Shulba Sutras - Shulba Sutras

Shulba Sutras nebo Śulbasūtras ( sanskrt : शुल्बसूत्र; Sulba : „řetězec, šňůrka, provaz“) jsou sutra texty, které patří do Śrauta rituálu a který obsahuje geometrii související s požární oltářním konstrukci.

Účel a původ

Shulba Sutras jsou součástí většího korpusu textů zvaných Shrauta Sutras , považovaných za přílohy Ved . Jsou to jediné zdroje znalostí indické matematiky z védského období . Unikátní tvary ohnivých oltářů byly spojeny s jedinečnými dary od bohů. Například „kdo touží po nebi, postaví ohnivý oltář v podobě sokola“; „požární oltář v podobě želvy má postavit ten, kdo si přeje vyhrát svět Brahmanu“ a „ti, kdo chtějí zničit stávající i budoucí nepřátele, by měli postavit požární oltář v podobě kosočtverce“.

Čtyři hlavní Shulba Sutras, které jsou matematicky nejvýznamnější, jsou připisována Baudhayana , mānava , Apastamba a Katyayana . Jejich jazykem je pozdní védský sanskrt , poukazující na skladbu zhruba během 1. tisíciletí před naším letopočtem . Nejstarší je sútra připisovaná Baudhayaně, pravděpodobně sestavená kolem roku 800 př. N. L. Až 500 př. N. L. Pingree říká, že Apastamba je pravděpodobně další nejstarší; Katyayanu a Manavu chronologicky řadí na třetí a čtvrté místo na základě zjevných výpůjček. Podle Plofkera byla Katyayana složena po „velké gramatické kodifikaci sanskrtu od Pāṇiniho pravděpodobně v polovině čtvrtého století před naším letopočtem“, ale ona umísťuje Manavu do stejného období jako Baudhayana.

Pokud jde o složení védských textů, Plofker píše:

Védská úcta k sanskrtu jako posvátné řeči, jejíž božsky zjevené texty byly určeny k recitaci, slyšení a zapamatování, nikoli k přenosu písemně, pomohla formovat sanskrtskou literaturu obecně. ... Texty byly tedy složeny ve formátech, které lze snadno zapamatovat: buď zhuštěné aforismy prózy ( sūtras, slovo později použité ve smyslu pravidla nebo algoritmu obecně), nebo verše, zvláště v klasickém období. Snadné zapamatování někdy přirozeně zasahovalo do snadného porozumění. Výsledkem bylo, že většina pojednání byla doplněna jedním nebo více komentáři prózy ... “

Ke každému z Shulba Sutras existuje několik komentářů, ale ty byly napsány dlouho po původních dílech. Komentář Sundararāje o Apastambě například pochází z konce 15. století n. L. Zdá se, že komentář Dvārakãnātha k Baudhayaně si půjčil od Sundararāje. Podle Staala by určité aspekty tradice popsané v Shulba Sutras byly „přeneseny orálně“ a ukazuje na místa v jižní Indii, kde se stále praktikuje rituál ohnivého oltáře a zachovává se ústní tradice. Tradice ohnivého oltáře však v Indii do značné míry zanikla a Plofker varuje, že kapsy, kde tato praxe přetrvává, mohou spíše odrážet pozdější védské obrození než neporušenou tradici. Archeologický důkaz oltárních staveb popsaných v Shulba Sutras je řídký. Ve vykopávkách GR Sharmy v Kausambi byl nalezen velký požární oltář ve tvaru sokola ( śyenaciti ), pocházející z druhého století před naším letopočtem , ale tento oltář neodpovídá rozměrům předepsaným Shulba Sutras.

Titulní strana smlouvy Śulbasūtra od indického matematika Kātyāyana kolem 2. století př. N. L.

Obsah Shulba Sutras je pravděpodobně starší než samotná díla. Satapatha Brahmana a Taittiriya samhita , jehož obsah datum koncem druhého tisíciletí nebo na počátku prvního tisíciletí BCE, popisují oltáře, jejichž rozměry se prokázalo, že na základě pravoúhlého trojúhelníku s nohy 15 Pada a 36 Pada , jeden z trojúhelníků uvedeny v části Baudhayana Shulba Sutra.

Několik matematiků a historiků uvádí, že nejstarší texty byly napsány počínaje rokem 800 př. N. L. Védskými hinduisty na základě kompilací ústní tradice sahající až do roku 2000 př. N. L. Je možné, jak navrhuje Gupta, že geometrie byla vyvinuta tak, aby splňovala potřeby rituálu. Někteří učenci jdou ještě dále: Staal předpokládá společný rituální původ indické a řecké geometrie, cituje podobný zájem a přístup ke zdvojování a dalším problémům geometrické transformace. Seidenberg, následovaný van der Waerdenem, vidí rituální původ matematiky v širším smyslu a předpokládá, že hlavní pokroky, jako je objev Pythagorovy věty, se vyskytují pouze na jednom místě a odtud se šíří do zbytku světa. Van der Waerden uvádí, že autor Sulbha sútry existoval před rokem 600 př. N. L. A nemohl být ovlivněn řeckou geometrií. Zatímco Boyer uvádí jako možný původ starobabylonskou matematiku (asi 2000 př. N. L. - 1 600 př. N. L.), Uvádí však také, že šulbské sútry obsahují vzorec, který se v babylonských pramenech nenachází. KS Krishnan uvádí, že Shulba sutras předchází mezopotámským trojicím Pythagoras. Seidenberg tvrdí, že buď „Stará Babylonie získala z Indie větu Pythagoras, nebo že ji Stará Babylonie a Indie získala z třetího zdroje“. Seidenberg naznačuje, že tento zdroj může být sumerský a může pocházet z roku 1700 př. N. L. Naproti tomu Pingree varuje, že „bylo by chybou vidět v dílech [stavitelů oltářů] jedinečný původ geometrie; jiní v Indii a jinde, ať už v reakci na praktické nebo teoretické problémy, mohli pokročit tak daleko, aniž by jejich řešení byla uložena do paměti nebo nakonec přepsána do rukopisů. “ Plofker také vyvolává možnost, že „stávající geometrické znalosti [byly] vědomě začleněny do rituální praxe“.

Seznam Shulba Sutras

Apastamba
Baudhayana
Manava
Katyayana
Maitrayaniya (poněkud podobný textu z Manavy )
Varaha (v rukopise)
Vadhula (v rukopise)
Hiranyakeshin (podobně Apastamba Shulba Sutras)

Matematika

Pythagorova věta a Pythagorova trojka

Sútry obsahují prohlášení o Pythagorově větě , a to jak v případě rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku, tak v obecném případě, a také seznamy Pythagorových trojic . Například v Baudhayaně jsou pravidla dána takto:

1.9. Úhlopříčka čtverce vytváří dvojnásobek plochy [čtverce].
[...]
1.12. Plochy [čtverců] vytvořené odděleně podle délek šířky obdélníku dohromady se rovnají ploše [čtverce] vytvořené úhlopříčkou.
1.13. To je pozorováno u obdélníků se stranami 3 a 4, 12 a 5, 15 a 8, 7 a 24, 12 a 35, 15 a 36.

Podobně Apastambova pravidla pro konstrukci pravých úhlů v požárních oltářích používají následující Pythagorovy trojice:

${\ displaystyle (3,4,5)}$
${\ displaystyle (5,12,13)}$
${\ displaystyle (8,15,17)}$
${\ Displaystyle (12,35,37)}$

Sutry navíc popisují postupy pro konstrukci čtverce s plochou rovnou součtu nebo rozdílu dvou daných čtverců. Obě konstrukce postupují tak, že největší ze čtverců je čtverec na úhlopříčce obdélníku a dva menší čtverce jsou čtverce po stranách obdélníku. Tvrzení, že každý postup vytváří čtverec požadované oblasti, je ekvivalentní tvrzení Pythagorovy věty. Další konstrukce vytváří čtverec s plochou rovnou ploše daného obdélníku. Postup je odříznout obdélníkový kus z konce obdélníku a vložit jej na stranu tak, aby vytvořil gnomon o ploše stejné jako původní obdélník. Protože gnomon je rozdílem dvou čtverců, lze problém dokončit pomocí jedné z předchozích konstrukcí.

Geometrie

Baudhayana Shulba sutra dává stavbu geometrických tvarů, jako jsou čtverce a obdélníky. Poskytuje také, někdy přibližné, transformace zachovávající geometrickou oblast z jednoho geometrického tvaru do druhého. Patří sem transformace čtverce na obdélník , rovnoramenné lichoběžník , rovnoramenný trojúhelník , kosočtverec a kruh a transformace kruhu na čtverec. V těchto textech se přibližování, například transformace kruhu na čtverec, objevují vedle sebe s přesnějšími tvrzeními. Jako příklad je prohlášení o kroužení náměstí uvedeno v Baudhayaně jako:

2.9. Pokud je žádoucí transformovat čtverec na kruh, [šňůra délky] polovina úhlopříčky [čtverce] se natáhne od středu k východu [její část ležící mimo východní stranu čtverce]; s třetinou [části ležící venku] přidanou ke zbytku [poloviční úhlopříčky] je [požadovaný] kruh nakreslen.

a prohlášení o kvadratuře kruhu je uvedeno jako:

2.10. K přeměně kruhu na čtverec je průměr rozdělen na osm částí; jedna [taková] část po rozdělení na devětadvacet částí se zmenší o dvacet osm z nich a dále o šestou [části vlevo] méně o osmou [šesté části].
2.11. Alternativně rozdělte [průměr] na patnáct částí a zmenšete je o dvě z nich; toto dává přibližnou stranu čtverce [požadovaný].

Konstrukce v 2.9 a 2.10 dávají hodnotu π jako 3.088, zatímco konstrukce v 2.11 dává π jako 3.004.

Odmocniny

Oltářní konstrukce také vedla k odhadu druhé odmocniny 2, který byl nalezen ve třech sútrách. V Baudhayana sutře vypadá takto:

2.12. Opatření má být zvýšeno o jeho třetinu a toto [třetí] opět o jeho vlastní čtvrtinu mínus třicátou čtvrtou část [onoho čtvrtého]; toto je [hodnota] úhlopříčky čtverce [jehož strana je mírou].

což vede k hodnotě odmocniny ze dvou jako:

{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} \ cca 1+{\ frac {1} {3}}+{\ frac {1} {3 \ cdot 4}}-{\ frac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 34}} = {\ frac {577} {408}} = 1,4142 ...}

V některých sútrách lze skutečně najít ranou metodu pro výpočet odmocnin, tato metoda zahrnuje rekurzivní vzorec: pro velké hodnoty x, který se zakládá na nerekurzivní identitě pro hodnoty r extrémně malé vzhledem k a . ${\ Displaystyle {\ sqrt {x}} \ cca {\ sqrt {x-1}}+{\ frac {1} {2 \ cdot {\ sqrt {x-1}}}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a^{2}+r}} \ cca a+{\ frac {r} {2 \ cdot a}}}$

Rovněž bylo navrženo, například Bürkem, že tato aproximace √2 znamená znalost, že √2 je iracionální . Ve svém překladu Euclidových prvků Heath nastiňuje řadu milníků nezbytných pro to, aby byla objevena iracionalita, a poukazuje na nedostatek důkazů, že indická matematika dosáhla těchto milníků v éře Shulba Sutras.

Viz také

Kalpa (Vedanga)

Citace a poznámky pod čarou

Reference

Boyer, Carl B. (1991). Historie matematiky (druhé vydání.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-54397-7.
Bürk, Albert (1901). „Das Āpastamba-Śulba-Sūtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen“ . Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (v němčině). 55 : 543–591.
Delire, Jean Michele (2009). „Chronologické závěry ze srovnání mezi komentáři k různým Śulbasūtras “. Ve Wujastyku, Dominik (ed.). Matematika a medicína v sanskrtu . s. 37–62.
Bryant, Edwin (2001). Quest for the Origins of Vedic Culture: The Indo-Aryan Migration Debate . Oxford University Press. ISBN 9780195137774.
Cooke, Roger (2005) [První vydání 1997]. Historie matematiky: Stručný kurz . Wiley-Interscience . ISBN 0-471-44459-6.
Datta, Bibhutibhushan (1932). Věda o Sulbě. Studie rané hinduistické geometrie . Univerzita v Kalkatě .
Gupta, RC (1997). „Baudhāyana“. V Selin, Helaine (ed.). Encyklopedie dějin vědy, technologie a medicíny v nezápadních kulturách . Springer. ISBN 978-0-7923-4066-9.
Heath, Sir Thomas L. (1925) [1908]. Třináct knih Euclidových prvků, přeloženo z textu Heiberga, s úvodem a komentářem . I (2. vyd.). New York: Dover.
Pingree, David (1981), Gonda, Jan (ed.), Jyotiḥśāstra: astrální a matematická literatura , Historie indické literatury, sv. VI, Vědecká a technická literatura |volume=má další text ( nápověda )
Plofker, Kim (2007). „Matematika v Indii“. V Katz, Victor J (ed.). Matematika Egypta, Mezopotámie, Číny, Indie a islámu: A Sourcebook . Princeton University Press . ISBN 978-0-691-11485-9.
Plofker, Kim (2009). Matematika v Indii . Princeton University Press. ISBN 9780691120676.
Sarma, KV (1997). „Sulbasutras“. V Selin, Helaine (ed.). Encyklopedie dějin vědy, technologie a medicíny v nezápadních kulturách . Springer. ISBN 978-0-7923-4066-9.
Seidenberg, A. (1978). „Původ matematiky“. Archiv pro historii přesných věd . 18 : 301–342.
Seidenberg, A. (1983). „Geometrie védských rituálů“. V Staal, Frits (ed.). Agni: Védský rituál ohnivého oltáře . Berkeley: Asian Humanities Press.
Staal, Frits (1999). „Řecká a védská geometrie“. Journal of Indian Philosophy . 27 : 105–127. doi : 10,1023/A: 1004364417713 . S2CID 16466375 .
Thibaut, George (1875). „Na Śulvasútras“ . The Journal of the Asiatic Society of Bengal . 44 : 227–275.
van der Waerden, Bartel Leendert (1983). Geometrie a algebra ve starověkých civilizacích . Springer-Verlag. ISBN 9783642617812.

Překlady

„Śulvasútra z Baudháyany, s komentářem Dvárakánáthayajvan“, od George Thibauta, byla publikována v sérii vydání The Pandit. Měsíční deník Benares College věnovaný sanskrtské literatuře . Komentář je ponechán nepřeložený.
- (1875) 9 (108): 292–298
- (1875–1876) 10 (109): 17–22 , (110): 44–50 , (111): 72–74 , (114): 139–146 , (115): 166–170 , (116): 186–194 , (117): 209–218
- (nová řada) (1876–1877) 1 (5): 316–322 , (9): 556–578 , (10): 626–642 , (11): 692–706 , (12): 761–770
„Kátyáyanova Śulbapariśishta s komentářem Rámy, syna Súryadása“, George Thibauta, byla vydána v sérii čísel časopisu Pandit. Měsíční deník Benares College věnovaný sanskrtské literatuře . Komentář je ponechán nepřeložený.
- (nová řada) (1882) 4 (1–4): 94–103 , (5–8): 328–339 , (9–10): 382–389 , (9–10): 487–491
Bürk, Albert (1902). „Das Āpastamba-Śulba-Sūtra, herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen“ . Zeitschrift der Deutschen Morgenländischen Gesellschaft (v němčině). 56 : 327–391. Přepis a analýza v Bürku (1901) .
Sen, SN; Taška, AK (1983). Śulba Sūtras z Baudhāyany, Āpastamby, Kātyāyany a Mānavy s textem, anglickým překladem a komentářem . Nové Dillí: Indická národní akademie věd.

Languages

In other projects