové prostory, zejména na všechny Fréchetovy prostory, ale existují nekonečně dimenzionální lokálně konvexní topologické vektorové prostory, takže každá funkce je spojitá. Na druhou stranu Hahnova – Banachova věta , která platí pro všechny lokálně konvexní prostory, zaručuje existenci mnoha spojitých lineárních funkcionálů, a tedy i velký duální prostor. Ve skutečnosti ke každé konvexní množině přidružuje měřidlo Minkowski spojitou lineární funkci . Výsledkem je, že prostory s menším počtem konvexních množin mají méně funkcionálů a v nejhorším případě nemusí prostor vůbec obsahovat žádné funkcionály kromě nulové funkce. To je případ prostorů L ^p ( R , dx ) s 0 <  p  <1, z čehož vyplývá, že tyto prostory nejsou konvexní. Všimněte si, že zde je uvedena Lebesgueova míra na skutečné linii. Existují další L ^p prostory s 0 <  p  <1, které mají netriviální duální prostory.

Dalším takovým příkladem je prostor měřitelných funkcí se skutečnou hodnotou na jednotkovém intervalu s kvazinormem daným

${\ displaystyle || f || = \ int _ {I} {\ frac {| f (x) |} {1+ | f (x) |}} dx.}$

Tento lokálně konvexní prostor má triviální duální prostor.

Lze uvažovat o ještě obecnějších prostorech. Například existenci homomorfismu mezi úplnými oddělitelnými metrickými skupinami lze také ukázat nekonstruktivně.

Poznámky

Reference

• Constantin Costara, Dumitru Popa, Cvičení z funkční analýzy , Springer, 2003. ISBN  1-4020-1560-7 .
• Schechter, Eric, Příručka pro analýzu a její základy , Academic Press, 1997. ISBN  0-12-622760-8 .