Povrch (matematika) - Surface (mathematics)

Koule je povrch pevné míče , zde má poloměr r

V matematice je povrch zobecněním roviny . Na rozdíl od letadla nemusí být ploché - to znamená, že jeho zakřivení nemusí být nulové. To je analogické křivce generalizující přímku . Existuje mnoho přesnějších definic v závislosti na kontextu a matematických nástrojích použitých k analýze povrchu.

Matematický koncept idealizuje, co se rozumí povrchem ve vědě , počítačové grafice a běžném jazyce.

Definice

Povrch je často definován rovnicemi, které jsou splněny souřadnicemi jeho bodů. To je případ v grafu části spojité funkce dvou proměnných. Množina nul funkce tří proměnných je plocha, která se nazývá implicitní plocha . Pokud je definující třívariátovou funkcí polynom , je povrchem algebraický povrch . Například jednotková sféra je algebraický povrch, jak může být definován implicitní rovnicí

{\ Displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} -1 = 0.}

Povrch může být také definován jako obraz , v nějakém prostoru o rozměrech alespoň 3, spojité funkce dvou proměnných (pro zajištění toho, aby obraz nebyl křivkou, jsou vyžadovány některé další podmínky ). V tomto případě člověk říká, že má parametrický povrch , který je parametrizován těmito dvěma proměnnými, nazývanými parametry . Například může být jednotka koule parametrized na úhly Euler , nazývaný také délka $u$ a šířky $v$ o

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} x & = \ cos (u) \ cos (v) \\ y & = \ sin (u) \ cos (v) \\ z & = \ sin (v) \,. \ end { zarovnaný}}}

Parametrické rovnice povrchů jsou v některých bodech často nepravidelné. Například, kromě dvou bodů jednotkové sféry, jsou obrazem výše uvedené parametrizace přesně jednoho páru Eulerových úhlů ( modulo $2 π$ ). Pro zbývající dva body ( severní a jižní pól ) má jeden $cos v = 0$ a zeměpisná délka $u$ může nabývat libovolných hodnot. Existují také povrchy, pro které nemůže existovat jediná parametrizace pokrývající celý povrch. Proto se často uvažuje o plochách, které jsou parametrizovány několika parametrickými rovnicemi, jejichž obrazy pokrývají povrch. Toto je formalizováno pojetím potrubí : v kontextu potrubí, typicky v topologii a diferenciální geometrii , je povrch potrubím rozměru dva; To znamená, že povrch je topologický prostor tak, aby každý bod má okolí, což je homeomorphic k otevřené podmnožině z euklidovské roviny (viz povrch (topologie) a povrch (diferenciální geometrie) ). To umožňuje definovat povrchy v prostorech o rozměrech vyšších než tři a dokonce i abstraktní povrchy , které nejsou obsaženy v žádném jiném prostoru. Na druhé straně to vylučuje povrchy, které mají singularity , jako je vrchol kuželové plochy nebo body, kde se plocha kříží.

V klasické geometrii je povrch obecně definován jako místo bodu nebo čáry. Například koule je lokus bodu, který je v dané vzdálenosti pevného bodu, nazývaný střed; kuželová plocha je místo přímky procházející pevným bodem a křížení křivky ; rotační plocha je místo křivky rotující kolem čáry. Rozhodl povrch je místo pohybujícího linky splňující určitá omezení; v moderní terminologii je ovládanou plochou plocha, která je spojením čar.

Terminologie

V tomto článku je zváženo a porovnáno několik druhů povrchů. K jejich rozlišení je tedy nezbytná jednoznačná terminologie. Proto nazýváme topologické povrchy povrchy, které jsou rozmanitými dimenzemi dva (povrchy uvažované v Povrchu (topologie) ). Diferencovatelné povrchy nazýváme povrchy, které jsou diferencovatelnými varietami (povrchy uvažované v Surface (diferenciální geometrie) ). Každý diferencovatelný povrch je topologický povrch, ale opak je falešný.

Pro jednoduchost, není-li uvedeno jinak, „povrch“ znamená povrch v euklidovském prostoru o rozměru 3 nebo v $R 3$ . Povrch, který by neměl být zahrnut do jiného prostoru, se nazývá abstraktní povrch .

Příklady

Graf na spojité funkce dvou proměnných, která je definována přes připojené otevřené podmnožině z $R 2$ je topologický povrch . Pokud je funkce diferencovatelná , graf je diferencovatelná plocha .
Rovina je jak algebraický povrch a diferencovatelná povrch. Je to také ovládaný povrch a povrch revoluce .
Rotační válec (to znamená, že místo přímky protínající kruh a paralelně daném směru) je algebraický povrch a diferencovatelná povrch.
Rotační kužel (místo přímky protínající kruh, a procházející pevným bodem je vrchol , který je nad rovinou kruhu) je algebraická povrch, který není diferencovatelná povrch. Pokud jeden odstraní vrchol, zbytek kužele je spojením dvou odlišných povrchů.
Povrch mnohostěnu je topologický povrch, který není ani diferencovatelným povrchem, ani algebraickým povrchem.
Hyperbolický paraboloidu (graf funkce $z = xy$ ) je diferencovatelná povrch a algebraické povrch. Je to také vládnutý povrch, a proto se často používá v architektuře .
Dvou listů hyperboloid je algebraický povrch a spojení dvou neprotínající diferencovatelných povrchy.

Parametrický povrch

Parametrický povrch je obrazem otevřené podmnožiny euklidovské roviny (typicky ) prostřednictvím spojité funkce , v topologického prostoru , obecně euklidovská prostor o rozměru nejméně tři. Obvykle se předpokládá, že funkce bude průběžně diferencovatelná , a v tomto článku tomu tak bude vždy. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$

Konkrétně parametrický povrch v je dán třemi funkcemi dvou proměnných $u$ a $v$ , nazývaných parametry ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

{\ Displaystyle {\ begin {aligned} x & = f_ {1} (u, v) \\ y & = f_ {2} (u, v) \\ z & = f_ {3} (u, v) \,. \ end {aligned}}}

Protože obrazem takové funkce může být křivka (například pokud jsou tři funkce konstantní vzhledem k $v$ ), je vyžadována další podmínka, obecně pro téměř všechny hodnoty parametrů jakobijská matice

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ částečná f_ {1}} {\ částečná u}} & {\ dfrac {\ částečná f_ {1}} {\ částečná v}} \\ {\ dfrac { \ částečné f_ {2}} {\ částečné u}} & {\ dfrac {\ částečné f_ {2}} {\ částečné v}} \\ {\ dfrac {\ částečné f_ {3}} {\ částečné u}} & {\ dfrac {\ částečný f_ {3}} {\ částečný v}} \\\ konec {bmatrix}}}

má hodnost dvě. Zde „téměř vše“ znamená, že hodnoty parametrů, kde je pořadí dvě, obsahují hustou otevřenou podmnožinu rozsahu parametrizace. U ploch v prostoru vyšší dimenze je podmínka stejná, kromě počtu sloupců jakobijské matice.

Tečna a normální vektor

Bod $p,$ kde výše uvedená jakobijská matice má dvojku, se nazývá pravidelný , nebo, přesněji, parametrizace se nazývá pravidelný na $p$ .

Tečná rovina v pravidelných bodu $p$ je jedinečný rovina procházející $p$ a mají směr rovnoběžný s oběma řádek vektorů z Jacobian matrice. Tečná rovina je afinní koncept , protože její definice je nezávislá na volbě metriky . Jinými slovy, jakákoli afinní transformace mapuje tečnou rovinu k povrchu v bodě k tečné rovině k obrazu povrchu v obraze bodu.

Kolmice v bodu povrchu je jedinečným procházející bodem a kolmo k tečné rovině; normálový vektor je vektor, který je rovnoběžný s normální.

Další diferenciální invarianty ploch v sousedství bodu najdete v části Diferenciální geometrie ploch .

Nepravidelný bod a singulární bod

Bod parametrické plochy, který není pravidelný, je nepravidelný . Existuje několik druhů nepravidelných bodů.

Může se stát, že se nepravidelný bod stane pravidelným, pokud se změní parametrizace. To je případ pólů v parametrizaci jednotky koule podle Euler úhly : stačí k permutaci role různých souřadných os pro změnu pólů.

Na druhé straně zvažte kruhový kužel parametrické rovnice

{\ displaystyle {\ begin {aligned} x & = t \ cos (u) \\ y & = t \ sin (u) \\ z & = t \,. \ end {aligned}}}

Vrchol kužele je počátek $(0, 0, 0)$ a je získán pro $t = 0$ . Jedná se o nepravidelný bod, který zůstává nepravidelný, bez ohledu na zvolenou parametrizaci (jinak by existovala jedinečná tečná rovina). Takový nepravidelný bod, kde tečná rovina není definována, se říká singulární .

Existuje další druh singulárních bodů. Existují body křížení , to jsou body, kde se povrch kříží sám. Jinými slovy, toto jsou body, které se získají (alespoň) pro dvě různé hodnoty parametrů.

Graf bivariátové funkce

Nechť $z = f (x, y)$ je funkcí dvou reálných proměnných. Jedná se o parametrický povrch, parametrizovaný jako

{\ displaystyle {\ begin {aligned} x & = t \\ y & = u \\ z & = f (t, u) \,. \ end {aligned}}}

Každý bod tohoto povrchu je pravidelný, protože dva první sloupce jakobijské matice tvoří matici identity druhého řádu.

Racionální povrch

Racionální povrch je povrch, který může být parametrized racionální funkce dvou proměnných. To znamená, že v případě, $f i (t, u),$ jsou, $i = 0, 1, 2, 3$ , polynomy ve dvou indeterminates, pak parametrické plochy, definované

{\ displaystyle {\ begin {aligned} x & = {\ frac {f_ {1} (t, u)} {f_ {0} (t, u)}} \\ y & = {\ frac {f_ {2} ( t, u)} {f_ {0} (t, u)}} \\ z & = {\ frac {f_ {3} (t, u)} {f_ {0} (t, u)}} \ ,, \ end {aligned}}}

je racionální povrch.

Racionální povrch je algebraický povrch , ale většina algebraických povrchů není racionální.

Implicitní povrch

Implicitní povrch v euklidovském prostoru (nebo obecněji v afinním prostoru ) dimenze 3 je množina společných nul diferencovatelné funkce tří proměnných

{\ Displaystyle f (x, y, z) = 0.}

Implicitní znamená, že rovnice implicitně definuje jednu z proměnných jako funkci ostatních proměnných. To je přesnější teorémou implicitní funkce : pokud $f (x 0, y 0, z 0) = 0$ , a parciální derivace v $z$ z $f$ není nulová v $(x 0, y 0, z 0)$ , pak existuje diferencovatelná funkce $φ (x, y)$ taková, že

{\ Displaystyle f (x, y, \ varphi (x, y)) = 0}

v sousedství části $(x 0, y 0, z 0)$ . Jinými slovy, implicitní povrch je graf funkce poblíž bodu povrchu, kde parciální derivace v $z$ je nenulová. Implicitní povrch má tedy místně parametrickou reprezentaci, s výjimkou bodů povrchu, kde jsou tři dílčí derivace nulové.

Pravidelné body a tečná rovina

Bod povrchu, kde alespoň jedna parciální derivace $f$ je nenulová, se nazývá pravidelný . V takovém bodě jsou tečná rovina a směr normály dobře definovány a lze je odvodit pomocí věty o implicitní funkci z výše uvedené definice v § Tečné rovině a normálovém vektoru . Směr normály je gradient , to je vektor ${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$

{\ Displaystyle \ left [{\ frac {\ částečná f} {\ částečná x}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), {\ frac {\ částečná f} {\ částečná y} } (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}), {\ frac {\ částečný f} {\ částečný z}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) \ vpravo ].}

Tečná rovina je definována její implicitní rovnicí

{\ Displaystyle {\ frac {\ částečný f} {\ částečný x}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (x-x_ {0})+{\ frac {\ částečný f} {\ partial y}} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}) (y-y_ {0})+{\ frac {\ částečný f} {\ částečný z}} (x_ {0} , y_ {0}, z_ {0}) (z-z_ {0}) = 0.}

Singulární bod

Singulární bod na implicitní plochy (v ) je bod na povrchu, kde je implicitní rovnice drží a tři parciální derivace, že definovala funkce jsou všechny nulové. Proto jsou singulární body řešením soustavy čtyř rovnic ve třech neurčitých. Protože většina takových systémů nemá řešení, mnoho povrchů nemá žádný singulární bod. Povrch bez singulárního bodu se nazývá pravidelný nebo nesingulární . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

Studium povrchů v blízkosti jejich singulárních bodů a klasifikace singulárních bodů je teorie singularity . Singulární bod je izolován, pokud v jeho sousedství není žádný jiný singulární bod. Jinak mohou singulární body tvořit křivku. To platí zejména pro povrchy s vlastním přechodem.

Algebraický povrch

Původně algebraický povrch byl povrch, který může být definován implicitní rovnicí

{\ Displaystyle f (x, y, z) = 0,}

kde $f$ je polynom ve třech neurčitých , se skutečnými koeficienty.

Koncept byl rozšířen v několika směrech, definováním povrchů nad libovolnými poli a uvažováním povrchů v prostorech libovolné dimenze nebo v projektivních prostorech . Rovněž jsou brány v úvahu abstraktní algebraické povrchy, které nejsou explicitně vloženy do jiného prostoru.

Povrchy nad libovolnými poli

Polynomy s koeficienty v jakémkoli poli jsou akceptovány pro definování algebraického povrchu. Pole koeficientů polynomu však není dobře definováno, protože například polynom s racionálními koeficienty lze také považovat za polynom se skutečnými nebo komplexními koeficienty. Proto byl koncept bodu povrchu zobecněn následujícím způsobem:

Vzhledem k tomu, polynom $f (x, y, Z)$ , nechat $k$ být nejmenší pole obsahující koeficienty, a $K$ být algebraicky uzavřený rozšíření o $k$ , nekonečné transcendence stupně . Pak je bod povrchu prvkem $K 3,$ který je řešením rovnice

{\ Displaystyle f (x, y, z) = 0.}

Pokud má polynom reálné koeficienty, pole $K$ je komplexní pole a bod povrchu, který patří (obvyklému bodu), se nazývá skutečný bod . Bod, který patří do $k$ $3,$ se nazývá racionální nad $k$ , nebo jednoduše racionální bod , pokud $k$ je pole racionálních čísel . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

Projektivní povrch

Projektivní plocha v projektivní prostor o rozměru tři je množina bodů, jejichž homogenní souřadnice jsou nuly jediného homogenního polynomu ve čtyřech proměnných. Obecněji řečeno, projektivní povrch je podmnožinou projektivního prostoru, což je projektivní rozmanitost druhé dimenze .

Projektivní povrchy jsou silně příbuzné afinním povrchům (tj. Obyčejným algebraickým povrchům). Člověk přechází z projektivní plochy na odpovídající afinní plochu nastavením jedné souřadnice nebo neurčitosti definujících polynomů (obvykle poslední). Naopak, člověk přechází z afinního povrchu na přidružený projektivní povrch (nazývaný projektivní dokončení ) homogenizací definujícího polynomu (v případě ploch v prostoru dimenze tři) nebo homogenizací všech polynomů definujícího ideálu (pro povrchy v prostor vyšší dimenze).

Ve vyšších dimenzionálních prostorech

Bez obecné definice algebraické odrůdy a dimenze algebraické odrůdy nelze definovat koncept algebraického povrchu v prostoru dimenze vyšším než tři . Ve skutečnosti je algebraický povrch algebraickou rozmanitostí druhé dimenze .

Přesněji, algebraický povrch v prostoru dimenze $n$ je množina společných nul alespoň $n - 2$ polynomů, ale tyto polynomy musí splňovat další podmínky, které nemusí být bezprostředně ověřitelné. Za prvé polynomy nesmí definovat rozmanitost nebo algebraický soubor vyšších dimenzí, což je typický případ, pokud je jeden z polynomů v ideálu generovaném ostatními. Obecně $n - 2$ polynomy definují algebraickou sadu dimenzí dvě nebo vyšší. Pokud jsou rozměry dvě, může mít algebraická sada několik neredukovatelných složek . Pokud existuje pouze jedna složka, $n - 2$ polynomy definují povrch, což je úplný průnik . Pokud existuje několik komponent, pak jeden potřebuje další polynomy pro výběr konkrétní komponenty.

Většina autorů považuje za algebraický povrch pouze algebraické varianty dimenze dvě, ale někteří také považují za povrchy všechny algebraické sady, jejichž neredukovatelné složky mají dimenzi dvě.

V případě povrchů v prostoru dimenze tři je každý povrch úplným průsečíkem a povrch je definován jediným polynomem, který je neredukovatelný nebo ne, podle toho, zda jsou neredukovatelné algebraické sady dimenze dva považovány za povrchy nebo ne.

Abstraktní algebraický povrch

Racionální povrchy jsou algebraické povrchy

Topologický povrch

V topologii , povrch je obecně definována jako potrubí o rozměru dva. To znamená, že topologické povrch je topologický prostor , takže každý bod má sousedství , která je homeomorfní do otevřené podmnožině části Euclidean letadle .

Každý topologický povrch je homeomorfní s polyedrickým povrchem , takže všechny fasety jsou trojúhelníky . Kombinační studie takových uspořádání trojúhelníků (nebo, obecněji, vícerozměrných simplexech ) je výchozí předmětem algebraické topologie . To umožňuje charakterizaci vlastností povrchů z hlediska čistě algebraických invarianty , jako jsou skupiny rodu a homologie .

Třídy homeomorfismu povrchů byly kompletně popsány (viz Povrch (topologie) ).

Diferencovatelný povrch

Fraktální povrch

V počítačové grafice

Viz také

Plošný prvek , oblast diferenciálního prvku povrchu
Souřadnicové povrchy
Hypersurface
Obvod , dvourozměrný ekvivalent
Polyedrický povrch
Tvar
Funkce podepsané vzdálenosti
Pevná postava
Plocha povrchu
Povrchový integrál

Languages

In other projects