Schéma (matematika) - Scheme (mathematics)

V matematiky , je schéma je matematická struktura , která rozšiřuje pojem algebraické řadou několika způsoby, například s přihlédnutím multiplicities (rovnice x = 0 a x ² = 0 definovat stejné algebraické rozmanitost a různé systémy) a umožňuje „druhy "definováno přes jakýkoli komutativní kruh (například křivky Fermat jsou definovány přes celá čísla )."

Schémata zavedl Alexander Grothendieck v roce 1960 ve svém pojednání „ Éléments de géométrie algébrique “; jedním z jeho cílů byl rozvoj formalismu potřebného k řešení hlubokých problémů algebraické geometrie , jako jsou Weilovy dohady (poslední z nich dokázal Pierre Deligne ). Teorie schémat, silně založená na komutativní algebře , umožňuje systematické využívání metod topologie a homologické algebry . Teorie schémat také sjednocuje algebraickou geometrii s velkou částí teorie čísel , což nakonec vedlo k Wilesovu důkazu Fermatovy poslední věty .

Formálně je schéma topologický prostor společně s komutativními kruhy pro všechny jeho otevřené množiny, který vzniká spojením spekter (prostorů primárních ideálů ) komutativních prstenců podél jejich otevřených podmnožin. Jinými slovy, je to prstencový prostor, který je lokálně spektrem komutativního prstence.

Relativní hledisko je, že mnoho z algebraické geometrie by měly být vytvořeny za morfizmus X → Y systémů (nazývané schéma X přes Y ), spíše než pro individuální plán. Například při studiu algebraických ploch , to může být užitečné uvažovat rodiny algebraických ploch nad jakéhokoli režimu Y . V mnoha případech lze na rodinu všech odrůd daného typu pohlížet jako na odrůdu nebo schéma, známé jako prostor modulů .

Některé z podrobných definic v teorii schémat viz glosář teorie schémat .

Rozvoj

Počátky algebraické geometrie většinou spočívají ve studiu polynomiálních rovnic nad reálnými čísly . V 19. století, vyšlo najevo (zejména v práci Jean-Victor Poncelet a Bernharda Riemann ), který algebraické geometrie byla zjednodušena tím, že pracuje přes pole z komplexních čísel , který má tu výhodu, že algebraicky zavřené . Na počátku 20. století postupně přitahovaly pozornost dvě otázky, motivované problémy v teorii čísel: jak lze rozvíjet algebraickou geometrii v jakémkoli algebraicky uzavřeném poli, zejména v pozitivní charakteristice ? (Nástroje topologie a komplexní analýzy používané ke studiu složitých odrůd zde zřejmě neplatí.) A co algebraická geometrie nad libovolným polem?

Hilbertova věta o nulách navrhuje takový přístup k algebraické geometrii u každého algebraicky uzavřené pole k : o maximální ideál na polynomu kruhu k [ x ₁ , ..., x _n ] jsou v jeden na jednoho korespondenci s nastavenou k ⁿ o n - n -tice prvků k a primární ideály odpovídají neredukovatelným algebraickým množinám v k ⁿ , známým jako afinní odrůdy. Emmy Noether a Wolfgang Krull, motivovaní těmito myšlenkami, vyvinuli ve 20. a 30. letech 20. století předmět komutativní algebry . Jejich práce zobecňuje algebraickou geometrii v čistě algebraickém směru: místo studia primárních ideálů v polynomiálním kruhu lze studovat primární ideály v jakémkoli komutativním prstenci. Krull například definoval dimenzi jakéhokoli komutativního prstence, pokud jde o primární ideály. Přinejmenším když je prsten noetherovský , dokázal mnoho vlastností, které by člověk chtěl od geometrického pojmu dimenze.

Na komutativní algebru Noethera a Krulla lze pohlížet jako na algebraický přístup k afinním algebraickým odrůdám. Mnoho argumentů v algebraické geometrii však funguje lépe pro projektivní odrůdy , v zásadě proto, že projektivní odrůdy jsou kompaktní . Od 20. do 40. let minulého století BL van der Waerden , André Weil a Oscar Zariski aplikovali komutativní algebru jako nový základ pro algebraickou geometrii v bohatším prostředí projektivních (nebo kvaziprojektivních ) odrůd. Zvláště topologie Zariski je užitečnou topologií na celé řadě přes jakékoli algebraicky uzavřené pole, které do určité míry nahrazuje klasickou topologii na komplexní odrůdě (na základě topologie komplexních čísel).

Pro aplikace na teorii čísel formulovali van der Waerden a Weil algebraickou geometrii přes jakékoli pole, které nemusí být nutně algebraicky uzavřené. Weil byl první, kdo definoval abstraktní odrůdu (nezakotvenou v projektivním prostoru ), lepením afinních odrůd podél otevřených podmnožin na model variet v topologii. Tuto obecnost potřeboval pro svou konstrukci jakobijské odrůdy křivky na jakémkoli poli. (Později se ukázalo, že Jacobians jsou projektivními odrůdami od Weila, Chowa a Matsusaky .)

Algebraické geometry italské školy často používaly poněkud mlhavé pojetí generického bodu algebraické odrůdy. Co platí pro obecný bod, platí pro „většinu“ bodů odrůdy. Ve Weilových základech algebraické geometrie (1946) jsou generické body konstruovány tak, že berou body ve velmi velkém algebraicky uzavřeném poli, nazývaném univerzální doména . Ačkoli to fungovalo jako základ, bylo to nepříjemné: pro stejnou odrůdu existovalo mnoho různých obecných bodů. (V pozdější teorii schémat má každá algebraická odrůda jeden obecný bod.)

V padesátých letech dvacátého století Claude Chevalley , Masayoshi Nagata a Jean-Pierre Serre , motivovaní z části Weilovými dohady o teorii čísel a algebraické geometrii, dále rozšířili objekty algebraické geometrie, například zobecněním povolených základních prstenů. Slovo schéma bylo poprvé použito na semináři Chevalley v roce 1956, ve kterém Chevalley sledoval Zariskiho myšlenky. Podle Pierra Cartiera to byl André Martineau, kdo navrhl Serre možnost využití spektra libovolného komutativního prstence jako základu pro algebraickou geometrii.

Původ schémat

Grothendieck pak dal rozhodující definici schématu, čímž dospěl k závěru generaci experimentálních návrhů a dílčích vývojů. On definoval spektra X o komutativní prsten R jako prostoru primárních ideálů z R s přirozenou topologii (známý jako topologie Zariski), ale rozšířil ji svazkem prstenů: ke každé otevřené podmnožině U určil komutativní prsten O _X ( U ). Tyto objekty Spec ( R ) jsou afinní schémata; obecné schéma se pak získá „slepením“ afinních schémat.

Velká část algebraické geometrie se zaměřuje na projektivní nebo kvaziprojektivní varianty v poli k ; ve skutečnosti je k často považováno za komplexní čísla. Schémata tohoto druhu jsou velmi zvláštní ve srovnání s libovolnými schématy; porovnejte níže uvedené příklady. Nicméně je vhodné, že Grothendieck vyvinul velké množství teorie pro libovolná schémata. Například je běžné konstruovat prostor modulů nejprve jako schéma a teprve později studovat, zda se jedná o konkrétnější objekt, jako je projektivní rozmanitost. Také aplikace na teorii čísel rychle vedou k schématům přes celá čísla, která nejsou definována v žádném poli.

Definice

Afinní schéma je na místě prstencové prostor izomorfní s spektra Spec ( R ) komutativního kruhu R . Schéma je lokálně prstencové prostor X přijímání povlaku podle otevřených souborů U _i , tak, že každá U _i (jako místně prstenci prostoru) je afinní schéma. Zejména X přichází s snop O _X , který přiřazuje ke každému otevřené podmnožině U komutativní prsten O _X ( U ), s názvem kruh pravidelných funkcí na U . Lze si představit, že schéma je pokryto „souřadnicovými grafy“, což jsou afinní schémata. Definice přesně znamená, že schémata se získávají slepením afinních schémat pomocí topologie Zariski.

V počátcích se tomu říkalo prescheme a schéma bylo definováno jako oddělené prescheme. Termín prescheme vypadl z používání, ale stále jej lze nalézt ve starších knihách, například v Grothendieckově „Éléments de géométrie algébrique“ a Mumfordově „Červené knize“.

Základním příkladem afinního schématu je afinní n -prostor nad polem k , pro přirozené číslo n . Podle definice Aⁿ
_kje spektrum polynomiálního kruhu k [ x ₁ , ..., x _n ]. V duchu teorie schémat lze afinní n -prostor ve skutečnosti definovat přes jakýkoli komutativní kruh R , což znamená Spec ( R [ x ₁ , ..., x _n ]).

Kategorie schémat

Schémata tvoří kategorii , přičemž morfismy jsou definovány jako morfismy místně prstencových prostorů. (Viz také: morfismus schémat .) Pro schéma Y znamená schéma X nad Y morfismus X → Y schémat. Schéma X nad komutativním prstencem R znamená morfismus X → Spec ( R ).

Algebraickou rozmanitost nad polem k lze definovat jako schéma přes k s určitými vlastnostmi. Existují různé konvence, které přesně říkají, kterým schématům by se mělo říkat odrůdy. Jednou standardní volbou je, že odrůda nad k znamená integrální oddělené schéma konečného typu nad k .

Morfismus f : X → Y schémat určuje homomorfismus zpětného tahu na prstencích pravidelných funkcí, f *: O ( Y ) → O ( X ). V případě afinních režimů, tato konstrukce dává korespondenci jedna ku jedné mezi morphisms Spec ( A ) → Spec ( B ) ve schématech a kruhových homomorfismů B → A . V tomto smyslu teorie schémat zcela zahrnuje teorii komutativních prstenců.

Protože Z je počáteční objekt v kategorii komutativních prstenů , má kategorie schémat jako koncový objekt Spec ( Z ) .

Pro schématu X přes komutativní prsten R , což je R - bod z X znamená část na morfismu X → spektrometrie ( R ). Jeden píše X ( R ) pro sadu R -bodů z X . V příkladech, tato definice rekonstruuje původní představu o sady roztoků určujících rovnic X s hodnotami v R . Když R je pole k , X ( k ) je také nazýván sadu k - racionálních bodů z X .

Obecněji, na schématu X, přes komutativní prsten R a jakékoli komutativním R - algebry S , což je S - bod z X znamená morphism spektrum ( S ) → X přes R . Jeden píše X ( S ) pro sadu S -bodů z X . (Tento zobecňuje stará pozorování, že vzhledem k tomu, některé rovnice přes pole k , je možné vzít v úvahu řadu řešení rovnic v každém prodlužovacím pole E z k .) Pro schématu X přes R , přiřazení S ↦ X ( S ) je functor z komutativního R -algebras k souborům. Je důležité pozorovat, že schéma X nad R je určeno tímto funktorem bodů .

Nehořlavý vláknitý výrobek schémat vždy existuje. To znamená, že pro všechna schémata X a Z s morfismy na schéma Y existuje v kategorii schémat vláknový produkt X × _Y Z (ve smyslu teorie kategorií ). Pokud X a Z jsou schémata nad polem k , jejich vláknový součin přes Spec ( k ) lze nazvat součinem X × Z v kategorii k -chemiků. Například součin afinních prostorů A ^m a A ⁿ nad k je afinní prostor A ^{m + n} nad k .

Protože kategorie schémat má vláknové produkty a také koncový objekt Spec ( Z ), má všechny konečné limity .

Příklady

• Každé afinní schéma Spec ( R ) je schéma. (Zde a níže jsou všechny uvažované prsteny komutativní.)
• Polynom f nad polem k , f ∈ k [ x ₁ , ..., x _n ], určuje uzavřený subschém f = 0 v afinním prostoru A ⁿ přes k , nazývaný afinním nadpovrchem . Formálně jej lze definovat jako

${\ displaystyle \ operatorname {Spec} k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]/(f).}$

Vezmeme -li například k jako komplexní čísla, definuje rovnice x ² = y ² ( y +1) singulární křivku v afinní rovině A²
_C., nazývaná uzlová kubická křivka .

• Pro jakýkoli komutativní prstenec R a přirozené číslo n , projektivní prostor Pⁿ
  _Rlze zkonstruovat jako schéma lepením n + 1 kopií afinního n -prostoru přes R podél otevřených podmnožin. Toto je základní příklad, který motivuje jít nad rámec afinních schémat. Klíčovou výhodou projektivního prostoru oproti afinnímu prostoru je to, že Pⁿ
  _Rje vlastní přes R ; toto je algebro-geometrická verze kompaktnosti. Související pozorování je, že komplexní projektivní prostor CP ⁿ je kompaktní prostor v klasické topologii (na základě topologie C ), zatímco C ⁿ není (pro n > 0).
• Homogenní polynom f pozitivní stupně v polynomu kruhu R [ x ₀ , ..., x _n ] určuje uzavřenou podprogram f = 0 v projektivní prostoru P ⁿ nad R , který se nazývá projektivní nadplochy . Z hlediska konstrukce Proj lze tento subschém napsat jako

${\ displaystyle \ operatorname {Proj} R [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]/(f).}$

Například uzavřený podprogram x ³ + y ³ = z ³ z P²
_Qje eliptická křivka nad racionálními čísly .

• Linka se dvěma původu (přes pole k ), je režim definován počínaje dvěma kopiemi afinní linie než k , a slepením obou otevřených podmnožiny A ¹ - 0. mapě identity. Toto je jednoduchý příklad neodděleného schématu. Zejména není afinní.
• Jednoduchým důvodem, proč jít nad rámec afinních schémat, je, že otevřená podmnožina afinního schématu nemusí být afinní. Například nechť X = A ⁿ - 0, řekněme přes komplexní čísla C ; pak X není afinní pro n ≥ 2. (Omezení na n je nutné: afinní linie minus původ je izomorfní k afinnímu schématu Spec ( C [ x , x ⁻¹ ].) Abychom ukázali, že X není afinní, člověk vypočítá, že každá pravidelná funkce na X se rozšiřuje na pravidelnou funkci na A ⁿ , když n ≥ 2. (To je analogické Hartogsovu lemmatu v komplexní analýze, i když se to snadněji dokazuje.) To znamená, že zahrnutí f : X → A ⁿ indukuje izomorfismus od O (A ⁿ ) = C [ x ₁ , ...., x _n ] do O ( X ). Pokud by X bylo afinní, znamenalo by to, že f byl izomorfismus. Ale f není surjektivní, a proto není to izomorfismus, proto schéma X není afinní.
• Nechť k je pole. Pak je schéma afinní schéma, jehož základním topologickým prostorem je Stone -Čechova kompaktizace pozitivních celých čísel (s diskrétní topologií). Ve skutečnosti jsou hlavní ideály tohoto prstence v korespondenci jeden s jedním s ultrafiltery na kladných celých číslech, přičemž ideál odpovídá hlavnímu ultrafiltru spojenému s kladným celým číslem n . Tento topologický prostor je bezrozměrný a zejména každý bod je neredukovatelnou složkou . Protože afinní schémata jsou kvazi-kompaktní , je to příklad kvazi-kompaktního schématu s nekonečně mnoha neredukovatelnými komponentami. (Naproti tomu noetherovské schéma má jen konečný počet neredukovatelných složek.)${\ Displaystyle \ textstyle \ operatorname {Spec} \ left (\ prod _ {n = 1}^{\ infty} k \ right)}$${\ Displaystyle \ textstyle \ prod _ {m \ neq n} k}$

Příklady morfismů

Je také užitečné považovat příklady morfismů za příklady schémat, protože ukazují jejich technickou účinnost pro zapouzdření mnoha studijních předmětů do algebraické a aritmetické geometrie.

Aritmetické povrchy

Pokud vezmeme v úvahu polynom, pak afinní schéma má kanonický morfismus a nazývá se aritmetický povrch . Vlákna jsou pak algebraickými křivkami nad konečnými poli . Pokud je eliptická křivka, pak vlákna přes její diskriminační lokus generovaná kde${\ Displaystyle f \ in \ mathbb {Z} [x, y]}$${\ displaystyle X = \ operatorname {Spec} (\ mathbb {Z} [x, y]/(f))}$${\ displaystyle \ operatorname {Spec} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle X_ {p} = X \ times _ {\ operatorname {Spec} (\ mathbb {Z})} \ operatorname {Spec} (\ mathbb {F} _ {p})}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$${\ Displaystyle f (x, y) = y^{2} -x^{3}+sekera^{2}+bx+c}$${\ displaystyle \ Delta _ {f}}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {f} =-4a^{3} c+a^{2} b^{2}+18abc-4b^{3} -27c^{2}}$

jsou všechna singulární schémata. Pokud je například prvočíslo a${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle X = \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {Z} [x, y]} {(y^{2} -x^{3} -p)}} \ right)}$

pak je to diskriminační . Zejména je tato křivka singulární přes prvočísla . ${\ displaystyle -27p^{2}}$${\ displaystyle 3, p}$

Motivace pro schémata

Zde jsou některé ze způsobů, kterými schémata přesahují starší pojmy algebraických odrůd, a jejich význam.

• Rozšíření pole. Vzhledem k některým polynomiálním rovnicím v n proměnných v poli k , lze studovat množinu X ( k ) řešení rovnic v sadě produktů k ⁿ . Pokud je pole k algebraicky uzavřené (například komplexní čísla), pak lze algebraickou geometrii založit na sadách, jako je X ( k ): definujte Zariskiho topologii na X ( k ), zvažte polynomická mapování mezi různými sadami tohoto typu, a tak dále. Pokud ale k není algebraicky uzavřené, pak množina X ( k ) není dostatečně bohatá. Ve skutečnosti je možné studovat řešení X ( E ) z daných rovnic v každém prodlužovacím pole E z k , ale tyto soubory nejsou určovány X ( k ) v jakékoli přiměřené smyslu. Například křivka roviny X přes reálná čísla definovaná x ² + y ² = −1 má X ( R ) prázdné, ale X ( C ) není prázdné. (Ve skutečnosti, X ( C ) mohou být identifikovány s C - 0) Naopak, schéma X přes pole K má dostatek informací k určení nastavenou X ( E ) sloučeniny E -rational bodů pro každého rozšíření pole E z k . (Zejména uzavřený podsystém A²
  _R.definováno x ² + y ² = −1 je neprázdný topologický prostor.)
• Obecný bod. Body afinní přímky A¹
  _C., jako schéma, jsou jeho komplexní body (jeden pro každé komplexní číslo) společně s jedním obecným bodem (jehož uzávěrem je celé schéma). Obecný bod je obrazem přirozeného morfismu Spec ( C ( x )) → A¹
  _C., kde C ( x ) je pole racionálních funkcí v jedné proměnné. Chcete -li zjistit, proč je užitečné mít ve schématu skutečný „obecný bod“, zvažte následující příklad.
• Nechť X je křivka roviny y ² = x ( x −1) ( x −5) přes komplexní čísla. Toto je uzavřený podsystém A²
  _C.. Lze jej považovat za rozvětvený dvojitý kryt afinní linie A¹
  _C.promítnutím do x -souřadnice. Vlákno morfismu X → A ¹ přes obecný bod A ¹ je přesně obecný bod X , čímž se získá morfismus

${\ displaystyle \ operatorname {Spec} \ mathbf {C} (x) \ left ({\ sqrt {x (x-1) (x-5)}}} \ right) \ to \ operatorname {Spec} \ mathbf {C } (X).}$

To je zase ekvivalentem rozšíření polí o stupeň -2

${\ Displaystyle \ mathbf {C} (x) \ podmnožina \ mathbf {C} (x) \ left ({\ sqrt {x (x-1) (x-5)}}} \ right).}$

Skutečný generický bod odrůdy tedy poskytuje geometrický vztah mezi morfismem algebraických odrůd stupně 2 a odpovídajícím rozšířením funkčních polí stupně 2 . To zobecňuje vztah mezi základní skupinou (která klasifikuje krycí mezery v topologii) a skupinou Galois (která klasifikuje určitá rozšíření pole ). Grothendieckova teorie základní skupiny étale skutečně zachází se základní skupinou a skupinou Galois na stejném základě.

• Nilpotentní prvky . Nechť X je uzavřený podskupina afinní linie A¹
  _C.definováno x ² = 0, někdy se nazývá tučný bod . Kruh pravidelných funkcí na X je C [ x ]/( x ² ); zejména pravidelné funkce x o X je nilpotentní , ovšem není nulová. Abychom naznačili význam tohoto schématu: dvě pravidelné funkce na afinní linii mají stejné omezení na X právě tehdy, když mají stejnou hodnotu a první derivaci na počátku. Povolení takových neredukovaných schémat přináší myšlenky kalkulu a nekonečně malých čísel do algebraické geometrie.
• Pro podrobnější Například lze popsat všechny nulové prostorové uzavřené podprogramů na stupeň 2 v hladkém komplexní řadou Y . Takový podskupina se skládá buď ze dvou odlišných komplexních bodů Y , nebo také z podskupiny izomorfní pro X = Spec C [ x ]/( x ² ) jako v předchozím odstavci. Podprogramů druhého typu jsou určeny komplexní bodu y z Y spolu s linií v tečné prostoru T _y Y . To opět ukazuje, že neredukované podchemy mají geometrický význam související s deriváty a tečnými vektory.

Soudržné kladky

Ústřední částí teorie schémat je pojem koherentních svazků , zobecňující pojem (algebraické) vektorové svazky . Na schématu X se vychází od zvažuje abelian kategorii z O _X -modules , které jsou svazky abelian skupin na X , které tvoří modul přes svazek běžných funkcí O _X . Zejména modul M přes komutativní prsten R určuje spojený O _X -module~Mna X = Spec ( R ). Kvazi-koherentní svazek na schématu X, znamená O _X -module, že je svazek spojen s modulem na každé afinní otevřená podmnožina X . Konečně, koherentní svazek (na noetherovských schématu X , řekněme) je O _X -module, že je svazek spojené s konečně generované modulem na každé afinní otevřená podmnožina X .

Koherentní kladky zahrnují důležitou třídu vektorových svazků , což jsou kladky, které lokálně pocházejí z finálně generovaných volných modulů . Příkladem je tangentový svazek hladké odrůdy nad polem. Soudržné kladky jsou však bohatší; Například, vektor svazek na uzavřeném podprogramu Y z X, může být považována za koherentní svazek na X, což je nula mimo Y (pomocí přímého obrazu konstrukce). Takto koherentní svazky na schématu X zahrnují informace o všech uzavřených podprogramů z X . Kromě toho má kohomologie snopu dobré vlastnosti pro koherentní (a kvazi-koherentní) kladky. Výsledná teorie kohomologie soudržných svazkových svazků je možná hlavním technickým nástrojem v algebraické geometrii.

Zobecnění

Schéma je považováno za svůj funktor bodů a je funktorem, který je svazkem sad pro topologii Zariski v kategorii komutativních prstenů a který je místně v topologii Zariski afinním schématem. To lze zobecnit několika způsoby. Jedním z nich je použití topologie étale . Michael Artin definoval algebraický prostor jako funktor, který je svazkem v topologii étale a který lokálně v topologii étale je afinní schéma. Ekvivalentně je algebraický prostor podílem schématu vztahem ekvivalence étale. Silný výsledek, Artinova reprezentační věta , poskytuje jednoduché podmínky pro to, aby byl funktor reprezentován algebraickým prostorem.

Další generalizací je myšlenka zásobníku . Hrubě řečeno, algebraické komíny generalizují algebraické prostory tím, že ke každému bodu je připojena algebraická skupina , na kterou se pohlíží jako na skupinu automorfismu toho bodu. Například každá akce z algebraické skupiny G na algebraické rozmanitosti X určuje kvocient stack [ X / G ], který si pamatuje podskupiny stabilizační pro působení G . Obecněji řečeno, prostory modulů v algebraické geometrii jsou často nejlépe vnímány jako hromádky, čímž se sledují skupiny automorfismu objektů, které jsou klasifikovány.

Grothendieck původně představil komíny jako nástroj pro teorii sestupu . V této formulaci jsou komíny (neformálně řečeno) svazky kategorií. Z tohoto obecného pojmu definoval Artin užší třídu algebraických hromádek (neboli „Artinovy ​​hromádky“), které lze považovat za geometrické objekty. Patří sem hromady Deligne – Mumford (podobné orbifoldům v topologii), pro které jsou skupiny stabilizátorů konečné, a algebraické prostory, pro které jsou skupiny stabilizátorů triviální. Keel-Mori věta říká, že algebraické stack s konečnými stabilizačními skupinami má hrubý moduly prostor , který je algebraické prostor.

Dalším typem generalizace je obohacení svazku struktur, čímž se algebraická geometrie přiblíží teorii homotopie . V tomto nastavení, známém jako odvozená algebraická geometrie nebo „spektrální algebraická geometrie“, je svazek struktury nahrazen homotopickým analogem svazku komutativních kruhů (například svazek E-nekonečných kruhových spekter ). Tyto svazky připouštějí algebraické operace, které jsou asociativní a komutativní pouze do vztahu ekvivalence. Vezmeme -li kvocient tímto vztahem ekvivalence, dostaneme svazek struktury běžného schématu. Nepřijetí kvocientu však vede k teorii, která si pamatuje vyšší informace, stejným způsobem, jakým odvozené funktory v homologické algebře poskytují vyšší informace o operacích, jako je tenzorový součin a Hom funktor na modulech.

Viz také

• Plochý morfismus , hladký morfismus , správný morfismus , konečný morfismus , Étale morfismus
• Stabilní křivka
• Birační geometrie
• Étale cohomology , Chow group , Hodge theory
• Skupinové schéma , abelianská odrůda , lineární algebraická skupina , redukční skupina
• Moduly algebraických křivek
• Lepicí schémata

Citace

Reference

externí odkazy

• David Mumford, Lze vysvětlit schémata biologům?
• Autoři projektu Stacks, The Stacks Project
• https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/-sekce komentářů obsahuje zajímavou diskusi o teorii schémat (včetně příspěvků od Terence Tao ).